Geometria e Desenho Geométrico: Noções e Proposições Primitivas

GEOMETRIA E DESENHO GEOMÉTRICO Sandra Regina Leme Forster e Mariana Silva Ribeiro de Oliveira 2 SUMÁRIO 1 NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS 3 2 QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS 23 3 PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO 33 4 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS 48 5 GEOMETRIA ESPACIAL 63 6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS 77 3 1 NOÇÕES E PROPOSIÇÕES PRIMITIVAS Caro aluno neste bloco estudaremos a origem e os conceitos básicos de geometria como o ponto a reta o plano alguns postulados e axiomas Mais adiante aprofundaremos um pouco mais o assunto estudando o segmento de reta e os tipos de segmentos Dando sequência de forma detalhada trabalharemos com os ângulos e os triângulos Bons estudos 11 Origem histórica da Geometria conceito de ponto reta e plano axiomas e postulados A história da Geometria compõese de dois fios entrelaçados em que um deles narra o desenvolvimento de seu conteúdo e o outro sua natureza mutável Com início na Antiguidade a partir de origens modestas a Geometria cresceu gradualmente até alcançar as dimensões atuais As primeiras considerações feitas pelo homem a respeito da Geometria parecem ter se originado da observação proveniente da capacidade humana de reconhecer configurações físicas comparar formas e tamanhos Por exemplo a necessidade de delimitar a terra levou o homem à noção de figuras geométricas à construção de moradias às noções de verticalidade paralelismo e perpendicularidade a recipientes para conter líquidos desenvolvendo noções de volume e se fizermos uma pausa para imaginarmos situações que levaram o homem às descobertas da Geometria listaremos uma quantidade significativa de elementos os quais refletem conceitos geométricos elementares A partir dessa geometria elementar o homem primitivo passa a fazer ornamentos decorativos e desenhos os quais posteriormente prepararam o caminho para o desenvolvimento da Geometria Os mais antigos registros da atividade do homem no campo da Geometria datam de aproximadamente 3000 aC de materiais encontrados na Mesopotâmia Alguns desses registros por exemplo evidenciam que a geometria babilônica antiga por volta de 2000 aC estava relacionada à mensuração prática com apontamentos de que o 4 povo babilônio era exímio conhecedor de regras gerais para cálculos de áreas de retângulos triângulos retângulos e isósceles trapézio retângulo e o volume do paralelepípedo prisma reto entre outros Os povos antigos sabiam que lados correspondentes de dois triângulos retângulos semelhantes são proporcionais que a altura projetada de um vértice de um triângulo isósceles sobre sua base divideo ao meio e que o ângulo inscrito em um semicírculo é reto O Teorema Pitagórico também já era conhecido por volta do ano 2000 aC embora Pitágoras tenha vivido aproximadamente no século VI aC Ainda escrevendo sobre geometria prática não podemos esquecer que por volta de 2900 aC foi construída a pirâmide de Gizé No Egito Antigo os registros sobre diversos cálculos relacionados à Geometria foram encontrados nos papiros de Moscou e Rhind Outras civilizações antigas também contribuíram para a evolução da Geometria por meio de suas práticas porém a maioria dos registros se perdeu Essa geometria prática das civilizações antigas era conhecida como empírica Por volta do 2º milênio antes de Cristo o poder do Egito e da Babilônia diminui em virtude das mudanças econômicas Com isso novos povos passaram para o primeiro plano Nessa ocasião o desenvolvimento da Geometria foi passado para os gregos os quais transformaram a geometria empírica em geometria sistemática ou demonstrativa Segundo registros que datam do século VI aC a geometria demonstrativa grega teve origem com o trabalho de Tales de Mileto o qual levou a geometria do Egito para a Grécia e a ela aplicou procedimentos dedutivos da filosofia grega Pitágoras cerca de 572 aC pode ser considerado o continuador da sistematização da geometria iniciada por Tales Pitágoras fundou em Crotona sul da Itália a escola Pitagórica local onde por 200 anos foi produzida uma grande quantidade de sólida matemática tal como as propriedades das retas paralelas que foi aplicada na demonstração de que a soma dos ângulos de um triângulo qualquer é igual a dois ângulos retos Nesse período desenvolveuse uma teoria das proposições muito completa usada para deduzir propriedades de figuras semelhantes Havia ciência da existência de pelo menos três dos poliedros regulares Embora muitas dessas informações já fossem conhecidas pelos babilônios de tempos 5 mais antigos os aspectos dedutivos da Geometria devem ter sido aprimorados pelos pitagóricos Daí emergiram cadeias de proposições e conforme se alongavam e se ligavam umas às outras foi surgindo a ideia de desenvolver toda a Geometria Então por volta de 300 aC Euclides produziu sua obra Os elementos uma cadeia dedutiva única de 465 proposições compreendendo de maneira clara e harmoniosa geometria plana e espacial teoria dos números e álgebra geométrica grega O primeiro sistema axiomático conhecido é a Geometria Euclidiana desenvolvida pelo matemático grego Euclides A Geometria Euclidiana tem a mesma estrutura do que hoje denominamos de um sistema axiomático e teve uma grande importância na história do desenvolvimento da Matemática Um sistema axiomático é uma estrutura constituída de termos indefinidos termos definidos a partir dos termos indefinidos proposições envolvendo os termos indefinidos eou os termos definidos assumidas como verdadeiras e denominadas axiomas 111 Conceitos primitivos Tratase de conceitos que são aceitos por serem óbvios para explicar determinada teoria Esses conceitos são utilizados como base para construir os postulados axiomas que formam a estrutura lógica de uma teoria Como escrito anteriormente um axioma ou postulado é uma sentença que não pode ser provada ou demonstrada mas deve ser aceita para que uma teoria seja construída Veja alguns exemplos de postulados importantes para o estudo da Geometria 1 Existem infinitos pontos no universo 2 Existem infinitas retas no universo 3 Existem infinitos planos no universo 6 Na Geometria Euclidiana ponto reta e plano são exemplos de conceitos primitivos Ponto é representado com letras maiúsculas A B C Uma imagem que pode representar um ponto é a de um lápis tocando uma folha de papel Importante saber que não há dimensão para um ponto Reta é representada com letras minúsculas r s t ou com a notação como Uma imagem que pode representar uma reta é a de uma linha esticada Uma reta possui uma única dimensão e é formada por infinitos pontos Dados dois pontos distintos de uma reta sempre existirá um ponto entre eles também pertencente a essa reta pois a reta é infinita Para desenhar uma reta só são necessários dois pontos Esse é mais um postulado proveniente da Geometria Plano é representado com letras do alfabeto grego α alfa β beta γ gama Uma imagem que pode representar um plano é a de uma folha de papel No plano podemos fazer a representação de imagens bidimensionais tendo dessa forma largura e comprimento 7 Não é difícil entender que o plano é formado por um conjunto infinito e ilimitado de retas Importante observar que dentro dos planos é que são definidas as figuras geométricas bidimensionais 112 Alguns postulados da geometria A seguir serão listados alguns postulados da Geometria Sugerimos que leia cada um com atenção e representeos usando a linguagem matemática símbolos quando possível e desenheos a Uma reta tem infinitos pontos b Dois pontos são suficientes para representar uma reta c Três pontos são colineares quando por eles passa uma reta d Três pontos não colineares determinam um único plano e Se uma reta passa por dois pontos pertencentes a um plano a reta também pertence a esse plano f Duas retas são paralelas quando não têm nenhum ponto em comum ou seja elas não se interceptam g Duas retas são concorrentes quando têm um ponto de intersecção ou seja quando as retas não são paralelas h Duas retas são perpendiculares quando além de concorrentes formam ângulos de 90 a notação é usada para representar que duas retas são perpendiculares Observação os ângulos serão estudados mais adiante neste bloco 8 i Um feixe de retas paralelas é obtido se tomarmos três ou mais retas paralelas entre si j Por um ponto fora de uma reta só podemos traçar uma única paralela a essa reta 12 Segmentos de reta conceitos e definição 121 Partes e classificação da reta 1211 Semirreta Um ponto A de uma reta dividea em duas semirretas O ponto A é origem das semirretas e pertence a ambas Uma semirreta pode ser também indicada por dois pontos 1212 Segmento de reta Podemos definir segmento de reta como a intersecção de duas semirretas cada uma contendo a origem da outra Semirreta com origem em A e que contém B Semirreta com origem em A e que contém C 9 Dois segmentos de reta podem ser consecutivos colineares congruentes ou adjacentes Vamos estudar a diferença entre eles a Segmentos Congruentes O termo congruência não será definido A ideia intuitiva de congruência entre dois entes geométricos está associada às suas medidas Dois entes serão congruentes quando suas medidas forem iguais Mas o que é a