Introdução à Resistência dos Materiais

Olá Aluno e aluna seja bemvindo a matéria de Resistência dos Materiais A origem da resistência dos materiais remonta ao início do século XVII época em que Galileu realizou experiências para estudar os efeitos de cargas em hastes e vigas feitas de vários materiais No entanto para a compreensão adequada dos fenômenos envolvidos foi necessário estabelecer descrições experimentais precisas das propriedades mecânicas de materiais Os métodos para tais descrições foram consideravelmente melhorados no início do século XVIII Na época estudos foram realizados principalmente na França baseados em aplicações da mecânica a corpos materiais denominandose o estudo de Resistência dos Materiais Atualmente no entanto referese a esses estudos como mecânica dos corpos deformáveis ou simplesmente mecânica dos materiais HIBBELER 2004 Quer saber mais sobre o assunto Entenda agora em detalhes Boa leitura e Bons estudos Engenheiro e Mestre em Gestão e Coordenação de Projetos Especialista em Engenharia Ambiental e Segurança do Trabalho com atuação em diversas áreas industrial saneamento drenagens e edificações há mais de 13 anos Participou na execução e coordenação de projetos para diversas cidades de Minas Gerais tanto para o setor público quanto privado Leciona diversas matérias e orienta TCC em Instituições de ensino superior de Minas Gerais e do Brasil nos cursos de Graduação Trabalhou na Diretoria de Projetos da SUDECAP de Belo Horizonte e atualmente é Coordenador Técnico de projetosobras de saneamento e infraestrutura da Agência Delegatária de Bacias Hidrográficas Ao final desta Unidade de Aprendizagem você deve apresentar os seguintes aprendizados calcular a localização do centroide de seção e momento de inércia e a curvatura da superfície aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e tensões de compressão aplicar a fórmula elástica à flexão para encontrar a tração máxima e tensões de compressão transformar as seções mistas em seções feitas inteiramente de um único material e avaliar as propriedades geométricas de seção transformada calcular o momento máximo interno na viga o momento de inércia e a tensão de flexão máxima aplicar as equações de equilíbrio e montar os diagramas de força cortante e momento fletor Esta unidade foi elaborada de modo a cumprir os seguintes objetivos Ser um texto em que a ordem de apresentação dos assuntos seja sequencialmente lógica Induzir a utilização dos recursos computacionais contemporâneos Ser um texto introdutório sem as preocupações de apresentação exaustiva das diversas metodologias existentes e de excessivo formalismo matemático Ser um texto no qual os conceitos e métodos são apresentados como instrumentos de análise de projetos e ações INTRODUÇÃO Neste tópico abordaremos a flexão pura que ocorre quando elementos prismáticos submetidos a momentos Fletores M e M iguais e opostos atuam num mesmo plano longitudinal BEER et al 2013 Um exemplo típico de flexão pura é dado pelo atleta de levantamento de peso segurando a barra acima da cabeça conforme ilustrado na Figura 1 A barra possui pesos iguais a distâncias simétricas assim como as mãos do levantador E justamente devido a essa simetria é que as reações nas mãos do atleta devem ser iguais e opostas aos pesos BEER et al 2013 FIGURA 1 EXEMPLO TÍPICO DE FLEXÃO PURA FONTE Beer et al 2013 p 3 Para o típico exemplo do atleta levantador de peso relatado anteriormente considerando a representação por diagrama de corpo livre como na Figura 2 os pesos e as reações podem ser substituídos por dois momentos fletores e opostos de 108 Nm Figura 3 mostrando que a parte central da barra está em flexão pura BEER et al 2013 p 446 FIGURA 2 DIAGRAMA DE CORPO LIVRE DO EXEMPLO DO ATLETA LEVANTADOR DE PESOS FONTE Beer et al 2013 p 446 FIGURA 3 MOMENTOS FLETORES RELATIVOS À FLEXÃO PURA DO EXEMPLO DO ATLETA LEVANTADOR DE PESOS FONTE Beer et al 2013 p 446 Se as forças internas em qualquer seção são equivalentes a um momento o