Séries Uniformes de Pagamentos em Matemática Financeira

MATEMÁTICA FINANCEIRA SÉRIES UNIFORMES DE PAGAMENTOS SÉRIES UNIFORMES Fluxos de caixa com Valor constante Periodicidade constante nº de fluxos nº de períodos SÉRIES UNIFORMES Não são Séries Uniformes SÉRIES UNIFORMES Exemplo Financiamento de R 3500 em 10 pagamentos e juros de 15 ao mês Parcela Amortização Juros Parcela Saldo Devedor 0 R 350000 1 R 32702 R 5250 R 37952 R 317298 2 R 33192 R 4759 R 37952 R 284106 3 R 33690 R 4262 R 37952 R 250415 4 R 34196 R 3756 R 37952 R 216219 5 R 34709 R 3243 R 37952 R 181511 6 R 35229 R 2723 R 37952 R 146281 7 R 35758 R 2194 R 37952 R 110524 8 R 36294 R 1658 R 37952 R 74230 9 R 36839 R 1113 R 37952 R 37391 10 R 37391 R 561 R 37952 R 000 CONVENÇÕES i taxa de juros n número de PERÍODOS número de PAGAMENTOS PMT Valor dos PAGAMENTOS constante PV ou VP Valor Presente da Série sempre dadocalculado UM PERÍODO ANTES DO PRIMEIRO PAGAMENTO ou NO PERÍODO DO PRIMEIRO PAGAMENTO FV ou VF Valor Futuro sempre dadocalculado NA MESMA DATA DO ÚLTIMO PAGAMENTO ou NA DATA POSTERIOR AO ÚLTIMO PAGAMENTO SÉRIES UNIFORMES COM BASE NO VALOR PRESENTE Série de pagamentos uniformes que liquidam operação financeira realizada no presente 𝑃𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛1 𝑖1 𝑖𝑛 SÉRIES UNIFORMES COM BASE NO VALOR FUTURO Série de pagamentos uniformes que acumulam valores para serem resgatados no futuro 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 1 𝑖𝑛1 𝑖 UTILIZANDO A HP12C ATENÇÃO AOS SINAIS n3 VP taxa na mesma periodicidade dos pagamentos UTILIZANDO A HP12C ATENÇÃO AOS SINAIS n 4 pagamentos VF taxa de juros na mesma periodicidade dos pagamentos SÉRIES ANTECIPADAS x POSTECIPADAS FV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT FV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT PV 0 1 2 3 4 PMT PMT PMT PMT Séries Antecipadas Séries Postecipadas Montantes Menores Prestações Menores Montantes Maiores Prestações Maiores FATORES SÉRIES ANTECIPADAS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT i i i PMT FV n 1 1 1 Fator de Acumulação de Capital FAC Fator de Formação de Capital FFC Fator de Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC Modo BEGIN FATORES SÉRIES POSTECIPADAS Fator de Acumulação de Capital FAC Fator de Formação de Capital FFC Fator de Valor Atual FVA Fator de Recuperação de Capital FRC 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT i i i PMT FV n 1 1 1 i i i PMT FV n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n i i i i PV PMT i i i i PMT PV i i i FV PMT Modo END padrão EXEMPLO Um telefone celular é vendido por R 1000 à vista Calcule o valor de cada prestação caso o aparelho seja financiado parcelado em 6 pagamentos iguais a uma taxa de juros de 190 ao mês e a primeira prestação vencendo em 30 dias postecipada Vamos resolver por meio de 1 Funções financeiras da HP12C 2 Aplicação de Fórmula 3 Tabela de Fatores EXEMPLO Resolução usando os COMANDOS da HP12C f FIN Limpar a memória 1000 PV 6 n 19 i PMT 17792 EXEMPLO Resolução aplicando a FÓRMULA 𝑃𝑀𝑇 𝑃𝑉 𝑖 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 1 𝑃𝑀𝑇 1000 0019 1 0019 6 1 0019 6 1 17792 EXEMPLO Utilizando a tabela de fatores FRC 𝐹𝑅𝐶 𝑖 1 𝑖 𝑛 1 𝑖 𝑛 1 Tabela de Fatores de Recuperação de Capital FRC Postecipada Prazos Taxas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 100 101000 050751 034002 025628 020604 017255 014863 013069 011674 010558 009645 008885 110 101100 050827 034069 025691 020665 017314 014921 013127 011731 010615 009702 008941 120 101200 050902 034137 025754 020726 017374 014980 013184 011788 010672 009758 008998 130 101300 050977 034204 025818 020787 017433 015038 013242 011846 010729 009815 009054 140 101400 051052 034271 025881 020848 017493 015097 013300 011903 010786 009872 009111 150 101500 051128 034338 025944 020909 017553 015156 013358 011961 010843 009929 009168 160 101600 051203 034406 026008 020970 017612 015215 013417 012019 010901 009987 009225 170 101700 051279 034473 026071 021031 017672 015274 013475 012077 010959 010044 009283 180 101800 051354 034540 026135 021093 017732 015333 013534 012135 011016 010102 009340 190 101900 051429 034608 026199 021154 017792 015392 013592 012193 011074 010160 009398 200 102000 051505 034675 026262 021216 017853 015451 013651 012252 011133 010218 009456 210 102100 051580 034743 026326 021277 017913 015511 013710 012310 011191 010276 009514 220 102200 051656 034811 026390 021339 017973 015570 013769 012369 011249 010334 009572 230 102300 051732 034878 026454 021401 018034 015630 013828 012428 011308 