Cálculo Diferencial I - Aula 07: Testes para Extremos Locais e Convexidade/Concavidade

Cálculo Diferencial I Aula 07 Testes para Extremos Locais Convexidade Concavidade e Gráfico Tópico 01 Testes para Extremos Locais No tópico 1 da aula 06 foram introduzidos os conceitos dos valores extremos locais de uma função onde foi estabelecido que tais valores são atingidos somente nos valores críticos da função além disso foi visto através de exemplos no tópico 1 da aula 06 que nem todo valor crítico dá um valor extremo local Em geral usando a definição não é fácil verificar se uma função tem num valor crítico um valor extremo local Este tópico estabelece os testes onde a derivada é aplicada para determinar se num valor crítico de uma função essa função tem um valor extremo local OLHANDO DE PERTO Olhando de perto 1 Conceitos dos valores extremos locais Sejam f uma função com dominio Df e m Df dizse que f tem um valor mínimo local ou um valor mínimo relativo em m se existe um intervalo aberto I Df com m I tal que fm fx para todo x I e que f tem valor máximo local ou um valor máximo relativo em m se existe um intervalo aberto I Df com m I tal que fm fx para todo x I Um valor mínimo ou máximo local de uma função é chamado de valor extremo local ou valor extremo relativo da função e um ponto correspondente a um desses valores é dito um ponto extremo local ou um ponto extremo relativo do gráfico da função Geometricamente um ponto extremo local significa que localmente esse é o ponto mais baixo ou mais alto do gráfico conforme o ponto seja mínimo ou de máximo respectivamente 2 Valores críticos Um valor m no domínio de uma função f onde f m se anula ou não existe chama se um valor crítico de f Assim dos comentários já feitos concluíse os valores críticos de uma função são os possíveis valores onde a função pode ter um extremo local OLHANDO DE PERTO Sejam f uma função definida num intervalo I e valores quaisquer x1 e x2 em I com x1 x2 conforme foi definido no tópico 1 da aula 02 f é crescente em I se fx1 fx2 e decrescente em I se fx1 fx2 Como foi comentado e é evidente das definições o fato de uma função f ser decrescente ou crescente num intervalo I faz com que o seu gráfico relativo a I esteja decaindo ou se elevando com relação ao eixo X respectivamente à medida que x cresce em I conforme se encontra ilustrado na figura seguinte A figura ilustra o gráfico de uma função f com alguns intervalos onde f é decrescente ou crescente A função f é decrescente nos intervalos ab e cd e crescente nos intervalos bc ede o teorema do valor médio de Lagrange Seja f uma função contínua em ab e derivável em ab então existe pelo menos um valor tal que enunciado no tópico 2 da aula 06 permite mostrar que esse aspecto ascendente ou descendente que pode ocorrer no gráfico de uma função pode ser previamente detectado a partir do sinal da derivada primeira da função de acordo com o teorema seguinte DICA Dica Para ver as definições de intervalos vá à seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Intervalosdoc ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo Teorema 1 Se f uma função contínua num intervalo I onde I é aberto fechado ou semifechado e derivável no intervalo aberto correspondente isto é é o intervalo aberto de mesmos extremos de I então f é a Decrescente em I se fx 0 para todo x em b Crescente em I se fx 0 para todo x em DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 1 Sejam x1 e x2 em I com x1 x2 Então f é continua em x1x2 e derivável em x1 x2 logo pelo teorema do valor médio de Lagrange existe c em x1 x2 tal que Como x2 x1 0 pois x1 x2 e fx2 fx1 fcx2 x1 temse que ou seja f é descrescente em I e f é negativa em e f é crescente em I se f é positiva em O teorema seguinte permite identificar usando o sinal da derivada primeira de uma função quando a função tem um extremo local num valor mesmo que a função não seja derivável nesse valor Teorema 2 Teste da Derivada Primeira para Extremos Locais