Extensões Algébricas e a Vida de Evariste Galois

Responsável pelo Conteúdo Prof Me Paulo Roberto Nascimento Revisão Textual Esp Jéssica Dante Extensões Algébricas Extensões Algébricas Compreender e familiarizar com extensões algébricas corpos nitos e extensões normais OBJETIVO DE APRENDIZADO Extensões Algébricas UNIDADE Extensões Algébricas Extensões Algébricas Evariste Galois nasceu na França em 25 de outubro de 1811 e faleceu no dia 31 de maio de 1832 Seu primeiro contato com a Matemática foi aos doze anos quando Galois foi para a escola no Liceu de LouisleGrand Lá ele não encontrou nenhum curso de Matemática Somente aos dezesseis anos pôde fazer seu primeiro curso de Matemática e com dezessete anos publicou seu pri meiro trabalho nos Annales de Gergonne Ele foi reprovado duas vezes no exame de admissão para a Escola Polytechnique os seus modos rudes e a falta de explicações na prova oral fizeram com que sua admissão fosse recusada Com dezesseis anos submeteu dois trabalhos de pesquisa na Acadêmica de Ciências Cauchy ficou muito impressionado com o trabalho do jovem Evariste e o julgou capaz de participar na competição pelo Grande Prêmio de Matemática da Academia Para isso os dois trabalhos teriam que ser reapresentados na forma de uma única tese Em julho de 1829 um jesuíta contrário às ideias republicanas do pai de Evariste começou uma campanha para depôlo Escreveu uma série de versos vulgares ridiculari zando membros da comunidade e os assinou com o nome do velho Galois que não pode suportar a vergonha e se suicidou Evariste Galois voltou a Paris juntou seus dois trabalhos em um só e os enviou para o secretário da Academia Joseph Fourier O trabalho de Galois não apresentava uma solução para os problemas do quinto grau mas oferecia uma visão tão brilhante que Cauchy o considerava como o provável vencedor Mas o trabalho não ganhou o prêmio e nem foi oficialmente inscrito Fourier morreu algumas semanas antes da data da decisão dos juízes e embora alguns trabalhos iniciais tivessem sido entregues ao comitê o de Galois não estava entre eles O trabalho nunca foi encontrado e a injustiça foi registrada por um jornalista francês Em dezembro de 1830 o gênio contrariado tentou se tornar um rebelde profissional alis tandose na Artilharia da Guarda Nacional mas acusado de conspiração Galois foi preso Ficou na prisão durante um mês e mergulhou num estado de depressão tentando suicídio Em março de 1832 um mês antes da sentença irrompeu uma epidemia de cólera em Paris e os prisioneiros foram libertados Galois envolveuse com uma mulher misteriosa chamada StephanieFelice Poterine du Motel Stephanie já estava comprometida com um cidadão um dos melhores atiradores da França e que descobriu a infidelidade de sua noiva Furioso não hesitou em desafiar Galois para um duelo ao raiar do dia Na noite anterior ao confronto que ele acreditava ser a última oportunidade que teria para registrar suas ideias no papel ele escreveu cartas para os amigos explicando as circunstâncias 8 9 Um de seus maiores temores era de que sua pesquisa rejeitada pela Academia se perdesse para sempre Em uma tentativa desesperada de conseguir reconhecimento ele trabalhou a noite toda escrevendo o teorema que acreditava explicaria o enigma da equação do quinto grau No final da noite quando seus cálculos estavam completos ele escreveu uma carta explicativa ao seu amigo Auguste Chevalier pedindo que caso morresse aquelas pági nas fossem enviadas aos grandes Matemáticos da Europa A Teoria de Galois é um ramo da álgebra abstrata No nível mais básico ela usa grupo de permutações para descrever como as várias raízes de uma certa equação poli nomial estão relacionadas umas com as outras Este foi o ponto de vista original de Evariste Galois A abordagem moderna da Teoria de Galois desenvolvida por Richard Dedekind Leopold Kronecker e Emil Artin entre outros envolve o estudo de automorfismos de extensões de corpos Uma abstração além da Teoria de Galois é conseguida pela teoria das conexões de Galois O nascimento da teoria foi originalmente motivado pela seguinte questão que é conhecida como o teorema de AbelRuffini Porque não existe uma fórmula para as raízes de uma equação polinomial de quinta ordem ou maior em termos de coeficiente de polinômios usando somente as opera ções algébricas usuais adição subtração multiplicação divisão e aplicação de radicais raiz quadrada raiz cúbica etc A teoria de Galois não é somente para dar uma bela resposta para essa questão mas também para explicar em detalhes porque é possível resolver equações de quarto grau ou menores da forma descrita anteriormente e porque suas soluções assumem as formas que têm ela dá uma clara explicação a questões referentes a problemas de construção com régua e compasso Caracteriza de forma elegante as construções que podem ser executadas com este método Usando esta teoria tornase relativamente fácil responder perguntas da Geometria Clássica tais como Quais polígonos regulares são polígonos construtíveis Por que não é possível a trissecção de um dado ângulo Por que não é possível a quadratura do círculo Por que não é possível a duplicação do cubo As últimas três perguntas referemse aos problemas clássicos de construção com régua e compasso que Galois conseguiu responder com sua teoria utilizando as noções de números algébricos e transcendentes A obra de Galois foi importante não só por tornar a noção abstrata de grupo na teo ria das equações mas também por