Aula 10: Funções Logarítmica e Exponencial na Base Neperiana

Cálculo Diferencial I Aula 10 Funções Logarítmica Natural Exponencial na Base NeperianaExponencial e Logarítmica Mais Gerais Tópico 01 Função Logarítmica Natural Neste tópico serão estudados novos exemplos de funções transcendentes trata se das funções logarítmicas e exponenciais inicialmente aparece o conceito de logaritmo natural a partir daí haverá condições de definir a função logarítmica natural calcular sua derivada e fazer o seu gráfico Destacase como aplicação do logaritmo natural o cálculo de limites que apresentam as indeterminações do tipo 00 1 e 0 tais limites não foram estudados no tópico da aula 08 Posteriormente será apresentada a inversa da função logarítmica natural chamada de função exponencial na base neperiana por último as funções logarítmica natural e exponencial na base neperiana serão estendidas às funções logarítmicas e exponenciais mais gerais É sugestivo que o estudante aproveite o máximo a lista de exercícios a fim de assimilar melhor o conhecimento de tópicos anteriores e das novas funções Vale também ressaltar que as funções logarítmicas e exponenciais aparecem de forma substancial no restante do Cálculo e áreas afins Considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais com eixo horizontal T e eixo vertical U seja R a região limitada pelas retas t 1 e t x para x 0 o eixo T e a hipérbole u 1t O gráfico da hipérbole y 1x foi justificado no exemplo resolvido 2a do tópico 2 da aula 07 A figura ilustra a região R nos casos onde x 1 ou x 1 GRÁFICO DA HIPÉRBOLE FIGURA As duas figuras ilustram a região R quando R está à esquerda e à direita da reta t 1 Então definese o logaritmo natural de x por onde AR indica a área de R LOGARITMO NATURAL DE X Uma introdução minuciosa da definição de logaritmo natural encontrase na referência Logaritmos Lima Elon Lages Coleção Fundamentos de Matemática Elementar Sociedade Brasileira de Matemática Rio de Janeiro 1985 A definição da área de uma região no plano limitada por segmentos e parte do gráfico de uma função contínua tal como foi usada para definir logaritmo natural exige um tratamento especial o que será feito no próximo Módulo Neste estágio será necessário apenas aceitar que a região tem uma medida e que essa medida é chamada de área de R Apenas para servir de consolo observe que seria natural dizer que a área de R é um número que está entre as áreas dos retângulos ABCD e ABEF indicados na figura a seguir pois a região está entre os retângulos além disso a área do trapézio ABDE é uma boa aproximação para a área de R pois as figuras diferem apenas no segmento e arco da hipérbole ÁREA DO TRAPÉZIO Da Geometria Plana a área de um trapézio de bases b e B e altura h é dada por A figura a seguir ilustra dois trapézios Função logarítmica natural A função logarítmica natural é indicada pelo símbolo e definida pela equação y x É possível mostrar que usando o mesmo princípio que foi utilizado no tópico 2 da aula 03 para mostrar que DEMONSTRAÇÃO Inicialmente suponha que h 0 então x h x é a área da região indicada na figura seguinte entre as retas tx e txh acima do eixo T e abaixo da hipérbole A reta t1 não está indicada na figura pois a área de R independente das posições das retas tx e t xh em relação t1 além disso a reta t xh está à direita da reta tx pois h 0 Assim comparando as áreas da região e dos retângulos ABCD e ABEF indicados na última figura obtémse ou seja Como h 0 multiplicando os membros desta última desigualdade por 1h temse mas logo doteorema 5 do tópico 2 da aula 03 obtémse TEOREMA 5 Sejam f g e h funções definidas num intervalo aberto I contendo c exceto talvez em c onde para todo x em I com Se então Seja agora h 0 então a área da região indicada na figura seguinte entre as retas t xh e tx acima do eixo T e abaixo da hipérbole é dada por x x h A reta t1 não está indicada na figura pois a área de R independe das posições das retas tx e t xh em relação t1 além disso a reta t xh está à esquerda da reta t x pois h0 Assim fazendo a comparação entre as áreas da região e dos retângulos ABCD e ABEF indicados na última figura encontrase Como h 0 multiplicando os membros desta última desigualdade por 1h obtém se mas logo do teorema 5 do tópico 