Seja f uma função contínua num intervalo cd Se f é derivável em cd com provável exceção num valor então f tem a Mínimo local em m se f é negativa em cm e positiva em md b Mínimo local em m se f é positiva em cm e negativa em md DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 2 A demonstração da parte a do teorema será feita a seguir a demonstração da segunda parte é análoga e está sugerida no exercício 32 do exercitando deste tópico Se f é negativa em cm pelo teorema 1 f é decrescente em cm daí fxfm para todo x em cm Por outro lado se f é positiva em md pelo teorema 1 f é crescente em md assim fm fx para todo x em md Portanto fm fx para todo x em cd com isto é f tem mínimo local em m O que conclui a demonstração Sabese que os valores extremos locais de uma função num intervalo aberto ocorrem nos valores críticos da função daí os possíveis valores de m citados no teorema 2 são os valores onde a derivada primeira da função se anula ou não existe E mais para saber quando uma função f que tem as hipóteses do teorema 2 tem um valor extremo local num de seus valores críticos m de acordo com o teorema 2 basta verificar se f muda de sinal em torno de m EXEMPLO RESOLVIDO 1 Sendo fx x 33x2 encontrar os a Intervalos de decrescimento e crescimento de f b Valores extremos locais de f SOLUÇÃO a Do exemplo resolvido 1 do tópico 1 da aula 06 temse e os valores críticos de f são 0 e 8 EXEMPLO RESOLVIDO 1 DO TÓPICO 1 DA AULA 06 Encontrar os valores críticos da função fx x 33x2 Solução Temse assim fx0 se 3x 2 ou seja fx0 se x 8 e fx não existe se 3x 0 isto é fx não existe se x 0 Como 0 e 8 estão no domínio de f estes são os valores críticos de f A reta seguinte representa geometricamente o domínio de f que é o conjunto dos números reais e foi separada em segmentos nos pontos correspondentes aos valores 0 e 8 estes segmentos representam os intervalos 0 08 8 acima de cada segmento correspondente aos respectivos intervalos estão indicados os sinais de fx Veja como tais sinais são determinados de forma análoga com foi visto na solução do exemplo resolvido 5a do tópico 2 da aula 03 SOLUÇÃO DO EXEMPLO RESOLVIDO 5A DO TÓPICO 2 DA AULA 03 Solução do exemplo resolvido 1a Intervalos de decrescimento e crescimento de f Portanto do teorema 1 obtémse sendo x 0 então fx 0 logo f é crescente em 0 se 0 x 8 então fx 0 daí f é decrescente em 08 e sendo x 8 então fx 0 assim f é crescente em 8 b Agora usando o teorema 2 temse como f é positiva em 0 e negativa em 08 f tem valor máximo local igual a f00 sendo f negativa em 08 e positiva em 8 f tem valor mínimo local igual a f84 EXEMPLO PROPOSTO 1 Se fx 2x 33x2 provar que f é decrescente em 0 e 1 crescente em 01 tem valor mínimo local igual a f00 e máximo local igual a f11 O teorema seguinte dá outro teste para identificar se uma função tem um extremo local num valor mas ele é menos geral que o teorema 2 pois só é possível aplicálo quando a função tiver derivada e de ordens superiores à primeira sob condições especiais no valor Teorema 3 Teste da Derivada nésima para Extremos Locais Seja f uma função n 1n 2 vezes derivável em algum intervalo aberto contendo um valor m Se fm fm fn 1m 0 e fnm existe e é 0 então a Quando n é par f tem mínimo local em m se fnm 0 ou f tem máximo local em m se fnm 0 b Se n é ímpar f não tem extremo local em m DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 3 Como temse Logo se pelo corolário 1 do teorema 5 do texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03 existe um intervalo aberto ab contendo m tal que para todo x em ab com Se temse x m 0 daí e da última desigualdade resulta que para todo Se temse x m 0 daí e da desigualdade resulta que para todo COROLÁRIO 1 DO TEOREMA 5 Por outro lado devido o anulamento das derivadas de f em m até a ordem menor que n 1 a fórmula de Taylor para f em torno de m fica para algum c entre x e m Suponha agora que n é par então se temse pois a x m assim fx fm 0 isto é fm fx para todo se obtémse