Geometria Analítica e Álgebra Linear - Conteúdo e Sumário

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 2 SUMÁRIO BLOCO 1 VETORES 3 BLOCO 2 VETORES NO R³ E GEOMETRIA ANALÍTICA 12 BLOCO 3 GEOMETRIA ANALÍTICA 26 BLOCO 4 ESPAÇOS VETORIAIS 39 BLOCO 5 ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO 49 BLOCO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR 58 3 BLOCO 1 VETORES Neste bloco abordaremos Vetores no R³ um conteúdo fundamental para as demais disciplinas dos cursos de Engenharia Iniciaremos nossos estudos a respeito desse tópico explorando sua definição seu ponto no espaço e os segmentos orientados equipolentes Em seguida analisaremos o vetor em coordenadas por meio da igualdade e adição de vetores do ponto médio do segmento e o módulo do vetor Por fim encerraremos o bloco com o produto de vetor por um escalar Apesar de esse tema parecer assustador recomendo que você tenha coragem e não se intimide pois após o término deste momento de aprendizagem eu garanto esse medo será superado Bons estudos 11 Definição de Vetores no R³ O ponto no R³ Neste primeiro momento estudaremos o ponto no R³ realizando a representação em três dimensões em outras palavras no espaço Dessa forma será necessário utilizar três coordenadas x y z trabalhando com três eixos coordenados das abscissas x das ordenadas y e das cotas z 4 Na figura consideramos os três eixos concorrentes no ponto O e perpendiculares dois a dois determinando o espaço R³ Temos o ponto P indicado pelas coordenadas P P P z y x Segmentos Orientados Equipolentes Definição Dois segmentos orientados AB e CD são equipolentes quando ambos possuem o mesmo módulo direção e sentido sendo indicado como AB CD Relação de equivalência I Reflexividade Todo segmento orientado do espaço é equipolente a si mesmo AB AB II Simetria Se o segmento orientado AB é equipolente à CD então CD é equipolente à AB se AB CD CD AB III Transitividade Se o segmento orientado AB é equipolente à CD e se CD é equipolente à EF então AB é equipolente à EF se EF AB EF CD e CD AB 5 Definição de Vetores no R³ Vetor é uma classe de equivalência de segmentos orientados equipolentes ou seja é um conjunto de segmentos orientados equipolentes Dessa forma um vetor determinado por um segmento orientado AB é o conjunto de todos os segmentos orientados no espaço que são equipolentes à AB Na figura temos os segmentos orientados AB CD e MN que são equipolentes isso acontece por que eles possuem mesmo comprimento direção e sentido assim representam o mesmo vetor v 12 Vetor em Coordenadas Neste momento vamos compreender a representação do vetor no espaço estudando suas coordenadas no R³ Definição Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados que têm as mesmas coordenadas 6 O segmento orientado AB com origem em A e extremidade B tem as coordenadas Exemplo 1 Apresente as coordenadas do vetor indicado Assim podemos afirmar que qualquer um dos segmentos orientados anteriores representa o mesmo vetor Todos os vetores do espaço R³ são denotados por V³ onde R³ é o conjunto de todos os ternos ordenados de números reais e o conjunto V³ é o conjunto de todos os vetores do espaço R³ 7 Notação para coordenadas do vetor x y z B A BA u x y z A B AB v Igualdade de Vetores 1 1 1 x y z v 2 2 2 y z x u 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z z y y x x z y x x y z u v Dois vetores são iguais se possuem as mesmas coordenadas Exemplo 2 Qual é o par de vetores iguais 8 Adição de Vetores 1 1 1 v x y z 2 2 2 z y u x 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 z y z x y x x y z x y z u v A adição entre dois vetores é realizada com a soma da coordenada x de um vetor com a x do outro da mesma forma y com y e z com z A adição entre dois vetores determina outro vetor Exemplo 3 Desenvolva 7 32 v 165 u u a v 897 1 6 7 35 2 v u u b v 63 3 1 76 35 2 v u 9 Ponto Médio Módulo do Vetor 13 Produto de Vetor por um Escalar Agora vamos entender como realizar o produto de vetor com um escalar sendo esse um número real Sejam o vetor v e um escalar β um número real qualquer tal que ³ R e V x y z v Produto de vetor por um escalar z y x x y z v 10 Dessa forma temos que o produto de vetor por um escalar é a multiplicação do escalar com cada coordenada do vetor indicado Exemplo 1 Dados β 4 e 732 v calcule β Exemplo 2 Dados β 3 351 u e 264 v calcule βu v Exemplo 3 Determine as coordenadas do vetor 11 Exemplo 4 Dados os vetores a seguir determine as coordenadas do vetor x Conclusão Neste bloco estudamos os Vetores no R³ sua definição seu Ponto no Espaço os Segmentos Orientados Equipolentes o Vetor em Coordenadas