Introdução à Resistência dos Materiais

Olá aluno e aluna seja bemvindoa a matéria Resistência dos Materiais A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII época em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais No entanto para a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de materiais Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século XVIII Na época estudos foram realizados principalmente na França baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais denominandose o estudo de Resistência dos Materiais Atualmente no entanto referese a esses estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais HIBBELER 2004 Quer saber mais sobre o assunto Entenda agora em detalhes Boa leitura e Bons estudos Esta unidade foi elaborada de modo a cumprir os seguintes objetivos Ser um texto em que a ordem de apresentação dos assuntos seja sequencialmente lógica Induzir a utilização dos recursos computacionais contemporâneos Ser um texto introdutório sem as preocupações de apresentação exaustiva das diversas metodologias existentes e de excessivo formalismo matemático Ser um texto no qual os conceitos e métodos são apresentados como instrumentos de análise de projetos e ações Engenheiro e Mestre em Gestão e Coordenação de Projetos Especialista em Engenharia Ambiental e segurança do trabalho com atuação em diversas áreas na área industrial Saneamento Drenagens e Edificações há mais de 13 anos Participou na execução e coordenação de projetos para diversas cidades de Minas Gerais tanto para o setor público quanto privado Leciona diversas matérias e orienta TCC em Instituições de ensino superior de Minas Gerais e do Brasil nos cursos de Graduação Trabalhou na Diretoria de Projetos da SUDECAP de Belo Horizonte e atualmente é Coordenador Técnico de projetosobras de saneamento e infraestrutura de Agência Delegatária de bacias hidrográficas Nesta unidade você vai aprender que O momento resultante na seção transversal é igual ao momento produzido pela distribuição linear da tensão normal em torno do eixo neutro As funções de cisalhamento e momento podem ser representadas em gráficos denominados diagramas de força cortante e momento fletor em que as direções positivas indicam que a carga distribuída age para baixo na viga e a força cortante interna provoca uma rotação em sentido horário A determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do momento fletor exigem a identificação da força e do momento fletor na seção solicitada Para a determinação da força cisalhante e do momento fletor em um determinado ponto passase um corte na seção de aplicação e fazse uma análise de equilíbrio nas partes de cada lado do corte Os esforços internos correspondentes de cada lado da seção seccionada são iguais e contrários pois correspondem uma ação e a reação correspondente Quando uma viga suporta vários tipos de carregamentos como mais de duas forças concentradas ou quando suporta cargas distribuídas especialmente as variáveis ao longo do comprimento fica mais fácil montar os diagramas de força cortante e momento fletor se considerarmos as relações existentes entre força força cortante e momento fletor Para projetar uma viga com base na resistência exigese que as tensões de flexão e cisalhamento verdadeiras não ultrapassem aquelas admissíveis para o material FLEXÃO COMPOSTA Ocorre o esforço de flexão composta quando a resultante das tensões normais pode ser decomposta em uma força normal e momentos fletores Quando o plano do momento fletor intercepta a seção segundo um dos eixos principais de inércia o esforço é denominado de flexão composta normal caso contrário é denominado flexão composta oblíqua FLEXÃO COMPOSTA NORMAL A flexão composta normal é caracterizada por apresentar apenas uma resultante de momento na seção transversal podendo ser tanto em torno do eixo y quanto em torno do eixo z Figura 71 Os momentos fletores podem decorrer da excentricidade com relação ao eixo do elemento de força atuando na direção longitudinal conforme ilustra a Figura 71 desde que a carga sempre se encontre sobre um dos eixos principais de inércia Figura 71 Flexão composta normal em y a e em z b Essas excentricidades das cargas aplicadas fora do centro de gravidade resultam os momentos ilustrados na Figura 72 Figura 72 Momentos causados pelas cargas fora do centroide em y a e z b Sendo que esses momentos podem ser escritos em função da carga F My Fez e Mz Fey Equação 71 EQUAÇÃO DAS TENSÕES A distribuição das tensões normais na seção transversal é equivalente a sobreposição das tensões normais causadas pela