e pois m x b daí fx fm 0 ou seja fm fx para todo Logo existe o intervalo aberto ab contendo m tal que para todo ou seja f tem mínimo local em m A demonstração que f tem máximo local em m quando n é par e é feita similarmente e está proposta no exercício 33 do exercitando deste tópico Para demonstrar a parte b seja n ímpar então para ou além disso se e se Logo fx f m se e fx fm se ou seja fm não é valor extremo local O que conclui a demonstração É muito comum aplicações do caso particular do teorema 3 quando n2 devido a isso ele será enunciado a seguir como corolário Corolário Teste da Derivada Segunda para Extremos Locais Seja f uma função derivável em algum intervalo aberto contendo um valor m Se fm0 e fm existe e é então f tem a Mínimo local em m se fm 0 b Máximo local em m se fm 0 EXEMPLO RESOLVIDO 2 Verificar se a função dada tem extremos locais a fx 6x2 x3 a gx x5 SOLUÇÃO a Temse fx12x 3x2 e fx12 6x assim f0 f40 f012 e f4 12 Sendo f derivável em qualquer intervalo aberto contendo 0 e 4 como f00 e f00 temse que f tem mínimo local em 0 e como f40 e f4 0 obtémse que f tem máximo local em 4 Sendo f derivável 0 e 4 os únicos valores que satisfazem o teorema 3 ou o corolário isto conclui que f00 e f432 são os únicos valores extremos de f b Como gxx5 temse gx5x4 gx20x3 g3x60x2 g4x120x e g5 x120 assim Como g é quatro vezes derivável em qualquer intervalo aberto contendo 0 e n5 é ímpar f não tem extremo local em 0 Sendo g derivável e zero é o único valor que satisfaz o teorema 3 g não tem nenhum valor extremo local EXEMPLO PROPOSTO 2 Se fx x4 4x3 17 provar que 3 e 0 são os valores críticos de f f3 10 é mínimo local e f017 não é valor extremo EXEMPLO RESOLVIDO 3 Encontrar os valores extremos locais da função SOLUÇÃO Temse assim fx0 se senx1 ou ou seja em para n012 Como fx cosx 2sen2x obtémse logo f tem valor máximo local igual a daí f tem valor mínimo local igual a neste caso nada pode ser concluído mas daí logo como a ordem da primeira derivada não nula é ímpar f não tem valor extremo local em EXEMPLO PROPOSTO 3 Provar que tem valores críticos iguais a além disso é máximo local e é mínimo local O teorema 1 juntamente com o teorema 2 ou o teorema 3 às vezes permite determinar quando um extremo local de uma função é um extremo absoluto dessa função num intervalo Mais precisamente suponha que uma função f tem um único extremo local num valor m pertencente a um intervalo I que é identificado pelo teorema 2 ou teorema 3 então se f é a Decrescente para todo e crescente para todo onde fm é valor mínimo absoluto de f em I b Crescente para todo e decrescente para todo onde fm é valor máximo absoluto de f em I EXEMPLO RESOLVIDO 4 Sendo fx x14 verificar se f tem valores extremos absolutos em 3 SOLUÇÃO Temse fx4x13 daí fx0 se x1 como f é derivável em 3 este é o único valor crítico de f Sendo fx 0 se x 1 e fx 0 se 1x3 f é decrescente em 0 e crescente em 13 logo f tem mínimo local igual a f10 que também é mínimo absoluto Observe que f316 não é máximo absoluto pois fx 16 se x 3 EXEMPLO PROPOSTO 4 Mostrar que fx1x5 tem valor máximo absoluto igual a f132 em 1 ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá para seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando Aula07Top1doc para resolver o exercitando ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo para abrir o exercitando Os exercícios 12 e 25 do exercitando são as respectivas questões 1 e 2 do trabalho no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 3 até 5 do trabalho desta aula serão indicadas no tópico seguinte É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Cálculo Diferencial I Aula 07 Testes para Extremos Locais Convexidade Concavidade e Gráfico Tópico 02 Convexidade Concavidade e Gráfico VERSÃO TEXTUAL Este tópico tem o objetivo de mostrar como a derivada pode ser usada na construção de gráficos de funções Alguns requisitos necessários à construção de gráficos já foram apresentados em tópicos de aulas