Aula 11: Funções Hiperbólicas e suas Derivadas

Cálculo Diferencial I Aula 11 Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas Tópico 01 Funções Hiperbólicas Algumas funções dependentes dos termos exponenciais ex e ex são indispensáveis em cursos de Equações Diferenciais e aparecem numa variedade de problemas da Matemática Aplicada devido a isso é de grande relevância estudálas separadamente e dar a elas nomes especiais Essas funções são chamadas de funções hiperbólicas e serão apresentadas neste tópico Inicialmente as funções hiperbólicas serão definidas e algumas identidades serão estabelecidas posteriormente serão vistas as derivadas e apresentados os gráficos tais funções As funções hiperbólicas são designadas por seno hiperbólico coseno hiperbólico tangente hiperbólica cotangente hiperbólica secante hiperbólica e cosecante hiperbólica As funções seno e coseno hiperbólico estão relacionadas com a hipérbole x2 y2 1 assim como as funções trigonométricas seno e coseno estão relacionadas com a circunferência x2 y2 1 o que justifica os nomes atribuídos veja o exercício 2 do exercitando desta aula FUNÇÕES HIPERBÓLICAS As funções seno hiperbólico e coseno hiperbólico são indicadas pelos símbolos senh e cosh e definidas por respectivamente As funções tangente hiperbólica cotangente hiperbólica secante hiperbólica e cosecante hiperbólica são indicadas e definidas por IDENTIDADE COM FUNÇÕES HIPERBÓLICAS As identidades a seguir decorrem diretamente das definições Como ilustração a identidade a é demonstrada a seguir As relações são úteis nas demonstrações das identidades d e e estas decorrem diretamente das definições de seno e coseno hiperbólicos As identidades são obtidas da identidade a dividindo esta por respectivamente As identidades são obtidas das identidades d e e respectivamente considerando uv Combinando as identidades a e a última obtida encontramse as identidades DERIVADAS DO SENO E COSENO HIPERBÓLICOS Como as funções seno e coseno hiperbólicos são definidas a partir da função exponencial na base neperiana suas derivadas são estabelecidas usando a fórmula de derivação de tal funçãofórmula de derivação de tal função e outras da relação de fórmulas de derivação Visite a aula online para realizar download deste arquivo obtidas no tópico 1 da aula 06 Tais fórmulas de derivação são as seguintes FÓRMULA DE DERIVAÇÃO DE TAL FUNÇÃO Dxeu euDxu Demonstração NULLA MOLLIT EST ELIT Seja u uma função de x e derivável então como substituindo por temse Demonstração DEMONSTRAÇÃO Como substituindo por obtémse EXEMPLO RESOLVIDO 1 Exemplo resolvido 1 Calcular Dxy se SOLUÇÃO Temse assim usando a fórmula para derivar a função logarítmica natural dada por Como substituindo obtémse EXEMPLO PROPOSTO 1 Se mostrar que Como o restante das funções hiperbólicas são definidas a partir do seno e coseno hiperbólicos suas derivadas podem ser encontradas usando as fórmulas das derivadas do seno e coseno hiperbólicos As fórmulas de derivação das funções tangente hiperbólica co tangente hiperbólica secante hiperbólica e cosecante hiperbólica são dadas a seguir EXEMPLO RESOLVIDO 2 Calcular Dxy se SOLUÇÃO Temse mas e logo EXEMPLO PROPOSTO 2 Exemplo proposto 2 Se provar que Em seguida serão apresentados os gráficos das funções hiperbólicas suas justificativas estão propostas no exercício 22 do exercitando deste tópico ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo Exercitando Aula11Top1doc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 7 10 e 13 do exercitando são as respectivas questões 1 até 3 do trabalho a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar As questões 4 e 5 do trabalho serão indicadas no tópico seguinte desta aula É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou manuscrito e escaneado Cálculo Diferencial I Aula 11 Funções Hiperbólicas e Hiperbólicas Inversas Tópico 02 Funções Hiperbólicas Inversas VERSÃO TEXTUAL O objetivo deste tópico é apresentar as funções que são chamadas de funções hiperbólicas inversas tais funções serão aplicadas no próximo módulo no Cálculo Integral O problema de definir as inversas das funções coseno hiperbólico e secante hiperbólica é análogo ao das funções trigonométricas inversas definidas no tópico 2 da aula 09 pois essas funções não são injetivas em seus domínios já as inversas das funções hiperbólicas restantes são definidas sem quaisquer restrições em seus domínios As funções hiperbólicas inversas estão definidas a seguir com os respectivos domínios e imagens observe que se fez a troca de posição das variáveis x e y nas equações das funções hiperbólicas a fim de obter as funções hiperbólicas inversas diretamente com a variável independente x FUNÇÕES HIPERBÓLICAS INVERSAS se e somente se yarcsenh x se e somente se yarccosh x se e somente se yarctgh x se e somente se yarcctgh x se e somente se yarcsech x se e somente se yarccsech x As funções hiperbólicas inversas podem ser expressas em termos do logaritmo natural da seguinte forma a para todo x c para todo x1 d para todo x1 e para todo 0 x 1 f para 0 0 Demonstração da fórmula a as demonstrações das fórmulas b até f são similares e estão propostas no exercício 2 do exercitando deste tópico DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA A Se y arcsenhx então ou seja e2y2xey1 0 esta última equação é uma equação do segundo grau em ey que resolvendo dá Como ey 0 temse Tomando o logaritmo natural em ambos os lados da última equação resulta a expressão para o arcsenh As fórmulas de derivação das funções hiperbólicas inversas são deduzidas de modo análogo ao das fórmulas de derivação das funções trigonométricas inversas Se u é uma função de x e derivável as fórmulas estão relacionadas a seguir DEMONSTRAÇÃO DA FÓRMULA 1 fórmula da derivada do seno hiperbólico FÓRMULA DA DERIVADA DO SENO HIPERBÓLICO Dxsenh u cosh u Dxu Dxu Dxsenh y cosh y Dxy ou seja mas y arcsenhu e logo substituindo y e cosh y no último resultado obtémse EXEMPLO RESOLVIDO Calcular a derivada da função dada Solução a mas usando a fórmula para derivar arcsenh com u x2 e usando a fórmula para derivar arccosh com u x2 logo substituindo b gx Dx ascsech cos x usando a fórmula para derivar arcsech com u cosx substituindo D xcosx sen x substituindo EXEMPLO PROPOSTO Mostrar que ATIVIDADE DE PORTFÓLIO Vá na seção Material de Apoio do ambiente SOLAR e baixe o arquivo ExercitandoAula11Top2doc ou Clique aqui Visite a aula online para realizar download deste arquivo e resolva a quantidade máxima de exercícios que puder individualmente ou em grupo Os exercícios 6 e 7 do exercitando são as respectivas questões 4 e 5 do trabalho desta aula a ser postado no Portfólio Individual do ambiente Solar É exigido que o trabalho desta aula seja postado no Portfólio no período indicado na Agenda do ambiente Solar num único documento de texto pdf doc ou docx ou 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