Geometria Analítica e Álgebra Linear: Sistemas de Equações Lineares e Interseções

ser educacional gente criando o futuro GEOMETRIA ANALÍTICA E ÁLGEBRA LINEAR Msc Profa KARLA ADRIANA SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES RETAS PLANOS SISTEMAS RETAS E PLANOS Ângulo entre dois planos θ n1 π1 π2 θ n2 Ângulo entre dois planos Determinar o ângulo entre os planos 12x 3y5z80 e 23x2y5z40 Ângulo entre dois planos 1 𝑛1 𝑛2 Solução 𝑛1 2 35 e 𝑛2 32 5 são vetores normais aos planos logo temos cosØ 𝑛1𝑛2 2 35 32 5 22 3252 32 2252 cosØ 25 25 logo 38 38 38 Ø arc cos 25 38 π Paralelismo entre uma Reta e um Plano n π r v n v vn 0 Paralelismo Entre Planos 2 2 2 a b c a b c 1 1 1 n1 n2 π1 π2 n1 a1b1c n2 Perpendicularismo entre uma Reta e um Plano n anbncn v avbvcv π n r v va an bn EQUAÇÃO GERAL DO PLANO Exemplo 1 Escreva uma equação geral do plano π que passe pelo ponto A 2 1 3 e seja paralela ao plano π₁ 3x 4y 2z 5 0 Condições de paralelismo e perpendicularismo entre reta e plano Verificar a posição relativa da reta com o plano sendo x y z 2 35 112t e 3xy2z10 Solução vn 0 112 3 1 2 31 40 logo a reta é paralela ao plano π1 Perpendicularismo Entre Planos n1n2 0 n1 n2 π1 π2 n1 a1b1c1 n2 a2b2c2 n2 n1 INTERSEÇÕES Interseção Entre Dois Planos 0 90o Interseção Uma Reta e um Plano 0 90o π Exemplo Determinar o ponto de interseção da reta z 3x4 ry2x 3 com o plano 3x5y2z 90 Solução Resolver o sistema de equações y2x 3 z 3x4 3x5y2z 90 Resolvendo o sistema temos X2 Y1 Z10 Um espaço vetorial é um conjunto V não vazio que satisfaz as operações de soma V V V e multiplicação por escalar RV x V tais que estas 11 propriedades sejam satisfeitas Espaço vetorial 1 0 V 2 S e u V e v V u v V 3 u v w u v w 4 u v v u 5 v 0 v 6 v v 0 7 Se vV e a R avV 8 au v au av 9 a bv av bv 10 abv abv 11 1v v 1 u v 1 2 2 2 1 2 2 2 3 0 Os elementos x e y do vetor resultante pertencem aos números reais Portanto o axioma é válido 2 u v 3 0 v u 2 2 1 2 2 1 2 2 3 0 Portanto o axioma é válido 3 u v w 1 2 2 2 3 2 3 3 0 0 u v w 1 2 2 3 1 2 1 4 0 2 Portanto o axioma é válido 4 0 0 0 Os elementos x e y pertencem aos números reais Portanto o axioma é válido Exemplo 2 Verificar se s x y x y1 é um espaço vetorial Verificar se s x y y x² é um espaço vetorial Subespaço vetorial Um subespaço vetorial W é um subconjunto de um espaço vetorial V ou seja é um espaço vetorial menor do que V e que apresenta todas as propriedades de soma e multiplicação por escalar apresentado por ele DEFINIÇÃO Dado um espaço vetorial V um subconjunto W não vazio será um subespaço de V se i Para quaisquer vetores u e v є W necessariamente uv єW ii Para quaisquer n єR e u єW necessariamente nu єW Exemplo 1 Verificar se s x y x 0 é um subespaço vetorial Exemplo Seja o espaço vetorial do R² Considere dois subconjuntos W11 11011 e W2 1001 Mostre que W1 é formado por vetores LD enquanto que W2 por vetores LI DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR 1 3 1 W1111011 W a111 a2 10 a311 0 a1a1a20a3a3 0 a1 a2 a3 a1 a3 00 a1 a2 a3 0 a3 a1 a3 a1 a a a 0 2a a 0 2a 1 2 2 W21001 a110 a2 01 0 a100a2 0 a1a200 Bases de um espaço vetorial 1 Mostrar que B 1 110 é uma base para o R² TRANSFOR MA ÇÃO LINEAR Tx y 2x y x y Dada a matriz da transformação e a matriz das incógnitas OBRIGADOA NOME DO APRESENTADOR CONTATOS CARGO