anteriores além desses requisitos neste tópico serão introduzidos os conceitos de convexidade concavidade e ponto de inflexão que constituem informações indispensáveis para traçar gráficos de funções Serão introduzidos também os conceitos de assíntotas vertical e horizontal que auxiliam a esboçar com mais precisão os gráficos de um grupo amplo de funções O tópico é finalizado com as construções dos gráficos das funções seno e coseno que foram apresentados no tópico 2 da aula 02 sem nenhuma justificativa O esboço de gráficos será necessário a vários assuntos que serão tratados posteriormente de imediato podem ser citados os cálculos de área e volume a serem vistos no próximo módulo Seja f uma função com derivada contínua num intervalo fechado ab e suponha que o gráfico de f seja a curva C da figura seguinte A figura ilustra uma curva com algumas retas tangentes que se encontram acima abaixo ou secciona algum arco de C OBSERVAÇÃO Quando o ponto Pxy se desloca sobre a curva C a reta tangente a C em P varia continuamente de posição assim a reta tangente está acima de algum arco de C em torno de P como nas partes do gráfico entre A e Q1 e entre Q2 e B a reta tangente está abaixo de algum arco de C em torno de P como na parte do gráfico entre Q1 e Q2 e nos pontos de transição onde a reta tangente muda de cima para baixo ou de baixo para cima de C localmente ela secciona C como nos pontos Q1 e Q2 Sendo S à parte do gráfico de uma função f correspondente a um intervalo aberto I têmse os seguintes conceitos se para todo ponto P de S a reta tangente a S em P está abaixo de S dizse que o gráfico de f é convexo em I ou ainda que a função f é convexa em I se para todo ponto P de S a reta tangente a S em P está acima de S dizse que o gráfico de f é côncavo em I ou que a função f é côncava em I e o ponto do gráfico onde ele muda de convexo para côncavo ou viceversa chamase um ponto de inflexão Uma função f é dita convexa ou côncava quando o gráfico de f é convexo ou côncavo no seu domínio respectivamente O teorema seguinte mostra que as partes convexas e côncavas do gráfico de uma função podem ser previamente identificadas a partir do sinal da derivada segunda da função Teorema 1 Seja f uma função tal que f existe num intervalo aberto I então o gráfico de f é a Convexo em I se fx 0 para todo x I b Côncavo em I se fx 0 para todo x I DEMONSTRAÇÃO Seja S a parte do gráfico de f correspondente ao intervalo I Considere e a reta tangente a S no ponto Considere ainda um ponto de S com e o ponto correspondente da reta tangente Então para concluir a demonstração basta provar que Q está abaixo de P ou seja a diferença é maior que zero A fórmula de Taylor para f em torno de xo com n 1 dada no tópico 2 da aula 06 é A FÓRMULA DE TAYLOR PARA F EM TORNO DE XO COM N 1 Se n 1 a fórmula de Taylor para f em torno de X0 fica assim e O gráfico de P1 é a reta tangente ao gráfico de f em é o erro cometido na aproximação de fx por p1x A figura destaca o erro r1x1 isto é o comprimento do segmento correspondente a chave onde c está entre x0 e x e é a equação da reta tangente ao gráfico de f em Assim fazendo x1 temse por outro lado como p1uyu obtémse Sendo fc0 pois por hipótese fx0 para todo x em I temse O que conclui a demonstração da parte a do teorema A demonstração da parte b do teorema é análoga a da parte a e está proposta no exercício 54 do exercitando deste tópico Uma recíproca parcial do teorema 1 também é verdadeira conforme o exercício 55 do exercitando deste tópico São comuns as definições de convexidade e concavidade num ponto invés de num intervalo de acordo com o teorema 1 isto é dizse que o gráfico de f é convexo no ponto afa se fa 0 e côncavo no ponto afa se fa 0 O teorema seguinte estabelece como determinar os possíveis valores de c onde uma função f tal que f é contínua em c tem um ponto de inflexão Teorema 2 Seja f uma função tal que f existe num intervalo aberto contendo c e é contínua em c Se cfc é um ponto