2 da aula 03 obtémse Sendo isto mostra que para x 0 Se u é uma função derivável e pela regra da cadeia dada no teorema 3 do tópico 1 da aula 05 temse isto é REGRA DA CADEIA O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas funções a partir das derivadas das funções isto é sem efetuar a composição a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a regra da cadeia Teorema 3 Sejam f e g funções deriváveis e definidas por yfu e u gx então fog é derivável além disso Uma fórmula mais geral para a função logarítmica natural composta com outra função é DEMONSTRAÇÃO Sendo u derivável e da última fórmula temse EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular SOLUÇÃO Temse mas logo EXEMPLO PROPOSTO 1 Se provar que Se a e b são números reais positivos o logaritmo natural tem as seguintes propriedades DEMONSTRAÇÕES COROLÁRIO DO TEOREMA 2 DO TÓPICO 2 DA AULA 06 As demonstrações das propriedades 1 a 3 podem ser feitas usando o Sejam f e g funções deriváveis num intervalo I tais que fx gx para todo x I então existe uma constante C tal que fxgx C para todo x I A demonstração de 1 é feita a seguir 2 e 3 têm demonstrações análogas e estão sugeridas no exercício 41 do exercitando deste tópico Como e pelo corolário citado acima lnax e lnx diferem de uma constante isto é mas se x1 temse ou seja pois portanto e assim Fazendo xb na última igualdade a demonstração está concluída As propriedades do juntamente com a derivação logarítmica poder ser usadas para simplificar o cálculo de Dxy em equações envolvendo produtos ou quocientes de vários termos O exemplo seguinte dá uma ilustração EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular Dxy se SOLUÇÃO Temse tomando o logaritmo natural dos membros desta última equação e usando as propriedades do logaritmo obtémse Derivando os dois membros desta última equação em relação a x e usando a fórmula para temse multiplicando os dois membros por y e substituindo por seu valor achase EXEMPLO PROPOSTO 2 Se mostrar que Para obter o gráfico da função que está na figura seguinte foram usadas as seguintes informações Informação 1 O domínio da função é conjunto dos números reais positivos assim o gráfico está à direita do eixo Y Além disso como 1 0 o gráfico contém os pontos 10 Informação 2 Sendo para todo x 0 o gráfico é sempre crescente Sendo para todo x 0 o gráfico é sempre côncavo Além disso como a declividade da reta tangente ao gráfico tende a zero quando isto é o gráfico tende a uma posição horizontal ou seja a variável y cresce menos rapidamente à medida que x cresce Informação 3 Como a função é derivável para todo x no seu domínio ela é contínua no seu domínio Isto faz com que o gráfico seja uma curva sem interrupção Informação 4 Sendo isto é a reta x0 é assíntota vertical do gráfico e ou seja o gráfico não tem assíntota horizontal além disso a função é contínua temse que a imagem da função é o conjunto do números reais isto é A prova de tais limites está sugerida no exercício 38 do exercitando deste tópico Informação 5 Sejam f uma função contínua num intervalo I a e b valores em I Então dado qualquer valor r entre fa e fb existe pelo menos um valor c ab tal que fc r Para aplicar o teorema a fim de provar a existência do número e podese considerar a 1 isto é fa 0 e b qualquer valor tal que fb 1 tal valor de b existe pois Sendo a temse que logo pelo teorema do valor intermediário enunciado no tópico 3 da aula 03 existe um valor e Dln tal que além disso o valor e é único pois a função é crescente no seu domínio Podese já neste estágio achar de várias maneiras uma aproximação para o valor de e neste caso uma aproximação com cinco algarismos decimais é 271828 tal aproximação pode ser calculada usando o exemplo resolvido 3b do tópico 3 desta aula ou o exercício 40 do exercitando deste tópico Nos tópicos seguintes aparecem várias aplicações do número e TEOREMA DO VALOR INTERMEDIÁRIO valor Sejam f uma função contínua num intervalo I a e b valores em I Então dado qualquer valor r entre fa e fb existe pelo menos um valor c ab tal que fc r Para aplicar o teorema a fim de provar a existência do número e podese considerar a 1 isto é fa 0 e b qualquer valor tal que fb 1 tal valor de b existe pois Valor e Dln O número e é irracional e