Dimensionamento de Eixos: Análise de Materiais e Esforços Mecânicos

SISTEMAS MECÂNICOS José Francisco de Barros Júnior 2 3 CONCEITOS NO DIMENSIONAMENTO DE EIXOS ÁRVORES Neste Bloco serão apresentadas as principais análises e seus cálculos para a seleção do material considerando a geometria e quais esforços combinados Esforço Longitudinal e o Transversal irão atuar para fundamentar os conceitos e realizar o projeto para o dimensionamento de eixos com o objetivo de atender os limites de integridade Para isto são analisados os valores de propriedades mecânica e a influência nas concentrações de tensões geradas na geometria ao longo do eixo em estudo para suportar suas condições de trabalho sem que haja um desgaste precoce com a ocorrência de uma fratura no eixo de forma que seja bemsucedido o projeto a ser realizado 31 MATERIAIS PARA APLICAÇÃO EM EIXOS Para se escolher um material para a fabricação de eixos devese considerar os seguintes fatores a Preço do material b Facilidade de obtenção no mercado da bitola a ser aplicada c Possibilidade de tratamento térmico e conhecer suas eventuais deformações d Ductilidade e Coeficiente de sensibilidade f Usinabilidade g Resistência à flexão e a torção h Resistência ao desgaste São selecionados materiais metálicos de aço carbono e também os de aços ligas Eles devem ter em sua constituição valores de Carbono entre 03 até 07 C em média para 3 Aumento da resistência Maior temperabilidade Menores deformações durante um tratamento térmico Agora ao ser aplicado o ferro fundido sua maior vantagem é o bom amortecimento de vibrações Podemos chegar a conclusão que os constituintes de elementos químicos metal ou ametal podem se combinar com o aço ou seja liga de ferro e carbono e ainda em sua composição com outros elementos sendo que estes podem melhorar as propriedades do material com a matéria prima que irá compor o projeto Segue a seguir na Tabela 31 a relação de nomenclatura em aços de baixa e média liga e sua percentagem de carbono correlacionando as Normas SAE DIN e os aços vilares bem como os níveis de níquel cromo molibdênio e outros Elementos estes que de acordo com a quantidade na composição química total dos aços melhoram os resultados das propriedades mecânicas como rigidez tenacidade resiliência elasticidade condutividade térmica ou elétrica e ponto de fusão 4 Tabela 31 Principais Aços para aplicação em produção de eixos e engrenagens SAEDIN para Villares Fonte MELCONIAN 2011 32 TEORIA DA TORÇÃO APLICADA EM EIXOS ÁRVORES Para o projeto de um eixo árvore a ser realizado a seleção do material deve ser tratada com fundamental importância bem como considerar sua geometria suas dimensões as condições em que os materiais serão utilizados e também as variáveis de esforços de carregamento Como exemplo temos as cargas que ocorrem em eixos de transmissão de rotação e que neste caso tem predominantemente esforços aplicados de dois tipos Eles são o de torção devido ao torque transmitido e o de Flexão devido às cargas transversais em engrenagens polias e catracas Assim na combinação dos dois tipos pode ocorrer carga axial também se a linha de centro do eixo for vertical O grande diferencial no projeto será em como avaliar e quais equações devem ser calculadas Então será apresentada uma sequência que será a melhor forma de avaliar conforme a Figura 31 O plano de ação do conjugado é igual ao plano da seção transversal Os conjugados são chamados de momentos de torção momentos torcionais ou torque T T e que têm a mesma intensidade T e sentidos opostos Nash1982 Ao ser analisado o Centro de Torção o ponto em torno do qual a seção transversal gira e que para seções simétricas coincide com o centro de gravidade vemos que o Eixo de