de inflexão do gráfico de f então fc 0 DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA Suponha que fc 0 então sendo f contínua em c temse assim veja corolário 1 do teorema 5 do texto complementar indicado no final do tópico 2 da aula 03 ou clique aqui par abrir existe um intervalo aberto I contendo c tal que fx 0 para todo x I ou fx 0 para todo x I conforme fc 0 ou fc 0 respectivamente Logo pelo teorema 1 em I o gráfico de f é somente côncavo ou apenas convexo assim cfc não pode ser ponto de inflexão Isto mostra que com as hipóteses do teorema cf c só pode ser ponto de inflexão se fc 0 VEJA COROLÁRIO 1 DO TEOREMA 5 DO TEXTO COMPLEMENTAR INDICADO NO FINAL DO TÓPICO 2 DA AULA 03 Se existem tais que a Se implica que fx0 b Se implica que fx0 OBSERVAÇÃO a A recíproca do teorema 2 em geral não é verdadeira por exemplo se fx x 1 4 então fx 12x 12 portanto fx 0 e x 1 mas 10 não é ponto de inflexão do gráfico de f pois 10 não separa partes convexa e côncava do gráfico de f b O gráfico de uma função pode ter um ponto de inflexão num valor onde a derivada segunda da função não existe por exemplo se gx 3x então assim gx não existe se x 0 além disso o gráfico de g é convexo em e côncavo em pois para x 0 gx 0 para x 0 portanto 00 é ponto de inflexão do gráfico de g c Assim podese concluir do teorema 2 e do comentário anterior os possíveis valores de c tais que cfc é ponto de inflexão do gráfico de uma função f são os valores onde fc é igual à zero ou não existe além disso estes são os valores que determinam os intervalos onde o gráfico de f pode ser convexo ou côncavo OBSERVAÇÃO As derivadas de uma função dão várias informações a respeito do gráfico da função tais como os intervalos de crescimento e decrescimento localização dos pontos extremos os intervalos em que o gráfico é convexo ou côncavo e os pontos de inflexão O exemplo seguinte ilustra como esboçar o gráfico de uma função a partir de tais informações onde o item a justifica o modelo da parábola cúbica vá na a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ou clique aqui para abrir Visite a aula online para realizar download deste arquivo quando a 0 se a 0 a justificativa do modelo está sugerida no exemplo proposto 1a a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 1 Fazer o gráfico da função dada a fx ax b3 c com a 0 a gx x3 3x 2 c hx 3x5 53x2 SOLUÇÃO a Temse fx 3a x b2 logo fx 0 se x b Sendo fx 6ax b obtémse fx 0 se x b A reta indicada na figura e representando o domínio de f que é o conjunto dos números reais foi dividida considerando o valor b nas partes resultantes da divisão que representam os intervalos b e b acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f Assim concluíse 1 f é crescente no seu domínio 2 O gráfico de f é convexo em b e côncavo em b ou seja bc é ponto de inflexão do gráfico de f 3 O gráfico é simétrico em relação à bc conforme exercício 29 do exercitando do tópico 2 da aula 02 Com base em tais informações obtémse a justificativa do gráfico de f conforme o modelo estabelecido b Temse gx 3x2 3 3x 1x 1 logo gx 0 se x 1 e x 1 Como gx 6x obtémse gx 0 se x o A reta seguinte representando o domínio de g foi dividida considerando os valores 1 0 e 1 nas partes resultantes da divisão acima aparecem os sinais da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de g Assim concluíse 1 A função g é crescente nos intervalos 1 e 1 e decrescente em 11 Logo g14 é máximo local g10 é mínimo local 2 O gráfico de g é côncavo em 0 e convexo em 0 0 Assim 02 é ponto de inflexão do gráfico de g Com base nestas conclusões fazse o gráfico de g que está na figura a seguir c Sendo hx 3x5 53x2 temse logo hx 0 se x2 0 isto é se x2 e hx não existe se 33x 0 ou seja se x o Como obtémse hx 0 se x 1 e hx não existe se x 0 A reta seguinte representando do domínio de h foi dividida pelos valores 2 0 e 1 nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h Assim têmse as seguintes informações 1 h é crescente nos intervalos 