medida de um segmento Medida de um ente geométrico é um número real positivo obtido pela comparação deste ente com um outro escolhido como unidade Ao escolhermos essa unidade estamos estabelecendo um sistema de medidas Conjunto de pontos compreendidos entre A e B Início em A Término em B É um recorte pedaço da reta r1 r2 10 b Segmentos Colineares São aqueles que são subconjuntos da mesma reta c Segmentos Consecutivos Dois segmentos de reta são ditos consecutivos quando a extremidade de um deles é a origem do outro d Segmentos Adjacentes Dois segmentos de reta são adjacentes se forem consecutivos e colineares simultaneamente B é extremidade de e 11 1213 Ponto Médio de um segmento M será ponto médio de um segmento se e somente se M pertencer a e for congruente a 1214 Razão e proporção entre dois segmentos A razão entre dois segmentos é o quociente entre eles desde que estejam na mesma unidade A proporção entre dois segmentos é a igualdade entre duas razões Vamos ver isso na prática São dados quatro segmentos com medidas 1 2 3 e 6 respectivamente As razões entre e são representadas por e ou seja e Agora mostre que nessa ordem são proporcionais Como a proporção é uma igualdade entre as razões devemos fazer daí temos que Note que a segunda razão pode ser obtida multiplicando por 3 os dois termos da razão ou seja e são proporcionais Uma outra forma de verificar essa proporcionalidade é observar que o produto dos extremos é igual ao produto dos meios dessas duas razões Assim B é extremidade de e e além disso A B e C são colineares 12 13 Ângulos definição congruência e comparação adição e bissetriz de ângulos medida de ângulos Ângulo é uma região no plano limitada por duas semirretas de mesma origem Uma região angular é determinada pela união dos conjuntos dos pontos interiores e dos pontos do ângulo 131 Soma de ângulos A soma de dois ângulos pode ser observada a seguir X3 X3 2 X 3 6 Produto dos Meios 1 X 6 6 Produto dos Extremos Vértice Lado Semirreta Lado Semirreta ou Ponto do ângulo Ponto interior Ponto exterior Esse conjunto forma a região angular 13 132 Classificação dos ângulos A seguir vamos ver como os ângulos podem ser classificados a Ângulos consecutivos Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo vértice e pelo menos um lado em comum b Ângulos adjacentes Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quando a intersecção entre seus conjuntos de pontos interiores for vazia Os ângulos e são consecutivos pois têm o lado comum Os ângulos e são consecutivos pois têm o lado comum Também podemos escrever que essa soma será dada por 14 c Congruentes Dois ângulos são congruentes se e somente se eles têm mesma medida d Ângulo reto Quando duas retas e são concorrentes e determinam ângulos adjacentes congruentes elas são chamadas perpendiculares pois duas retas concorrentes determinam quatro regiões angulares adjacentes e se duas dessas regiões angulares adjacentes forem congruentes dizemos que qualquer uma delas define uma região de ângulo reto Os ângulos e são consecutivos e adjacentes pois não existe ponto interior da região que também pertença à região Os ângulos e são consecutivos e não adjacentes pois existem pontos interiores da região que também são pontos da região Veja e P 15 e Ângulo agudo Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do que a medida de um ângulo reto ou seja menor que 90 f Ângulo obtuso Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do que a medida de um ângulo reto ou seja maior que 90 g Ângulo raso Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas opostas A medida de um ângulo raso corresponde a dois ângulos retos ou a 180 P é ponto de intersecção entre as das duas retas mas os ângulos adjacentes não são congruentes logo não são de 90 ou seja retos O é ponto de intersecção entre as das duas retas e os ângulos adjacentes são congruentes logo são de 90 ou seja retos é agudo é obtuso é raso 16 h Ângulos complementares Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é um ângulo reto Um dos ângulos é chamado complemento do outro i Ângulos suplementares Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é um ângulo raso Um dos ângulos é chamado suplemento do outro j Ângulos replementares Dois ângulos são replementares quando a soma de suas medidas é um ângulo de 360 ou seja soma quatro ângulos retos Um dos ângulos é chamado replemento do outro k Ângulos opostos pelo vértice OPV Ângulos opostos pelo vértice são aqueles em que os lados de um são semirretas opostas aos lados do outro Os ângulos e são OPV pois a partir do vértice O a semirreta é oposta à semirreta e a semirreta é oposta à semirreta 180 O ângulo é o suplemento do O suplemento de um ângulo de medida é 90 O ângulo é o complemento do O complemento de um ângulo de medida é 360 O ângulo é o replemento do O replemento de um ângulo de medida é 17 Teorema se dois ângulos são opostos pelo vértice então eles são congruentes Demonstração 133 Bissetriz de um ângulo A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes 134 Ângulos de duas retas com uma reta transversal A seguir você poderá observar que quando uma reta intercepta duas retas distintas são formados 8 ângulos Na figura a seguir esses ângulos estão enumerados de 1 a 8 é bissetriz de logo podemos afirmar que 18 Como pode ser observado os ângulos 1 e 4 2 e 3 5 e 8 e 6 e 7 são ângulos opostos pelo vértice Ainda em relação a esses 8 ângulos podem ser observadas as seguintes classificações a Os ângulos 2 e 5 e os ângulos 4 e 7 são colaterais internos b Os ângulos 1 e 6 e os ângulos 3 e 8 são colaterais externos c Os ângulos 2 e 7 e os ângulos 4 e 5 são alternos internos d Os ângulos 1 e 8 e os ângulos 3 e 6 são alternos externos e Os ângulos 1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8 são correspondentes 14 Triângulos conceitos elementos e classificação congruência de triângulos Dados três pontos não colineares A B e C chamase triângulo a união dos três segmentos e O triângulo é um polígono com três lados e três ângulos internos poli vários gonos ângulos Uma forma de representar a palavra e a figura triângulo em um texto é com o símbolo Assim o triângulo a seguir pode ser representado por 19 141 Elementos de um triângulo Os pontos A B e C são os vértices do triângulo Os segmentos e são lados do triângulo que também são representados por e são os ângulos internos do triângulo E a soma desses ângulos é igual a 180 SAIBA MAIS Você já parou para pensar por que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 A seguir você encontrará uma demonstração Você vai gostar são os ângulos externos do triângulo e a soma de cada ângulo externo com o interno adjacente a ele soma 180 portanto são ângulos suplementares Também é importante observar que um ângulo externo é igual à soma dos dois ângulos internos não adjacentes a ele Pontos não colineares São ângulos suplementares sssuplemenentaressuplem entares e Então Logo 20 142 Classificação dos triângulos Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados e quanto aos ângulos e assim serão denominados Em relação aos lados Em relação aos ângulos Em relação aos ângulos 143 Congruência de triângulos Definição Dois triângulos são congruentes se for possível estabelecer uma correspondência entre os vértices de um e os do outro de modo que os lados e os ângulos correspondentes sejam respectivamente congruentes Critérios de congruência A definição de congruência exige a congruência dos seis elementos enquanto os critérios de congruência nos permitem concluir que dois triângulos são congruentes a EQUILÁTERO ISÓSCELES ESCALENO tem os três lados congruentes tem dois lados congruentes todos os lados são de medidas diferentes ACUTÂNGULO RETÂNGULO OBTUSÂNGULO tem os três ângulos agudos tem um ângulo reto tem um ângulo obtuso 21 partir da congruência de três elementos convenientes São quatro os critérios de congruência de triângulos 1º Critério LLL Dois triângulos são congruentes quando possuem os três lados respectivamente congruentes 2º Critério LAL Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o ângulo entre eles respectivamente congruentes 3º Critério ALA Dois triângulos são congruentes quando possuem dois ângulos e o lado entre eles respectivamente congruentes 4º Critério LAAo Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado um ângulo e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes Observação Se dois triângulos retângulos possuem hipotenusas congruentes e um dos catetos congruentes então eles são congruentes 22 15 Desigualdade triangular Em todo triângulo a medida de cada um dos lados é sempre menor do que a soma das medidas dos outros dois lados AB AC BC BC AB AC AC AB BC Em um se AB for o maior lado é suficiente que AB AC BC para existir o triângulo Se A B e C são colineares então AB BC AC ou AB AC BC ou AC BC AB Conclusão Caro aluno chegamos ao fim deste primeiro bloco e com certeza você notou que todos os tópicos desenvolvidos são básicos porém de extrema importância para a continuidade desta disciplina Muitas propriedades e teoremas os quais nem foram enunciados dessa forma não foram demonstrados contudo mais adiante faremos a demonstração de alguns teoremas e citaremos postulados axiomas propriedades e teoremas deste bloco Com algumas demonstrações futuras esperamos que