carga F quando localizada no centroide da seção com as tensões de flexão decorrentes dos momentos My ou Mz dependendo da excentricidade original da carga F A Figura 73 mostra essa sobreposição para o momento Mz A sobreposição para My é idêntica porém com a flexão ocorrendo no sentido do eixo z e a linha neutra coincidindo com o eixo y Figura 73 Sobreposição das tensões normais e de flexão em z Portanto a tensão normal na seção transversal pode ser escrita como 𝜎x 𝜎F 𝜎Mz Equação 72 Sabendose que a tensão normal causada pela carga F no centroide pode ser escrita como FA sendo A a área de seção transversal e que a tensão de flexão em z pode ser escrita como MzyIz sendo Iz o momento de inércia em relação ao eixo z e ey a excentricidade original da carga F Portanto a tensão normal total pode ser reescrita como Equação 73 Caso a excentricidade da força F ocorra sobre o eixo z Figura 71b a tensão normal é calculada como Equação 74 Os sinais são utilizados avaliandose as tensões de acordo com a posição da carga excêntrica na seção transversal ou desde que sejam adotados os sinais dos momentos antihorário positivo e horário negativo e os sinais da excentricidade ey ou ez conforme o caso de acordo com os eixos coordenados Nesse último caso o sinal na Equação 73 é negativo e na Equação 74 positivo Para a tensão normal o sinal é dado pelo sentido da tensão compressão ou tração No caso desse exemplo as tensões normais são de tração caso fossem de compressão o sinal na frente de F seria negativo POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA A determinação da posição da linha neutra é feita baseandose na sua principal propriedade as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento Substituindose σx 0 na Equação 73 chegase a Equação 75 Sendo y0 a posição da linha neutra MzF a excentricidade ey e iz2 o quadrado do raio de giração dado por IzA a Equação 75 pode ser reescrita isolandose FA Equação 76 Portanto a posição da linha neutra é dada por Y0 I²zey Equação 77 Caso a excentricidade normal ocorra no eixo y Figura 71b a posição da linha neutra é dada por Y0 I²yez Equação 78 Sendo o quadrado do raio de giração dado pela relação IyA O sinal negativo em ambas as equações é definido levandose em conta que o valor de ey ou de ez será considerado com o sinal relativo aos eixos y e z respectivamente Na prática a flexão composta ocorre frequentemente em pilares em vigas protendidas em muros de arrimo etc O estudo da flexão composta deve ser feito com todas as cargas reduzidas ao centroide da seção transversal FLEXÃO COMPOSTA OBLÍQUA Figura 74 Flexão composta oblíqua a e momentos causados pelas cargas fora do centro de em y e z ao mesmo tempo b A flexão composta oblíqua é caracterizada por apresentar resultantes de momento na seção transversal em torno do eixo y quanto em torno do eixo z Figura 74 Assim como na flexão composta normal os momentos fletores podem decorrer da excentricidade com relação ao eixo do elemento de força atuando na direção longitudinal conforme ilustra a Figura 74b Sendo que da mesma forma que anteriormente esses momentos podem ser escritos em função da carga F My Fez e Mz Fey Equação 79 EQUAÇÃO DAS TENSÕES A distribuição das tensões normais na seção transversal é equivalente a sobreposição das tensões normais causadas pela carga F quando localizada no centroide da seção com as tensões de flexão decorrentes dos momentos My e Mz A Figura 75 mostra essa sobreposição para o momento Mz A sobreposição para My é idêntica porém com a flexão ocorrendo no sentido do eixo z e a linha neutra coincidindo com o eixo y Figura 75 Sobreposição das tensões normais e de flexão em z Portanto a tensão normal na seção transversal pode ser escrita como 𝜎X 𝜎F 𝜎Mz 𝜎My Equação 710 Sabendose que a tensão normal causada pela carga F no centroide pode ser escrita como FA sendo A a área de seção transversal a tensão de flexão em z pode ser escrita como MzyIz sendo Iz o momento de inércia em relação ao eixo z e ey a excentricidade original da carga F em relação ao eixo z e a tensão de flexão em y escrita como MyzIy sendo Iy o momento de inércia em relação ao eixo y e ez a excentricidade original da carga F em relação ao eixo y Portanto a tensão normal total pode ser reescrita como Equação 711 POSIÇÃO DA LINHA NEUTRA A determinação da posição da linha neutra é feita baseandose na sua principal propriedade as tensões normais são nulas em todo o seu comprimento Substituindose σx 0 na Equação 711 chegase a Equação 712 Sendo y0 a posição da linha neutra MzF a excentricidade ey e iz2 o quadrado do raio de giração em