a Igualdade de Vetores a Adição de Vetores o Ponto Médio do Segmento o Módulo do Vetor e o Produto de Vetor por um Escalar Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 12 BLOCO 2 VETORES NO R³ E GEOMETRIA ANALÍTICA Neste bloco teremos um estudo inicial sobre o Sistema de Coordenadas para compreender o vetor o ponto e a reta no espaço o vetor unitário a regra do triangulo e a adição de vetores Em seguida analisaremos os Produtos entre Vetores o Produto Escalar ou Interno o Produto Vetorial ou Externo e o Produto Misto Por fim vamos explorar a Geometria Analítica abordando o conteúdo sobre a Reta no R³ para ser possível estudarmos sua representação por meio de equações Desejo um ótimo período de estudos 21 Sistemas de Coordenadas Neste momento vamos identificar o Sistema de Coordenadas em R³ Sendo O um ponto de R³ e i j k B uma base ortonormal positiva de V³ Ao par O B que também pode ser indicado por i j k O damos o nome de sistema ortogonal de coordenadas em R³ O ponto O é a origem do sistema Os eixos concorrentes em O que têm os sentidos dos vetores j k i denominamse respectivamente eixo das abscissas das ordenadas e das cotas Esses são os eixos coordenados 14 22 Produto entre Vetores Produto Escalar ou Produto Interno Definição Algébrica Sendo 1 1 1 z y u x e 2 2 2 z y v x vetores no V³ o produto escalar é dado por 2 1 2 1 1 2 z z y y x x u v Outra forma de indicar o produto escalar entre os dois vetores é v u onde se lê u escalar v É importante compreender que o produto escalar entre dois vetores determina um escalar ou seja um número real Exemplos 1 Dados os vetores u 2 3 5 e v 0 2 4 apresente o produto escalar v u Resolução 26 20 6 0 45 23 02 v u 2 Dados os vetores 271 u e 513 v apresente o produto escalar v u Resolução 14 10 7 3 52 17 13 v u 15 Propriedades do Produto Escalar Para quaisquer vetores w e v u e o número real β temos P1 v u u v P2 u w u v w u v P2 v u u v u v P4 000 0 0 0 0 se u u u e se u u u P5 2 u u u Definição Geométrica de Produto Escalar Se v e u forem vetores não nulos e θ for o ângulo entre eles temos cos u v u v u v sendo 0 θ 180 Dois vetores são ortogonais se e somente se 0 v u Projeção ortogonal de um vetor sobre outro vetor Seja θ o ângulo entre v e u 16 Em ambos os casos u é a projeção ortogonal do vetor v sobre o vetor u A notação é u u u v u v proju 2 Produto Vetorial ou Produto Externo O produto vetorial de dois vetores é uma operação que associa a cada par de vetores v u de V³ um vetor indicado por v u que se lê u vetorial v Outra Notação v x u Definição de Produto Vetorial Sendo 1 1 1 z y u x e 2 2 2 z y v x vetores quaisquer de V³ o produto vetorial é determinado 2 2 2 1 1 1 z y x z y x k j i v u Exemplo Para os vetores 2 31 u e v 0 4 5 apresente v u 17 Resolução 5 4 0 2 3 1 k j i v u Você lembra como se calcula a determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 Utilizamos essa ferramenta 4 5 7 4 5 7 8 5 4 15 03 42 51 41 02 53 4 3 0 1 5 4 0 2 3 1 k j i v u i j k i v u k i j k j i v u j k i j i v u O produto Vetorial entre dois vetores determina um vetor Propriedades Para quaisquer vetores w e v u e o número real β temos P1 v u v u v u P2 w u v u w v u P3 u v v u 18 Condições de Colinearidade entre dois Vetores Se v e u são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles temos que v e u são colineares se e somente se 0 u v Se v e u não são colineares então v u é o vetor que satisfaz as seguintes condições I 180 0 u v sen v u II O vetor v u é ortogonal a v e u Área de Paralelogramo Um paralelogramo cujos lados são os vetores v e u sua área é dada por v u A ramo parale log 19 Área de Triângulo Como o triângulo é a metade de um paralelogramo cujos lados são os vetores v e u sua área é dada por 2 v u Atriângulo Produto Misto Definição Sejam três vetores ³ V w v u tomados nessa ordem a expressão w u v Notação w u v ou u v w Sejam os vetores 1 1 1 z y u x 2 2 2 z y v x e 3 3 3 z y w x quaisquer de V³ O produto misto w u v u v w pode ser obtido pelo cálculo do determinante 3 3 3 2 2 2 1 1 1 z y x z y x z y x u v w O resultado do produto misto é um escalar 20 Propriedades Qualquer que seja β ϵ R temos P1 u v w w u v v w u u v w P2 v w u u v w v w u u 2 1 2 1 w u v u v w w v u v 2 1 2 1 1 2 1 2 1 u v w u v w w u v w Condições de Coplanaridade entre três vetores I Três vetores w e v u são coplanares se e somente se o produto misto entre eles resulta em zero 0 u v w II Se o produto misto entre os três vetores for diferente de zero os três vetores não são coplanares 0 u v w 21 Volume do Paralelepípedo Sendo o paralelepípedo de arestas w e v u conforme