você se anime a voltar neste bloco sobre noções e proposições intuitivas e faça a demonstração de algumas propriedades aqui afirmadas É importante lembrar que neste bloco estudamos as origens históricas da Geometria segmento de reta ângulos triângulos e a desigualdade triangular REFERÊNCIAS COUCEIRO K C U dos S Geometria euclidiana Curitiba InterSaberes 2016 LEITE A E Geometria plana e trigonometria Curitiba InterSaberes 2014 23 2 QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS Caro aluno neste bloco estudaremos um pouco sobre paralelismo e perpendicularismo entre duas retas no plano e os ângulos que se formam a partir da intersecção de retas paralelas cortadas por uma transversal Em seguida estudaremos os quadriláteros e apresentaremos as propriedades dos quadriláteros notáveis as quais não serão demonstradas em um primeiro momento Para finalizarmos serão apresentados dois teoremas importantes o teorema da base média de um triângulo e o teorema da base média de um trapézio os quais serão demonstrados com a finalidade de mostrar a você o rigor e a beleza matemática 21 Paralelismo e perpendicularidade 211 Paralelismo Duas retas são paralelas quando são equidistantes durante toda sua extensão não possuindo nenhum ponto em comum No bloco anterior estudamos que quando uma reta intercepta duas retas e distintas são formados 8 ângulos e nomeamos cada um deles Agora vamos ver o que acontece quando as retas e são paralelas e é uma transversal não perpendicular a elas 24 Como os ângulos 1 e 4 2 e 3 5 e 8 e 6 e 7 são ângulos opostos pelo vértice Entre eles vão ser congruentes Também é importante notar que os ângulos 1 e 5 e 4 e 8 são congruentes e como os ângulos 1 e 4 são congruentes e 5 e 8 são congruentes então esses quatro ângulos apresentam a mesma medida Seja por exemplo essa medida O mesmo pode ser concluído sobre os ângulos 2 3 6 e 7 Então seja essa medida Observando a nova imagem com as marcas dos ângulos note que pois são suplementares Daí podemos concluir que a Os ângulos 2 e 5 e os ângulos 4 e 7 são colaterais internos e suplementares pois podese notar neles que b Os ângulos 1 e 6 e os ângulos 3 e 8 são colaterais externos e suplementares pois podese notar neles que c Os ângulos 2 e 7 e os ângulos 4 e 5 são alternos internos e congruentes Note que 2 e 7 são representados por e 4 e 5 são representados por d Os ângulos 1 e 8 e os ângulos 3 e 6 são alternos externos e congruentes Note que 3 e 6 são representados por e 1 e 8 são representados por e Os ângulos 1 e 5 2 e 6 3 e 7 4 e 8 são correspondentes e congruentes Note que 1 e 5 4 e 8 são representados por já os ângulos 2 e 6 3 e 7 são representados por Em resumo os ângulos determinados pela intersecção de duas paralelas por uma transversal são congruentes ou suplementares 212 Perpendicularismo A característica mais conhecida de duas retas perpendiculares é que no ponto de intersecção delas é formado um ângulo reto Ângulos de lados perpendiculares são congruentes ou suplementares 25 Por meio de atalhos das linhas paralelas descobrimos ângulos No nosso exemplo temos apenas ângulos de 60⁰ e 120⁰ conforme a figura a seguir A partir de um único ângulo é possível encontrar os outros ângulos reconhecendo padrões como o F e Z 22 Quadrilátero definição e elementos Definição Polígono que tem quatro lados Elementos e características Os pontos A B C e D são os vértices do quadrilátero 26 O vértice A é oposto ao vértice C assim como o vértice B é oposto do vértice D Os segmentos são os lados do quadrilátero O segmento é o lado oposto a assim como é oposto a Os segmentos são chamados de diagonais do quadrilátero A soma das medidas dos lados de um quadrilátero é o seu perímetro representado por 2p A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360 23 Propriedades dos trapézios e dos paralelogramos 231 Trapézio O trapézio apresenta dois lados paralelos e dois lados não paralelos Os dois lados paralelos são as bases bases lados transversais diagonais e a soma dos 4 ângulos é 360 pois é quadrilátero Se trapézio retângulo um dos lados não paralelos é perpendicular às bases A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 Então E Soma dos ângulos do quadrilátero 180 180 360 h 27 Se trapézio isósceles ângulos da base e as diagonais também são congruentes 232 Paralelogramos Paralelogramos são os quadriláteros que têm os lados opostos paralelos Temos quatro casos quadrado retângulo losango e paralelogramo Propriedades comuns aos paralelogramos Os ângulos opostos são congruentes Os lados opostos são congruentes As diagonais interceptamse em seus pontos médios 24 Propriedades do retângulo do losango e do quadrado 241 Retângulo Valem as propriedades do paralelogramo Tem quatro ângulos congruentes e retos 90 As diagonais são congruentes têm a mesma medida 28 242 Losango Valem as propriedades do paralelogramo Têm os quatro lados congruentes As diagonais são perpendiculares e são as bissetrizes dos ângulos internos As diagonais não são congruentes ou seja tem medidas diferentes 243 Quadrado Valem as propriedades do retângulo Valem as propriedades do losango Importante Você já ouviu falar em mapa conceitual Já fez um A seguir você poderá conhecerá um esquema que se assemelha a um mapa conceitual e trata dos temas quadriláteros e quadriláteros notáveis A forma o colorido e os detalhes de cada mapa dependem de gosto pessoal pois ele deve ser um bom instrumento de estudo e memorização para quem o realiza Para seus estudos você pode escolher um tema entre os apresentados aqui e fazer um mapa conceitual Você também pode compartilhálos com os colegas Tipos de Quadrilátero Quadrilátero qualquer com quatro lados genéricos Deltóide pipa dois pares adjacentes separados de lados congruentes Paralegramo dois pares de lados congruentes e paralelos Trapézio dois lados paralelos entre si Losango tem propriedades tanto de uma pipa quanto de um paralelogramo possui quatro lados congruentes porém nenhum reto Retângulos todos os ângulos internos são ângulos retos e há dois pares de lados paralelos congruentes Quadrado todos os seus ângulos internos são ângulos retos os seus quatro lados são congruentes Trapézio isósceles um par de lados paralelos e um par de lados congruentes Observe os ângulos retos entre as bases 30 25 Bases médias do triângulo e do trapézio Até o momento não fizemos nenhuma demonstração importante embora muitas afirmações já tenham sido apresentadas neste material Muitas provavelmente você poderá realizar com o seu conhecimento básico em Geometria Algumas delas são por exemplo a demonstração de cada um dos casos de congruência de triângulo teoremas sobre os ângulos formados pela intersecção de uma transversal com duas retas paralelas e as propriedades apresentadas sobre os quadriláteros notáveis Agora vamos demonstrar dois teoremas para você entender o que é que se espera de um aluno de um curso universitário sobre o rigor de uma demonstração Vamos a eles então 251 Teorema da base média de um triângulo Se um segmento tem extremidades nos pontos médios de dois lados de um triângulo então ele é paralelo ao terceiro lado e mede metade desse terceiro lado Prova sejam ABC um triângulo e M e N os pontos médios dos lados e respectivamente Vamos mostrar que é paralelo a e que Para tanto seja N o ponto médio de com MN ND Uma vez que MN ND AN NC e o critério LAL de congruência de triângulos garante que DNC MNA Assim MB MA DC e MAN DCN A partir daí os Teoremas dos Ângulos Alternos Internos aplicados às retas e à transversal garante que é paralela à Então como MB DC e de acordo com as propriedades de paralelogramos podemos afirmar que 31 O quadrilátero MBCD é um paralelogramo Logo é paralelo a e BC MD Portanto MN é paralelo à e 252 Teorema da Base Média de um trapézio Se um segmento tem extremidades nos pontos médios dos dois lados não paralelos de um trapézio admitindo que ele não seja um paralelogramo então esse segmento é paralelo às bases do trapézio e sua medida é igual à média aritmética das medidas das bases Prova seja ABCD um trapézio de bases e e sejam M e N os pontos médios dos lados não paralelos e respectivamente Vamos mostrar que é paralelo a e portanto a com Segue do axioma das paralelas que as semirretas e se interseptam num ponto E Como Teorema dos Alternos Internos ângulos OPV e BN CN os triângulos ENB e DNC são congruentes pelo critério ALA Portanto BE CD e N também é o ponto médio de DE de sorte que MN é base média de ADE Então aplicando o Teorema da Base Média de um Triângulo obtemos o resultado desejado Conclusão Neste bloco estudamos os quadriláteros notáveis os prérequisitos para o pleno entendimento desse tema bem como as propriedades e alguns teoremas 32 REFERÊNCIAS COUCEIRO K C U dos S Geometria euclidiana Curitiba InterSaberes 2016 FALLOW L Use a cabeça geometria 2D Alta Books 2011 LEITE A E Geometria plana e trigonometria Curitiba InterSaberes 2014 33 3 PONTOS NOTÁVEIS DO TRIÂNGULO Os pontos notáveis de um triângulo são elementos importantes e presentes em todos os triângulos Eles estão presentes na estrutura de formação e caracterização do triângulo Além dos elementos do triângulo já estudados no Bloco 1 vamos ter a oportunidade de conhecer mais alguns que são mediana baricentro bissetriz incentro ortocentro mediatriz e circuncentro Além desses