2 e 0 e decrescente em 20 Logo h 2 334 é máximo local h0 0 é mínimo local 2 O gráfico de h é côncavo em 0 e 01 é convexo em 1 Dái apenas 16 é ponto de inflexão do gráfico de h Considerando as informações fazse o gráfico de h que está na figura à seguir EXEMPLO PROPOSTO Verificar que os gráficos das funções indicadas são como nas respectivas figuras A interpretação geométrica de certos limites de algumas funções pode ser útil para ajudar a traçar os gráficos de tais funções Antes é necessário introduzir alguns conceitos ASSÍNTOTA VERTICAL A reta x c é uma assíntota vertical do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições se verifica As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f para x próximo de c na primeira na segunda se e Observe nas duas figuras a aproximação cada vez maior do gráfico com a sua assíntota à medida que x decresce ou cresce ASSÍNTOTA HORIZONTAL A reta y L é uma assíntota horizontal do gráfico de uma função f se pelo menos uma das seguintes condições se verifica As figuras a seguir ilustram a forma do gráfico de uma função f relativamente à reta y L a primeira se e na segunda se a primeira situação referese quando através de valores menores do que L e a segunda é quando através de valores maiores que L Observe nas duas figuras a aproximação cada vez maior do gráfico com a sua assíntona à medida que x decresce ou cresce O gráfico de uma função pode ter uma assíntota não necessariamente vertical ou horizontal conforme está definida no enunciado dos exercícios 50 e 51 do exercitando deste tópico EXEMPLO RESOLVIDO 2 Fazer o gráfico da função dada SOLUÇÃO a Temse assim fx não existe para x 0 Como obtém se que fx não existe para x 0 A reta seguinte foi dividida considerando o valor 0 nas partes resultantes da divisão acima aparece o sinal da derivada primeira e abaixo os sinais da derivada segunda de f Assim concluise 1 f é decrescente no seu domínio 2 O gráfico de f é côncavo em 0 e convexo em 0 O gráfico de f não tem ponto de inflexão em zero pois f não está definida nesse valor 3 A reta x 0 é assíntota vertical do gráfico de f pois por exemplo a reta y 0 é assíntota horizontal do gráfico de f pois por exemplo 4 Como fx f x para todo x 0 o gráfico de f é simétrico em relação à origem Com base em tais informações obtémse a justificativa do gráfico de f que foi usado nos exercícios 5 a 10 do exercitando do tópico 1 da aula 02 Observe que devido à simetria do gráfico em relação à origem bastaria analisar a função para x 0 b Sendo obtémse logo gx 0 para x 0 e g x não existe para x 2Como tem se que gx 0 para todo x e gx não existe para x 2 Observe que g não está definida para x 2 A reta seguinte foi dividida pelos valores 2 0 e 2 nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de g Logo têmse as seguintes informações 1 g é crescente em 2 e 20 e decrescente em 02 e 2 Assim é máximo local 2 O gráfico de g é côncavo em 22 e convexo em 2 e 2 O gráfico não tem ponto de inflexão em 2 e 2 pois g não está definida nestes valores 3 O gráfico de g não intercepta o eixo X pois gx 0 para todo x As retas x 2 e x 2 são assíntotas verticais do gráfico pois por exemplo e y 0 é assíntota horizontal do gráfico pois Achase ainda 4 Sendo gx gx para todo x no domínio de f o gráfico é simétrico em relação ao eixo Y Considerando as informações obtidas fazse o gráfico de g que está na figura a seguir Observe que devido à simetria do gráfico g em relação ao eixo Y bastaria analisar a função para x 0 c Sendo temse logo hx 0 para x 1 e hx não existe para x 1 Como obtémse hx 0 se x 2 e hx não existe se x 1 Observe que h não está definida para x 1 A reta seguinte foi dividida pelos valores 2 1 e 1 nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h Assim têmse as seguintes informações 1 h é crescente em 11 e decrescente em 1 e 1 Logo é mínimo local 2 O gráfico de h é côncavo em 2 e convexo em 21 e 1 Daí é ponto de inflexão do gráfico de h 3 O gráfico intercepta o eixo X