Torção é o próprio lugar geométrico dos centros de torção 5 Um eixo circular está fixado a um suporte por uma de suas extremidades e aplicando à extremidade livre um momento de torção T o eixo gira e a seção transversal da extremidade apresenta uma rotação representada pelo ângulo φ chamado ângulo de torção BEER 2011 Figura 31 O eixo e o centro de torção gerado quando aplicado um Esforço Torçor Fonte adaptado de BEER 2011 Assim vemos na Figura 32 que a barra cilíndrica está fixada na Vertical ou na Horizontal Na Figura 33 temos que ao ser inserido um Momento de Torção Torque ou Momento Torçor ao longo de um comprimento L da barra esta será rotacionada e será gerada uma deformação ao longo de toda a barra por consequência do Momento Torçor aplicado Nestas condições descritas surgirá uma inclinação que será denominada de Ângulo de Torção φ variável fundamental para a análise do limite de resistência das propriedades mecânicas do material e do elemento mecânico em análise que em nosso estudo serão os eixos árvores Figura 32 Formação do ângulo de torção φ visto de formato em prisma circulares Fonte Adaptado de BEER 2011 6 Figura 33 O ângulo φ chamado ângulo de torção quando aplicado Torque no comprimento L Fonte Adaptado de BEER 2011 Quanto a análise dos esforços aplicados a um eixo árvore temos as fibras representadas como um prisma de seção circular conforme a Figura 32 ou Figura 34 e as condições que podem ser consideradas são a As geratrizes se transformam em hélices b O quadrado se transforma em um losango com os lados sofrendo a mesma deformação angular ângulo de torção φ c as seções normais permanecem planas e normais ao eixo de rotação e conservam sua forma Neste caso é preciso assegurar que os momentos sejam aplicados de tal forma que as extremidades também permaneçam planas e sem deformação 7 Figura 34 Linha central ou imaginária e as deformações ocorridas pelo esforço Torçor Fonte adaptado de BEER 2011 Por fim os critérios que são observados na Figura 34 acima nos apresenta que o Torque Momento Torçor aplicado ao eixo produzirá tensões de cisalhamento nas faces perpendiculares ao eixo As condições de equilíbrio requerem a existência de tensões iguais nas faces dos dois planos que contêm a linha central do eixo Também há existência dos componentes de cisalhamento axiais e que são demonstradas quando considerado um eixo composto de varetas axiais Sendo assim as varetas deslizam umas em relação às outras quando torques iguais e opostos são aplicados às extremidades do eixo Para atender as condições de equilíbrio as fibras nas faces externas e internas devem se equilibrar e por fim o eixo árvore atenderá sua condição de aplicação tanto no limite de resistência mecânica solicitada como também no aumento da vida útil 33 Cálculo da torção aplicada em eixos árvores Uma forma de realizar a determinação da distribuição de tensões de cisalhamento na seção transversal de deformação de cisalhamento γ é que ela deve ser igual ao ângulo formado por AB e AB 8 Figura 35 Eixo Circular de comprimento L com raio c e aplicado uma Torção Fonte adaptado de BEER 2011 Para melhorar o entendimento e a aplicação dos cálculos a seguir a barra cilíndrica conforme a Figura 36 deverá atender as seguintes condições a O eixo circular de comprimento L e raio c que foi torcido em um ângulo de torção φ b Retirando do interior do eixo um cilindro de raio ρ marcandose um quadrado sobre a superfície dele sem atuação de momento de torção c Aplicase a torção o quadrado se transforma em losango as deformações de cisalhamento são medidas pela variação de dois lados Figura 36 Eixo Circular de comprimento L em análise na seção AA Fonte adaptado de BEER2011 9 Por meio da Figura 36 você pode