temas estudaremos também o Teorema de Tales e algumas de suas aplicações e para finalizarmos serão demonstrados os Teoremas das Bissetrizes internas e externas 31 Baricentro Medianas e Incentro Bissetrizes internas 311 Baricentro O baricentro G de um triângulo está localizado no ponto de encontro das medianas A mediana é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto Como um triângulo tem três vértices têm três medianas Para medirmos o tamanho de uma mediana Md aplicamos a fórmula em que a é o lado do triângulo que a mediana intercepta e b e c são os outros dois lados O baricentro é o centro de gravidade do triângulo e divide cada mediana em duas partes tais que a parte que contém o vértice é o dobro da outra Veja isso na figura a seguir é a mediana relativa ao lado é a mediana relativa ao lado é a mediana relativa ao lado G é o baricentro do 34 1 2 GP CG GM BG GM AG 312 Incentro O incentro de um triângulo está localizado no ponto de encontro das bissetrizes internas Bissetriz é o segmento que divide um ângulo ao meio e une um vértice ao lado oposto Como um triângulo tem três vértices têm também três bissetrizes O incentro equidista dos lados do triângulo e é o centro da circunferência inscrita no triângulo é bissetriz relativa ao ângulo é bissetriz relativa ao ângulo é bissetriz relativa ao ângulo I é o incentro do N 35 32 Circuncentro Mediatrizes e Ortocentro Alturas 321 Circuncentro O circuncentro de um triângulo está localizado no ponto de encontro das mediatrizes Uma mediatriz é uma reta perpendicular a cada lado de um triângulo em seu ponto médio Observe na figura a seguir que o circuncentro coincide com o centro da circunferência circunscrita ao triângulo O circuncentro equidista dos vértices do triângulo 322 Ortocentro O ortocentro é o encontro das alturas de um triângulo Como os triângulos têm três lados têm também três alturas O circuncentro do triângulo acutângulo é sempre um ponto da região interior do triângulo O circuncentro do triângulo retângulo é o ponto médio da hipotenusa O circuncentro do triângulo obtusângulo é sempre um ponto da região exterior do triângulo Em um triângulo acutângulo o ortocentro está localizado no interior do triângulo é a altura relativa ao lado é a altura relativa ao lado é a altura relativa ao lado O é o ortocentro do 36 Algumas curiosidades A altura a mediana e a bissetriz por serem segmentos de reta que unem um vértice de um triângulo ao lado oposto a esse vértice ou ao prolongamento desse lado oposto são chamados de cevianas em homenagem ao matemático Giovanni Ceva No triângulo isósceles os quatro pontos notáveis são alinhados No triângulo equilátero os quatro pontos notáveis são coincidentes Legenda B Baricentro I Incentro C Circuncentro O Ortocentro Em um triângulo obtusângulo o ortocentro está localizado fora do triângulo Em um triângulo retângulo o ortocentro está localizado no vértice do ângulo reto Triângulo Isósceles Triângulo Equilátero 37 33 Teoremas de Tales definição e propriedade Teorema das bissetrizes interna e externa 331 Teorema de Tales definição e propriedades Tales foi um matemático grego nascido por volta do século VII e ficou famoso por determinar indiretamente a altura da pirâmide de Quéops Para esse fato considerou que os raios solares incidem sobre a superfície terrestre com um feixe de retas paralelas O Teorema de Tales indica que Se duas retas são transversais de um feixe de retas paralelas então a razão entre os dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre os respectivos segmentos correspondentes da outra 2 1 4 2 u u BC AB 2 1 4 2 u u C B A B De acordo com o Teorema de Tales é possível estabelecer muitas outras relações para esse mesmo feixe de retas paralelas Exemplo 1 Considere que rst e determine o comprimento de A B C A B C Portanto C B B A BC AB 38 De acordo com o teorema de Tales podemos escrever Aplicando a propriedade fundamental das proporções obtemos 5x 4 15 5x 60 x 12 Exemplo 2 O Teorema de Tales se aplica em diversas situações Vários problemas em que a saída é usar um triângulo é uma delas Vamos ver como isso se aplica Determine os lados AB e AC do triângulo a seguir Como o segmento é paralelo ao lado podemos escrever a seguinte proporção Aplicando a propriedade fundamental das proporções obtemos 6x2x4 2x2 2x 12 12x² 24x 4x² 24x 4x 24 12x² 4x² 4x 24 0 8x² 4x 24 0 2x² x 6 0 x 2 e desconsiderar a medida negativa Então AB 22 2 62 6 12 18 e AC 22 4 22 12 22 4 cm 5 cm 15 cm x cm 39 Observação Podemos generalizar essa ideia estabelecendo que Uma reta paralela a um lado de um triângulo qualquer que corta o triângulo em dois pontos distintos determina segmentos proporcionais Essa constatação permite que resolvamos problemas sem mesmo conhecer qualquer lado de um triângulo 332 Teorema da bissetriz interna Uma bissetriz interna de um triângulo divide o lado oposto em segmentos aditivos proporcionais aos lados adjacentes No triângulo ABC a seguir é a bissetriz do ângulo  Traçamos a reta paralela ao segmento AP passando no ponto C e prolongamos o lado AB do triângulo ABC Temos Ângulo AC P ˆ ângulo CQ A ˆ alternos internos Ângulo AP Bˆ ângulo QC A ˆ correspondentes Portanto o triângulo ACQ é isósceles e AC AQ Usando o teorema de Tales vem x y c b 40 333 Teorema da bissetriz externa Se a bissetriz de um ângulo externo de um triângulo intercepta a reta que contém o lado oposto então ela divide este lado oposto externamente em segmentos subtrativos proporcionais aos lados adjacentes No triângulo ABC AP é a bissetriz do ângulo externo A Traçamos a reta paralela de AP no ponto C obtendo o ponto Q temos Ângulo AC P ˆ ângulo CQ A ˆ alternos internos Ângulo AP Rˆ ângulo QC A ˆ correspondentes Portanto o triângulo ACQ é isósceles e AC AQ Usando o teorema de Tales vem y x c b 34 Semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se e somente se possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais R 41 O número é denominado razão de semelhança dos triângulos Se então os triângulos são congruentes A razão entre os perímetros dos triângulos também é igual à razão de semelhança Isso ocorre entre quaisquer elementos lineares como por exemplo as alturas MP NP MN AC BC AB K Se uma reta é paralela a um dos lados de um triângulo e intercepta os outros dois lados em pontos distintos então o triângulo que ela determina é semelhante ao primeiro DE BC ABC ADE P C N B M A MNP ABC ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k MP AC NP BC MN AB 42 341 Critérios de Semelhança 1o critério A A L ângulo ângulo lado Se dois triângulos possuem dois ângulos ordenadamente congruentes então eles são semelhantes 2o critério LAL lado ângulo lado Se dois lados de um triângulo são proporcionais aos homólogos de outro triângulo e os ângulos compreendidos são congruentes então os triângulos são semelhantes 3o critério LLL lado lado lado Se dois triângulos têm os lados homólogos proporcionais então eles são semelhantes 43 Observações Quando dois triângulos são semelhantes seus lados correspondentes são chamados de homólogos Nos casos estudados acima fica o lado é homólogo ao lado o lado é homólogo ao lado o lado é homólogo ao lado Como a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180 para saber se dois triângulos são semelhantes basta saber se dois ângulos correspondentes são congruentes Se isso acontecer automaticamente o terceiro ângulo será congruente Quando duas figuras semelhantes são representadas de tal modo que seus lados correspondentes são paralelos dizemos que elas são homotéticas 35 Triângulos retângulos relações métricas teorema de Pitágoras lei dos senos e lei dos cossenos 351 Relações métricas no triângulo retângulo Considerando um triângulo ABC retângulo em A vamos caracterizar os seguintes elementos conforme pode ser visto na figura a seguir 44 a hipotenusa b cateto c cateto altura relativa à hipotenusa HB projeção do cateto c sobre a hipotenusa projeção do cateto b sobre a hipotenusa Usando a semelhança de triângulo temos ABC HAC 1 2 a m b b a m b b c 2 a h h c b a ABC HBA AHC BHA 45 3 2 a n c n c c a 4 2 m n h h m n h Por meio dessas relações temos os seguintes enunciados O quadrado de cada cateto é igual ao produto entre sua projeção e a hipotenusa a m b 2 a n c 2 O quadrado da altura relativa à hipotenusa é igual ao produto entre as projeções dos catetos m n h 2 O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa a ela a h b c 352 Teorema de Pitágoras A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa Usando equações do item anterior 1 e 3 somando membro a membro temos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 a c b a a c b n a m c b an am c b a n c a m b 2 2 2 a c b SAIBA MAIS Você conhece mais alguma demonstração do Teorema de Pitágoras Com a figura a seguir você poderá vizualizar do que se trata a soma dos quadrados dos catetos ser igual ao quadrado da hipotenusa Anterior a Pitágoras egípcios e babilônios usavam essa relação para trabalhos práticos Soma dos quadrados dos catetos Teorema de Pitágoras a²b²c² Triângulo Retângulo Cateto b Palavra grega katetos Palavra latina cathetu Vertical ou perpendicular Lados adjacentes ao ângulo reto Hipotenusa Palavra grega hipotenusa Lado oposto ao ângulo reto de triângulo retângulo Agudo a²b²c² Obtuso a²b²c² 47 Conclusão Neste bloco estudamos