Matemática Financeira: Períodos Não Inteiros e Periodicidade da Taxa

MATEMÁTICA FINANCEIRA PERÍODOS NÃO INTEIROS PERIODICIDADE DA TAXA A taxa de juros i possui dois componentes O percentual a ser aplicado sobre o valor do Capital Juros Simples ou sobre o valor do Capital Juros incorridos Juros compostos A periodicidade em que esses juros são aplicados e apropriados Exemplos 2 ao mês 01 ao dia 10 ao ano PERIODICIDADE DA TAXA A periodicidade com que os juros são apropriados é um dado contratual e não pode ser alterada Isso é particularmente importante em se tratando em regime de juros compostos no qual é muito diferente apropriar 12 de juros em um ano e apropriar mensalmente 1 doze vezes em um ano equivalente a 1268 ao ano Assim a periodicidade de apropriação dos juros deve ser sempre respeitada No caso de taxas NOMINAIS a periodicidade a ser considerada é a periodicidade de CAPITALIZAÇÃO dos juros e uma taxa efetiva proporcional à taxa nominal dada deverá ser utilizada Exemplos taxa nominal de 24 ao ano com capitalização mensal os juros serão apropriados MENSALMENTE a uma taxa de 2 taxa nominal de 45 ao mês com capitalização diária os juros serão apropriados DIARIAMENTE a uma taxa de 015 PRAZOS Todos os prazos da operação financeira deverão ser computados em número de períodos dados na mesma escala de tempo que for utilizada para apropriar os juros Exemplos se prazo 15 anos e i 2 ao mês então n 18 meses se prazo 96 dias e inominal 24 ao ano com capitalização mensal então n 32 meses se prazo 15 meses e i 10 ao ano então n 125 anos PRAZOS COM PERÍODOS NÃO INTEIROS Considere o exemplo Capital 1000000 Prazo 42 meses Taxa de juros 15 ao ano O número de períodos a ser considerado deverá ser portanto 35 anos A taxa não deverá sofrer nenhuma conversão Já é efetiva e já está dada na periodicidade de apropriação dos juros 35 são 3 períodos inteiros 05 período 05 período é um período não inteiro ou uma FRAÇÃO de um período ni 3 períodos inteiros nf 05 período fracionário Como computar a parte não inteira do período Convenção Exponencial Convenção Linear CONVENÇÃO EXPONENCIAL Considere o exemplo Capital 1000000 prazo 42 meses taxa de juros 15 ao ano n 35 Usando a equação FV PV 1 i n FV 10000 1 015 35 FV 1630957 CONVENÇÃO EXPONENCIAL Usando as teclas préprogramadas da HP CONVENÇÃO LINEAR Neste caso são cobrados JUROS SIMPLES para o PERÍODO FRACIONÁRIO Na parte inteira do período são cobrados Juros Compostos Considere o exemplo Capital 1000000 prazo 42 meses taxa de juros 15 ao ano n 35 ni 3 nf 05 Usando a equação FV PV 1 i ni 1 i nf FV 10000 1 0153 1 015 05 FV 1634941 CONVENÇÃO LINEAR Usando as teclas préprogramadas da HP COMPARAÇÃO CE x CL Períodos Exponencial Linear 0 00 00 025 107 125 05 225 250 075 355 375 1 500 500 125 660 688 15 837 875 175 1033 1063 2 1250 1250 225 1490 1531 25 1756 1813 275 2050 2094 3 2375 2375 325 2735 2797 35 3134 3219 375 3574 3641 4 4063 4063 0 50 100 150 200 250 300 350 400 0 05 1 15 2 25 3 35 4 Percentual Resultante Número de períodos EXPONENCIAL LINEAR Para períodos inteiros não há diferença Para períodos não inteiros a aplicação da Convenção Linear sempre irá resultar em um Montante maior do que a aplicação da Convenção Exponencial PARA PRATICAR 1 Uma empresa toma um empréstimo de R 10 milhões A taxa efetiva cobrada pelo banco é de 30 ao ano juros compostos com capitalização anual O contrato define convenção linear para períodos fracionários Após 15 meses a empresa liquida o empréstimo Calcule quanto a empresa pagou a mais em reais do que pagaria se tivesse contratado o empréstimo sob convenção exponencial 9373036 E se tivesse feito o pagamento 3 meses antes 2 Qual o valor dos Juros de uma aplicação de 18000000 por 220 dias a uma taxa nominal anual de 61 com capitalização mensal Utilize as duas convenções para comparar 7893296 e 7900409 PARA PRATICAR 1 Uma empresa toma um