na origem pois h0 0 a reta x 1 é assíntota vertical do gráfico pois e y 0 é assíntota horizontal do gráfico pois Temse ainda Considerando estas informações fazse o gráfico de h que está na figura a seguir EXEMPLO PROPOSTO 2 Se verificar que o gráfico de f está na figura a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 3 Fazer os gráficos das seguintes funções a fx sen x b gx cos x c hx x sen x se SOLUÇÃO a O domínio da função seno é o conjunto dos números reais pois todo número real x é possível na equação y sen x Como o seno tem período igual a 2π isto é senx 2π sen x para todo x cada intervalo de comprimento igual a 2π antes de 0 e a partir de 2π dá a mesma parte do gráfico que for obtida com 0 x 2π assim para obter o gráfico da função seno basta ter a parte do gráfico correspondente a 0 x 2π e o restante é encontrado através da periodicidade Considerando x 02π temse Dx sen x cos x 0 se e Dx 2 senx sen x 0 se x 0 x π e x 2π O segmento de 0 a 2π em seguida foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda do seno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas Assim concluise 1 O seno é crescente nos intervalos e e decrescente em 2 O gráfico do seno é côncavo em 0 π e convexo em π 2π Considerando as informações obtidas temse a justificativa do gráfico da função seno conforme foi apresentado no tópico 2 da aula 02 GRÁFICO DA FUNÇÃO SENO Seja x uma variável real onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto 10 então as funções seno e coseno são definidas respectivamente pelas equações ysen x e ycos x Os gráficos destas funções estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios e imagens No tópico 1 da aula 09 exemplo resolvido 3 os gráficos serão justificados b A função coseno tem o mesmo domínio e período de função seno assim para obter o gráfico da função coseno basta ter a parte do gráfico correspondente a 0 x 2π o restante é encontrado através da periodicidade Considerando x 0 2π temse Dx cos x sen x 0 se x 0 x π e x 2π e Dx 2 cos x cos x 0 se O segmento de 0 a 2π a seguir foi dividido considerando os valores que anulam as derivadas primeira e segunda da função coseno e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais de tais derivadas Assim concluise 1 O coseno é decrescente no intervalo 0 π e crescente em π 2π 2 O gráfico do coseno é côncavo em e e convexo em Considerando as informações obtidas temse o gráfico da função coseno GRÁFICO DA FUNÇÃO COSENO Seja x uma variável real onde x representa a medida em radianos de um arco da circunferênciada unitário de centro na origem a partir do ponto 10 então as funções seno e coseno são definidas respectivamente pelas equações ysen x e ycos x Os gráficos destas funções estão nas figuras a seguir com os respectivos domínios e imagens No tópico 1 da aula 09 exemplo resolvido 3 os gráficos serão justificados c Sendo hx x sen x temse hx hx assim o gráfico de h é simétrico em relação à origem logo basta analisar a função h em 0 2π de 2π0 a simetria pode ser usada Como hx 1 cos x temse hx 0 em 0 2π para x 0 e x 2π Sendo hx sen x obtémse hx 0 em 0 2π para x 0 x π e x 2π O segmento de 0 a 2π a seguir foi dividido por π e nas partes resultantes da divisão estão indicados os sinais das derivadas primeira e segunda de h Assim têmse as seguintes informações 1 h é crescente em 0 2π 2 O gráfico é convexo em 0 π e côncavo em π2π dai ππ é ponto de inflexão do gráfico Considerando tais informações e usando a simetria do gráfico em relação à origem faz o gráfico de h que está na figura a seguir LEITURA COMPLEMENTAR Para acessar o conteúdo consulte a seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Problemas de Otimização ou clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando Aula07Top2doc para resolver o exercitando ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 3 4 e 37 do exercitando são as respectivas questões 3 até 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Fontes das Imagens