observar que quando γ é pequeno o comprimento de arco AA é dado por AALγ e na seção transversal AA ρ Φ A equação a ser utilizada para a determinação do ângulo de torção 𝛾 será 𝛾 𝜌 Φ 𝐿 sendo 𝛾 𝑒 𝜌 𝑒𝑚 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑜 Onde 𝛾 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑜𝑟çã𝑜 𝑛𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜 𝑐𝑖𝑟𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝜌 𝐴𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑎 𝑇𝑜𝑟çã𝑜 φ um ângulo de torção aplicado no eixo circular L Comprimento do eixo circular c raio do eixo circular Podese concluir que a deformação de cisalhamento em uma barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra sendo o 𝜸𝑴á𝒙 na superfície da barra circular onde 𝝆 𝒄 𝛾𝑀á𝑥 𝑐 Φ 𝐿 e 𝛾 𝜌 𝑐 𝛾𝑀á𝑥 331 Tensões no Regime Elástico Quando considerada a torção T tem um valor tal que as tensões no material se mantêm abaixo da tensão de cisalhamento de escoamento 𝝉𝒆 Nesse caso as tensões no material permanecem abaixo dos limites de proporcionalidade e elasticidade Lei de Hooke conforme a Figura 37 que apresenta a Curva de um Material Dúctil no ensaio de Tensão por uma Deformação 10 Figura 37 Curva de um Ensaio de Tensão e Deformação de um material Dúctil Fonte Adaptado de SHIGLEY 2011 A tensão de cisalhamento na barra irá variar linearmente com a distância 𝜌 do eixo da barra 𝜏 𝐺 𝛾 𝐺 𝛾 𝜌 𝑐 𝐺 𝛾𝑀á𝑥 Então temse 𝜏 𝜌 𝑐 𝜏𝑀á𝑥 Da mesma forma a Tensão Máxima de Torção 𝜏𝑀á𝑥 𝑇 𝑐 𝐽 Considerando a Tensão de Cisalhamento a uma distância 𝜌 do eixo da barra 𝜏 𝑇 𝜌 𝐽 sendo J O momento de Inércia Polar de um círculo com raio c 𝐽 1 2 𝜋 𝑐4 11 A tensão de torção em uma barra de seção circular maciça ocorrerá como demonstrado na Figura 38 Desta forma irá variar linearmente com a distância ρ que inicia a ação deste esforço cisalhante no centro do eixo até a superfície externa da barra Figura 38 Distribuição das Tensões de Cisalhamento para um eixo circular maciço Fonte adaptado de BEER 2011 Caso seja aplicada a Tensão de Torção em uma barra vazada de raio externo 𝑪𝟐 Conforme a Figura 39 que apresenta a distribuição das tensões de cisalhamento para um eixo vazado o cálculo do Momento de Inércia Polar considerando o raio interno c1 e raio externo c2 Figura 39 Distribuição das Tensões de Cisalhamento para um eixo circular vazado Fonte adaptado de BEER 2011 Sendo o caso de avaliar o valor da Tensão Mínima de Cisalhamento com relação a Tensão Máxima de Cisalhamento em um eixo circular vazado temse 𝜏𝑀𝑖𝑛 𝑐1 𝑐2 𝜏𝑀á𝑥 12 O Momento de Inércia Polar será 𝐽 1 2 𝜋 𝑐24 𝑐14 Lembrando das variáveis e suas unidades por meio do Sistema Internacional SI T Nm c 𝜌 m J 𝑚4 𝜏 𝑁 𝑚4 Φ 𝛾 radianos 332 Ângulo de Torção no Regime Elástico Para este item vamos visualizar de acordo com a Figura 310 um eixo circular de comprimento L seção transversal uniforme de raio c Figura 310 Eixo Árvore maciço recebendo diferentes valores de Torção Fonte BEER 2011 O eixo está sujeito à ação de um momento de torção T O ângulo de torção φ e a deformação de cisalhamento máxima 𝛾𝑀á𝑥 estão relacionados por 𝛾𝑀á𝑥 𝑐 Φ 𝐿 13 No regime elástico 𝛾𝑀á𝑥 𝜏𝑀á𝑥 𝐺 Sendo γMáx τMáx G T c J G Para obter o valor do Ângulo de Torção portanto Φ 𝑇 𝐿 𝐽 𝐺 φ é expresso em radianos No regime elástico o ângulo de torção φ é proporcional ao momento de torção T aplicado no eixo circular A equação só pode ser usada no caso de material homogêneo para eixos de seção transversal constante e momentos aplicados nas extremidades da barra Eixos submetidos a momentos de torção aplicados em outros pontos com seções transversais compostas e o ângulo de torção φ do eixo circular é igual ao ângulo de rotação da extremidade livre De forma análoga e com a correta análise dos esforços