representação abaixo O volume do mesmo é dado por u v w V pedo paralelepí Sendo o módulo do produto misto u v w 23 Retas no R³ A reta no R³ Quando estudamos a reta seja no R² ou no R³ é fundamental conhecermos um dos axiomas da Geometria Euclidiana que afirma dois pontos distintos determinam uma única reta Dessa forma temos que dois pontos distintos 1 1 1 z y A x e 2 2 2 z y B x de R³ determinam uma reta r Um ponto P x y z pertence à reta r se e somente se os vetores AP e AB forem linearmente dependentes LD ou ainda se AP e AB são paralelos Logo um ponto P pertence à reta se e somente se existir um escalar λ tal que AB AP 22 Definição de reta Reta determinada por um ponto A e um vetor v 0 é o conjunto dos pontos P de R³ que satisfazem a relação R v A P AB AP O vetor v é chamado de vetor diretor da reta r Equação vetorial da reta R v A P R P r ³ Uma reta fica bem definida ao determinar um ponto e a direção pelo vetor diretor Exemplo Escreva a equação vetorial da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro se determina um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso trabalharemos com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v A equação vetorial será R x y z r 452 24 5 23 Equações Paramétricas da Reta r 1 1 1 R c z z b y y a x x r Onde x y e z são coordenadas do ponto P P x y z O ponto de referência possui as coordenadas 1 1 1 z y e x 1 1 1 z y A x e o vetor diretor v a b c Exemplo Escreva as equações paramétricas da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro determine um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso trabalharemos com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v Equações paramétricas 4 2 5 4 2 5 R z y x r 24 Equação Normal ou Simétrica da Reta Equação Normal da reta r 0 0 0 1 1 1 c e b a c z z b y y a x x r Onde x y e z são coordenadas do ponto P P x y z O ponto de referência possui as coordenadas 1 1 1 z y e x 1 1 1 z y A x e o vetor diretor v a b c Exemplo Escreva a equação normal da reta r que passa pelos pontos A 5 4 2 e B 3 1 6 Resolução Primeiro determina um ponto como referência A ou B Ao escolher um ponto temos o vetor diretor que depende do ponto escolhido Ou seja se escolher A o vetor diretor v será v AB Agora se o ponto escolhido for o B o vetor diretor v será v BA Para este caso vamos trabalhar com o ponto A O vetor diretor 452 A B AB v Equação Normal 4 2 5 4 2 5 z y x r 25 Conclusão Estudamos neste bloco o sistema de coordenadas para compreender o vetor o ponto e a reta no espaço o vetor unitário a regra do triangulo e a adição de vetores Em seguida analisamos os produtos entre os vetores o produto escalar ou interno o produto vetorial ou externo e o produtos misto Por fim exploramos a geometria analítica abordando o conteúdo sobre a Reta no R³ desta forma foi possível estudarmos sua representação por meio de equações Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 26 BLOCO 3 GEOMETRIA ANALÍTICA Neste bloco abordaremos as posições relativas ente as retas no R³ identificando quando duas retas são coplanares ou reversas e quando são paralelas distintas coincidentes ou concorrentes Teremos a oportunidade de estudar a definição do Plano no R³ conhecendo as equações Vetorial Paramétrica e Cartesiana do Plano Para finalizar veremos as posições relativas entre dois planos no R³ Aproveite o momento para aprender o máximo o possível Ótimos estudos 31 Posições Relativas entre Retas Estudando as duas retas r e s no R³ ao fixar um sistema ortogonal de coordenadas i j k O é possível identificar as posições relativas entre as duas sendo coplanares ou reversas Figura 11 Figura 12 Nas figuras 11 e 12 as retas r e s são coplanares e pertencem ao mesmo plano π Figura 13 Na figura 13 as retas r e s são reversas não existindo um mesmo plano que contém as retas r e s 27 Duas retas reversas Para ser possível expressar analiticamente que duas retas são reversas temos que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Ao calcular o produto misto de u v e AB se o resultado for diferente de zero podemos afirmar que as duas retas r e s são reversas 0 v AB u Exemplo Verifique se as retas r e s são reversas 4 3 3 2 2 1 z y x r e 1 1 2 4 4 3 z y s x Resolução Primeiro identificamos as coordenadas dos vetores diretores e dos pontos de referências A e B Reta r 4 3 u 2 A 1 2 3 Reta s 1 2 v 4 B 3 4 1 28 Segundo determinamos as coordenadas do segmento orientado AB 2 2 2 A B AB Terceiro calculamos o produto misto u v AB 34 2 2 2 1 2 4 4 3 2 v AB u 0 u v AB pois reversas retas são s e r Duas retas coplanares Agora com o objetivo de expressar analiticamente