momento interno resistente é igual ao momento externo que é chamado de momento fletor BEER JOHNSTON 1995 p 45 FLEXÃO PURA DE BARRA SIMÉTRICA Considerando uma barra prismática que tenha um plano de simetria e que esteja submetida a momentos fletores iguais e opostos Figura 4 cuja seção seja cortada em um ponto intermediário C Figura 5 as condições de equilíbrio de uma das partes exigem que os esforços internos Figura 6 sejam equivalentes ao momento Fletor M BEER et al 2013 FIGURA 4 BARRA COM PLANO DE SIMETRIA FONTE Beer et al 2013 p 448 FIGURA 5 CONJUGADO M EQUIVALENTE AOS ESFORÇOS INTERNOS FONTE Beer et al 2013 p 448 FIGURA 6 SISTEMAS DE FORÇAS INTERNAS ELEMENTARES FONTE Beer et al 2013 p 449 Beer et al 2013 destacam que na estática um momento fletor M é composto de duas forças iguais e opostas logo a soma das componentes das forças em qualquer direção é zero o momento fletor é o mesmo em relação à qualquer eixo perpendicular a seu plano e é zero em relação a qualquer eixo contido naquele plano Logo expressamos que o sistema das forças elementares atuantes internas é equivalente ao momento Fletor M conforme segue A distribuição real de tensões em uma seção transversal não pode ser determinada somente pela estática Logo a distribuição real de tensões é estaticamente indeterminada e pode ser obtida apenas pela análise de deformações BEER et al 2013 DEFORMAÇÕES NA FLEXÃO PURA Considerando um elemento prismático com um plano de simetria por exemplo uma viga submetida à flexão pura as deformações ocorrem de tal forma que a viga permanece simétrica fletindo uniformemente formando um arco circular cujo comprimento das fibras do topo diminuem e os da base aumentam Figura 7 No entanto há uma superfície neutra encontrada paralela às faces superior e inferior da barra em que não há variação no comprimento das fibras Além disso na superfície neutra as tensões e deformações são nulas acima dela as tensões e deformações são negativas compressão e abaixo são positivas tração BEER JOHNSTON 1995 FIGURA 7 SEÇÃO VERTICAL LONGITUDIVAL PLANO DE SIMETRIA FONTE Beer et al 2013 p 451 FIGURA 8 SEÇÃO HORIZONTAL LONGITUDINAL FONTE Beer et al 2013 p 451 Beer et al 2013 salientam ainda que a linha AB ao longo da qual a face superior da barra intercepta o plano dos momentos fletores terá curvatura constante e que qualquer seção transversal perpendicular ao eixo da barra permanece plana Figura 8 e o plano da seção passa pelo centro C Além disso quando M for maior que zero a linha AB diminui o comprimento enquanto AB aumenta o comprimento Dessa forma se considerarmos uma viga de comprimento L após a deformação o comprimento da superfície neutra SN permanece igual L logo tomando ρ como o raio de curvatura e θ como o ângulo central teremos BEER JOHNSTON 1995 L ρθ FIGURA 9 SEÇÃO VERTICAL LONGITUDINAL FONTE Beer et al 2013 p 451 FIGURA 10 SEÇÃO TRANSVERSAL FONTE Beer et al 2013 p 451 Para uma outra superfície distante de y da superfície neutra de acordo com Beer e Johnston 1995 p 228 teremos para a deformação longitudinal específica εx A deformação máxima ocorre na superfície da viga TENSÕES E DEFORMAÇÕES O momento positivo tende a curvar a viga com a concavidade para cima Figura 11 de forma análoga consideramos o momento negativo quando tende a curvar a viga com a concavidade para baixo Figura 12 Na transição sem curvatura o momento é nulo HIBBELER 2009 FIGURA 11 CONVENÇÃO DE SINAL MOMENTO INTERNO POSITIVO FONTE Hibbeler 2019 p 450 FIGURA 12 CONVENÇÃO DE SINAL MOMENTO INTERNO NEGATIVO FONTE Hibbeler 2019 p 450 A deformação na viga devido à carga é provocada pela força cortante interna bem como pelo momento fletor Se o material for homogêneo e comportar se de uma maneira linear elástica a Lei de Hooke é aplicável HIBBELER 2009 Dessa forma de acordo com Beer et al 2012 p 229 teremos para a tensão na direção longitudinal x Em que E é o módulo de elasticidade σm é a tensão máxima absoluta pois a tensão normal varia linearmente com a distância da superfície