z dado por IzA e z0 a posição da linha neutra MyF a excentricidade ez e iy2 o quadrado do raio de giração em y dado por IyA a Equação 75 pode ser reescrita isolandose FA Equação 713 A linha neutra pode ser encontrada se estiver cortando os eixos y e z através de dois pontos localizados sobre esses eixos Para achar o ponto no eixo y substituise z0 0 na Equação 713 e para achar o ponto no eixo z substituise y0 0 também na Equação 713 Portanto a posição da linha neutra no eixo y é dada por Y0 i²ey Equação 714 Sendo o quadrado do raio de giração em z dado pela relação IzA E a posição da linha neutra no eixo z por z0 i²ez Equação 715 Sendo o quadrado do raio de giração em y dado pela relação IyA Da mesma forma que comentado anteriormente os valores de ey e ez devem entrar com o sinal nas equações da posição da linha neutra TENSÕES NORMAIS MÁXIMAS Os pontos de máximas tensões são encontrados através de retas paralelas à linha neutra posicionadas nos extremos da seção transversal conforme ilustra a Figura 76 Figura 76 Pontos de tensão máxima na seção transversal NÚCLEO CENTRAL DE INÉRCIA O núcleo central de inércia é o lugar geométrico da seção transversal tal que se nele for aplicada uma carga de compressão F toda a seção estará comprimida A determinação dessa região pode ser feita através da análise das distribuições das tensões na seção transversal Por exemplo seja a flexão composta normal em torno do eixo z conforme ilustra a Figura 77 Figura 77 Distribuição das tensões normais e de flexão em z O objetivo é fazer com que a soma das tensões de tração causadas pela flexão com as tensões normais de compressão seja igual a zero para que toda a seção transversal fique comprimida ou seja 𝜎F 𝜎Mz Equação 716 Substituindo as equações das tensões Equação 717 Sendo que o valor de y é a distância da linha neutra até o ponto onde ocorre a maior tensão de tração de flexão causada pelo momento Mz Como o momento Mz surgiu pela excentricidade do carregamento longitudinal F pode ser escrito como Fey Substituindo na equação e isolando ey ey IzAv Equação 718 Fazendo a mesma dedução para a componente My chegase a ez IyAz Equação 719 Sendo que o valor de z é a distância da linha neutra até o ponto onde ocorre a maior tensão de tração de flexão causada pelo momento My Se a seção transversal for retangular os valores de ey e ez são Equação 720 E o núcleo central de inércia é ilustrado na Figura 78 Figura 78 Núcleo central de inercia seção retangular Portanto qualquer carga que esteja aplicada dentro do losango ilustrado na Figura 78 ou seja dentro do núcleo central de inércia somente existirão tensões de compressão na seção transversal A determinação do núcleo central de inércia é útil para identificar possíveis regiões sem resistência em materiais que não resistem a tração ou ainda identificar a região onde o carregamento deve ser aplicado em seções transversais de tais materiais para que somente exista compressão na seção transversal e a mesma seja utilizada em sua totalidade na resistência da peça Um exemplo clássico são sapatas de fundação PROJETO DE VIGAS PRISMÁTICAS EM FLEXÃO Para projetar uma viga com base na resistência exigese que as tensões de flexão e cisalhamento verdadeiras não ultrapassem aquelas admissíveis para o material HIBBELER 2009 p 426 A maior tensão normal é encontrada na superfície em que o momento máximo de flexão ocorre BEER et al 2013 Beer et al 2013 salientam que um projeto seguro requer que a tensão máxima normal seja inferior à tensão admissível do material utilizado pois este critério leva à determinação do mínimo módulo de resistência à flexão aceitável Da mesma forma Hibbeler 2009 p 426 complementa que a determinação do módulo de resistência à flexão da viga consiste na relação entre I e c ou seja S lc que usando a fórmula da flexão σ Mcl fica Em que M é determinado pelo diagrama de momento da viga e a tensão de flexão admissível σadm é especificada em um código ou manual do projeto HIBBELER 2009 Entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência aceitável optase por aquela com o menor peso por unidade de comprimento consequentemente com a menor área de seção transversal Wmin pois será a menos cara e portanto a melhor escolha BEER et al 2013 Logo podemos dizer que Sreq Wmin MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES COMPOSTAS O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A1 A2 A3 em relação ao mesmo eixo CISALHAMENTO TRANSFORMAÇÃO DE TENSÃO E VASOS DE PRESSÃO A partir dos estudos deste tópico você será capaz de calcular a força cortante na face horizontal de