Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas - Aula 04

Cálculo Integral I Aula 04 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Tópico 01 Integração de Potências de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Quando o integrando é uma potência inteira positiva de uma das funções trigonométricas ou hiperbólicas ou ainda um produto de tais potências o cálculo da integral exige também um tratamento especial este tópico mostra o procedimento a ser seguido Inicialmente será visto somente o caso em que o integrando dependente do seno e coseno posteriormente será tratado o caso em que o integrando depende do restante das funções trigonométricas e das hiperbólicas Vale ressaltar que as integrais a serem tratadas neste tópico serão úteis para calcular integrais do grupo de funções a ser visto no tópico seguinte desta aula Para integrar potências de funções trigonométricas inicialmente serão distinguidos dois casos relativos a integrais dos tipos onde m e n são inteiros positivos 1o Caso Se m é ímpar Quando m 1 o procedimento já foi abordado Se m 3 aplicase a identidade cos2u sen2u 1 de acordo como será ilustrado no exemplo seguinte EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as integrais seguintes a b SOLUÇÃO A a Sendo temse SOLUÇÃO B temse EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que a b 2o Caso Se m e n são pares Neste caso usase uma das identidades a fim de reduzir o expoente da potência O procedimento será ilustrado no exemplo a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular as seguintes integrais a b SOLUÇÃO A a Sendo temse SOLUÇÃO B b Como temse No item a encontrouse e usando a técnica do caso anterior achase Substituindo encontrase EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que a b Integrais dos tipos podem ser calculadas usando as respectivas fórmulas veja as fórmulas para adição de seno e coseno de medidas de ângulos Tais integrais podem ser ainda feitas usando integração por partes embora seja um processo mais trabalhoso EXEMPLO RESOLVIDO 3 Calcular SOLUÇÃO Sendo obtémse EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Provar que Essencialmente as potências de seno e coseno são integradas usandose basicamente as identidades escritas nos casos 1 e 2 Para integrar as potências do restante das funções trigonométricas usase um procedimento similar ou seja se m e n são inteiros positivos as integrais dos tipos são feitas usandose a princípio as identidades conforme seja a integral exceto as integrais quando m é ímpar e quando m é par e n é ímpar que se usa integração por partes Os exemplos seguintes ilustram as técnicas EXEMPLO RESOLVIDO 4 Calcular as seguintes integrais a b c d SOLUÇÃO A a Como temse SOLUÇÃO B b Como temse SOLUÇÃO C c Como csec4 x csec2x csec2 x 1 ctg2xcsex2x temse SOLUÇÃO D d Como temse EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Mostrar que a b c O exemplo a seguir ilustra os casos em que se usa integração por partes EXEMPLO RESOLVIDO 5 Calcular as seguintes integrais a b SOLUÇÃO A a Sejam então logo daí substituindo e isolando obtémse SOLUÇÃO B b Sejam então logo mas onde foi usada calculada no item anterior portanto substituindo e isolando obtémse EXERCÍCIO PROPOSTO 5 Provar que a b Para integrar potências de funções hiperbólicas são usados procedimentos análogos aos que foram vistos para potências de funções trigonométricas Os exemplos a seguir ilustram tais procedimentos EXEMPLO RESOLVIDO 6 Resolver as seguintes integrais a b SOLUÇÃO A a Temse SOLUÇÃO B b Como temse EXERCÍCIO PROPOSTO 6 Mostre que a b ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é um trabalho constituído por duas questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 1ª Questão questão 11 2ª Questão questão 23 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Cálculo Integral I Aula 04 Integração de Funções Trigonométricas e Hiperbólicas Tópico 02 Integração por Substituição Trigonométrica e Hiperbólica Já foi visto que no cálculo integral às vezes é necessário fazer uma mudança na variável do integrando Tal artifício nem sempre é óbvio Neste parágrafo será visto um grupo de funções muito amplo em que suas integrais são calculadas mediante mudança de variável e usando funções trigonométricas ou funções hiperbólicas As vantagens de usar a técnica de integração chamada substituição trigonométrica ocorre se o integrando tem uma das expressões onde a 0 A técnica utiliza as identidades Quando estas identidades são multiplicadas por a2 obtémse Logo se o integrando tem a expressão O exemplo seguinte ilustra a técnica quando u é substituída por a sen z EXEMPLO RESOLVIDO 1 Calcular as seguintes integrais SOLUÇÃO A a Como fazendo logo Sendo 2x sen z temse z arcsen2x substituindo z obtémse SOLUÇÃO B b Como fazendo logo Sendo x 2 sen z e obtémse e Substituindo z sen z e cos z encontrase EXERCÍCIO PROPOSTO 1 Mostrar que O exemplo seguinte ilustra a técnica quando u é substituída por EXEMPLO RESOLVIDO 2 Encontrar SOLUÇÃO Como fazendo assim Como e temse e Substituindo sec z e tg z encontrase EXERCÍCIO PROPOSTO 2 Provar que O exemplo seguinte ilustra a técnica quando u é substituída por EXEMPLO RESOLVIDO 3 Determinar SOLUÇÃO Como fazendo x 2 sec z temse o sinal depende da tg z ser positiva ou negativa no intervalo de integração e dx sec z tg z dz logo Substituindo sec z e tg z encontrase ou seja entretanto logo independente do sinal da tangente Portanto temse EXERCÍCIO PROPOSTO 3 Provar que Resta enfatizar que as fórmulas de integração de números 15 a 17 estabelecidas na aula 1 podem também ser demonstradas usando substituição trigonométrica uma vez que no integrando dessas fórmulas aparecem as referidas expressões As integrais que são resolvidas por substituição trigonométrica podem também ser resolvidas usando funções hiperbólicas a técnica é chamada de substituição hiperbólica que é análoga à substituição trigonométrica vista inicialmente A técnica usa as identidades que multiplicadas por a2 a 0 resultam em Portanto se o integrando tem a expressão EXEMPLO RESOLVIDO 4 Usar substituição hiperbólica para resolver a integral do exemplo resolvido 2 deste tópico SOLUÇÃO Temse fazendo logo Como substituindo encontrase Usando a identidade chegase ao resultado encontrado no exemplo resolvido 2 EXERCÍCIO PROPOSTO 4 Usar substituição hiperbólica para resolver o exemplo proposto 2 deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Esta atividade é a continuação do trabalho iniciado no tópico anterior constituído por três questões retiradas de exercícios do Exercitando de acordo como segue 3ª Questão questão 09 4ª Questão questão 24 5ª Questão questão 31 Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir os exercícios É exigido que o trabalho seja postado no Portfólio individual do ambiente Solar indicado na Agenda do ambiente Solar preferencialmente em um único arquivo Fontes das Imagens