neutra Figura 13 FIGURA 13 VARIAÇÃO DA TENSÃO NORMAL EM RELAÇÃO À SUPERFÍCIE NEUTRA FONTE Beer et al 2013 p 453 Para o equilíbrio estático o momento estático da seção transversal em relação à linha neutra deve ser zero portanto a superfície neutra deve passar pelo centro geométrico ou centroide da seção BEER et al 2013 BEER JOHNSTON 1995 Em que σx tensão normal M momento interno I momento de inércia Y distância perpendicular do eixo neutro MOMENTOS DE INÉRCIA DE SUPERFÍCIES COMPOSTAS O momento de inércia de uma superfície composta A em relação a um dado eixo pode ser obtido pela adição dos momentos de inércia das superfícies componentes A1 A2 A3 em relação ao mesmo eixo FONTE Beer et al 2013 p 291 Observe que pela regra da mão direita M é positivo ao longo do eixo z y é positivo para cima e portanto σ deve ser negativo compressão uma vez que atua na direção negativa de x Figura 14 HIBBELER 2009 p 226 FIGURA 14 VARIAÇÃO DA TENSÃO DE FLEXÃO Variação da tensão de flexão FONTE Hibbeler 2009 p 225 PROPRIEDADES DA SEÇÃO DA VIGA A tensão normal máxima ocorre devido à flexão nos pontos mais distantes do eixo neutro HIBBELER 2009 Em que c é a distância perpendicular do eixo neutro ao ponto mais afastado desse eixo no qual a tensão máxima atua Quanto maior o módulo de resistência menor é a tensão normal solicitante BEER et al 2013 Considerando uma viga de seção retangular BEER et al 2013 BEER JOHNSTON 1995 FIGURA 15 SEÇÃO DE VIGA DE MADEIRA FONTE BEER et al 2013 p 454 Considerando duas vigas com mesma área A de seção transversal Figura 15 a que tiver altura h maior terá um módulo de resistência maior e portanto terá maior capacidade para resistir à flexão BEER et al 2013 p 454 FIGURA 16 PERFIS METÁLICOS FONTE BEER et al 2012 p 231 FIGURA 17 PERFIS DE VIGA DE AÇO FONTE BEER et al 2013 p 455 Beer e Johnston 1995 salientam que as vigas I e os perfis de abas largas Figura 17 são preferidas para trabalhar a flexão pois grande parte da seção transversal está longe da linha neutra LN e possuem maiores valores de Iz e consequentemente de W Os valores das propriedades geométricas da seção transversal são obtidos em tabelas como a da Figura 18 sendo assim possível determinar o valor da tensão normal na direção x Os autores destacam ainda que uma relação hb muito alta pode resultar em instabilidade lateral das vigas FIGURA 18 PROPRIEDADES DE PERFIS DE AÇO LAMINADO FONTE Beer et al 2013 p 682 A deformação devido ao momento Fletor M é quantificada pela curvatura da superfície neutra HIBBELER 2009 BEER et al 2013 p 455 Em que ρ raio de curvatura em um ponto específico M momento fletor interno na viga no ponto ρ E módulo de elasticidade do material I momento de inércia calculado em torno do eixo neutro EI rigidez à flexão A seção transversal de uma viga em flexão pura permanece plana não excluindo a possibilidade de deformações dentro do plano da seção BEER et al 2013 Expansão acima da superfície neutra e contração abaixo dela causa uma curvatura no plano BEER et al 2013 FLEXÃO DE BARRAS CONSTITUÍDAS POR VÁRIOS MATERIAIS Vigas construídas de dois ou mais materiais diferentes são denominadas vigas compostas Como a fórmula da flexão não pode ser aplicada diretamente para determinar a tensão normal em uma viga composta Figura 19 pois foi desenvolvida para materiais homogêneos é necessário aplicar o método da seção transformada O fator de transformação será a razão entre os módulos dos diferentes materiais que compõem a viga HIBBELER 2009 FIGURA 19 VIGA COMPOSTA DE DOIS MATERIAIS FONTE Hibbeler 2013 p 247 Considere por exemplo uma barra formada por duas partes de materiais diferentes E1 e E2 Beer et al 2013 p 463464 apresentam a seguinte metodologia A deformação normal varia linearmente logo Calculase a variação de tensão normal linear segmentadas FIGURA 20 DISTRIBUIÇÃO DA DEFORMAÇÃO ESPECÍFICA E TENSÃO EM BARRA CONSTITUÍDA DE DOIS MATERIAIS FONTE Beer et al 2013 p 463 A linha neutra não passa pelo centroide da seção composta Forças elementares sobre