os pontos notáveis de um triângulo O ortocentro é o ponto em que três alturas se encontram o baricentro está localizado no ponto de encontro das medianas a mediana é o segmento que une um vértice ao ponto médio do lado oposto e o incentro está localizado no ponto de encontro das bissetrizes Relembramos também o Teorema de Tales e suas aplicações nos triângulos Verificamos ainda que a bissetriz de um dos ângulos internos de um triângulo determina sobre o lado oposto ao ângulo segmentos proporcionais aos lados que formam o ângulo Estudamos a semelhança de triângulo e por último o triângulo retângulo com suas relações métricas e o Teorema de Pitágoras REFERÊNCIAS COUCEIRO K C U dos S Geometria euclidiana Curitiba InterSaberes 2016 DOLCE O POMPEO J N Fundamentos de matemática elementar geometria plana 7 ed São Paulo Atual 1993 FALLOW L Use a cabeça geometria 2D Alta Books 2011 LEITE A E Geometria plana e trigonometria Curitiba InterSaberes 2014 48 4 CIRCUNFERÊNCIA E POLÍGONOS Dois dos principais objetos de estudo da Geometria são as circunferências e os polígonos pois a partir deles é possível construir e determinar diversas medidas Tente imaginar uma circunferência um círculo ou um retângulo Temos por exemplo um campo de futebol em formato retangular e com um círculo central no campo Podemos pensar também nas construções de casas edifícios entre outros e observar que as figuras geométricas se fazem presentes Pois bem gostaria de convidálo para conhecer ainda mais sobre as figuras geométricas Vamos lá 41 Circunferência e círculo definição e elementos 411 Definição Dado um número real R e um ponto O a circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que estão a uma distância R do ponto O em que R é o raio da circunferência A região interna da circunferência unida com a própria circunferência chamase círculo ou seja o círculo é composto pela circunferência e por todos os seus pontos interiores Fonte elaborada pela autora Figura 41 Circunferência e círculo 49 412 Elementos Os elementos de uma circunferência são corda diâmetro raio e arco e os elementos do círculo são além dos citados na circunferência setor circular e segmento circular 4121 Elementos da circunferência A figura a seguir ilustra os elementos de uma circunferência Fonte elaborada pela autora Figura 42 Elementos de uma circunferência Considerando a Figura 42 os elementos de uma circunferência podem ser classificados da seguinte forma Corda segmento cujas extremidades pertencem à circunferência Diâmetro é uma corda que passa pelo centro Flecha segmento de reta que une o ponto médio da corda ao ponto médio do arco correspondente Raio segmento com uma extremidade no centro e a outra num ponto da circunferência 50 Outras características de uma circunferência têm relação com os seus arcos que podem ser classificados como Arco Maior e Arco Menor ambos no sentido antihorário na representação a seguir Fonte elaborada pela autora Figura 43 Arco Maior e Arco Menor 4122 Elementos do círculo Um círculo é um conjunto que inclui todos os pontos de uma circunferência e todos os pontos no interior dela Assim como em uma circunferência o círculo também tem suas características Além da corda diâmetro raio e arco já vistos anteriormente o círculo contém setor circular e segmento circular Consideremos um círculo de centro O e sejam A e B dois pontos da circunferência desde que não sejam extremidades de um diâmetro temse Fonte elaborada pela autora Figura 44 Setor circular menor e setor circular maior Setor Circular Maior AOB Reunião dos conjuntos dos pontos dos raios e de todos os pontos do círculo que estão no exterior do ângulo OB A ˆ Setor Circular Menor AOB Reunião dos conjuntos dos pontos dos raios e de todos os pontos do círculo que estão no interior do ângulo OB A ˆ 51 Consideremos novamente um círculo de centro O e sejam A e B dois pontos da circunferência que não sejam extremidades de um diâmetro temse Fonte elaborada pela autora Figura 45 Segmento circular maior e segmento circular menor SAIBA MAIS Semicircunferência é todo arco cujas extremidades são também extremidades de um diâmetro da circunferência 42 Ângulos na circunferência 421 Ângulo central Um ângulo central é aquele que tem o vértice no centro da circunferência Na figura a seguir é o arco correspondente ao ângulo central A medida do ângulo central é igual à medida de seu arco correspondente Temos que Importante Leia Segmento Circular Menor AB Interseção do círculo com o semiplano de origem na reta e que não contém o centro O Segmento Circular Maior AOB Interseção do círculo com o semiplano de origem na reta e que contém o centro O 52 Fonte elaborada pela autora Figura 46 Ângulo central 422 Ângulo inscrito Um ângulo inscrito é aquele que tem o vértice na circunferência e os lados secantes a ela Na figura a seguir é o arco correspondente ao ângulo inscrito A medida do ângulo inscrito é igual à metade da medida de seu arco correspondente ou seja Fonte elaborada pela autora Figura 47 Ângulo inscrito 423 Ângulo semiinscrito ou ângulo de segmento Referese a todo ângulo que tem como vértice um ponto da circunferência sendo um dos lados secante e o outro tangente à circunferência Na figura a seguir é o arco 53 correspondente ao ângulo semiinscrito A medida do ângulo semiinscrito é igual à metade da medida de seu arco correspondente ou seja Fonte elaborada pela autora Figura 48 Ângulo semiinscrito 424 Ângulo excêntrico interior É todo ângulo que tem como vértice um ponto distinto do centro da região interior de uma circunferência Na figura a seguir o ângulo é excêntrico interior e determina na circunferência os arcos e A medida do ângulo excêntrico interior PB A ˆ é igual à semissoma das medidas dos arcos correspondentes e ou seja Fonte elaborada pela autora Figura 49 Ângulo excêntrico interior 425 Ângulo excêntrico exterior É todo ângulo que tem como vértice um ponto da região exterior de uma circunferência e lados secantes ou tangentes à circunferência Na Figura 410 o ângulo PB A ˆ é excêntrico exterior e determina na circunferência os arcos e A 54 medida do ângulo excêntrico exterior PB A ˆ é igual à semidiferença das medidas dos arcos correspondentes e ou seja Fonte Elaborada pela autora Figura 410 Ângulo excêntrico exterior Exemplos 1 Determine o valor de 2 Determine o valor de e Resolução Sendo o valor de a medida do ângulo excêntrico exterior temos Resolução Sendo o valor de a medida do ângulo inscrito de arco correspondente igual a 120 temos Sendo o valor de a medida do ângulo central de arco correspondente igual a 120 temos 55 43 Polígonos regulares conceitos e propriedades Neste tópico estudaremos especificamente os polígonos regulares porém é necessário conhecer a definição de polígono e alguns pontos essenciais os quais serão citados Importante saber que todos os itens aqui descritos são fundamentais no estudo dos polígonos e fica um convite para que você se aprofunde nesses temas Então vamos iniciar o assunto Polígonos são figuras fechadas formadas apenas por segmentos de retas consecutivos A região poligonal é determinada pela união do polígono com os pontos de sua região interior Um polígono é convexo se e somente se a reta determinada por dois vértices consecutivos quaisquer torna todos os demais vértices num mesmo semiplano dos dois que ela determina ou ainda pode ser determinado por não apresentar nenhum ângulo interno superior a 180 Sua nomenclatura é dada de acordo com o número de lados ou número de ângulos por exemplo Um polígono com 4 lados é denominado de quadrilátero já um com 10 lados é denominado de decágono Um polígono é classificado como equilátero quando possui todos os lados congruentes como o losango por exemplo equiângulo quando possui todos os ângulos congruentes como o retângulo por exemplo e regular quando é equilátero e equiângulo simultaneamente que é o caso do quadrado Neste tópico daremos ênfase a esse tipo de polígono os polígonos regulares A figura a seguir apresenta alguns tipos de polígonos regulares e convexos com suas respectivas nomenclaturas 56 Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Decágono Dodecágono Fonte elaborado pela autora Figura 411 Nomenclatura de polígonos regulares Os polígonos regulares também podem ser inscritos em uma circunferência todos os seus vértices ficam sobre a mesma circunferência mas nem todo polígono inscrito é regular Cuidado A Figura 412 apresenta alguns exemplos de polígonos regulares inscritos na circunferência Triângulo Quadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octógono Decágono Dodecágono Fonte elaborada pela autora Figura 412 Polígonos inscritos na circunferência 57 431 Elementos de um polígono regular Os elementos de um polígono regular são raio ângulo central apótema do polígono raio da circunferência inscrita ângulos internos do polígono e centro Como um polígono regular está inscrito na circunferência então a circunferência está circunscrita ao polígono Também é importante perceber que se o polígono é regular nele também terá uma circunferência inscrita nesse caso todos os lados do polígono são tangentes à circunferência A partir daí podemos destacar os elementos do polígono regular 58 432 Relações métricas de alguns polígonos regulares A tabela a seguir apresenta a medida do apótema