Integração de Funções Racionais Algébricas - Aula 05

Cálculo Integral I Aula 05 Integração de Funções Racionais Algébricas Tópico 01 Integração de Funções Racionais Algébricas As funções racionais algébricas são muito comuns no cálculo integral Este tópico tem a finalidade de mostrar como tais funções podem ser modificadas a fim de que suas integrais sejam calculadas usando os métodos já estudados Seja h uma função racional algébrica de x isto é h é definida por onde f e g são funções polinomiais A técnica para resolver a integral conhecida como integração por frações parciais consiste em decompor na soma de frações denominadas de frações parciais em que os denominadores são potências de fatores polinomiais de grau um ou dois de gx Quando a fração é própria isto é se o grau de fx é menor do que o grau de gx a decomposição é sempre possível caso contrário ou seja se a fração é imprópria isto é se o grau de fx é maior ou igual que o grau de gx devese inicialmente efetuar a divisão de fx por gx até achar um resto que seja uma fração própria obtendose onde h é polinomial e é racional e própria então fazer a decomposição apenas para o resto da divisão Pelo teorema fundamental da Álgebra todo polinômio com coeficientes reais pode ser fatorado em termos de potências com bases iguais a um polinômio do primeiro ou segundo graus com coeficientes reais Se é própria para fazer a decomposição procedese da seguinte forma a Se x rm é a maior potência de x r como fator de gx então correspondente a este fator há uma soma de m frações parciais dada por O exemplo seguinte ilustra o caso em que o integrando é uma fração imprópria e o denominador tem somente fatores lineares EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular a integral SOLUÇÃO a Como a fração é imprópria fazendo a divisão temse daí Sendo x3 22 x x x2 2x 1 x x 12 obtemse Ou seja 4x2 2x 1 ax 12 bxx 1 cx Esta última equação é uma identidade em x logo os valores de a b e c são únicos para todo x Os valores de a b e c poderão ser determinados atribuindose valores a x de preferência os valores das raizes de x3 22 x 0 assim considerando x 0 temse a 1 fazendo x 1 obtémse c 3 e com x 2 por exemplo achase 13 a 2b 2c substituindo a e c encontra se b 3 Outra maneira de encontrar as constantes a b e c é desenvolvendo o lado direito da equação 4x2 2x 1 ax 12 bx x 1 cx depois agrupando os termos em x de mesmos grau e igualando os coeficientes das mesmas potências de x Isto é 4x2 2x 1 ax2ax a bx2 cx a bx2 2a b cx a assim Resolvendo o sistema encontrase a 1 b 3 c 3 Portanto e assim EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular a integral SOLUÇÃO Como a fração é própria temse assim x 3 ax2 1 2 bx cxx2 1 dx e x Neste caso para encontrar os valores das constantes dará menos trabalho se for usado o segundo método aplicado no itema pois qualquer valor de x que for substituído na equação não dará de imediato os valores da maioria das constantes Logo x 3 ax4 2ax2 a bx 4 bx2 cx3 cx dx2 ex a b x4 cx3 2a b dx2 c ex a Ou seja Resolvendo o sistema achase a 3 b 3 e c 0 e e 1 Logo mas e portanto EXERCÍCIO PROPOSTO 2 2 Provar que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é um trabalho constituído por duas questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 1ª Questão questão 05 2ª Questão questão 24 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Cálculo Integral I Aula 05 Integração de Funções Racionais Algébricas Tópico 02 Integração de Potências com Expoentes Fracionários e de Funções Racionais de Seno CoSeno Não existe regra geral que determine como mudar a variável numa integral para que resulte numa integral mais simples as regras são formuladas de acordo com certos grupos de funções Este tópico apresenta mais dois grupos Se o integrando contém apenas potências de bases iguais a ax b com expoentes fracionários e constantes este pode ser reduzido a uma fração racional pela substituição onde n é o mínimo múltiplo comum dos denominadores dos expoentes de axb O exemplo seguinte ilustra o procedimento EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as seguintes integrais SOLUÇÃO A a Como tem se n 4 e x z4 assim x 12 z 2 x 14 z e dx 4z3 Substituíndo obtémse Substituindo z por 4x encontrase SOLUÇÃO B b Tem se n 6 e x 1 z6 assim z 3 e z 2 e dx 6z5dz Substituíndo obtém se EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que Quando o integrando é uma expressão racional de senx e cosx este pode ser reduzido a uma expressão racional algébrica de z através da substituição A fim de mudar da variável x para a variável z é necessário expressar senx cosx e dx em termos de z a seguir serão deduzidas tais expressões Da identidade temse substituindo obtémse Sendo substituindo achase Como temse x2arctgz assim O exemplo seguinte ilustra a aplicação da citada substituição EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular SOLUÇÃO Substituíndo no integrando sen x cos x e dx em termos de z obtémse Substituíndo tem se EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior constituído por três questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 3ª Questão questão 05 4ª Questão questão 17 5ª Questão questão 25 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Fontes das Imagens