empréstimo de R 10 milhões A taxa efetiva cobrada pelo banco é de 30 ao ano juros compostos com capitalização anual O contrato define convenção linear para períodos fracionários Após 15 meses a empresa liquida o empréstimo Calcule quanto a empresa pagou a mais em reais do que pagaria se tivesse contratado o empréstimo sob convenção exponencial 9373036 E se tivesse feito o pagamento 3 meses antes 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑃𝑉 10000000 𝑛 15 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 125 𝑎𝑛𝑜 𝑖 30 𝑎 𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛 10000000 1 030 125 1388126964 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝐹𝑉 𝑃𝑉 1 𝑖 𝑛𝑖 1 𝑖 𝑛𝑓 𝐹𝑉 10000000 1 030 1 1 030 025 1397500000 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 1397500000 1388126964 9373036 𝑆𝑒 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çõ𝑒𝑠 PARA PRATICAR 1 Uma empresa toma um empréstimo de R 10 milhões A taxa efetiva cobrada pelo banco é de 30 ao ano juros compostos com capitalização anual O contrato define convenção linear para períodos fracionários Após 15 meses a empresa liquida o empréstimo Calcule quanto a empresa pagou a mais em reais do que pagaria se tivesse contratado o empréstimo sob convenção exponencial 9373036 E se tivesse feito o pagamento 3 meses antes 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐻𝑃12𝐶 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑝𝑒𝑙𝑎 𝐻𝑃12𝐶 𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 1397500000 1388126964 9373036 30 𝑖 125 𝑛 10000000 𝑃𝑉 𝐹𝑉 1397500000 𝑆𝑇𝑂 𝐸𝐸𝑋 30 𝑖 125 𝑛 10000000 𝑃𝑉 𝐹𝑉 1388126964 𝑆𝑒 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑜 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑚 12 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 3 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎 𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝𝑒𝑟í𝑜𝑑𝑜𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑖𝑟𝑜𝑠 𝑛ã𝑜 ℎá 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛ç𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑠 𝑑𝑢𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çõ𝑒𝑠 PARA PRATICAR 2 Qual o valor dos Juros de uma aplicação de 18000000 por 220 dias a uma taxa nominal anual de 61 com capitalização mensal Utilize as duas convenções para comparar 7893946 e 7900409 𝑇𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑃𝑉 180000 𝑛 220 𝑑𝑖𝑎𝑠 7333 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑜𝑚 61 𝑎 𝑎 𝑐𝑎𝑝𝑖𝑡𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎çã𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑠𝑎𝑙 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝐹𝑉 180000 1 00508 733 25893296 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆 𝐽 𝐹𝑉 𝑃𝑉 25893296 180000 7893296 𝑖𝑒𝑓𝑒 𝑖 061 1 12 5083 𝑎 𝑚 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑒𝑟 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝐹𝑉 180000 1 005083 7 1 00508 033 𝐹𝑉 25900409 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆 𝐽 𝐹𝑉 𝑃𝑉 25900409 180000 7900409 PARA PRATICAR 2 Qual o valor dos Juros de uma aplicação de 18000000 por 220 dias a uma taxa nominal anual de 61 com capitalização mensal Utilize as duas convenções para comparar 7893296 e 7900409 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆 𝐽 𝐹𝑉 𝑃𝑉 25893296 180000 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆𝐽 7893296 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝐻𝑃12𝐶 180000 𝑃𝑉 220 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 30 𝑛 61 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 12 𝑖 𝐹𝑉 25900409 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆 𝐽 𝐹𝑉 𝑃𝑉 25900409 180000 𝐽𝑈𝑅𝑂𝑆 𝐽 7900409 𝐶𝑜𝑛𝑣𝑒𝑛çã𝑜 𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑃𝑒𝑙𝑎 𝐻𝑃12𝐶 𝑆𝑇𝑂 𝐸𝐸𝑋 180000 𝑃𝑉 220 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 30 𝑛 61 𝐸𝑁𝑇𝐸𝑅 12 𝑖 𝐹𝑉 25893296