Geometria Analítica e Álgebra Linear: Posições Relativas entre Retas no R³

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 26 BLOCO 3 GEOMETRIA ANALÍTICA Neste bloco abordaremos as posições relativas ente as retas no R³ identificando quando duas retas são coplanares ou reversas e quando são paralelas distintas coincidentes ou concorrentes Teremos a oportunidade de estudar a definição do Plano no R³ conhecendo as equações Vetorial Paramétrica e Cartesiana do Plano Para finalizar veremos as posições relativas entre dois planos no R³ Aproveite o momento para aprender o máximo o possível Ótimos estudos 31 Posições Relativas entre Retas Estudando as duas retas r e s no R³ ao fixar um sistema ortogonal de coordenadas i j k O é possível identificar as posições relativas entre as duas sendo coplanares ou reversas Figura 11 Figura 12 Nas figuras 11 e 12 as retas r e s são coplanares e pertencem ao mesmo plano π Figura 13 Na figura 13 as retas r e s são reversas não existindo um mesmo plano que contém as retas r e s 27 Duas retas reversas Para ser possível expressar analiticamente que duas retas são reversas temos que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Ao calcular o produto misto de u v e AB se o resultado for diferente de zero podemos afirmar que as duas retas r e s são reversas 0 v AB u Exemplo Verifique se as retas r e s são reversas 4 3 3 2 2 1 z y x r e 1 1 2 4 4 3 z y s x Resolução Primeiro identificamos as coordenadas dos vetores diretores e dos pontos de referências A e B Reta r 4 3 u 2 A 1 2 3 Reta s 1 2 v 4 B 3 4 1 28 Segundo determinamos as coordenadas do segmento orientado AB 2 2 2 A B AB Terceiro calculamos o produto misto u v AB 34 2 2 2 1 2 4 4 3 2 v AB u 0 u v AB pois reversas retas são s e r Duas retas coplanares Agora com o objetivo de expressar analiticamente que duas retas são coplanares temos que admitir que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e que a outra reta s é definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Ao calcular o produto misto de u v e AB se o resultado for igual a zero podemos afirmar que as duas retas r e s pertencem ao mesmo plano ou seja r e s são coplanares Duas retas coplanares concorrentes Estudando as duas retas r e s temos que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v sendo s B v Temos que r e s são coplanares e concorrentes se 0 AB v u e R v u 29 As retas r e s são concorrentes onde o ponto P pertence às duas retas P s r Exemplo Verifique a posição relativa das retas r e s 2 53 2 4 0 u A r e 14 2 1 2 1 v B s Resolução Calculamos o produto misto de u v e AB 0 2 5 3 1 4 2 2 5 3 v AB u As retas r e s são coplanares Agora vamos verificar se v u u 3 5 2 e 142 v 1 2 4 5 2 3 1 4 2 2 5 3 pois v u Neste caso não existe um escalar α que ao multiplicar com as coordenadas do vetor v determine o vetor u Portanto as retas são coplanares e concorrentes 30 Duas retas coplanares paralelas distintas ou paralelas coincidentes Sendo a reta r definida por um ponto A e um vetor diretor u onde r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Temos que r e s são coplanares e 1 paralelas distintas se 0 AB v u e R v u Nesse caso as retas são paralelas distintas e não possuem um ponto em comum r s 2 paralelas coincidentes se 0 r B ou s A e R v u AB v u Exemplo Estude a posição relativa das retas 12 3 0 12 u A r e 4 2 6 4 0 4 v B s 31 Resolução Calculamos o produto misto de u v e AB 0 0 5 6 2 4 6 1 2 3 v AB u As retas r e s são coplanares Agora vamos verificar se v u 12 3 u e 24 6 v 2 1 4 2 6 3 2 4 6 1 2 3 pois v u As retas r e s são paralelas Será que são distintas ou coincidentes Para responder é necessário verificar se A ϵ s ou B ϵ r A equação normal de r é 0 0 0 1 1 1 c e b a c z z b y y a x x r 1 2 1 3 2 z y x r 32 Nesse caso vamos substituir as coordenadas do ponto B na equação de r 0 2 5 2 1 0 2 1 4 3 2 4 F Portanto B não pertence a r Dessa maneira podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas 32 Planos no R³ Identificar e compreender o plano no R³ conhecendo sua representação por meio das equações Pelo axioma da Geometria Euclidiana Três pontos distintos não colineares determinam um único plano 33 Definição de Plano Um Plano determinado por um ponto A e por dois vetores u e v é o conjunto dos pontos P de R³ que satisfazem à relação R v u A P v u AP Equação Vetorial do Plano π R v u A P Equações Paramétricas do Plano π 2 1 2 1 2 1 R c c z z b b y y a a x x A A A Equação Cartesiana ou Geral do Plano π 0 d cz by ax Escreva a equação vetorial paramétrica e cartesiana do plano π que passa pelos pontos A 1 0 1 B 0 1 1 e C 1 2 1 34 Resolução Dentre os três pontos escolhemos um para determinar o plano π CB v e CA u C Se BC v e BA u B Se AC v e AB u A Se Nesse caso vamos trabalhar com o ponto A Equação Vetorial do Plano π Equações Paramétricas do Plano π 35 Equação Cartesiana ou Geral do Plano π 33 Posições relativas no R³ Em R³ dois planos α e β podem ser concorrentes ou paralelos Plano e Plano Paralelos distintos Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos distintos no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d e c c b b a a n n n n 36 Exemplo Verifique a posição dos planos 0 7 6 4 2 0 5 3 2 z y x e z y x Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 3 2 n1 1 do plano α 6 4 2 n2 do plano β Os planos são paralelos distintos pois 52 7 32 6 22 4 21 2 2 2 1 2 1 e n n n n Plano e Plano Paralelos coincidentes Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 37 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a n n n n Exemplo Verifique a posição entre os planos α x 3y 6z 5 0 e β 2x 6y 12z 10 0 Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 6 3 n1 1 do plano α 10 6 2 n2 do plano β Os planos são paralelos coincidentes pois 62 12 52 10 32 6 12 2 2 2 1 2 1 n n n n Plano a Plano Concorrentes Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x 38 Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 2 1 n n e sendo v o vetor diretor da reta r temos que 2 1 n n v Nesse caso as equações da reta r são da forma geral 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y x a d c z b y a x r Exemplo Verifique a posição entre os planos α x 2y z 5 0 e β 2x y 3z 1 0 Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 1 2 1 1 n do plano α 3 1 2 2 n do plano β Os planos são concorrentes pois 3 1 1 2 2 1 2 1 n n Conclusão Abordamos neste bloco as posições relativas ente as retas no R³ identificando quando duas retas são coplanares ou reversas e quando são paralelas distintas coincidentes ou concorrentes Tivemos a oportunidade de estudar a definição do Plano no R³ conhecendo as equações Vetorial Paramétricas e Cartesianas do Plano Por fim vimos posições relativas entre dois planos no R³ Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018