que duas retas são coplanares temos que admitir que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e que a outra reta s é definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Ao calcular o produto misto de u v e AB se o resultado for igual a zero podemos afirmar que as duas retas r e s pertencem ao mesmo plano ou seja r e s são coplanares Duas retas coplanares concorrentes Estudando as duas retas r e s temos que a reta r é definida por um ponto A e um vetor diretor u sendo r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v sendo s B v Temos que r e s são coplanares e concorrentes se 0 AB v u e R v u 29 As retas r e s são concorrentes onde o ponto P pertence às duas retas P s r Exemplo Verifique a posição relativa das retas r e s 2 53 2 4 0 u A r e 14 2 1 2 1 v B s Resolução Calculamos o produto misto de u v e AB 0 2 5 3 1 4 2 2 5 3 v AB u As retas r e s são coplanares Agora vamos verificar se v u u 3 5 2 e 142 v 1 2 4 5 2 3 1 4 2 2 5 3 pois v u Neste caso não existe um escalar α que ao multiplicar com as coordenadas do vetor v determine o vetor u Portanto as retas são coplanares e concorrentes 30 Duas retas coplanares paralelas distintas ou paralelas coincidentes Sendo a reta r definida por um ponto A e um vetor diretor u onde r A u e a outra reta s definida por um ponto B e um vetor diretor v s B v Temos que r e s são coplanares e 1 paralelas distintas se 0 AB v u e R v u Nesse caso as retas são paralelas distintas e não possuem um ponto em comum r s 2 paralelas coincidentes se 0 r B ou s A e R v u AB v u Exemplo Estude a posição relativa das retas 12 3 0 12 u A r e 4 2 6 4 0 4 v B s 31 Resolução Calculamos o produto misto de u v e AB 0 0 5 6 2 4 6 1 2 3 v AB u As retas r e s são coplanares Agora vamos verificar se v u 12 3 u e 24 6 v 2 1 4 2 6 3 2 4 6 1 2 3 pois v u As retas r e s são paralelas Será que são distintas ou coincidentes Para responder é necessário verificar se A ϵ s ou B ϵ r A equação normal de r é 0 0 0 1 1 1 c e b a c z z b y y a x x r 1 2 1 3 2 z y x r 32 Nesse caso vamos substituir as coordenadas do ponto B na equação de r 0 2 5 2 1 0 2 1 4 3 2 4 F Portanto B não pertence a r Dessa maneira podemos concluir que as retas r e s são paralelas distintas 32 Planos no R³ Identificar e compreender o plano no R³ conhecendo sua representação por meio das equações Pelo axioma da Geometria Euclidiana Três pontos distintos não colineares determinam um único plano 33 Definição de Plano Um Plano determinado por um ponto A e por dois vetores u e v é o conjunto dos pontos P de R³ que satisfazem à relação R v u A P v u AP Equação Vetorial do Plano π R v u A P Equações Paramétricas do Plano π 2 1 2 1 2 1 R c c z z b b y y a a x x A A A Equação Cartesiana ou Geral do Plano π 0 d cz by ax Escreva a equação vetorial paramétrica e cartesiana do plano π que passa pelos pontos A 1 0 1 B 0 1 1 e C 1 2 1 34 Resolução Dentre os três pontos escolhemos um para determinar o plano π CB v e CA u C Se BC v e BA u B Se AC v e AB u A Se Nesse caso vamos trabalhar com o ponto A Equação Vetorial do Plano π Equações Paramétricas do Plano π 35 Equação Cartesiana ou Geral do Plano π 33 Posições relativas no R³ Em R³ dois planos α e β podem ser concorrentes ou paralelos Plano e Plano Paralelos distintos Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos distintos no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d e c c b b a a n n n n 36 Exemplo Verifique a posição dos planos 0 7 6 4 2 0 5 3 2 z y x e z y x Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 3 2 n1 1 do plano α 6 4 2 n2 do plano β Os planos são paralelos distintos pois 52 7 32 6 22 4 21 2 2 2 1 2 1 e n n n n Plano e Plano Paralelos coincidentes Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 37 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 d d c c b b a a n n n n Exemplo Verifique a posição entre os planos α x 3y 6z 5 0 e β 2x 6y 12z 10 0 Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 6 3 n1 1 do plano α 10 6 2 n2 do plano β Os planos são paralelos coincidentes pois 62 12 52 10 32 6 12 2 2 2 1 2 1 n n n n Plano a Plano Concorrentes Para expressar analiticamente que dois planos são paralelos coincidentes no R³ trabalhamos com as equações cartesianas dos planos α e β 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y a x e d c z b y a x 38 Sendo 1 1 1 1 c b n a o vetor normal do plano α e 2 2 2 2 c b n a o vetor normal do plano β 2 1 n n e sendo v o vetor diretor da reta r temos que 2 1 n n v Nesse caso as equações da reta r são da forma geral 0 0 2 2 2 2 1 1 1 1 d c z b y x a d c z b y a x r Exemplo Verifique a