Geometria Analítica e Álgebra Linear: Definição e Propriedades de Matrizes

ser educacional gente criando o futuro GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Msc Profa KARLA ADRIANA DEFINIÇÃO TIPOS ESPECIAIS DE MATRIZES OPERAÇÕES SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES CLASSIFICAÇÕES ESCALONAMENTO MATRIZES E SISTEMAS Notas dos alunos do 2 ano do ensino fundamental Notas dos alunos do 2 ano do ensino fundamental aij m linhas n colunas j Igualdade entre matrizes Duas matrizes A aij e B bij de ordem m n podem ser consideradas iguais apenas se aij bij Veja o exemplo a seguir e comprove que todos os elementos entre elas são coincidentes beginbmatrix 2 4 3 1 0 2 endbmatrix beginbmatrix 2 4 3 1 0 2 endbmatrix TIPOS DE MATRIZES Matriz quadrada é toda matriz m x n em que m é igual a n m n Como exemplo temos D beginbmatrix d11 d12 d13 d21 d22 d23 d31 d32 d33 endbmatrix E beginbmatrix 3 4 1 7 4 4 5 1 5 3 9 7 3 5 8 1 endbmatrix F beginbmatrix 1 0 0 0 1 0 0 0 1 endbmatrix D d11 d12 d13 G 4 0 0 0 MATRIZES SIMÉTRICAS E ANTISSIMÉTRICAS OPERAÇÕES COM MATRIZES Propriedades da Adição I Comutatividade A B B A II Associatividade A B C A B C A B C III Soma com Matriz nula A 0 A EXEMPLO Propriedades da Multiplicação Por Escalar I nA B nA nB n є R II n1 n2 A n1A n2A n1 e n2 є R III 0A 0 se multiplicamos qualquer matriz pelo escalar zero teremos uma matriz nula iv n1n2 A n1n2A n2n1A n1 e n2 є R EXEMPLO MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES F 1 4 3 Propriedades da Matriz Transposta I Uma matriz é simétrica se e somente se ela for igual a sua transposta ou seja M M ou M MT II A transposta de uma matriz transposta é a matriz original ou seja M M M III A transposta da soma é a soma das transpostas ou seja A B A B III nM nM onde n é um número escalar qualquer Exemplo Seja a matriz A encontre a sua transposta 1 2 3 A 4 5 6 7 8 9 1 2 3 1 4 7 A 4 5 6 A A 2 5 8 7 8 9 3 6 9 T Multiplicação Entre Matrizes A multiplicação entre duas matrizes A e B AB só está definida se o número de colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B O resultado é uma terceira matriz C que apresenta o número de linhas de A e o número de colunas de B A B C n m m p n p Exemplo Sejam as matrizes A e B Encontre uma matriz C resultante da multiplicação entre A e B 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 1 A 4 2 2 1 1 0 2 1 1 4 2 2 5 3 A B C 4 1 2 0 4 1 2 4 4 4 5 1 3 0 5 1 3 4 5 7 1 1 B 0 4 Propriedades I Em geral A B B A II A I I A A III A B C A B A C IV A B C A B C V A B B A observe a ordem VI 0 A 0 e A 0 0 Determinante de Matrizes Quadradas de 2ª Ordem 11 12 11 12 11 22 21 12 21 22 21 22 det a a a a a a a a a a a a Exemplo 1 Encontre o determinante das Matriz A Exemplo 2 Encontre o valor de x para que o determinante C seja igual a 5 C 𝑥 3 2 1 5 det C x1 32 5 x 6 5 6 x X 11 1 2 det 1 4 3 2 2 3 4 A A Determinante de Matrizes Quadradas de 3ª Ordem 11 12 13 11 12 13 21 22 23 21 22 23 31 32 33 31 32 33 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31 13 21 32 22 31 det a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Exemplo Encontre o determinante das Matriz A 1 3 1 3 2 2 2 0 3 A det 1 23 0 2 3 33 2 2 1 30 22 1 6 0 3 9 4 1 0 4 6 39 4 41 A G 3 2 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES 1 Sistema compatível Sistema compatível e determinado Sistema compatível e indeterminado 2 Sistema incompatível 3 Sistemas equivalentes Sistema Compatível e Determinado Admite uma única solução 2 3 18 3 3 4 25 4 x y x x y y h11 1 3 4 0 3 5 18 h12 1 2 4 4 3 1 15 h21 0 3 5 0 8 5 40 h22 0 2 5 4 8 1 12 Sistema Compatível e Indeterminado Admite infinitas soluções 4 2 100 8 4 200 x y x y Y 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 X 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 Sistema Incompatível Não admite solução 2 3 18 2 3 25 x y x y Sistemas Equivalentes Admitem a mesma solução 3 6 42 2 4 12 2 14 2 6 x y x y x y x y x 10 y 2 REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA DE UM SISTEMA MÉTODO DO ESCALONAMENTO OU ELIMINAÇÃO DE GAUSS 2 3 1 2 3 4 1 2 4 4 3 2 1 3 L₁₂ 2 3 1 4 1 2 4 4 3 2 1 3 L₂ L₂ 2L₁ 1 2 4 4 0 7 9 6 3 2 1 3 L3 L3 3L1 x 2y 4z 4 7y 9z 6 57 z 157 Resolução Aplicando o Método de EliminAÇÃO de Gauss ao sistema Ax b obtemos Ab 1 1 2 4 2 3 1 0 3 2 1 5 L1L22L1 L3L33L1 1 1 2 4 0 5 5 8 0 5 5 7 Considere o sistema linear Ax b com A 8 1 5 24 1 1 16 2 6 x x e b 1 1 1 Resolv a o sistema usando o método de eliminação de Gauss Resolução Aplicando o Método de Eliminação de Gauss ao sistema Ax b obtemos Ab 8 1 5 1 24 1 1 1 16 2 6 1 L1 L2 3 L1 L2 L3 2 L1 0 4 16 4 Resolva o sistema linear Ax b usando o método de eliminação de Gauss com A 2 2 1 4 4 8 2 6 9 x x e b 1 3 4 MÉTODO DE GAUSSJORDAN 2 3 1 2 1 2 4 4 3 2 1 3 1 2 4 4 2 3 1 2 L2 L2 2L1 3 2 1 3 1 0 3 3 0 7 9 6 L3 L3 3L1 1 quad 2 quad 4 quad quad 4 1 quad 0 quad 0 quad quad 0 1 quad 0 quad 0 quad quad 2 OBRIGADOA NOME DO APRESENTADOR CONTATOS CARGO