pode ser considerado o terceiro número irracional mais famoso da História da Matemática atrás da A primeira demonstração que o número e é irracional foi obtida pelo matemático suíço Leonhard Euler 17071783 em 1737 O uso da letra e foi idealizado por Euler e impresso pela primeira vez em sua obra Mechanica de 1736 embora o seu conceito já fosse conhecido a mais de um século ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando Aula10Top1doc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 9 27 e 39 do exercitando são as respectivas questões 1 até 3 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 4 e 5 do trabalho serão indicadas nos tópicos seguintes desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Cálculo Diferencial I Aula 10 Funções Logarítmica Natural Exponencial na Base NeperianaExponencial e Logarítmica Mais Gerais Tópico 02 Função Exponencial na Base Neperiana A função logarítmica natural é injetiva pois ela é crescente no seu domínio como pode ser observado no gráfico da função ℓn que foi justificado no tópico 1 desta aula logo tal função possui inversa A inversa da função logarítmica natural é chamada de função exponencial e é indicada pelo símbolo exp Assim temse GRÁFICO DA FUNÇÃO ℓN Observe que as posições de y e x foram invertidas em a fim de obter a função exponencial em função de x Portanto exp yy para y 0 e para todo x Em particular como 10 temse e como e1 obtémse Se a e b são números reais quaisquer a função exponencial tem as seguintes propriedades OBSERVAÇÃO As demonstrações das propriedades 1 a 3 decorrem da definição da função exponencial e das propriedades do logaritmo natural A demonstração de 1 será feita a seguir 2 e 3 têm provas análogas e estão sugeridas no exercício 40 do exercitando deste tópico DEMONSTRAÇÃO Sejam Aexpa e Bexpb então a a e b b mas ab a b logo OBSERVAÇÃO Se a é um número real positivo e r é um número racional como temse da definição de função exponencial e de tal propriedade que A última igualdade vale somente para um número racional r qualquer pois só vale para r racional entretanto o domínio da função exponencial é o conjunto dos reais logo sendo para r racional é aceitável que tal igualdade seja estendida para um número real x qualquer Assim sendo e x um número real qualquer definese Usando a definição de ax é possível escrever a função exponencial em termos do número e definido no final do tópico 1 desta aula Assim como e1 fazendo ae na equação temse ou seja A partir deste momento como é tradicional escrevese ex invés de exp x e isto justifica chamar esta função de exponencial na base neperiana ou na base e Logo com a nova notação para a função exponencial pelo que já foi tratado temse 1 yex se e somente se para y 0 2 para y 0 e para todo x 3 se r é racional 4 para a 0 e todo número real x Para achar a derivada da função exponencial na base neperiana seja yex então x y Derivando em relação a x os dois lados da equação x y temse ou seja logo substituindo y por ex obtémse Se u é uma função de x e derivável da regra da cadeia dada no teorema 3 do tópico 1 da aula 06 temse mas do último resultado obtido ou seja REGRA DA CADEIA O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas funções a partir das derivadas das funções isto é sem efetuar a composição a fórmula estabelecida pelo teorema é conhecida como a regra da cadeia Teorema 3 Sejam f e g funções deriváveis e definidas por yfu e ugx então fog é derivável além disso ou EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular fx e SOLUÇÃO usando a fórmula com mas logo substituindo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 1 Se provar que O gráfico da função exponencial na base neperiana pode ser obtido pela reflexão do gráfico da função logarítmica natural em relação à reta yx conforme foi visto no tópico 2 da aula 01 pois a função exponencial é a inversa da função logarítmica natural ou então usando as informações dadas pelas derivadas primeira e segunda Na figura seguinte está o gráfico da função exponencial na base neperiana REFLEXÃO DO GRÁFICO ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitandoaula10top2doc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 6 e 34 do exercitando são os respectivos itens a e b da questão 4 