a seção são Definir uma seção transformada tal que A tensão em qualquer ponto da seção da barra homogênea será obtida a partir de FIGURA 21 SEÇÃO TRANSFORMADA PARA A BARRA DE SEÇÃO COMPOSTA FONTE Beer et al 2013 p 465 FIGURA 22 DISTRIBUIÇÃO DE TENSÕES NA SEÇÃO TRANSFORMADA FONTE Beer et al 2013 p 465 VIGAS DE CONCRETO ARMADO Vigas de concreto submetidas a momentos fletores são reforçadas por barras de aço pois embora o concreto seja um material que resiste muito bem às forças de compressão é um material de ruptura frágil sendo portanto pouco resistente à flexão Logo a parte superior da viga de concreto suportará o esforço de compressão e as barras de aço suportarão toda a força de tração abaixo da superfície neutra Para melhores resultados as barras de aço são posicionadas o mais longe possível do eixo neutro da viga de modo que o momento criado pelas forças nelas desenvolvidas seja maior em torno do eixo neutro HIBBELER 2009 p 252 FIGURA 23 ELEMENTOS ESTRUTURAIS DE CONCRETO ARMADO FONTE Beer et al 2012 p 245 Em uma viga de concreto armado Figura 24a substituímos a área total da seção transversal das barras de aço Aaço por uma área equivalente nAaço em que n é a relação EaçoEconc conforme mostra a Figura 24b BEER et al 2013 e obtemos a seção transformada Para o concreto que atua efetivamente somente a compressão somente a parte da seção transversal localizada acima da linha neutra deverá ser usada na seção transformada no cálculo da distribuição de tensões Figura 24c HIBBELER 2009 FIGURA 24 VIGA DE CONCRETO ARMADO a ÁREA EQUIVALENTE b e DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES DE COMPRESSÃO NO CONCRETO E A RESULTANTE FAÇO DAS FORÇAS DE TRAÇÃO NAS BARRAS DE AÇO c FONTE Beer et al 2013 p 467 Para determinar a localização da linha neutra BEER et al 2013 A tensão normal no concreto e no aço BEER et al 2013 RESUMO DO TÓPICO A flexão pura ocorre quando elementos prismáticos submetidos a momentos Fletores M e M iguais e opostos atuam num mesmo plano longitudinal A flexão pura de barra simétrica ocorre quando as condições de equilíbrio de uma das partes exigem que os esforços internos sejam equivalentes ao momento fletor da seção de corte em um ponto intermediário de uma barra prismática que tenha um plano de simetria e que esteja submetida a momentos fletores iguais e opostos A distribuição real de tensões em uma seção transversal não pode ser determinada somente pela estática Logo a distribuição real de tensões é estaticamente indeterminada e pode ser obtida apenas pela análise de deformações As deformações em uma viga com um plano de simetria submetida à flexão pura ocorrem de tal forma que a viga permanece simétrica fletindo uniformemente formando um arco circular cujo comprimento das fibras do topo diminuem e os da base aumentam Na viga com deformações na flexão pura há uma superfície neutra encontrada paralela às faces superior e inferior da barra em que não há variação no comprimento das fibras Na superfície neutra as tensões e deformações são nulas acima dela as tensões e deformações são negativas compressão e abaixo são positivas tração O momento positivo tende a curvar a viga com a concavidade para cima de forma análoga consideremos o momento negativo quando tende a curvar a viga com a concavidade para baixo Na transição sem curvatura o momento é nulo A deformação na viga devido à carga é provocada pela força cortante interna bem como pelo momento fletor Se o material for homogêneo e comportarse de uma maneira linear elástica a Lei de Hooke é aplicável Para o equilíbrio estático o momento estático da seção transversal em relação à linha neutra deve ser zero portanto a superfície neutra deve passar pelo centro geométrico ou centroide da seção A viga que tiver altura h maior terá um módulo de resistência maior e portanto terá maior capacidade para resistir à flexão Vigas I e os perfis de abas largas são preferidas para trabalhar a flexão pois grande parte da seção transversal está longe da linha neutra