um elemento de viga e as tensões de cisalhamento em vigas médias e máximas compreender a distribuição de tensões em uma viga retangular estreita calcular o cisalhamento longitudinal em um elemento de viga de modo arbitrário e as tensões de cisalhamento em barras de paredes finas compreender o estado plano de tensões calcular as tensões principais e de cisalhamento máxima aplicar o Círculo de Mohr para o estado plano de tensões calcular as tensões de superfície externas e internas nos vasos de pressão as tensões em vasos de pressão cilíndricos de paredes finas e a tensão circunferencial e a longitudinal em vasos de pressão aplicar o Círculo de Mohr para obter as tensões nos vasos de pressão CISALHAMENTO EM VIGAS INTRODUÇÃO Quando o cisalhamento V é aplicado Figura 1 a distribuição não uniforme de tensão na seção transversal fará com que ela se deforme Figura 2 HIBBELER 2009 A relação entre o momento e o cisalhamento é dada pela expressão HIBBELER 2009 V dMdx FIGURA 1 ELEMENTO TÍPICO DA SEÇÃO TRANSVERSAL SUJEITO A TENSÕES DE CISALHAMENTO TRANSVERSAIS E LONGITUDINAIS FONTE Hibbeler 2009 p 283 FIGURA 2 BARRA DE ELEMENTO DEFORMÁVEL SUBMETIDO A TENSÃO DE CISALHAMENTO FONTE Hibbeler 2009 p 284 Quando um carregamento transversal é aplicado em uma viga resultará em tensões normais e de cisalhamento nas seções transversais A distribuição de tensões normais e de cisalhamento são equivalentes ao momento fletor M e à força cortante F Figura 3 e satisfazem as seguintes equações BEER et al 2013 FIGURA 3 FORÇAS ELEMENTARES NORMAIS E DE CISALHAMENTO EQUIVALENTES AO MOMENTO FLETOR M FONTE Beer et al 2013 p 540 Quando tensões de cisalhamento são exercidas sobre as faces verticais de um elemento tensões iguais devem ser exercidas sobre as outras faces horizontais BEER et al 2013 Cisalhamento longitudinal deve existir em qualquer elemento submetido a uma carga transversal Figura 4 BEER et al 2013 FIGURA 4 TENSÕES APLICADAS NAS FACES DE UM VOLUME FONTE Beer et al 2013 p 540 A fórmula do cisalhamento é usada para encontrar a tensão de cisalhamento na seção transversal HIBBELER 2009 τ tensão de cisalhamento no elemento V força de cisalhamento interna resultante I momento de inércia da área da seção transversal inteira t largura da área da seção transversal do elemento FORÇA CORTANTE NA FACE HORIZONTAL DE UM ELEMENTO DE VIGA Considere a viga prismática e a seção de corte no ponto C que contém o trecho CDDC mostrada na Figura 5 FIGURA 5 VIGA PRISMÁTICA FONTE Beer et al 2013 p 542 As forças atuantes no trecho CDDC consistem em forças cortantes verticais VC e VD uma força cortante horizontal ΔH e forças elementares horizontais normais σCdA e σDdA e possivelmente uma força w conforme identificado por Beer et al 2013 e ilustrado na Figura 6 FIGURA 6 TRECHO CDDC DA VIGA FONTE Beer et al 2013 p 542 FIGURA 7 FORÇAS ATUANTES NO ELEMENTO CD FONTE Beer et al 2013 p 542 Então para o equilíbrio do trecho CDDC do elemento de viga de acordo com Beer et al 2013 temos Considerando Q como o momento estático e MD e MC como os momentos fletores calculados como segue E substituindo na equação de equilíbrio temos o fluxo de cisalhamento q Em que Sendo o mesmo resultado encontrado para área inferior Figura 8 BEER et al 2013 FIGURA 7 FORÇAS ATUANTES NO ELEMENTO CD FONTE Beer et al 2013 p 542 EXEMPLO DE CÁLCULO 1 BEER et al 2013 p 544 Uma viga é feita de três pranchas pregadas juntas Sabendo que o espaçamento entre os pregos é de 25mm e que o cisalhamento vertical da viga é V 500 N determine a força cortante em cada prego SOLUÇÃO Determinar momento estático Q e momento de inércia I Determine a força horizontal por unidade de comprimento ou o fluxo de cisalhamento q na superfície inferior da prancha superior Calcular a força cortante correspondente em cada prego para um espaçamento de 25cm F 0 025mq 0 025m3704Nm F 92 6N Na Engenharia dos Materiais a resistência dos mesmos é a capacidade de resistir a uma determinada força sobre ele aplicada em função do processo de fabricação do material de modo que os cientistas envolvidos aplicam vários processos para alterála Devido ao profundo conhecimento sobre o assunto a manipulação da resistência dos materiais pode ser feita de maneira perfeitamente quantificável e qualificada Apesar disso alterar essa resistência pode significar perder alguma outra propriedade mecânica O maior objetivo da área de estudo da resistência dos materiais é aplicar os conhecimentos na produção e utilização de peças com um determinado papel a cumprir Para tanto é fundamental conhecer os limites de cada tipo de material descobrindo