Fluxo Elétrico e Lei de Gauss: Análise de Problemas de Simetria

LEI DE GAUSS A lei de Gauss é equivalente a lei de Coulomb na eletrostática a escolha de qual utilizar dependerá do tipo de problema proposto Lei de Gauss problemas com elevado grau de simetria Ideia de Fluxo φ Qualquer que seja o caso veremos facilmente que o fluxo depende da quantidade daquilo que flui e da área através da qual passa o fluido Portanto quanto maior o número de clientes ou quanto maior a porta de entrada maior será o fluxo de clientes para o interior da loja Essa noção intuitiva está na origem daquilo que podemos denominar fluxo do campo elétrico E Numa primeira abordagem podemos dizer que Fluxo de campo elétrico intensidade de campo elétrico X área perpendicular ao campo FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UM DISCO Um disco com raio igual a 010 m está orientado de modo que seu vetor unitário normal n forme um ângulo de 30 com um campo elétrico uniforme E cujo módulo é igual a 20 103 NC Figura 227 Como essa superfície não é fechada não podemos especificar um lado interno nem externo Por essa razão tivemos de escolher o sentido de n na figura a Qual é o fluxo elétrico através do disco b Qual é o fluxo elétrico através do disco depois que ele gira e passa a ocupar uma posição perpendicular ao vetor E c Qual é o fluxo elétrico através do disco quando sua normal é paralela ao vetor E FLUXO ELÉTRICO ATRAVÉS DE UM CUBO Um cubo de lado L está colocado em uma região onde existe um campo elétrico uniforme E Determine o fluxo elétrico através de cada face do cubo e o fluxo total através do cubo Uma carga puntiforme positiva q 30 μC esta circundada por uma esfera de raio igual a 020 m centralizada sobre a carga Calcule fluxo elétrico produzido por essa carga através da esfera Fluxo O fluxo elétrico através de uma superfície nos da uma ideia do número de linhas de campo que a atravessam No caso de uma superfície fechada o conjunto dessas linhas dirigidas para o seu interior acarreta um fluxo negativo ao passo que que as linhas de campo que atravessam a superfície dirigindose para fora acarretam um fluxo positivo Consideremos uma superfície gaussiana assimétrica imersa num campo elétrico nãouniforme Como os quadrados são muito pequeno podemos considerar o campo elétrico como sendo constante em todos os pontos EXEMPLO 251 A Fig 254 mostra uma superfície gaussiana na forma de um cilindro de raio R imerso num campo elétrico uniforme E com o eixo do cilindro paralelo ao campo Qual é o fluxo Φ do campo elétrico através dessa superfície fechada Problema Como determinar o valor de uma carga ou conjunto de cargas sabendo o valor do fluxo elétrico criados por estas cargas LEI DE GAUSS A figura principal da lei de Gauss é uma superfície fechada hipotética chamada SUPERFÍCIE GAUSSIANA Pode ser uma ESFERA CILINDRICO ou qualquer outra forma simétrica EXEMPLO 252 A Fig 256 mostra três pedaços de plástico carregados e uma moeda electricamente neutra As seções transversais de duas superfícies gaussianas estão indicadas Qual é o fluxo do campo elétrico através de cada uma dessas superfícies Suponha q1 31 nC q2 59 nC e q3 31 nC Não esqueça que estamos agora levando em conta os sinais algébricos das cargas Quando um chuveiro é aberto em um banheiro fechado os respingos de água no piso do boxe podem encher o ar de íons negativos e produzir um campo elétrico no ar de até 1000 NC Considere um banheiro de dimensões 25 m 30 m 20 m Suponha que no teto no piso e nas quatro paredes o campo elétrico no ar seja perpendicular à superfície e possua um módulo uniforme de 600 NC Suponha também que o teto o piso e as paredes formem uma superfície gaussiana que envolva o ar do banheiro Determine a a densidade volumétrica de carga ρ e b o número de cargas elementares e em excesso por metro cúbico de ar Utilidade da Lei de Gauss Se você conhece as características do campo elétrico de uma carga ou conjunto de cargas é possível determinar a intensidade da carga total que cria tal campo elétrico Lei de Gauss Conhecendo a Lei de Gauss podemos calcular com precisão a quantidade de carga líquida que esta no interior da superfície Lei de Gauss Como a lei de Gauss e Coulomb são equivalentes devemos ser capazes de deduzir uma apartir da outra Carga puntiforme positiva em torno englobada por uma superfície gaussiana esférica de raio r Simetria Cilíndrica Consideremos uma barra fina de plástico infinitamente longa carregada uniformemente com um densidade linear de carga Encontremos o campo E a uma distância r do eixo da barra A superfície gaussiana deve acompanhar a simetria do problema neste caso cilíndrica Condutor Isolado A densidade de carga varia sobre a superfície de um condutor Vamos encontrar E imediatamente fora da superfície de um condutor usando a lei de Gauss Placa Condutora Consideremos uma placa condutora fina e infinita com um carga líquida positiva em excesso Como a placa é muito fina e grande supomos que toda carga em excesso esteja sobre as duas faces Chapa NãoCondutora Consideremos uma chapa fina isolante e infinita com um densidade superficial de carga constante Encontremos o campo E a uma distância r da chapa A superfície gaussiana adequada é um cilindro fechado com área A que atravessa a chapa Na Fig 2345 uma pequena esfera nãocondutora de massa m 10 mg e carga q 20 10⁸ C distribuída uniformemente em todo o volume está pendurada em um fio nãocondutor que faz um ângulo θ 30 com uma placa vertical nãocondutora uniformemente carregada vista de perfil Considerando a força gravitacional a que a esfera está submetida e supondo que a placa possui uma grande extensão calcule a densidade superficial de cargas σ da placa Simetria Esférica Provar Primeiro Teorema Consideremos uma casca esférica de carga total q e de raio R e duas superfícies esféricas gaussianas concêntricas S1 e S2 Para S2 Que é idêntico a um campo criado por uma carga puntiforme Assim o módulo da força que atua sobre a carga externa é o mesmo que de uma carga colocado no centro da casca Simetria Esférica Provar Segundo teorema Aplicando a Lei de Gauss paraS1 temos Para S1 Na Fig uma rede para pegar borboletas está imersa em um campo elétrico uniforme de módulo E 30 mNC O plano do aro da rede uma circunferência de raio a 11 cm é mantido perpendicular à direção do campo A rede é eletricamente neutra Determine o fluxo elétrico através da rede A Fig 2338 é uma seção de uma barra condutora de raio R1 130 mm e comprimento L 1100 m no interior de uma casca coaxial de paredes finas de raio R2 100R1 e mesmo comprimento L A carga da barra Q1 340 1012 C a carga da casca é Q2 200Q1 Determine a o módulo E e b a direção para dentro ou para fora do campo elétrico a uma distância radial r 200R2 Determine c E e a direção do campo elétrico para r 500R1 Determine a carga e na superfície interna e f na superfície interna da casca 33 A figura 32 mostra parte de dois longos e finos cilindros concêntricos de raios a e b Os cilindros possuem cargas iguais e opostas com densidade linear λ Use a lei de Gauss para mostrar que a E0 para ra e b entre os cilindros E 12πε0 λr