Torçor aplicados ao longo do eixo AB representado na Figura 310 devese considerar quatro partes diferentes AC CD DE e EB O ângulo de torção total do eixo isto é o ângulo segundo o qual a seção A gira em relação a seção B será obtido somando algebricamente os ângulos de torção de dada parte do componente Então o ângulo de torção total será dado por ϕ Σ𝑖 𝑇𝑖 𝐿𝑖 𝐽𝑖 𝐺𝑖 Onde Ti Li Ji e Gi correspondem à parte i do eixo 14 Podese escrever a potência mecânica transmitida H em W como 𝐻 𝑇 𝜔 Onde 𝜔 é a velocidade angular do eixo rads e o T o torque mensurado em Nm 𝜔 2 𝜋 𝑛 60 Vamos aplicar Exercício 1 Considere um sistema mecânico manivela que é utilizada em uma determinada etapa de processo de peneiramento em uma mineradora As condições de trabalho ou seja os esforços atuantes geometria e as dimensões estão representadas na Figura 311 assim pedese Figura 311 Representação da Manivela que será analisada Fonte BEER 2011 Considerando os valores de F 13 kN Eixo engastado com diâmetro de 20 mm Determinar a DCL Diagrama de Corpo Livre do eixo e do braço bem como todas as forças e momentos atuantes b Localizar um elemento de tensão em A e calcular as tensões atuantes c Determinar as tensões normais e cisalhamento máximas em A 15 Solução Item a Para obter os valores das tensões aplicadas ao sistema será analisado separadamente ou seja ponto a ponto da manivela figura 312 assim são obtidos os esforços atuantes e seus valores separados assim facilita para obter dados deste e outros itens deste exemplo Na extremidade C do braço BC F 13j kN Tc 005k kN m Na extremidade B do braço BC F 13j kN M1 013i kN m T1 005k kN m Na extremidade B do eixo AB F 13j kN T2 013i kN m M2 005k kN m Na extremidade A do eixo AB F 13j kN MA 066k kN m TA 013i kN M Figura 312 Representação do Diagrama de Corpo Livre DCL da manivela separada em nós Fonte BEER 2011 Continuação da Solução Item b Utilizandose as equações do círculo de Mohr no ponto A 16 𝜎𝑥 𝑀 𝐼 𝑐 32 660 𝜋 0023 8403 𝑀𝑃𝑎 𝜏𝑥𝑧 𝑇 𝐽 𝑐 16 130 𝜋 0023 828 𝑀𝑃𝑎 Item c 𝜎1 8484 𝑀𝑃𝑎 τ1 4282 MPa Vamos Aplicar Exercício 2 Considere também no processo de peneiramento de uma mineradora onde há um Sistema Mecânico um módulo redutor de velocidades com polias para a movimentação de minério Assim temos o sistema mecânico Eixo com polias Dados Eixo maciço de d 40 mm Diâmetro da Polia A à DB 100 mm e Diâmetro da Polia C à DC 200 mm Obter Determine a localização e magnitude das maiores tensões de cisalhamento tração e compressão no eixo Figura 313 Representação do Eixo com Polias Fonte BEER 2011 17 Solução DCL e Diagramas de momento fletor Figura 314 Diagrama Corpo livre e Cálculo do Momento Fletor em Eixo com Polias Fonte BEER 2011 Solução Tensões Solução 18 Figura 315 Representação dos esforços de Momento Fletor e os ângulos gerados na seção transversal da Manivela Fonte BEER 2011 Conclusão O fundamento principal deste Bloco é apresentar os conceitos em projetos de sistemas mecânicos e aplicar as variáveis elementares no projeto de um eixo árvore desde a seleção de material e geometria até as dimensões Por fim analisamos os esforços combinados que são aplicados durante o trabalho de um eixo árvore tendo aprendido uma aplicação em uma linha de produção considerando dois Sistemas Mecânicos Manivela e Eixo com Polias REFERÊNCIAS ANDRADE A S Elementos Orgânicos de Máquinas II UFP SD BEER F P et al Mecânica dos Materiais 5ª ed Porto Alegre AMGH 2011 MELCONIAN S Elementos de Máquinas 9ª ed São Paulo Erica 2011 MOTT R L Elementos de máquinas em projetos mecânicos São Paulo 2015 NORTON R L Projetos de Máquinas Uma Abordagem Integrada 4º ed Porto Alegre Bookman 2013 SHIGLEY J E BUDYNAS R G NISBETT J K Elementos de máquinas de Shigley 8ª ed São Paulo AMGH Editora Ltda 2011