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar A questão 5 do trabalho será indicada no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Cálculo Diferencial I Aula 10 Funções Logarítmica Natural Exponencial na Base NeperianaExponencial e Logarítmica Mais Gerais Tópico 03 Funções Exponencial e Logarítmica mais Gerais O objetivo deste tópico é definir as funções transcendentes que estendem os conceitos das funções logarítmica natural e exponencial na base neperiana para funções logarítmica e exponencial numa base não necessariamente igual a e Inicialmente aparece o conceito de função exponencial na base a onde a é um número real positivo tal conceito se justifica devido à definição de potência com expoente real dada no tópico 2 da aula 10 a partir daí será definida a função logarítmica numa base a Então serão obtidas as derivadas dessas funções e será possível a construção dos seus gráficos O tópico é finalizado com a função exponencial de base e expoente variáveis usando tais funções aparecem limites com as indeterminações dos tipos 00 1 e 0 tais limites não foram estudados no tópico da aula 8 A lista de exercícios será proveitosa a fim de melhor assimilar tópicos anteriores e as novas funções DEFINIÇÃO DE POTÊNCIA COM EXPOENTE REAL Se a é um número real positivo e r é um número racional como temse da definição de função exponencial e de tal propriedade que A última igualdade vale somente para um número racional r qualquer pois só vale para r racional entretanto o domínio da função exponencial é o conjunto dos reais logo sendo é aceitável que tal igualdade seja estendida para um número real x qualquer Assim sendo a 0 e x um número real qualquer definese FUNÇÃO EXPONENCIAL NA BASE A Se a um número positivo fixo e diferente de um a relação estabelecida no tópico 2 desta aula para todo número real x permite definir a função exponencial na base a pela equação y ax DIFERENTE DE UM É comum considerar a diferente de 1 pois se a 1 a função será constante PROPRIEDADES Usando ainda a relação é possível mostrar que a função exponencial na base a tem as mesmas propriedades da função exponencial na base neperiana Ou seja se m e n são números reais quaisquer e a 0 então A propriedade 1 é demonstrada a seguir as demais têm demonstrações análogas e estão sugeridas no exercício 39 do exercitando deste tópico Assim DERIVADA DA EXPONENCIAL A relação ax ex ln a também permite obter a derivada da função exponencial na base a Assim ou seja Logo sendo u uma função de x e derivável da Regra da cadeia dada no teorema 3 do tópico 1 da aula 05 temse REGRA DA CADEIA O teorema a seguir permite encontrar a derivada da composta de duas funções a partir das derivadas das funções isto é sem efetuar a conhecida como a regra da cadeia composição a fórmula estabelecida pelo teorema é Teorema 3 Sejam f e g funções deriváveis e definidas por yfu e ugx então fog é derivável além disso ou EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular fx se SOLUÇÃO Temse mas logo substituindo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 1 Se mostrar que FUNÇÃO LOGARÍTMICA NA BASE A Sendo ainda a um número positivo fixo e diferente de 1 A função exponencial de base a é derivável no seu domínio além disso Dxax 0 se 0 a 1 e Dxax se a 1 ou seja a função exponencial na base a é decrescente ou crescente conforme seja 0 a 1 ou a 1 respectivamente logo como foi visto no tópico 1 da aula 02 Visite a aula online para realizar download deste arquivo tal função é injetiva e assim é invertível A inversa da função exponencial na base a a 0 e 1 é chamada de função logarítmica na base a e é indicada pelo símbolo loga Assim temse Observe que as posições de y e x foram invertidas em yax a fim de obter a função logarítmica na base a com variável independe x Sendo ae obtémse a função logarítmica na base e que é a função logarítmica natural isto é Seja a 0 e 1 para estabelecer a relação entre logaritmo na base a e logaritmo natural considere x um número real positivo então ylogax é equivalente a ayx Logo Assim achando y e substituindo por logax temse a relação Particularmente sendo xe obtémse PROPRIEDADES tem as seguintes propriedades As demonstrações das propriedades 1 a 4 da função logarítmica na base a estão sugeridas