Espaços Vetoriais: Definições e Propriedades

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 39 BLOCO 4 ESPAÇOS VETORIAIS Estudaremos neste bloco a definição de Espaços Vetoriais conhecendo alguns exemplos clássicos Em seguida conheceremos a definição de Subespaços Vetoriais de forma resumida e direta estudando as três condições para definir se um subconjunto assume esse papel Outros tópicos fundamentais para darmos continuidade aos nossos estudos são a Combinação e a dependência Linear os critérios para a identificação de um conjunto de vetores como Linearmente Dependente LD ou Independente LI a definição de Base de um Espaço Vetorial e a Dimensão do Espaço Vetorial Bons estudos 41 Espaços Vetoriais Definição Um conjunto V não vazio V ø é um espaço vetorial sobre R ou C para quaisquer u v є V e α β є R se e somente se existir a operação de adição em R definida como v u v u V VxV Com as seguintes propriedades A1 comutatividade da adição de vetores u v v u A2 associatividade da adição de vetores u vw u v w A3 elemento neutro u 0v 0v u u A4 simetrizável u u 0 40 Ainda um determinado conjunto V não vazio V ø é um espaço vetorial sobre R ou C para quaisquer u v є V e α β є R se e somente se existir uma multiplicação de R x V em V que associa a cada par α u de R x V um único elemento αu de V definida como v v V RxV x Para a multiplicação valem as propriedades M1 associatividade dos escalares αβu αβ u M2 distributividade do produto de um vetor pela soma de escalares αβ u α u β u M3 distributividade do produto de um escalar pela soma de vetores α u v α u α v M4 elemento unitário 1 u u Exemplos de Espaços Vetoriais Espaço n K Seja K um corpo arbitrário onde a notação n K assume o papel de denotar o conjunto de todas as ênuplas de elementos em K Nesse caso n K é um espaço vetorial sobre K onde a adição de vetores e a multiplicação por escalar se definem como 2 2 1 1 2 1 2 1 n n n n b a b a b a b b b a a a e 2 1 2 1 n n k a k a k a a a k a O vetor zero de n K é a ênupla de zeros 0 0 0 0 0 E o negativo de um vetor é 2 1 2 1 n n a a a a a a 41 Espaço de Matrizes Mm n O conjunto formado por todas as matrizes indicadas por Mm n é um espaço vetorial sobre K em relação às operações usuais de adição e multiplicação por um escalar Espaço de Polinômios Pt Para o conjunto de todos os polinômios indicados por Pt n ant a t a t a 2 2 1 0 com o coeficiente i a em algum corpo K Então Pt é um espaço vetorial sobre K em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação de um polinômio por uma constante 42 Subespaços Vetoriais Neste tópico vamos identificar e compreender quando um determinado conjunto é um Subespaço Vetorial Por definição temos que um subconjunto W contido em um espaço vetorial V com as mesmas operações adição e multiplicação de V é um subconjunto vetorial de V quando 0v є W u v є W u v є W α є R e u є W α u є W Exemplo Verifique se o conjunto de matrizes A é um subespaço M3 c b a A 0 0 0 0 0 0 42 Resolução Um subconjunto A contido em um espaço vetorial M3 com as mesmas operações adição e multiplicação de M3 é um subconjunto vetorial de M3 quando 0v є A u v є A u v є A α є R e u є A α u є A 43 Exemplo Sendo V o espaço vetorial de todas as matrizes 2 x 2 sobre o corpo real R Mostre que W não é subespaço de V onde W consiste de todas as matrizes com determinante zero 44 43 Combinação Linear Dependência Linear e Bases Vamos compreender as definições de Combinação Linear Dependência Linear Dimensão e Base Combinação Linear Sejam un u u u 3 2 1 elementos do espaço vetorial V anun a u a u a u 3 3 2 2 1 1 é uma combinação linear de un u u u 3 2 1 Exemplo 1 9578 9000 500 70 8 9578 9 10³ 5 10 ² 7 10 8 Exemplo 2 Resolução 45 Exemplo 3 Sendo o espaço vetorial V R³ e S 100 010 001 verifique se S gera V Para todo a b c є R³ temos a b c a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 Estão os elementos de S geram R³ Dependência Linear Definição 1 Seja V um espaço vetorial sobre R dizemos que um conjunto L un u u u 3 2 1 C V é Linearmente Independente LI se e somente se a igualdade v anun a u a u a u 0 3 3 2 2 1 1 só for possível se 0 3 2 1 an a a a Definição 2 Seja V um espaço vetorial sobre R dizemos que um conjunto L un u u u 3 2 1 C V é Linearmente Dependente LD se e somente se a igualdade v anun a u a u a u 0 3 3 2 2 1 1 também for verdade se algum ia 0 Exemplo No espaço vetorial M2x2 verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI 11 4 0 3 7 2 0 4 1 1 0 3 A 0 11 3 4 0 4 2 0 7 3 0 0 0 0 11 4 0 7 3 2 0 1 4 1 0 3 c b a c b a c b a c b a 46 Resolvendo o sistema que é possível e indeterminado temos a 2c b c Mas c pode assumir qualquer valor real Sendo assim podemos afirmar que o conjunto indicado A é LD Exemplo No R³ verifique se B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é um conjunto LD ou LI a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 0 0 0 a 0 b 0 c 0 Resolvendo encontramos como solução a 0 b 0 e c 0 e como essa é o único resultado possível podemos afirmar que o conjunto B é LI 47 Dimensão de um Espaço Definição Dimensão de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir em um conjunto E formando uma coleção linearmente independente Se esse máximo não existe dizemos que V tem dimensão infinita Base Definição Um conjunto B contido em um espaço vetorial será a base desse espaço se todo elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente independente B é uma base de V B é LI e B V Se a base de um espaço vetorial tem k elementos esse espaço vetorial tem dimensão k Exemplo Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial S x y z Є R³ 2x y z 0 Desenvolvimento Analisando 2x y z 0 escolha uma das incógnitas para ficar isolada Qualquer incógnita z 2x y x y z x y 2x y x y z x 1 0 2 y 0 1 1 48 Temos B 1 0 2 0 1 1 vamos verificar se B é LI ou LD a 1 0 2 b 0 1 1 0 0 0 a 0 2a 0 b b 0 0 0 a 0 e b 0 B é LI Qualquer elemento de S é gerado por B 1 0 2 0 1 1 Logo B é a Base de S e dim S 2 Conclusão Neste bloco estudamos a definição de Espaços Vetoriais subespaços vetoriais Combinação e dependência Linear Também identificamos quando um conjunto de vetores é Linearmente Dependente LD ou Independente LI a definição de Base de um Espaço Vetorial e a Dimensão do Espaço Vetorial Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018