assim até onde é possível manipulálos A ciência da resistência dos materiais depende muito de uma total certeza na obtenção de seus resultados uma vez que qualquer erro por menor que seja pode significar prejuízos gigantescos depois E isso é ainda mais sério se considerarmos que vidas podem ser colocadas em risco por cálculos mal feitos Se você está iniciando o curso de Engenharia esteja preparado para receber uma quantidade considerável de informações que serão cobradas em matérias posteriores Lembrese sempre de manter em dia seus conhecimentos de física e matemática além de ter a calculadora científica como sua aliada porque você irá precisar Alguns renomados professores consideram Resistência dos Materiais como a alma da engenharia pois ela fornece a base necessária para todas as matérias específicas posteriores principalmente para os alunos de Engenharia Civil Assim sendo essa matéria deve ser estudada com muita atenção seriedade e dedicação O conhecimento deste tema é de suma importância na correta aplicação dos métodos e processos nas áreas de atuações indispensáveis ao planejamento projeto e operação das atividades 1 Para a determinação da força cisalhante e do momento fletor em um determinado ponto passase um corte na seção de aplicação e fazse uma análise de equilíbrio nas partes de cada lado do corte Para a determinação dos valores máximos absolutos da força cortante e do momento fletor exigem a identificação da força e do momento fletor na a seção solicitada b alma da peça c ponta da peça d metade da peça exclusivamente e parte inferior da peça 2 A flexão composta normal é caracterizada por apresentar apenas uma resultante de momento na seção transversal podendo ser tanto em torno do eixo y quanto em torno do eixo z Os momentos fletores podem decorrer da com relação ao eixo do elemento de força atuando na direção longitudinal a aleatoriedade b transitoriedade c excentricidade d autoridade e transversalidade 3 A determinação do núcleo central de inércia pode ser feita através da análise das distribuições das tensões na seção transversal O núcleo central de inércia é o lugar geométrico da seção transversal tal que se nele for aplicada uma carga de compressão F toda a seção estará a deprimida b distorcida c esquecida d comprimida e resumida 4 Segundo BEER et al 2013 entre as escolhas para a seção das vigas que tem um módulo de resistência aceitável optase por aquela com o menor peso por unidade de comprimento consequentemente com a a maior área de seção transversal Wmax b menor área de seção transversal Wmin c menor área de seção longitudinal Wmin d maior área de seção longitudinal Wmin e pior área da seção 5 Segundo Hibbeler 2013 a resistência dos materiais é um nicho da mecânica que estuda as relações existentes entre cargas que são aplicadas a um objeto externamente passível de deformação além da intensidade que as forças internas podem atuar Abrange o cálculo dessa deformação do material e o estudo da sua estabilidade principalmente quando sujeito a a tensões externas b tensões internas c tensões cisalhantes d tensões cortantes e tensões gigantes Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Sugestão de artigos trabalhos acadêmicos e sites interessantes httpscursosunisantabrmecanicaciclo5flexaopdf Flexão composta normal httpsengucmfileswordpresscom201503geometriademassaspdf Características Geométricas de Figuras Planas httpswpufpeledubralinepaligafiles201309capitulo7res1pdf Cisalhamento httpsdocenteifscedubrandersoncorreiaMaterialDidaticoEngenhariaM ecanicaFase4MecC3A2nicadosSC3B3lidosICapC3ADtulo20 82020Cisalhamento20Transversalpdf Cisalhamento Transversal Playlist Youtube httpswwwyoutubecomwatchvjrkbScP78RI Flexão composta normal httpswwwyoutubecomwatchvhUTGmopHKfA Tensões no Entorno de um Ponto Resistência dos Materiais httpswwwyoutubecomwatchvMzfvOyL36F4 Mecânica para Engenharia Aula 48 Momentos de Inércia de Áreas Compostas httpswwwyoutubecomwatchvVJn7beM6Y Mecânica dos Sólidos II Aula 20 Cisalhamento em Vigas BEER Ferdinand JOHNSTON E Russell Resistência dos Materiais Mc Graw Hill GERE James M Mecânica dos Materiais Editora Cengage Learning HIBBELER RC Resistência dos Materiais 2007 Ed Pearson JAMES M GERE e BARRY J GOODNO Mechanics of Materials 2009 POPOV Egor Paul Resistência dos Materiais PHB editora SHAMES Mecânica dos Sólidos TIMOSHENKO Stephen GERE James Mecânica dos Sólidos vol 1 LTC editora UGURAL Ansel C Mecânica dos Materiais LTC Livros Técnicos e Científicos Editora SA 1 Resposta Letra a 2 Resposta Letra c 3 Resposta Letra d 4 Resposta Letra b 5 Resposta Letra a