010393 009631 240 102400 051807 034946 026518 021463 018094 015690 013887 012487 011367 010452 009690 250 102500 051883 035014 026582 021525 018155 015750 013947 012546 011426 010511 009749 𝑃𝑀𝑇 1000 017792 𝑃𝑀𝑇 17792 PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel uma pessoa irá financiar 25000000 para pagar em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo 30 dias após a celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações 253567 O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 500000 sem entrada vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 3231606 Uma pessoa aplica dez parcelas iguais mensais e sucessivas de 100000 em um fundo de investimento que rende juros de 2 am Qual deverá ser o seu saldo nesse fundo na data da última aplicação 1094972 Quanto tempo levarei para juntar meu primeiro milhão aplicando mensalmente 50000 a partir de hoje em um investimento que rende 05 ao mês 480 meses PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel uma pessoa irá financiar 25000000 para pagar em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo 30 dias após a celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações 253567 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖 𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑚 009 12 075 𝑎 𝑚 𝑛 180 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑉 𝑅 250000 𝑓 𝐹𝐼𝑁 𝐿𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑚é𝑚𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝐻𝑃 250000 𝑃𝑉 180 𝑛 075 𝑖 𝑃𝑀𝑇 253567 𝑅 253567 PV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 500000 sem entrada vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 3231606 𝑛 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑀𝑇 𝑅 500000 𝑖 5 𝑎 𝑚 𝑃𝑉 𝑓 𝐹𝐼𝑁 5000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 5 𝑖 8 𝑛 𝑃𝑉 3231606 𝑅 3231606 PV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR Uma pessoa aplica dez parcelas iguais mensais e sucessivas de 100000 em um fundo de investimento que rende juros de 2 am Qual deverá ser o seu saldo nesse fundo na data da última aplicação 1094972 𝑃𝑀𝑇 1000 𝑖 2 𝑎 𝑚 𝑛 10 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑔𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑜 𝑠𝑎𝑙𝑑𝑜 𝑎𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝐹𝑉 é 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑗𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑎 ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑐𝑒𝑙𝑎 𝑔 𝐸𝑁𝐷 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 End 𝑝𝑜𝑖𝑠 é 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑝𝑜𝑠𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑑𝑟ã𝑜 𝑑𝑎 𝐻𝑃 1000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 2 𝑖 10 𝑛 𝐹𝑉 1094972 𝑅 1094972 FV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT PARA PRATICAR Quanto tempo levarei para juntar meu primeiro milhão aplicando mensalmente 50000 a partir de hoje em um investimento que rende 05 ao mês 480 meses 𝑃𝑀𝑇 50000 𝑖 05 𝑎 𝑚 𝑛 𝐹𝑉 1000000 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑖𝑠 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 é 𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑛𝑎 𝑑𝑎𝑡𝑎 𝑧𝑒𝑟𝑜 𝑔 𝐵𝐸𝐺 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 Begin𝑑𝑎 𝐻𝑃 500 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 05 𝑖 1000000 𝐹𝑉 𝑛 480 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 40 𝑎𝑛𝑜𝑠 FV 0 1 2 3 n PMT PMT PMT PMT SÉRIES UNIFORMES COM ENTRADA Na aquisição de um bem é comum o cliente pagar um valor inicial de entrada Nesse caso o valor financiado Capital será diminuído Sendo V Valor do Bem E Valor de Entrada em F Valor Financiado ou Capital PV VP Temos que 𝐹 𝑉 𝐸 Se a entrada for uma porcentagem do Valor do Bem e 𝐹 𝑉 1 𝑒 Exemplo Um bem é comprado a vista por R 36000 e pode ser financiado com uma entrada de 30 e o restante em 6 parcelas iguais Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 ao mês Calcule o valor das parcelas 𝐹 𝑉 1 𝑒 V R 36000 e 30 Calculando o valor financiado Capital temos 𝐹 𝑅 36000 1 030 𝑅 2520000 Calculando o valor da Prestação usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 25200 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 𝑃𝑀𝑇 449885 𝑅 448985 PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 300000 com uma entrada de R 15000 vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro R 3438964 Para adquirir um imóvel de 25000000 uma pessoa dá uma entrada de 30 do valor do imóvel e financia o restante em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo no ato da celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações R 176172 PARA PRATICAR O valor de um carro pode ser pago a prazo por meio de 8 parcelas mensais de R 300000 com uma entrada de R 15000 vencendo a primeira prestação um mês após a data da compra Se a taxa de juros cobrada pelo parcelamento é de 5 am qual o preço à vista do carro 𝑛 8 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑃𝑀𝑇 𝑅 300000 𝑖 5 𝑎 𝑚 𝑃𝑉 𝑓 𝐹𝐼𝑁 3000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑀𝑇 5 𝑖 8 𝑛 𝑃𝑉 1938964 𝐸𝑠𝑠𝑒 é 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑛ã𝑜 é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 1938964 1500000 𝑅 3438964 PARA PRATICAR Para adquirir um imóvel de 25000000 uma pessoa dá uma entrada de 30 do valor do imóvel e financia o restante em 180 prestações mensais iguais e consecutivas com a primeira vencendo no ato da celebração do contrato Considerando que a taxa de juros nominal cobrada pelo banco é de 9 ao ano com capitalização mensal determine o valor das prestações R 176175 𝑇𝑟𝑎𝑡𝑎 𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 𝑠é𝑟𝑖𝑒 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑔𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑖𝑝𝑎𝑑𝑎 𝑖 𝑖𝑛𝑜𝑚 𝑚 009 12 075 𝑎 𝑚 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑎 𝑡𝑎𝑥𝑎 𝑒𝑓𝑒𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑛 180 𝑚𝑒𝑠𝑒𝑠 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑚 𝑅 250000 𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 250000 03 75000 𝑃𝑉 𝑅 250000 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 250000 75000 175000 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑓 𝐹𝐼𝑁 𝐿𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑎 𝑚é𝑚𝑜𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑎 𝐻𝑃 𝑔 𝐵𝐸𝐺 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑚𝑜𝑑𝑜 𝐵𝑒𝑔𝑖n Antecipado 175000 𝑃𝑉 180 𝑛 075 𝑖 𝑃𝑀𝑇 176175 𝑅 176175 SÉRIES UNIFORMES A VALOR PRESENTE COM VALOR FUTURO RESIDUAL Pode ocorrer de se realizar um FINANCIAMENTO e restar um valor residual a ser liquidado no final do contrato Nesse caso devese informar no parâmetro FV HP 12C ou VF Excel o valor residual Prestações PMT PV Capital Postecipada Pagamentos PMT Antecipada FV valor residual a pagar PV Capital FV valor residual a pagar Exemplo Um bem é comprado a vista por R 36000 e pode ser financiado em 6 parcelas iguais restando ainda R 6000 a serem quitados ao final do financiamento Sabendo que o banco cobra uma taxa de juros de 2 ao mês calcule o Valor da Prestação Calculando o valor da Prestação usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 36000 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 6000 𝐶𝐻𝑆 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 547577 𝑅 547577 Importante Observe que o SINAL do valor residual FV deve ser o mesmo das prestações PMT SÉRIES UNIFORMES A VALOR FUTURO COM VALOR PRESENTE INICIAL Pode ocorrer de se realizar um INVESTIMENTO já se contando com um capital inicial o que irá gerar um valor futuro maior ao final dos períodos Nesse caso devese informar no parâmetro PV HP 12C ou VP Excel o valor inicial Investimentos PMT PV saldo inicial Postecipada Investimentos PMT FV resgate dos investimentos Antecipada FV resgate dos investimentos PV saldo inicial Exemplo Gostaria de juntar R 36000 para a compra de um bem daqui a 6 meses Já disponho inicialmente de R 6000 Sabendo posso investir começando daqui a 30 dias em uma aplicação financeira que oferece uma rentabilidade de 2 ao mês calcule o quanto deverei investir por mês para resgatar o montante almejado o valor dos pagamentos investimentos usando a HP 12C 𝑓 𝐹𝐼𝑁 6000 𝐶𝐻𝑆 𝑃𝑉 2 𝑖 6 𝑛 36000 𝐹𝑉 𝑃𝑀𝑇 463577 𝑅 463577 Importante Observe que o SINAL do saldo inicial PV deve ser o mesmo das prestações PMT PARA PRATICAR Um imóvel no valor de R 450 mil pode ser financiado em 60 prestações mensais primeira prestação no ato sem entrada e a uma taxa de juros de 12 ao mês Calcule o valor das prestações Caso possa ser pago um valor residual de R 48 mil a ser pago no final do contrato calcule o novamente o valor das prestações R 1056427 e R 1001341 Um investidor pretende resgatar de uma aplicação financeira que paga uma taxa de juros de 118 ao mês um montante de R 230000 em um prazo de 3 anos fazendo aportes de investimento iguais e mensais Sabendo que esse mesmo investidor já disponha de uma quantia inicial de R 32500 calcule o valor que deverá ser investido a cada mês Caso o investidor não possa contar com esse saldo inicial qual deverá ser o valor mensal a ser investido R 405144 e R 516474