posição entre os planos α x 2y z 5 0 e β 2x y 3z 1 0 Resolução Determinamos as coordenadas dos vetores normais de cada plano 1 2 1 1 n do plano α 3 1 2 2 n do plano β Os planos são concorrentes pois 3 1 1 2 2 1 2 1 n n Conclusão Abordamos neste bloco as posições relativas ente as retas no R³ identificando quando duas retas são coplanares ou reversas e quando são paralelas distintas coincidentes ou concorrentes Tivemos a oportunidade de estudar a definição do Plano no R³ conhecendo as equações Vetorial Paramétricas e Cartesianas do Plano Por fim vimos posições relativas entre dois planos no R³ Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 39 BLOCO 4 ESPAÇOS VETORIAIS Estudaremos neste bloco a definição de Espaços Vetoriais conhecendo alguns exemplos clássicos Em seguida conheceremos a definição de Subespaços Vetoriais de forma resumida e direta estudando as três condições para definir se um subconjunto assume esse papel Outros tópicos fundamentais para darmos continuidade aos nossos estudos são a Combinação e a dependência Linear os critérios para a identificação de um conjunto de vetores como Linearmente Dependente LD ou Independente LI a definição de Base de um Espaço Vetorial e a Dimensão do Espaço Vetorial Bons estudos 41 Espaços Vetoriais Definição Um conjunto V não vazio V ø é um espaço vetorial sobre R ou C para quaisquer u v є V e α β є R se e somente se existir a operação de adição em R definida como v u v u V VxV Com as seguintes propriedades A1 comutatividade da adição de vetores u v v u A2 associatividade da adição de vetores u vw u v w A3 elemento neutro u 0v 0v u u A4 simetrizável u u 0 40 Ainda um determinado conjunto V não vazio V ø é um espaço vetorial sobre R ou C para quaisquer u v є V e α β є R se e somente se existir uma multiplicação de R x V em V que associa a cada par α u de R x V um único elemento αu de V definida como v v V RxV x Para a multiplicação valem as propriedades M1 associatividade dos escalares αβu αβ u M2 distributividade do produto de um vetor pela soma de escalares αβ u α u β u M3 distributividade do produto de um escalar pela soma de vetores α u v α u α v M4 elemento unitário 1 u u Exemplos de Espaços Vetoriais Espaço n K Seja K um corpo arbitrário onde a notação n K assume o papel de denotar o conjunto de todas as ênuplas de elementos em K Nesse caso n K é um espaço vetorial sobre K onde a adição de vetores e a multiplicação por escalar se definem como 2 2 1 1 2 1 2 1 n n n n b a b a b a b b b a a a e 2 1 2 1 n n k a k a k a a a k a O vetor zero de n K é a ênupla de zeros 0 0 0 0 0 E o negativo de um vetor é 2 1 2 1 n n a a a a a a 41 Espaço de Matrizes Mm n O conjunto formado por todas as matrizes indicadas por Mm n é um espaço vetorial sobre K em relação às operações usuais de adição e multiplicação por um escalar Espaço de Polinômios Pt Para o conjunto de todos os polinômios indicados por Pt n ant a t a t a 2 2 1 0 com o coeficiente i a em algum corpo K Então Pt é um espaço vetorial sobre K em relação às operações usuais de adição de polinômios e multiplicação de um polinômio por uma constante 42 Subespaços Vetoriais Neste tópico vamos identificar e compreender quando um determinado conjunto é um Subespaço Vetorial Por definição temos que um subconjunto W contido em um espaço vetorial V com as mesmas operações adição e multiplicação de V é um subconjunto vetorial de V quando 0v є W u v є W u v є W α є R e u є W α u є W Exemplo Verifique se o conjunto de matrizes A é um subespaço M3 c b a A 0 0 0 0 0 0 42 Resolução Um subconjunto A contido em um espaço vetorial M3 com as mesmas operações adição e multiplicação de M3 é um subconjunto vetorial de M3 quando 0v є A u v є A u v є A α є R e u є A α u є A 43 Exemplo Sendo V o espaço vetorial de todas as matrizes 2 x 2 sobre o corpo real R Mostre que W não é subespaço de V onde W consiste de todas as matrizes com determinante zero 44 43 Combinação Linear Dependência Linear e Bases Vamos compreender as definições de Combinação Linear Dependência Linear Dimensão e Base Combinação Linear Sejam un u u u 3 2 1 elementos do espaço vetorial V anun a u a u a u 3 3 2 2 1 1 é uma combinação linear de un u u u 3 2 1 Exemplo 1 9578 9000 500 70 8 9578 9 10³ 5 10 ² 7 10 8 Exemplo 2 Resolução 45 Exemplo 3 Sendo o espaço vetorial V R³ e S 100 010 001 verifique se S gera V Para todo a b c є R³ temos a b c a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 Estão os elementos de S geram R³ Dependência Linear Definição 1 Seja V um espaço vetorial sobre R dizemos que um conjunto L un u u u 3 2 1 C V é Linearmente Independente LI se e somente