no exercício 40 do exercitando deste tópico DERIVADA DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Para achar a derivada da função logarítmica na base a podese usar a sua definição ou a relação com logaritmo natural Optando pela primeira alternativa seja ylogax então xay Derivando em relação a x os dois membros da última equação temse logo substituindo y por logax e ay por x obtémse Portanto sendo u uma função derivável e ux 0 da regra da cadeia Visite a aula online para realizar download deste arquivo dada no teorema 3 do tópico 1 da aula 05 temse mas do último resultado obtido ou seja EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular fx se SOLUÇÃO usando a fórmula com mas logo substituindo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 2 Se provar que Função exponencial de base u e expoente v Sejam u e v funções de x onde ux 0 então a função exponencial de base u e expoente v é definida pela equação y uv Com a definição de função exponencial de base e expoente variáveis podese tratar dos limites que têm indeterminações dos tipos como foi mencionado no tópico da aula 08 tais limites são calculados com o uso de logaritmo Tais indeterminações podem ser transformadas para uma das formas que por sua vez podem ser modificadas para uma das formas 00 ou que foram tratadas no tópico da aula 08 O exemplo seguinte ilustra o o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular os limites indicados SOLUÇÃO a Como o limite dado tem a forma indeterminada 00 Seja y xsenx então Sendo o tem a forma indeterminada 0 Assim transformando para a forma e aplicando a segunda regra de LHospital Teorema Primeira Regra de LHospital 2 Sejam f e g funções deriváveis num intervalo aberto I exceto provavelmente num valor c em I Suponha que gx0 para todo xc em I tem a forma indeterminada 00 e então onde L pode ser finito ou e pode ser substituído por ou e nestes casos L Colorário Valemse as condições do teorema 2 onde o intervalo I é ilimitado inferiormente ou superiormente então suas conclusões valem se for subtituído por ou respectivamente Teorema Segunda Regra de LHospital 3 Se valerem as condições do teorema 2 ou do seu corolário e tem a forma indeterminada então valem as conclusões do teorema 2 ou do seu Temse Mas a função logarítmica natural é contínua no seu domínio assim do teorema 2 do tópico 3 da aula 03 Teorema 2 Sejam e f contínua em a então Para aplicar o teorema a fim de justificar que considere e ygx então daí supondo que gx tem limite e sendo contínua temse b Como o limite tem a forma indeterminada 1 Seja então Sendo o tem a forma indeterminada 0 Logo modificando para a forma 00 e aplicando a primeira regra de LHospital temse PRIMEIRA REGRA DE LHOSPITAL Teorema Primeira Regra de L Hospital 2 Seja f e funções deriváveis num intervalo aberto I exceto provavelmente nun valor c em I Suponha que gx 0 para todo x c em I tem a forma indeterminada e onde L pode ser finito em ou e x c pode ser substituido por x c ou x c e nestes casos L 0 Corolário Valemse as condiçõe do teorema 2 onde o intervalo I é ilimitado inferiormente ou superiormente então suas conclusões valemse se x c for substituído por x ou x respectivamente Teorema Segunda Regra de LHospital 3 Se valerem as condições do teorema 2 ou do seu corolário tem a forma indeterminada então valem as conclusões do teorema 2 Sendo e Obtémse EXEMPLO PROPOSTO 3 Provar que Sendo u e v funções deriváveis usando logaritmo natural achase a derivada de yuv em relação a x que é dada por Demonstração DEMONSTRAÇÃO Assim aplicando logaritmo natural nos membros da equação yuv temse logo derivando y em relação a x obtémse portanto substituindo y por achase EXEMPLO RESOLVIDO 4 Calcular Dxy se SOLUÇÃO Usando a última fórmula encontrada com u cosx e v senx temse mas e logo EXEMPLO PROPOSTO 4 Se yxy provar que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio no ambiente Solar e baixe o arquivo Exercitando Aula10Top3doc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para baixar o exercitando e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 10 e 34 do exercitando são os respectivos itens a e b da questão 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do Ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens