Geometria Analítica e Álgebra Linear - Matrizes e Sistemas Lineares

Prof Felix Claret UNIDADE I Geometria Analítica e Álgebra Linear Estudaremos Matrizes sistemas lineares e determinantes Vetores em suas abordagens geométricas e algébricas Retas e planos Posição relativa distância e ângulos Seções cônicas Apresentação Matriz é uma tabela de elementos dispostos em linhas e colunas Os elementos de uma matriz podem ser números reais ou complexos funções vetores ou ainda outras matrizes Matrizes a11 a12 a13 a1n Amxn a21 a22 a23 a2n aijmxn am1 am2 am3 amn Am x n lêse matriz m por n m linhas n colunas Matrizes Notações Entre colchetes Entre parênteses Entre barras duplas Matrizes 3 4 0 15 3 4 0 15 3 4 0 15 O elemento aij de uma matriz a13 39 da linha 1 coluna 3 a32 153 da linha 3 coluna 2 a44 0 da linha 4 coluna 4 Matrizes 0 52 39 10 14 2 34 8 9 153 0 22 0 6 57 0 Igualdade Amxn ai j Brxs bi j A B m r e n s e a i j b i j Exemplo determine a b c para A B a 2³ 8 b lne 1 c 1 Matrizes 23 lne 52 2 25 1 a b 104 2 32 c A B Exemplo Determine os valores de x e y de modo que as matrizes A e B sejam iguais Matrizes 2x 1 4 6 y x2 100 A3x2 1 4 x 2y 3 0 10 B3x2 A B Logo x 0 e y 3 Matrizes 2x 1 1 x 0 4 4 V y 3 x2 0 x 0 x 2 y 6 y 3 10 100 V Matriz por meio de uma condição Exemplos 1 A aij 2x2 e a11 2 a12 1 a21 1 a22 2 Matrizes aij 2 se i j 1 se i j 2 1 1 2 A2x2 2 Determinar os elementos a13 a22 a32 da matriz A aij3x3 sendo a13 i 1 e j 3 então a13 1 a22 1 a32 3 2 5 Matrizes aij i j se i j 1 se i j 1 se i j Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é a x 2 e y 1 b x 4 e y 1 c x 4 e y 1 d x 1 e y 4 e x 2 e y 1 Interatividade 2 2x y3 0 A2x2 2 8 1 0 B2x2 Os valores de x e y para que as matrizes A e B sejam iguais é a x 2 e y 1 b x 4 e y 1 c x 4 e y 1 d x 1 e y 4 e x 2 e y 1 2 x 8 x 4 y3 1 y 1 Resposta 2 2x y3 0 A2x2 2 8 1 0 B2x2 Visualizando as diagonais DP aij com i j Matrizes diagonal secundária diagonal principal DS DP 0 3 1 2 1 2 1 4 3 Adição A aijmxn e B bijmxn A B aij bijmxn Exemplo A B A B Matrizes 1 2 6 0 2 5 0 4 2 5 7 10 1 2 4 5 9 5 Multiplicação por escalar Determine 3A Operações com matrizes Transposta AT 2 x 3 Operações com matrizes Multiplicação de matrizes notações AB AB AB Operações com matrizes mxn pxn mxp C B A Tem que ser iguais A aikmxp A B C cijmxn B bkjpxn cij ai1 b1j ai2 b2j aip bpj linha por coluna Operações com matrizes Operações com matrizes 1 2 3 1 A 2x2 3 1 4 3 B 2x2 1 2 3 1 AB 3 1 4 3 11 7 5 0 2x2 AB Operações com matrizes 1 2 3 1 A 2x2 3 1 4 3 B 2x2 1 2 3 1 B A 3 1 4 3 6 5 13 5 2x2 BA A B B A A inversível A A1 I Matriz Identidade Matrizes A e A1 quadradas Exemplo determinar a inversa de A Matriz inversa 1 2 3 1 A a b c d A1 A A1 I2 Matriz inversa 1 2 3 1 AA1 a b c d 1 0 0 1 a 2c 1 a 23a 1 a 17 3a c 0 c 3 a c 37 b 2d 0 b 2d b 27 3b d 1 32d d 1 d 17 17 27 37 17 A1 Processo prático Matriz ampliada Matriz inversa 1 2 0 1 1 2 1 1 1 A 1 2 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A I3 L2 L2 L1 L3 L3 L1 L2 1 1 2 0 1 0 L1 1 2 0 1 0 0 L2 L2 L1 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 1 1 1 0 0 1 A 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 1 0 1 L3 3L3 L2 3 L3 0 3 3 3 0 3 L2 0 3 2 1 1 0 L3 3L3 L2 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 5 2 1 3 L2 2L3 5L2 2L3 0 0 10 4 2 6 5L2 0 15 10 5 5 0 L2 2L3 5L2 Matriz inversa 1 2 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0 0 5 2 1 3 1 2 0 1 0 0 0 15 0 9 3 6 0 0 5 2 1 3 L1 2L2 15L1 2L2 0 30 0 18 6 12 15L1 15 30 0 15 0 0 L1 2L2 15L1 Matriz inversa 15 0 0 3 6 12 0 15 0 9 3 6 0 0 5 2 1 3 1 2 0 1 0 0 0 15 0 9 3 6 0 0 5 2 1 3 L1 L1 15 L2 L2 15 L3 L3 5 Matriz inversa 15 0 0 3 6 12 0 15 0 9 3 6 0 0 5 2 1 3 1 0 0 15 25 45 0 1 0 35 15 25 0 0 1 25 15 35 A1 Determine a matriz X de modo que X 2A BT 12C dadas as matrizes Interatividade 2 3 1 0 4 5 A 1 2 3 2 1 0 B 8 6 0 4 4 2 C 3 5 4 1 5 9 a 1 5 4 1 7 9 b 3 5 0 1 7 7 c 3 5 0 1 1 7 d 3 5 0 1 0 7 e Determine a matriz X de modo que X 2A BT 12C dadas as matrizes Resposta 2 3 1 0 4 5 A 1 2 3 2 1 0 B 8 6 0 4 4 2 C 3 5 4 1 5 9 a 1 5 4 1 7 9 b 3 5 0 1 7 7 c 3 5 0 1 1 7 d 3 5 0 1 0 7 e Sistemas por escalonamento Operações elementares Permutação de equações Multiplicação de uma equação por um número real não nulo Substituição de uma equação por sua soma com outra multiplicada ou não por número real não nulo Sistemas lineares Sistemas por escalonamento E2 x y z 1 E1 x y z 1 E2 E2 E1 Sistemas lineares x y z 1 x y z 1 2x y 3z 2 E2 E2 E1 E3 E3 2E1 x y z 1 0x 2y 2z 2 0x y z 0 E3 E2 2E3 E2 2y 2z 2 2E3 2y 2z 0 E2 E2 E1 Sistemas lineares x y z 1 2y 2z 2 y z 0 x y z 1 2y 2z 2 4z 2 Resolvendo o sistema z 12 y 12 S 0 12 12 x 0 SPD Sistemas lineares x y z 1 2y 2z 2 4z 2 Método de Gauss Matriz ampliada Sistemas lineares x y z 1 x y z 1 2x y 3z 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 Pivô a11 1 Linha pivô L1 Multiplicador m31 2 e L3 L3 m31 L1 Sistemas lineares m21 1 e L2 L2 m21 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 a21 a11 a31 a11 Pivô a11 1 Linha pivô L1 Multiplicador m31 2 e L3 L3 m31 L1 Sistemas lineares m21 1 e L2 L2 m21 L1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 3 2 a21 a11 a31 a11 1 1 1 1 0 2 2 2 0 1 1 0 Pivô a22 2 Multiplicador 12 Linha pivô L2 L3 L3 m32 L2 Sistemas lineares 1 1 1 1 0 2 2 2 0 1 1 0 1 1 1 1 0 2 2 2 0 0 2 1 m32 a32 a22 Reescrevendo o sistema x y z 1 2y 2z 2 2z 1 Daí temos z 12 y 12 S 0 12 12 x 0 SPD Sistemas lineares A toda matriz quadrada M associase um número det M Cálculo do det M 1º caso M é de ordem n 1 então det M é o único elemento de M Exemplo M 4 Logo det M 4 Determinante 2º caso M é de ordem 2 Determinante det M a11 a22 a12 a21 a11 a12 a21 a22 DP DS M a11 a12 a21 a22 Exemplo Determinante M 2 1 3 5 det M 10 3 13 DP DS 2 1 3 5 O determinante de é igual a a 13 b 10 c 13 d 17 e 10 Interatividade 1 5 3 2 M O determinante de é igual a a 13 b 10 c 13 d 17 e 10 Resposta 1 5 3 2 M 1 5 3 2 det M 2 15 13 3º caso M é de ordem n 3 isto é Determinante a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 M det M a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Regra de Sarrus Determinante a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 det M a11 a12 a21 a22 a31 a32 Exemplos 1 Resolva o determinante det M Determinante 1 0 0 2 1 2 1 2 3 det M det M 113 021 022 110 221 320 7 det M 7 Determinante 1 0 0 2 1 2 1 2 3 1 0 0 2 1 2 1 2 3 det M 1 0 2 1 1 2 2 Resolva a equação e determine o menor valor de x que a torne verdadeira det M Determinante x 0 0 2 x1 2 0 1 2 1 Desenvolvendo o determinante temos det M xx11 021 022 1x10 22x 120 x² 3x 0 x 0 ou x 3 logo o menor valor de x é x 0 Determinante x 0 0 2 x1 2 1 2 1 det M x 0 2 x1 1 2 Regra de Cramer Sistema 2x2 Sistema 3x3 com det A 0 Determinante na resolução de sistemas det Ax det A x det Ay det A y det Ax det A x det Ay det A y det Az det A z Resolver pela regra de Cramer o sistema det A 2 Temos que det Ax 2 det Ay 6 Determinante na resolução de sistemas x y 4 x y 2 1 1 1 1 A 1 4 1 2 Ay 4 1 2 1 Ax Portanto Logo S 1 3 Determinante Seja então o valor de det Ax é igual a a 1 b 2 c 3 d 1 e 0 Interatividade 2x y 1 x y 2 Seja então o valor de det Ax é igual a a 1 b 2 c 3 d 1 e 0 Resposta 2x y 1 x y 2 1 1 2 1 Ax 1 ATÉ A PRÓXIMA