se a igualdade v anun a u a u a u 0 3 3 2 2 1 1 só for possível se 0 3 2 1 an a a a Definição 2 Seja V um espaço vetorial sobre R dizemos que um conjunto L un u u u 3 2 1 C V é Linearmente Dependente LD se e somente se a igualdade v anun a u a u a u 0 3 3 2 2 1 1 também for verdade se algum ia 0 Exemplo No espaço vetorial M2x2 verifique se o conjunto a seguir é LD ou LI 11 4 0 3 7 2 0 4 1 1 0 3 A 0 11 3 4 0 4 2 0 7 3 0 0 0 0 11 4 0 7 3 2 0 1 4 1 0 3 c b a c b a c b a c b a 46 Resolvendo o sistema que é possível e indeterminado temos a 2c b c Mas c pode assumir qualquer valor real Sendo assim podemos afirmar que o conjunto indicado A é LD Exemplo No R³ verifique se B 1 0 0 0 1 0 0 0 1 é um conjunto LD ou LI a 1 0 0 b 0 1 0 c 0 0 1 0 0 0 a 0 b 0 c 0 Resolvendo encontramos como solução a 0 b 0 e c 0 e como essa é o único resultado possível podemos afirmar que o conjunto B é LI 47 Dimensão de um Espaço Definição Dimensão de um espaço vetorial V é o número máximo de vetores que se pode reunir em um conjunto E formando uma coleção linearmente independente Se esse máximo não existe dizemos que V tem dimensão infinita Base Definição Um conjunto B contido em um espaço vetorial será a base desse espaço se todo elemento de V for uma combinação linear dos elementos de B e se B for linearmente independente B é uma base de V B é LI e B V Se a base de um espaço vetorial tem k elementos esse espaço vetorial tem dimensão k Exemplo Determine a dimensão e uma base para o espaço vetorial S x y z Є R³ 2x y z 0 Desenvolvimento Analisando 2x y z 0 escolha uma das incógnitas para ficar isolada Qualquer incógnita z 2x y x y z x y 2x y x y z x 1 0 2 y 0 1 1 48 Temos B 1 0 2 0 1 1 vamos verificar se B é LI ou LD a 1 0 2 b 0 1 1 0 0 0 a 0 2a 0 b b 0 0 0 a 0 e b 0 B é LI Qualquer elemento de S é gerado por B 1 0 2 0 1 1 Logo B é a Base de S e dim S 2 Conclusão Neste bloco estudamos a definição de Espaços Vetoriais subespaços vetoriais Combinação e dependência Linear Também identificamos quando um conjunto de vetores é Linearmente Dependente LD ou Independente LI a definição de Base de um Espaço Vetorial e a Dimensão do Espaço Vetorial Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 49 BLOCO 5 ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO Estudaremos neste bloco a definição de Vetores para a realização de um estudo aprofundado sobre composição de Vetores Vetores Unitários Produto Interno de dois Vetores Módulos de dois Vetores Cosseno do Ângulo de dois Vetores Desigualdade de CauchySchwarz e finalizaremos com a definição de Ortogonalidade Bons estudos 51 Módulo de Dois Vetores Vamos identificar e compreender o Espaço Vetorial Euclidiano definindo os Vetores e estudando os módulos de dois vetores Vetores no R² Definição É toda função R² em R² tal que dados a e b são reais e fixos fx y x a y b Um vetor determinado pelo ponto a b é imagem do ponto 0 0 Definição Geral Agora a definição de vetores seja em qualquer dimensão está associada à definição no R² É toda função 2 2 1 1 2 1 n n n n n a x a x a x x f x x que tal R f R 50 Adição de Vetores no n R Para qualquer n maior ou igual a 1 aplicar um vetor após o outro é adicionar esses vetores Propriedades A1 É comutativa Lei do paralelogramo A2 É associativa A3 Tem elemento neutro 0 0 0 0 A4 Para todo elemento de V u há um oposto aditivo u Vetores Unitários No R² os vetores i 1 0 e j 0 1 i j são Linearmente Independentes LI i j é base canônica do R² Qualquer vetor no R² pode ser escrito como uma combinação linear de i e j No R³ os vetores i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 i j k são Linearmente Independentes LI i j k é base canônica do R² Qualquer vetor no R³ pode ser escrito como uma combinação linear de i j e k Sendo n ϵ N é possível determinar uma base canônica de Rn 51 Produto Interno de dois vetores O produto interno no espaço vetorial V sobre R ou C é toda função de V em V V x V que associa cada par de vetores u v a um número real representado por u v ou u v tal que uv vu uv w uv uw αuv α uv α ϵ R u u 0 para todo u ϵ V u u 0 se e somente se u 0 Propriedades do Produto Interno Comutativa uv vu Distributiva uv w uv uw II u II 0 t uv tvv t ϵ R Dois vetores são ortogonais se o produto interno é zero Espaço Vetorial Euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno Para os vetores u 2 3 4 v 7 3 1 e w 1 3 5 temos a u v u v 2 7 3 3 4 1 14 9 4 27 b u w u w 2 1 3 3 4 5 2 9 20 13 52 Módulo de dois vetores Definição Módulo do vetor é a raiz quadrada do produto interno de u por u ² ² ² c b a u u u a b c u 52 Cosseno do Ângulo de Dois Vetores Sendo u e v dois