e do lado de um polígono em função de seu raio Polígono Nº de lados Lado Apótema Triângulo 3 Quadrado 4 Pentágono 5 Hexágono 6 Octógono 8 Decágono 10 433 Teorema para os quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis O quadrado o retângulo e o trapézio isósceles são sempre inscritíveis enquanto o losango um paralelogramo qualquer e o trapézio escaleno não são inscritíveis Teorema 1 em todo quadrilátero circunscrito a soma de dois lados opostos é igual à soma dos outros dois lados Teorema 2 em todo quadrilátero convexo inscrito os ângulos opostos são suplementares 59 Teorema 3 teorema recíproco ao teorema 2 todo quadrilátero convexo cujos os ângulo opostos são suplementares é inscritível Teorema 4 Teorema de Hiparco em todo quadrilátero inscrito o produto das diagonais é igual à soma dos produtos dos lados opostos 44 Áreas de superfícies planas retângulo quadrado e paralelogramo Área de um polígono é um número associado à sua superfície que exprime a relação entre essa superfície e a superfície de um quadrado de lado unitário Neste tópico apresentaremos as fórmulas para determinar a área da superfície do retângulo do quadrado e do paralelogramo 441 Área do quadrado A área do quadrado assim como de qualquer polígono compreende toda a superfície interna da figura Como o quadrado tem lados de mesma medida seja a medida do lado do quadrado e sua respectiva área então teremos que Atenção a unidade de medida de área sempre será uma unidade de comprimento elevado ao quadrado 442 Área do retângulo Sendo a área de um retângulo de dimensões e que também são os lados consecutivos dessa figura a área é o produto dessas dimensões 60 b h 443 Área do paralelogramo A figura a seguir é um paralelogramo de base e altura Ao recortála onde está marcado o ângulo reto e ao unir a figura cortada ao lado oposto obtemos um retângulo de lados e Isso significa que a área do paralelogramo de lado e altura é equivalente à área de um retângulo de lados e Portanto 45 Áreas de superfícies planas triângulo trapézio losango e círculo 451 Área do triângulo Um triângulo é formado por três pontos A B e C não colineares desde que a soma de dois de seuas ângulos seja maior que o terceiro A área é denominada como É possível observar que dois triângulos ABC formam o paralelogramo ABEC Logo a área do triângulo é dada como a metade da área do paralelogramo ou seja 61 452 Área do trapézio A figura a seguir representa o trapézio ABCD A área do trapézio é denominada pela soma de suas bases multiplicada pela altura e dividida por dois ou seja 453 Área do losango A figura a seguir ilustra um losango ACBD com a sua diagonal menor igual ao segmento e a diagonal maior igual ao segmento A área de um losango pode ser calculada a partir da seguinte fórmula 454 Área do círculo Um círculo é composto por toda a região interna e o contorno da circunferência Tem como característica um raio representado pelo segmento 62 A área do círculo AC pode ser calculada da seguinte forma Conclusão Neste bloco estudamos os elementos da circunferência e círculo bem como os ângulos inscrito central e excêntrico apresentando suas relações e como determinar tais medidas Relembramos também a definição e elementos dos polígonos regulares bem como suas nomenclaturas Por fim apresentamos como calcular a área do quadrado triângulo retângulo trapézio paralelogramo e círculo REFERÊNCIAS COUCEIRO K C U dos S Geometria euclidiana Curitiba InterSaberes 2016 DOLCE O POMPEO J N Fundamentos de matemática elementar geometria plana 7 ed São Paulo Atual 1993 LEITE A E Geometria plana e trigonometria Curitiba InterSaberes 2014 63 5 GEOMETRIA ESPACIAL A Geometria Espacial referese à área da matemática que estuda as figuras no espaço ou seja possuem mais de duas dimensões Assim como na Geometria Plana os conhecimentos relacionados à Geometria Espacial foram formalizados a partir dos conceitos primitivos os quais tiveram origem na Grécia Antiga cerca de 1000 a C Assim na sequência serão abordados conceitos primitivos e postulados complementando o que já foi apresentado em outros blocos bem como algumas posições e condições de existência de algumas figuras geométricas 51 Conceitos primitivos e postulados No estudo da Geometria é possível aceitar sem demonstração algumas noções e proposições primitivas ou postulados ou axiomas Os conceitos primitivos são denominados de ponto reta e plano 511 Ponto Um ponto é um elemento no espaço que indica posição O ponto não possui nenhuma dimensão e é indicado por letra maiúscula conforme exemplo a seguir A Ponto A B Ponto B Figura 51 Representação de pontos A e B 512 Reta Uma reta não possui espessura e é infinita É representada com uma seta para os dois sentidos e indicada por uma letra minúscula O exemplo a seguir ilustra a representação de uma reta 64 r Figura 52 Representação da reta 513 Plano Um plano não tem fronteira e é ilimitado em todas as direções Sua indicação é realizada com letras do alfabeto grego α β O exemplo a seguir representa o plano α Figura 53 Representação do plano α 514 Postulados da Geometria Um postulado é conhecido também como axioma ou seja é uma proposição admitida como verdade sem necessidade de comprovação Assim os postulados são classificados como de existência de determinação de inclusão e de interseção 5141 Postulados de existência I Numa reta e fora dela existem infinitos pontos II Num plano e fora dele existem infinitos pontos Fonte elaborada pela autora Figura 54 Postulados de existência α 65 5142 Postulados de determinação I Dois pontos distintos determinam uma única reta II Três pontos não colineares determinam um único plano Fonte elaborada pela autora Figura 55 Postulados de determinação 5143 Postulados da inclusão I Uma reta está contida num plano quando tem sobre o plano dois pontos II Um ponto pertence a um plano quando este pertence a uma reta do plano Fonte elaborada pela autora Figura 56 Postulados de inclusão 66 5144 Postulado da interseção I Se dois planos distintos têm um ponto em comum então eles têm uma única reta em comum que passa por esse ponto Fonte elaborada pela autora Figura 57 Postulado de interseção 52 Paralelismo e perpendicularidade Ao considerar os conceitos relacionados à reta e aos planos é possível identificar posições relativas entre eles a Posição relativa entre reta e plano A interseção da reta e o plano α é vazia Neste caso a reta é dita paralela ao plano ou seja Fonte elaborada pela autora Figura 58 Reta paralela ao plano 67 A interseção do plano α e da reta tem pelo menos dois pontos Neste caso temos que todos os pontos da reta pertencem ao plano α e dizemos que a reta está contida no plano α Fonte Elaborada pela autora Figura 59 Reta contida no plano b Posição relativa entre planos A interseção do plano α e do plano β é vazia Neste caso os planos são ditos paralelos distintos ou seja α β Fonte elaborada pela autora Figura 510 Planos paralelos A seguir a interseção do plano α e do plano β não é vazia e é uma reta Neste caso os planos podem ser transversais ou coincidentes 68 Fonte elaborada pela autora Figura 511 Planos coincidentes A interseção do plano α e do plano β não é vazia e eles formam um ângulo de 90 Obtêmse planos perpendiculares Fonte elaborada pela autora Figura 512 Planos perpendiculares 53 Diedros e triedros 531 Ângulo diedro Um ângulo diedro é o ângulo formado por dois semiplanos com mesma origem ou seja tem uma reta de inserção dos dois planos e não são coplanares 69 Seção reta de um ângulo diedro denominase de seção reta de um ângulo diedro o resultado da interseção do ângulo diedro com um plano perpendicular à sua aresta A figura a seguir representa a seção reta de um ângulo diedro composta por dois planos α e β Fonte elaborada pela autora Figura 513 Ângulo Diedro 532 Classificação para ângulo diedro Diedros consecutivos ocorrem quando dois diedros determinam ângulos consecutivos em sua seção reta Ou seja possuem vértice e um lado em comum Fonte elaborada pela autora Figura 514 Diedros consecutivos 70 Diedros adjacentes quando dois diedros determinam ângulos adjacentes em sua seção reta Ou seja possuem um lado em comum mas suas regiões determinadas não possuem pontos em comum Fonte elaborada pela autora Figura 515 Diedros adjacentes 533 Ângulo Triedro A definição de um triedro é o ângulo poliedro formado por três semirretas ou arestas Esse pode ter um dois ou três ângulos retos Dadas três semirretas com mesma origem P não coplanares considere os semiespaços E1 E2 e E3 O triedro determinado pelas semirretas é a interseção dos semiespaços A figura a seguir representa um triedro Fonte elaborada pela autora Figura 516 Ângulo triedro 71 54 Poliedros convexos e poliedros de Platão Os poliedros são figuras geométricas compostas por superfícies formadas de polígonos planos Os poliedros podem ser classificados como côncavos ou convexos Um poliedro é convexo quando dois pontos quaisquer pertencem à superfície e o segmento que tem esses pontos como extremidades está inteiramente contido no poliedro Caso exista algum segmento que não satisfaça essa condição temos um poliedro côncavo A figura a seguir representa um poliedro côncavo e um convexo Fonte elaborada pela autora Figura 517 Poliedro côncavo e poliedro convexo Conforme a Figura 517 o sólido I representa um poliedro