Derivadas de Funções Trigonométricas: Demonstrações e Exemplos

É importante lembrar a importância do texto Ângulo Medida de Ângulo e Trigonometria para entender as funções trigonométricas e suas aplicações já recomendado para leitura no tópico 2 da aula 02 Mas logo b Dxctgu csec2u Dxu b Dxctgu csec2u Dxu Tem demonstração análoga à demonstração da derivada da função tangente c Dxsecu secu tgu Dxu DEMONSTRAÇÃO Temse mas e logo Dxsecu secu tgu Dxu d Dxcsecu csecu ctgu Dxu d Dxcsecu csecu ctgu Dxu Tem demonstração análoga à demonstração da derivada da função secante EXEMPLO RESOLVIDO 1 Encontrar a derivada da função dada SOLUÇÃO a Temse fx Dxtgx2 secx2 usando a fórmula para derivas o produto de funções como usando a fórmula para derivar a secante com ux2 e usando a fórmula para derivar a tangente com u x2 obtémse substituindo b Sendo gx ctg2x csecx2 temse como Dxctg2x Dxcsecx2 usando a fórmula pra derivar a cotangente e usando a fórmula para derivar a cosecante com u x2 Dxcsecx2 csecx2ctgx2Dxx2 csecx2 ctg x22x 2x csecx2 ctg x2 logo substituindo Dxctg2x 2ctg x csec2x e Dxcsecx2 2x csecx2 ctgx2 gx 2ctg x csec2x 2x csecx2 ctg x2 2ctg x csec2x x csecx2 ctg x2 c Sendo temse usando a fórmula para derivar o quociente de funções como usando a fórmula para derivar a secante com u x Dxsecx sec x tgx e usando as fórmulas para derivar a soma de funções a cotangente e cosecante com u x respectivamente Dxctgx secx Dxctgx Dxcsecx csec2x csecx ctg x logo substituindo Dxsecx secx tgx e Dxctgx csecx csec2x csecx ctg x EXEMPLO PROPOSTO 1 Se fx tg2x sec2x e provar que fx 4tgx sec2x e gx 3sec3x 2ctg2xgx EXEMPLO RESOLVIDO 2 Acham Dxy se sen y cos y tg x x 1 Dxy tg²x cos²y Foi estabelecido no tópico 2 da aula 01 que uma função é injetiva então ela possui inversa Visite a aula online para realizar download deste arquivo Em geral as funções trigonométricas não são injetivas nos seus domínios devido às suas periodicidades da impossibilidade de definir a inversa de qualquer uma das funções trigonométricas considerando todo o seu domínio Logo a fim de que seja possível definir a função que se chama inversa da função trigonométrica correspondente é necessário restringir o domínio da função trigonométrica a um intervalo onde a função seja injetiva Neste tópico serão escolhidas as restrições que aparecem normalmente nos textos do Cálculo serão estabelecidas as fórmulas de derivação e para finalizar serão apresentados os gráficos das inversas das funções trigonométricas As funções trigonométricas inversas têm várias aplicações dentre as quais no Cálculo são usadas na técnica de integração chamada substituição trigonométrica que será estudada no próximo Módulo DICA Leia o texto trocando y por x Visite a aula online para realizar download deste arquivo na equação y fx isto é fazer x fy para obter y f¹x A restrição da função seno ao intervalo π2 π2 é injetiva pois ela é crescente em π2 π2 assim a função seno restrita a π2 π2 possui inversa A inversa da função seno restrita a π2 π2 é chamada de inversa do seno ou função arco seno e é indicada pelo símbolo arcsen Desta forma temse RESTRIÇÃO DA FUNÇÃO SENO AO INTERVALO x seny y π2 π2 se e somente se y arcsen x Embarque as restrições das funções trigonométricas tenham sido aos intervalos que foram indicados a fim de definir as suas inversas poderá ser escolhidos quaisquer outros intervalos onde cada uma das funções for injetiva Por exemplo a função arco seno poderá ser definida por x seny com 1 y 1 se e somente se y arcsen x x cosy y 0 π se e somente se y arccosx x tangy y π2 π2 se e somente se y arctgx x cotg y y 0 π se e somente se y arccotgx x sec y y 0 π2π2 se e somente se y arcsecx x cscy y 11 se e somente se y arccscx Como ilustração a primeira das identidades é demonstrada a seguir as provas das demais estão sugeridas no exercício 5 do excercicio desta aula Considera o triângulo retângulo da figura seguinte Sendo x cosθ senα temse θ arccos x e α arcsen x Mas θ α π2 logo substituindo θ e α nesta última equação a demonstração está concluída As derivadas das funções trigonométricas inversas são determinadas passando para a função trigonométrica correspondente e usando derivação implícita No restante deste tópico sempre que for usada a função u de variável independente x estará sendo suposto que u é derivável a fim de simplificar será escrito apenas u invés de ωα As fórmulas de derivação estão a seguir a Dx arcsen u 1 1 u² Du EXEMPLO PROPOSTO 1 Se fx arcsen2x arccosx2 provar que DEMONSTRAÇÃO Seja y arctg u então u tg y para Assim mas y arctgu e sec2y 1 tg2y 1 u2 logo substituindo y e sec2y temse d Tem demonstração análoga à demonstração da derivada da função arco tangente EXEMPLO RESOLVIDO 2 Sendo determinar Dxy SOLUÇÃO Temse mas e assim substituindo EXEMPLO PROPOSTO 2 Se mostrar que d DEMONSTRAÇÃO Seja para então se ou logo ou seja mas e além disso portanto substituindo y e obtémse e Tem demonstração análoga à demonstração da derivada da função arco secante EXEMPLO RESOLVIDO 3 Achar Dxy se y arcsecx arccsec x SOLUÇÃO Temse mas Dₓ x arccos x Dₓ x arccos x arccos x Dₓ x 1 x 1 x² arccos x x x 1 x² logo substituindo Dₓ arcsen u arccos x x x 1 x² Dₓ y 1 x arcsenc x x arcsenc x² 1 arccosec x x