vetores de um espaço vetorial V Trabalhando com V R² vamos estudar esse conceito θ é o ângulo gerado pelo vetor u e o eixo x α é o ângulo gerado pelos vetores u e v α θ β β é o ângulo gerado pelo vetor v e o eixo x cosα cosθ β cosθ cosβ senθ senβ 53 Dessa maneira podemos afirmar que u cos c cateto adjacente ao ângulo θ sobre a hipotenusa v cos a cateto adjacente ao ângulo β sobre a hipotenusa u d sen cateto oposto ao ângulo θ sobre a hipotenusa v b sen cateto oposto ao ângulo β sobre a hipotenusa Logo v u v u v b u d v a u c cos Exemplo Determine o valor do cos β sendo β um ângulo formado pelos vetores u 2 5 e v 4 3 Resolução v u v u cos Para 29 ²5 ²2 u 5 25 3² 4² v 145 29 23 29 5 29 23 29 29 29 5 23 29 5 15 8 5 3 29 5 5 4 29 2 cos 145 23 29 cos 54 Desigualdade de CauchySchwarz É a desigualdade que afirma que o módulo do produto interno de dois vetores é menor ou igual ao produto de seus módulos u v u v Pela desigualdade de CauchySchwarz para quaisquer vetores u v ϵ V temos que u v u v u v u v u v ² Sendo V um espaço com produto interno Então a norma em V verifica as seguintes propriedades N1 0 0 v e v se e somente se v 0 N2 k v k v N3 v u v u N3 é a propriedade chamada de desigualdade triangular pois u v como lado do triângulo formado por u e v onde N3 afirma que o comprimento de um lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois 55 Exemplo Para os vetores u 2 3 e v 4 5 verifique se u v u v é verdadeiro Resolução 7 7 8 15 35 42 54 2 3 u v 533 13 41 25 9 16 4 54 2 3 u v Podemos afirmar que u v u v 533 7 53 Ortogonalidade Definição Dois vetores u e v não nulos do Espaço Vetorial Euclidiano V são ortogonais se o produto interno de u e v forem nulos u v 0 A relação é simétrica isto é se u é ortogonal a v uv 0 e assim v é ortogonal a u uv v u 0 É importante compreender que 0 ϵ V é ortogonal a todo vetor v ϵ V pois 0 v 0v v 0 v v 0 De forma recíproca se u é ortogonal a todo v ϵ V então u u 0 portanto u 0 56 Lembrando que se u e v são ortogonais temos cos θ 0 sendo θ ângulo formado pelos vetores u e v θ 90 pois u e v são perpendiculares Todo sistema ortogonal é Linearmente Independente LI Base ortogonal é toda base cujos vetores dois a dois são ortogonais Base ortonormal é a base ortogonal cujos vetores têm módulos iguais a 1 Exemplo Suponha que S consiste dos três vetores seguintes em R³ u 1 2 1 v 2 1 4 e w 3 2 1 Resolução Vamos verificar se S é ortogonal estudando se u v e w são mutuamente ortogonais Assim S é LI formado por 3 elementos Dessa forma S é a base ortogonal de para R³ Para qualquer vetor a b c ϵ V temos a b c x u y v z w a b c x 1 2 1 y 2 1 4 z 3 2 1 57 Exemplo Ache k de modo que os vetores u 1 2 k 3 e v 3 k 7 5 sejam ortogonais em 4 R Conclusão Neste bloco estudamos a definição de Vetores com o objetivo de realizar um estudo aprofundado sobre a composição de Vetores Vetores Unitários Produto Interno de dois Vetores Módulos de dois Vetores Cosseno do Ângulo de dois Vetores Desigualdade de CauchySchwarz e finalizamos com a definição de Ortogonalidade Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018 58 BLOCO 6 TRANSFORMAÇÃO LINEAR Neste último bloco estudaremos a definição de uma Transformação Linear conhecendo seus exemplos e contraexemplos Em seguida a veremos por meio de uma Matriz Aprenderemos também a Transformação do Vetor Nulo a Imagem e o Núcleo de uma Transformação Linear a Transformação linear como combinação linear e as Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear 61 Transformações Lineares Definição Dados os espaços vetoriais U e W sobre o corpo K definimos transformação linear sobre K com uma função f de U em W tal que dado u w ϵ U e o escalar k ϵ K verificamse as seguintes condições i f u w f u f w ii f ku k f u Exemplo Sendo f R² em R² f x y x 0 verifique se f é uma transformação linear Resolução Para verificar se a função indicada por f é uma transformação linear estudamos as condições i f u w f u f w ii f ku k f u 59 Verificando R² é um espaço vetorial com os vetores v a b e w c d onde pela definição de f temos f u fa b a 0 e f w fc d c 0 1ª Condição f u w fu fw f u w fa b c d fa c b d a c 0 f u f w fa b f c d a 0 c 0 a c 0 1ª Condição f u w fu fw foi satisfeita Verificando 2ª Condição f ku k f u Sendo f u fa b a 0 pela definição de f Sendo f u fa b a 0 pela definição de f k f u k f a b k a 0 ka 0 2ª Condição f k u k fu também foi satisfeita Portanto f R² em R² fx y x 0 é uma transformação linear Contraexemplo Sendo f R em R f x 2x 1 verifique se f é uma transformação linear Para verificar se a função indicada por f é uma transformação linear estudamos as