convexo e o sólido II um côncavo pois é possível observar que a aresta pertence aos polígonos formados pelos vértices MNOP BCOP e BCEF o que não satisfaz as condições para um poliedro ser convexo Ainda se considerarmos um plano coincidente com o polígono MNOP este divide o polígono BCEF em dois semiespaços o que também deixa de ser característica de um polígono convexo Neste estudo enfatizaremos os poliedros convexos 541 Poliedros convexos Um poliedro convexo é composto por uma superfície poliédrica limitada denominada de regiões poligonais convexas As superfícies poliédricas limitadas convexas que têm 72 contorno são denominadas de abertas e as que não possuem são fechadas A figura a seguir representa um poliedro convexo Fonte elaborada pela autora Figura 518 Poliedro convexo 542 Elementos de um poliedro convexo Um poliedro convexo é composto por três elementos a aresta que é a intersecção de dois planos ou seja é a união de dois lados de um poliedro o vértice o lugar onde se encontram as arestas e a face formada por um polígono qualquer A figura a seguir representa esses três elementos de um poliedro Fonte elaborada pela autora Figura 519 Elementos de um poliedro convexo 543 Relação de Euler Para todo poliedro convexo aceitase a Relação de Euler que determina o seguinte V A F 2 73 Onde V é o número de vértices A é o número de arestas e F é o número de faces do poliedro Exemplo se considerarmos um poliedro convexo com 12 vértices e 8 faces o número de arestas será 18 pois aplicando a relação temos V A F 2 12 A 8 2 A 18 Logo é possível determinar qualquer elemento uma vez que se conheçam os outros dois SAIBA MAIS A Relação de Euler V A F 2 só pode ser utilizada para poliedros convexos 55 Poliedros de Platão ou Platônicos regulares Um poliedro é denominado de poliedro de Platão quando é regular ou seja todas as suas faces são polígonos com o mesmo número de lados todos os seus vértices são vértices de ângulos poliédricos com o mesmo número de arestas e obedece às condições da Relação de Euler V A F 2 Existem cinco e somente cinco classes de poliedros de Platão A figura a seguir representa esses cinco sólidos Hexaedro Cubo Tetraedro Octaedro Icosaedro e Dodecaedro Tetraedro é conhecido como pirâmide triangular Considerado um poliedro regular composto por quatro faces triangulares com três delas partindo do mesmo vértice Formada por quatro triângulos equiláteros ou seja eles possuem todos os lados congruentes O tetraedro é composto de 4 vértices 4 faces e 6 arestas 74 Fonte elaborada pela autora Figura 520 Tetraedro Hexaedro Cubo é um poliedro com 6 faces É denominado como um poliedro hexaedro regular ou ainda um paralelepípedo retângulo com todas as faces e arestas congruentes e perpendiculares Composto por 12 arestas 6 faces quadrangulares e 8 vértices Fonte elaborada pela autora Figura 521 Hexaedro Cubo Octaedro o octaedro regular é formado por oito triângulos equiláteros É composto por 12 arestas 6 vértices e 8 faces que possuem o formato de um triângulo equilátero ou seja um triângulo que possui as medidas dos seus lados congruentes Fonte elaborada pela autora Figura 522 Octaedro 75 Icosaedro o icosaedro regular é um sólido formado por 30 arestas 12 vértices e 20 faces no formato de um triângulo equilátero Assim como os outros poliedros de Platão este também pode ser inscrito na esfera Fonte elaborada pela autora Figura 523 Icosaedro Dodecaedro o dodecaedro regular é formado por doze pentágonos e não se divide em outros poliedros regulares Este sólido de Platão possui 30 arestas 20 vértices e 12 faces pentagonais É considerado um dos mais belos sólidos segundo Platão Fonte elaborada pela autora Figura 524 Dodecaedro Quanto aos números relacionados aos sólidos de Platão faces arestas e vértices observe o quadro a seguir 76 Quadro 51 Elementos dos Sólidos de Platão Sólido Número de faces Número de arestas Números de vértices Cubo 6 12 8 Tetraedro 4 6 4 Octaedro 8 12 6 Icosaedro 20 30 12 Dodecaedro 12 30 20 Fonte elaborada pela autora Conclusão Neste bloco estudamos os elementos primitivos da geometria as posições relativas entre retas e planos e entre planos e planos Foram apresentadas características e elementos dos diedros e triedros como também definimos os poliedros côncavos e os convexos Abordamos a definição de poliedros regulares bem como os Sólidos de Platão seus elementos e nomenclaturas REFERÊNCIAS COUCEIRO K C U dos S Geometria euclidiana Curitiba InterSaberes 2016 DOLCE O POMPEO J N Fundamentos de matemática elementar geometria plana 7 ed São Paulo Atual 1993 LEITE A E Geometria plana e trigonometria Curitiba InterSaberes 2014 77 6 SÓLIDOS GEOMÉTRICOS Caro aluno neste bloco estudaremos prismas pirâmides cilindros cones e esferas apresentando suas definições elementos nomenclaturas e métodos para calcular área e volume desses sólidos Será trabalhado também o Princípio de Cavalieri o qual busca apresentar a interseção de planos em sólidos geométricos Vamos lá Bom estudo 61 Prisma diagonal volume área e princípio de Cavalieri Considere α e β dois planos distintos e paralelos onde há uma reta passando pelos pontos A e B respectivamente Se tanto α quanto β possuírem uma região poligonal de lados e mesmas dimensões formase um prisma pela união de todas as arestas com linhas paralelas ao segmento de reta Os segmentos são chamados arestas das bases e formam os polígonos congruentes e paralelos e chamados de bases Os segmentos também congruentes e paralelos são chamados de arestas laterais e formam os paralelogramos chamados de faces laterais A distância entre os planos que contêm as bases do prisma é chamada altura do prisma e expressa por 78 611 Classificação e nomenclatura Prisma reto é aquele cujas arestas laterais são perpendiculares aos planos que contêm as bases Prisma oblíquo é aquele cujas arestas laterais são oblíquas aos planos que contêm as bases Prisma regular é aquele cuja base é um polígono regular Os prismas também podem ser nomeados conforme as bases 79 Prisma hexagonal Prisma triangular 612 Áreas e Volume A área total de um prisma é a soma das áreas de todas as faces do mesmo sendo a área lateral do prisma a área de uma das bases e a área total A área lateral de um prisma é a soma das áreas de todas as suas faces laterais ou seja é a soma das áreas dos polígonos que constituem as laterais do prisma Quando o mesmo for regular todas as laterais terão a mesma área Volume de um sólido é um número que exprime a razão existente entre o espaço por ele ocupado e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária O volume V de um prisma com área da base e altura é dado por 613 Diagonal O paralelepípedo é um prisma cujas bases são paralelogramos 80 Paralelepípedo oblíquo Paralelepípedo reto Considerando um paralelepípedo retângulo de dimensões e temos A diagonal é um segmento de reta entre dois vértices não consecutivos de um polígono Considere D a medida da diagonal do paralelepípedo e a medida da diagonal da face EIGH conforme a figura a seguir Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo EIG temos E no triângulo retângulo EGM temos Fazendo a substituição de d2 por a2 b2 temos 81 614 Princípio de Cavalieri Cavalieri foi um matemático criador do método capaz de determinar áreas e volumes de sólidos denominado Princípio de Cavalieri Tal princípio tem como objetivo estabelecer que dois sólidos de mesma altura têm volumes iguais se as secções planas de iguais alturas possuírem a mesma área Ou seja considerando alguns sólidos e um plano se todo plano paralelo ao plano estabelecido interceptar também os outros sólidos e as seções obtidas tiverem áreas iguais então os sólidos também têm volumes iguais A figura a seguir ilustra o Princípio de Cavalieri 62 Pirâmide área e volume 621 Definições e elementos Considere um plano β um ponto V β e uma região poligonal S do plano β A pirâmide é o sólido formado pela união de todos os segmentos tais que P S O ponto V é chamado de vértice da pirâmide e a região poligonal S é chamada de base da pirâmide 82 Na pirâmide VABCDE da figura temos O ponto V é o vértice da pirâmide Os segmentos e são as arestas laterais Os triângulos VAB VBC VCD VDE e VEA são as faces laterais Os segmentos e são as arestas da base O polígono ABCDE é a base da pirâmide A distância h do vértice V ao plano β é a altura da pirâmide Uma pirâmide é denominada reta quando todas as faces são triângulos isósceles e denominada regular quando ela é reta e o polígono da base é regular Na pirâmide regular da figura acima temos AO R é o raio da circunferência circunscrita à base ou raio da base OM a é o apótema da base VM g é o apótema da pirâmide altura de uma face lateral O triângulo VOM é retângulo em O então temos Teorema de Pitágoras O triângulo VOA é retângulo em O então temos Teorema de Pitágoras 83 622 Área e volume A área total da pirâmide é a soma da área da base com a área lateral que é resultado da soma das áreas de todas as faces laterais Sendo a área total a área da base e a área lateral temos As pirâmides tem por volume a terça parte do volume de um prisma de mesma base e mesma altura Sendo V o volume da pirâmide temos 6221 Tetraedro regular O tetraedro regular é uma pirâmide cuja base é um triângulo regular assim como todas as suas faces Se for a medida da aresta do