É necessário calcular o fator de transformação para vigas compostas CARGA EXCÊNTRICA No Tópico anterior foi abordada a distribuição de tensões em vigas com carregamento axial cuja linha de ação de cargas passa pelo centroide das seções Neste Tópico será abordada a análise da distribuição de tensões quando a linha de ação das forças não passa pelo centroide da seção transversal ou seja quando o carregamento é excêntrico Serão abordados também nas outras unidades de aprendizagem os casos de seções assimétricas em situações em que as seções de vigas não possuem eixos de simetria ou ainda em que os momentos fletores não atuam em um plano de simetria das barras ou atuam em um plano diferente CARREGAMENTO AXIAL EXCÊNTRICO EM UM PLANO DE SIMETRIA Quando a linha de ação das forças não passa pelo centroide C da seção transversal temos o carregamento excêntrico Figura 25 FIGURA 25 REPRESENTAÇÃO DE CARREGAMENTO EXCÊNTRICO FONTE Beer et al 2012 p 270 FIGURA 26 ESFORÇOS INTERNOS DA SEÇÃO C FONTE Beer et al 2012 p 270 O cálculo das tensões causadas pelo carregamento excêntrico original é realizado pela superposição da distribuição uniforme de tensão correspondente às forças centradas e da distribuição linear correspondente aos momentos fletores BEER et al 2013 Dessa forma teremos Em que P é a força centrada A é a área da seção transversal I momento de inércia da seção em relação ao eixo que passa pelo centroide y é a distância do eixo Dependendo da geometria da seção transversal e da excentricidade da força as tensões combinadas podem ter todas o mesmo sinal ou algumas podem ser positivas e outras negativas conforme ilustrado na Figura 27 Nesse caso haverá uma linha na seção ao qual σxo que na figura está representada como LA que é a linha neutra da seção Essa linha neutra não necessariamente coincide com o eixo que passa pelo centroide da seção BEER et al 2013 FIGURA 27 DISTRIBUIÇÃO DAS TENSÕES COMBINADAS FONTE Beer et al 2013 p 474 A validade da equação de acordo com Beer et al 2013 p 474 exige que as tensões envolvidas não devem ultrapassar o limite de proporcionalidade do material as deformações provocadas pela flexão não devem afetar de forma considerável a distância e a seção transversal onde as tensões são calculadas não deve estar muito perto dos pontos É de fundamental importância que os materiais sejam estudados e testados para que se possa fazer análises das suas reações em função dos fenômenos mecânicos térmicos químicos e físicos que podem ocorrer Seja em vigas telhados lajes máquinas ferramentas equipamentos tubulações ou até mesmo instalações cada item dependendo da sua aplicação depende de um cálculo para analisar quanto a estrutura suporta o que será possível fazer e de que maneira a carga poderá ser distribuída e quais alterações podem ser feitas para melhorar a aplicabilidade daquilo que está sendo avaliado A resistência dos materiais é portanto a base que propicia a seleção dos sistemas estruturais dos materiais de construção proporções e dimensões dos elementos de uma dada estrutura para que estas possam cumprir suas finalidades dentro de uma margem de segurança com confiabilidade e durabilidade Propicia também a obtenção de estruturas otimizadas através do uso racional do material e consequentemente economia da estrutura sendo o principal objetivo do engenheiro projetar estruturas econômicas e seguras Se você está iniciando o curso de Engenharia esteja preparado para receber uma quantidade considerável de informações que serão cobradas em matérias posteriores Lembrese sempre de manter em dia seus conhecimentos de física e matemática além de ter a calculadora científica como sua aliada porque você irá precisar Alguns renomados professores consideram resistência dos materiais como a alma da engenharia pois ela fornece a base necessária para todas as matérias específicas posteriores principalmente para os alunos de Engenharia Civil Assim sendo essa matéria deve ser estudada com muita atenção seriedade e dedicação