condições i f u w f u f w ii f ku k f u 60 Verificando R é um espaço vetorial com u ϵ R e w ϵ R onde pela definição de f temos f u 2 u 1 e f w 2 w 1 1ª Condição f u w fu fw f u w 2 u w 1 2 u 2 w 1 f u f w 2u 1 2w 1 2 u 2 w 2 1ª Condição f u w fu fw não foi satisfeita Portanto f R em R fx 2x 1 não é uma transformação linear Transformação Linear por meio de uma Matriz Exemplo Dada a matriz A aplicar uma transformação linear f R³ em R² 2 4 5 0 2 1 A Os vetores u e w de R² e R³ na forma de vetorcoluna u a b c e w r s s r w e c b a u 61 Resolução Portanto a matriz A representa uma transformação linear do R³ e R² em que os vetores dos conjuntos são escritos na forma de vetorcoluna Transformação Linear do Vetor Nulo Para uma transformação linear f U em W e sendo 0 o vetor nulo de U f0 0 ϵ W Onde as condições são satisfeitas I f u w fu fw f 0 0 f 0 f0 f0 0 II fku k fu fk0 k f0 k 0 0 Exemplo Sendo f R² em R² fx y x 0 Pela definição de f temos f0 0 0 0 Portanto f R² em R² fx y x 0 é uma transformação linear 62 Contraexemplo Sendo f R em R fx 3x 1 Pela definição de f temos f0 30 1 sendo diferente de zero Portanto se f0 0 f não é uma transformação linear É necessário que a imagem do vetor nulo seja ele próprio para indicar uma transformação linear mas o fato disso acontecer não é o suficiente para garantir que se trata de uma transformação linear 62 Núcleo de uma Transformação Linear Imagem de uma transformação Linear Definição Seja W U f uma transformação linear A imagem de f escrita Im f é o conjunto dos pontos imagem em W Im f w ϵ W fu w para qualquer u ϵ U Seja W U f uma transformação linear Então a imagem de f é um subconjunto de U Exemplo Seja ³ ³ R R f a transformação projeção sobre o plano xy fx y z x y 0 63 Dessa forma a imagem de f é o plano xy Sendo Im f a b 0 a b ϵ R Núcleo de uma Transformação Linear Definida a transformação linear W U f denominamos núcleo dessa transformação linear o conjunto de todos os vetores de U que têm como imagem o 0 zero pertencente a W Sua representação é dada por N f u ϵ U fu 0 Exemplos 1 Sendo ³ ³ R R f a transformação projeção sobre o plano xy fx y z x y 0 64 Dessa forma é possível identificar que o núcleo de f é o eixo dos z Sendo N f 0 0 c c ϵ R uma vez que esses pontos e somente esses pontos são transformados no vetor nulo 0 0 0 0 2 Sendo f R² em R² fx y x 0 apresente o núcleo dessa transformação linear Resolução Sendo todos os elementos de R² com x 0 temos como imagem 0 0 Logo N f 0 y ϵ R² Dessa forma o conjunto N f é representado no plano cartesiano pelo eixo dos y 63 Transformação Linear como Combinação Linear Sendo W U f uma transformação linear nos espaços vetoriais U e W temos fu w fu fw e fku k fu podemos afirmar que para os vetores u v ϵ U f s v f r u s v f r u f v f u v f u e s f v s v f r f u f r u Onde fru fsv r fu s fv permitindo a devida denotação fru s v r fu s fv Podemos afirmar que a transformação linear de uma combinação linear de u e v ru sv é a combinação de fu e fv para r e s escalares Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear Uma base 2 1 nb B b b gera todo o espaço vetorial U ou seja cada vetor u ϵ U é uma combinação linear dos elementos de B an bn a b a b u 2 2 1 1 65 Ao aplicar f em u determinamos fu sendo uma combinação linear das transformações lineares de nb b b 2 1 ou seja 2 2 1 1 n n a f b a f b a f b f u Não podemos afirmar que 2 1 nb f f b f b é uma base de W sem antes estudar a condição para o mesmo ser uma base Exemplo Dada a base B 1 1 1 1 2 3 2 1 1 do R³ e a transformação linear f de R³ em R³ em que f 1 1 1 2 0 1 f 1 2 3 3 1 3 e f 2 1 1 1 3 1 Sem conhecer a definição de f apresente f 3 9 10 Resolução Sendo B a base do R³ podemos afirmar que 3 9 10 é uma combinação linear 3 9 10 a 1 1 1 b 1 2 3 c 2 1 1 Nesse caso é necessário determinar os valores de a b e c 10 3 9 2 3 2 c b a c b a c b a Ao resolver o sistema temos a 2 b 3 e c 1 Dessa forma temos que 2 2 1 1 n n a f b a f b a f b f u 610 12 10 93 1 3 1 93 9 204 10 93 131 1 31 3 3 102 2 10 93 11 2 321 11 1 10 93 f f f c f b f a f f Portanto podemos afirmar que f3 9 10 12 6 10 66 Conclusão Neste bloco estudamos a definição de uma Transformação Linear a Transformação Linear por meio de uma Matriz a Transformação do Vetor Nulo Imagem de uma Transformação Linear Núcleo de uma Transformação Linear Transformação linear como combinação linear Bases de um Espaço Vetorial e Transformação Linear Ao concluirmos nossa disciplina gostaria de agradecer por ter chegado até aqui e deixar meus votos de sucesso para as demais etapas da sua jornada Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018