tetraedro regular VABC e sua área total temos 84 Também podese determinar a altura do tetraedro regular VABC ainda considerando a aresta com medida O segmento é a altura do triângulo equilátero ABC logo O ponto O é o baricentro do triângulo equilátero ABC logo O triângulo VOB é retângulo em O então aplicando o Teorema de Pitágoras temos O volume do tetraedro será obtido por 85 63 Cilindro e cone área e volume 631 Cilindro definições e elementos Considere α e β dois planos distintos e paralelos onde há uma reta atravessandoos em um único ponto Se tanto α quanto β possuírem uma região circular de mesma dimensão formase um cilindro pela união de todos os segmentos paralelos a com P S e Q β A distância h entre os planos α e β é a altura do cilindro A região circular S é chamada base do cilindro O segmento de reta da figura é chamado geratriz do cilindro Quando a reta é perpendicular aos planos têmse um cilindro circular reto e nessa situação a altura e a geratriz têm a mesma medida Ele também é denominado cilindro de revolução pois pode ser gerado por uma rotação completa de uma região retangular em torno de um de seus lados α β P Q 86 Note que na figura é o eixo do cilindro e é sua geratriz podese observar ainda que o raio da base do cilindro é obtido por e A secção meridiana de um cilindro circular reto é o retângulo obtido ao seccionálo por um plano que contenha seu eixo Sendo o raio da base e a altura do cilindro reto a área da secção meridiana é dada por Podese dizer que um cilindro é equilátero quando sua secção meridiana for quadrada Neste caso temos 632 Área e Volume A área da base é a área do círculo de raio calculado por 87 A área lateral é a área de um retângulo de dimensões comprimento da circunferência da base e dada por A área total é a soma das áreas das bases com a área lateral O cilindro é equivalente ao prisma logo seu volume V é dado por 64 Cone definição e elementos Considere um plano α um ponto V α e um círculo α A união de todos os segmentos de reta com uma extremidade em V e a outra em é chamada de cone O ponto V é o vértice do cone O círculo é a base do cone A distância h do vértice ao plano da base é a altura do cone O raio do círculo é o raio da base Os segmentos com extremidades em V e na circunferência são as geratrizes 88 Um cone circular é reto quando a projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base é o centro da base Também é chamado cone de revolução pois pode ser gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos Observando a figura a seguir temos VO h altura e eixo do cone OP R raio da base do cone VP g geratriz da superfície lateral do cone Sendo o triângulo VOB retângulo em O temos Teorema de Pitágoras A secção meridiana do cone reto é o triângulo obtido ao seccionarse o cone por um plano que contém seu eixo Sendo o raio da base e a altura do cone reto a área da secção meridiana é dada por 89 O cone reto será equilátero quando sua secção meridiana for um triângulo equilátero e nesse caso teremos A área da base do cone é a área do círculo de raio A área lateral do cone reto com base de raio e geratriz é equivalente à de um setor circular de raio e arco de comprimento A área total será então a soma das áreas da base com a área lateral O volume do cone é semelhante ao de uma pirâmide com base e altura equivalente à do cone logo seu volume é dado por 90 64 Esfera área e volume fuso e cunha troncos de pirâmide de um cone de prisma triangular e do cilindro 641 Esfera As esferas são chamadas de sólidos de revolução pois são fruto do giro de um semicírculo em torno do seu diâmetro Elas são compostas pelos seguintes elementos Superfície esférica é o conjunto de pontos cuja distância do centro é igual ao raio Polos são os pontos de encontro da superfície esférica com o eixo de rotação Circunferência linha sobre a superfície esférica formada pelo giro de um raio a partir do centro 91 A secção ocorre quando um plano paralelo à circunferência que cruza o centro de uma esfera corta esse sólido logo toda secção em uma esfera é um círculo O raio do círculo formado pela secção se relaciona com a distância entre o plano da secção e o centro da esfera e o raio da esfera da seguinte forma Esse plano formado é chamado de plano secante e quando o plano secante passa pelo centro da esfera obtêmse o círculo máximo 642 Áreas e Volume A área da superfície esférica é calculada a partir de seu raio por meio da seguinte expressão O volume da esfera também depende apenas de seu raio e é determinado por meio da seguinte expressão 92 643 Fuso e cunha O fuso esférico é uma região com medida de α graus localizada na superfície da esfera gerada pela rotação de uma semicircunferência em torno do eixo central da esfera A área dessa região pode ser calculada a partir do ângulo α e da área da superfície da esfera Podemos escrever A cunha de uma esfera é gerada pela rotação de um semicírculo em β graus ao redor do eixo central da esfera Isso gera um sólido e sua área pode ser obtida pela soma das áreas dos semicírculos e do fuso E seu volume é determinado pela expressão a seguir Cunha esférica 93 644 Tronco O tronco é um sólido formado por uma secção transversal de outro sólido A secção transversal é o corte feito por um plano paralelo ou não em relação à base do sólido Diversos sólidos geram troncos porém todos possuem elementos semelhantes sendo eles os seguintes Base maior é a base do sólido que se opõe ao seu vértice Base menor é a superfície formada pela secção transversal Altura é a distância entre a base maior e a base menor A partir disso podese obter troncos a partir dos sólidos a seguir 6441 Tronco da pirâmide O tronco da pirâmide possui além dos elementos mencionados anteriormente todos os elementos da pirâmide como arestas vértices e faces O cálculo de área do tronco de pirâmide é obtido pela soma das áreas das figuras que o formam sendo que as bases podem ser qualquer polígono e as laterais serão sempre trapézios Logo O volume é determinado por 6442 Tronco de cone 94 O tronco do cone também possui além dos elementos mencionados todos os elementos do cone como geratriz e raio O cálculo de área do tronco do cone é obtido pela soma das áreas das figuras que o formam sendo que as bases são círculos com raios para a base superior e para a base inferior e a lateral é equivalente à parte de um setor circular de raio e arco de comprimento Logo O volume é determinado por 6443 Tronco do prisma triangular O tronco do prisma triangular assim como o tronco da pirâmide possui elementos como arestas vértices e faces Porém o calculo de volume é um pouco diferente pois o plano que secciona o prisma não é paralelo à base pois neste caso seria obtido outro prisma com altura menor O cálculo de área do tronco do prisma triangular é obtido pela soma das áreas das figuras que o formam Logo 95 E a área lateral é obtida pela soma das áreas das figuras presentes nas laterais do prisma no caso quadriláteros irregulares O volume é determinado por Neste caso o volume é obtido pela média aritmética das alturas de cada aresta lateral ou seja determinase a altura média do tronco para que então seja determinado seu volume A regra é a mesma tanto para o prisma triangular reto quanto para o oblíquo 6444 Tronco do cilindro O tronco do cilindro assemelhase ao tronco do cone possui geratriz e raio Porém seu volume é um pouco diferente pois o plano que o secciona não é paralelo à base pois assim seria obtido outro cilindro com altura menor O cálculo de área do tronco do cilindro é obtido pela soma das áreas das figuras que o formam a base é um círculo a secção superior é uma elipse e a lateral tem a área calculada por uma média aritmética logo O volume é determinado por 96 Nesse caso o volume é obtido pela média aritmética das alturas máxima e mínima da lateral ou seja determinase a altura média do tronco para que então seja determinado seu volume 65 Inscrição e circunscrição de sólidos 651 Sólidos inscritos Um sólido é inscrito quando é posicionado dentro de outro sem qualquer deformação ou prejuízo a nenhum dos dois assim ambos ocupam um espaço conjunto A condição fundamental para que isso ocorra é que o sólido externo seja oco de forma que possa abrigar o outro Além disso é preciso observar a altura a largura de base e algumas outras características 652 Sólidos circunscritos Um sólido é circunscrito quando é posicionado ao redor de outro ou seja quando há um sólido dentro de outro o de fora é circunscrito Para que um sólido possa ser circunscrito devese observar seu formato e seu tamanho de forma que não ocorra qualquer tipo de prejuízo Logo podese afirmar que o sólido circunscrito é o oposto ao sólido inscrito Conclusão Caro aluno neste bloco estudamos as principais características de prismas pirâmides cilindros cones e esferas Apresentamos também suas definições elementos 97 nomenclaturas e métodos para calcular área e volume desses sólidos O Princípio de Cavalieri foi abordado destacando a relação de área volume e a interseção de planos em sólidos geométricos Por fim abordamos os troncos desses sólidos assim como a relação que eles têm com o volume e área REFERÊNCIAS IEZZI G DOLCE O MACHADO N J Matemática 2ª série 2º grau 8 ed São Paulo Atual 1990 DANTE L R Matemática contexto e aplicações São Paulo Ática 1999