O conhecimento deste tema é de suma importância na correta aplicação dos métodos e processos nas áreas de atuações indispensáveis ao planejamento projeto e operação das atividades 1 Seja um elemento linear que apresenta a característica de possuir uma das dimensões comprimento muito maior do que as outras duas dimensões da seção transversal A linha que une o centro de gravidade de todas as seções transversais constituise no eixo longitudinal da peça e o mesmo está submetido a cargas perpendiculares ao seu eixo Este elemento desenvolve em suas seções transversais solicitações de Momento Fletor M e Esforço Cortante Q sendo o Fletor responsável pela e o Esforço Cortante responsável pelo da viga a Flexão e cisalhamento b Cisalhamento e flexão c Força e corte d Flexão e corte e Força e Flexão 2 É compreendida como um plano que separa duas regiões a comprimida e a tracionada num mesmo elemento quando submetido à flexão Além das verificações especificadas nessa norma a posição da linha neutra em relação à fibra mais comprimida é necessária para calcular a área de aço de tração da viga A Linha Neutra LN representa fisicamente o eixo em torno do qual a seção a Quebra b Tomba c Gira d Pula e Desaparece 3 Para uma barra prismática que contém um plano de simetria em flexão pura a a barra permanece simétrica em relação ao plano b flete uniformemente formando um arco de circunferência c qualquer seção plana perpendicular ao eixo da barra permanece plana d a linha AB diminui de comprimento e a linha AB aumenta e Todas as alternativas anteriores 4 O esforço de flexão simples é normalmente resultante da ação de carregamentos transversais que tendem a curvar o corpo e que geram uma distribuição de tensões aproximadamente lineares no seu interior Essa distribuição alterna entre tensões de tração e compressão na mesma a seção horizontal b seção trapezoidal c linha neutra d seção transversal e Flexão simples 5 Segundo BEER et al 2013 o cálculo das tensões causadas pelo carregamento excêntrico original é realizado pela superposição da distribuição uniforme de tensão correspondente às forças centradas e da distribuição linear correspondente aos momentos a iniciais b fletores c cisalhantes d finais e cortantes Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto veja abaixo as sugestões do professor Sugestão de artigos trabalhos acadêmicos e sites interessantes httpswwwpolitecnicapucrsbrprofessoressoaresResistenciadosMateri aisIIMCapitulo4FlexaoPurapdf Resistência dos Materiais httpwwwestruturasufprbrwpcontentuploadsresistenciaApostilaCapit ulo4pdf Flexão na Resistência dos Materiais httpsprofcoreyfileswordpresscom20160241flexaopurapdf Mecânica dos Materiais httpswwwtecgrafpucriobrftppublfmciv1112aula06pdf Tensões associadas a esforços internos Playlist Youtube httpswwwyoutubecomwatchvq5aplQha1kI Resistência dos Materiais Aula 08 Flexão Pura httpswwwyoutubecomwatchvyZ8XxNRe7Is Entenda o Conceito da Flexão pura SEM complicação httpswwwyoutubecomwatchvDXNpVr1w9DslistPLfAgfAMk06XDpE NF0GkekCe6pKb6vU37 Playlist Resistência dos Materiais BEER F P et al Estática e Mecânica dos Materiais Porto Alegre AMGH 2013 GERE J M GOODNO B J Mecânica dos Materiais São Paulo Cengage Learning 2010 BEER F P et al Mecânica vetorial para engenheiros estática 9 ed Porto Alegre AMGH 2012 HIBBELER R C Resistência dos Materiais 7 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 LEET K M UANG C M Fundamentos da Análise Estrutural São Paulo Amgh 2009 MELCONIAN S Mecânica Técnica e Resistência dos Materiais São Paulo Érica 19997 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2010 MELCONIAN S Mecânica técnica e Resistência dos Materiais São Paulo Érica 1999 MERIAM J L KRAIGER L G Mecânica para Engenharia estática São Paulo Pearson Education 2015 1 v NASH W A POTTER M C Resistência dos materiais 5 ed Porto Alegre Bookman 2014 PHILPOT T A Mecânica dos Materiais um sistema integrado de ensino Rio de Janeiro LTC 2013 1 Letra a 2 Letra c 3 Letra e 4 Letra d 5 Letra b