Estudo sobre Espaço Vetorial Euclidiano e Propriedades de Vetores

GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Roberto Carlos Lourenço 49 BLOCO 5 ESPAÇO VETORIAL EUCLIDIANO Estudaremos neste bloco a definição de Vetores para a realização de um estudo aprofundado sobre composição de Vetores Vetores Unitários Produto Interno de dois Vetores Módulos de dois Vetores Cosseno do Ângulo de dois Vetores Desigualdade de CauchySchwarz e finalizaremos com a definição de Ortogonalidade Bons estudos 51 Módulo de Dois Vetores Vamos identificar e compreender o Espaço Vetorial Euclidiano definindo os Vetores e estudando os módulos de dois vetores Vetores no R² Definição É toda função R² em R² tal que dados a e b são reais e fixos fx y x a y b Um vetor determinado pelo ponto a b é imagem do ponto 0 0 Definição Geral Agora a definição de vetores seja em qualquer dimensão está associada à definição no R² É toda função 2 2 1 1 2 1 n n n n n a x a x a x x f x x que tal R f R 50 Adição de Vetores no n R Para qualquer n maior ou igual a 1 aplicar um vetor após o outro é adicionar esses vetores Propriedades A1 É comutativa Lei do paralelogramo A2 É associativa A3 Tem elemento neutro 0 0 0 0 A4 Para todo elemento de V u há um oposto aditivo u Vetores Unitários No R² os vetores i 1 0 e j 0 1 i j são Linearmente Independentes LI i j é base canônica do R² Qualquer vetor no R² pode ser escrito como uma combinação linear de i e j No R³ os vetores i 1 0 0 j 0 1 0 e k 0 0 1 i j k são Linearmente Independentes LI i j k é base canônica do R² Qualquer vetor no R³ pode ser escrito como uma combinação linear de i j e k Sendo n ϵ N é possível determinar uma base canônica de Rn 51 Produto Interno de dois vetores O produto interno no espaço vetorial V sobre R ou C é toda função de V em V V x V que associa cada par de vetores u v a um número real representado por u v ou u v tal que uv vu uv w uv uw αuv α uv α ϵ R u u 0 para todo u ϵ V u u 0 se e somente se u 0 Propriedades do Produto Interno Comutativa uv vu Distributiva uv w uv uw II u II 0 t uv tvv t ϵ R Dois vetores são ortogonais se o produto interno é zero Espaço Vetorial Euclidiano é um espaço vetorial real de dimensão finita munido de um produto interno Para os vetores u 2 3 4 v 7 3 1 e w 1 3 5 temos a u v u v 2 7 3 3 4 1 14 9 4 27 b u w u w 2 1 3 3 4 5 2 9 20 13 52 Módulo de dois vetores Definição Módulo do vetor é a raiz quadrada do produto interno de u por u ² ² ² c b a u u u a b c u 52 Cosseno do Ângulo de Dois Vetores Sendo u e v dois vetores de um espaço vetorial V Trabalhando com V R² vamos estudar esse conceito θ é o ângulo gerado pelo vetor u e o eixo x α é o ângulo gerado pelos vetores u e v α θ β β é o ângulo gerado pelo vetor v e o eixo x cosα cosθ β cosθ cosβ senθ senβ 53 Dessa maneira podemos afirmar que u cos c cateto adjacente ao ângulo θ sobre a hipotenusa v cos a cateto adjacente ao ângulo β sobre a hipotenusa u d sen cateto oposto ao ângulo θ sobre a hipotenusa v b sen cateto oposto ao ângulo β sobre a hipotenusa Logo v u v u v b u d v a u c cos Exemplo Determine o valor do cos β sendo β um ângulo formado pelos vetores u 2 5 e v 4 3 Resolução v u v u cos Para 29 ²5 ²2 u 5 25 3² 4² v 145 29 23 29 5 29 23 29 29 29 5 23 29 5 15 8 5 3 29 5 5 4 29 2 cos 145 23 29 cos 54 Desigualdade de CauchySchwarz É a desigualdade que afirma que o módulo do produto interno de dois vetores é menor ou igual ao produto de seus módulos u v u v Pela desigualdade de CauchySchwarz para quaisquer vetores u v ϵ V temos que u v u v u v u v u v ² Sendo V um espaço com produto interno Então a norma em V verifica as seguintes propriedades N1 0 0 v e v se e somente se v 0 N2 k v k v N3 v u v u N3 é a propriedade chamada de desigualdade triangular pois u v como lado do triângulo formado por u e v onde N3 afirma que o comprimento de um lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois 55 Exemplo Para os vetores u 2 3 e v 4 5 verifique se u v u v é verdadeiro Resolução 7 7 8 15 35 42 54 2 3 u v 533 13 41 25 9 16 4 54 2 3 u v Podemos afirmar que u v u v 533 7 53 Ortogonalidade Definição Dois vetores u e v não nulos do Espaço Vetorial Euclidiano V são ortogonais se o produto interno de u e v forem nulos u v 0 A relação é simétrica isto é se u é ortogonal a v uv 0 e assim v é ortogonal a u uv v u 0 É importante compreender que 0 ϵ V é ortogonal a todo vetor v ϵ V pois 0 v 0v v 0 v v 0 De forma recíproca se u é ortogonal a todo v ϵ V então u u 0 portanto u 0 56 Lembrando que se u e v são ortogonais temos cos θ 0 sendo θ ângulo formado pelos vetores u e v θ 90 pois u e v são perpendiculares Todo sistema ortogonal é Linearmente Independente LI Base ortogonal é toda base cujos vetores dois a dois são ortogonais Base ortonormal é a base ortogonal cujos vetores têm módulos iguais a 1 Exemplo Suponha que S consiste dos três vetores seguintes em R³ u 1 2 1 v 2 1 4 e w 3 2 1 Resolução Vamos verificar se S é ortogonal estudando se u v e w são mutuamente ortogonais Assim S é LI formado por 3 elementos Dessa forma S é a base ortogonal de para R³ Para qualquer vetor a b c ϵ V temos a b c x u y v z w a b c x 1 2 1 y 2 1 4 z 3 2 1 57 Exemplo Ache k de modo que os vetores u 1 2 k 3 e v 3 k 7 5 sejam ortogonais em 4 R Conclusão Neste bloco estudamos a definição de Vetores com o objetivo de realizar um estudo aprofundado sobre a composição de Vetores Vetores Unitários Produto Interno de dois Vetores Módulos de dois Vetores Cosseno do Ângulo de dois Vetores Desigualdade de CauchySchwarz e finalizamos com a definição de Ortogonalidade Referências WINTERLE P Vetores e Geometria Analítica São Paulo Pearson Makron Books 2000 LIPSCHUTZ S Álgebra Linear Problemas e exercícios etc São Paulo Pearson Makron Books 1994 REIS G L SILVA V V Geometria Analítica Rio de Janeiro LTC 2012 LAY D C LAY S R MCDONALD J J Álgebra Linear e suas aplicações Rio de Janeiro LTC 2018