levar através de contribuições de Richard Dedekind que introduziu em 1871 a noção de ideal Leopold Kronecker e Ernst Eduard Kummer ao que se pode chamar tratamento aritmético da álgebra algo parecido com a aritme tização da análise 9 UNIDADE Extensões Algébricas Galois descobriu que uma equação algébrica irredutível é resolúvel por radicais se e só se seu grupo isto é grupo de permutações sobre suas raízes é resolúvel De modo geral a teoria de Galois explorada pela primeira vez no século XIX usa grupo de permutações para descrever como as várias raízes de uma equação polinomial estão relacionadas umas com as outras Não irei aprofundar sobre a teoria de Galois mas seus conceitos serão indispensáveis para o desenvolvimento do estudo de extensões algébricas Uma das características da Matemática do último século foi a sua tendência para abs tração Das áreas da chamada Álgebra moderna só a teoria abstrata dos anéis e ideal é puramente um produto do século XX O primeiro matemático a dar a noção de anéis foi Adolf Fraenkel mas foi Richard Dedekind quem introduziu o conceito de anéis através de equações polinomiais e também de corpos A curiosidade do ser humano leva às descobertas Galois foi considerado gênio mas será que é preciso ter o dom de Galois para levar ao desenvolvimento de teorias Ou basta ser estudioso e crescer com este estudo Vamos então à teoria Para compreender os assuntos tratados nesta unidade precisamos do conhecimento de estruturas algébricas já vistos grupos anéis e corpos Seja E um corpo Dizemos que E F é uma extensão de F se F é subcorpo de E F é subcorpo de E se a 1 F onde 1 é o elemento neutro da operação produto de E b Se x y F então x y F c Se x y F então xy F d Se x F então x 1 F Isso nos diz que F é um corpo com as operações de soma e produto induzidas de E Se E é uma extensão de F E é também um espaço vetorial sobre F A dimensão de E como espaço vetorial sobre F é denotada por E F Dizemos que a extensão E F é finita quando a dimensão do espaço vetorial E sobre F é finita Caso contrá rio é uma extensão infinita Um elemento α E é dito ser algébrico sobre F se for raiz de um polinômio f x F x em caso contrário é dito ser transcendente sobre F Dizemos que E F é uma extensão algébrica se todo α E for algébrico Dados 1 2 n α α α indicaremos por 1 2 n α α α o menor subcorpo de que contém e todos os elementos 1 2 n α α α Mas geralmente se E F é uma extensão e 1 2 n E α α α então 1 2 F α α αn é o menor subcorpo de E que contém F e os elementos 1 2 n α α α 10 11 Exemplos 1 O conjunto dos números reais é uma extensão dos racionais De fato temos 1 x y x y x y xy e se 1 x x 1 2 O conjunto dos números complexos é uma extensão dos reais Aqui também é bastante simples veri car que valem as propriedades a b c e d anteriores 2 3 A unidade imaginária i é algébrico sobre De fato i é raiz do polinômio 2 1 x 0 4 é uma extensão algébrica de De fato dado a ib a b α temos que 2 2 2 2 2 2 2 2 0 a ib a a b a a b α α α α α e por tanto o polinômio 2 2 2 2 x ax a b x e claro a ib a b α é raiz desse polinômio 5 2 é formado pelos elementos da forma 2 a b com a b Esta é uma extensão algébrica de Fica como exercício ao caro aluno veri car isto 6 é uma extensão in nita De fato se considerarmos as potências de π 0 n S n n π e como π não é raiz de nenhum polinômio com coe cien tes racionais Isso foi provado por Lindemann em 1882 então qualquer subconjunto de S nito é linearmente independente Logo é uma extensão innita Vejamos agora alguns resultados importantes Teorema Se 1 2 3 E E E são corpos tais que 1 E 2 E e 2 E 3 E então 1 E 3 E e vale 1 3 1 2 2 3 E E E E E E Demonstração Sejam 1 2 m v v v uma base de 1 E sobre 2 E e 1 2 n u u u uma base de 2 E sobre 3 E Vamos mostrar que 1 1 i v uj i m j n β é uma base de 1 E sobre 3 E Seja 1 u E então 1 2 1 m i i i u v E α α Mas 2 i α E e portanto 1 1 n ij j j u α δ 3 ij δ E Substituindo a primeira equação na segunda temos 1 1 m n ij i j i j u v u δ o que mostra que β gera o espaço 1 E sobre 3 E Resta agora mostrar que β é linearmente independente sobre 3 E Tomemos a seguinte equação 3 1 1 0 m n ij i j ij i j v u E δ δ 11 UNIDADE Extensões Algébricas Podemos escrever da seguinte maneira 1 1 0 12 m n i i i ij j i j v onde u para cada i m λ λ δ Como 1 2 m v v v é linearmente independente sobre 2 E então iλ 0 para todo 12 i m Logo 1 0 12 m ij j j u i m δ Como 1 2 n u u u é linearmente independente sobre 3 E então temos que 0 ij δ para 12 i m e 12 j n e portanto β é linearmente independente Ou seja β é uma base de 1 E sobre 3 E e temos que 1 E 3 E mn Logo 1 3 1 2 2 3 E E E E E E Uma extensão deste resultado é o seguinte Corolário Se iE é um corpo para 12 i r e 1 iE é uma extensão finita de iE então r E é uma extensão finita de 1 E e vale 1 1 1 2 2 1 r r r r r E E E E E E E E A demonstração desse resultado é feita por indução Fica como exercício ao caro estudante Vimos anteriormente que um elemento α E é dito ser algébrico sobre F se for raiz de um polinômio f x F x em caso contrário é dito ser transcendente sobre F Dizemos que E F é uma extensão algébrica se todo α E for algébrico Então mais um resultado importante para isso precisaremos do seguinte Lema Lema Seja V um espaço vetorial gerado pelos vetores 1 2 m v v v Então qual quer subconjunto de V com mais de m vetores é linearmente dependente Concluin do qualquer subconjunto linearmente independente de V tem no máximo m vetores Esse é um lema teorema de álgebra linear e ficará implícito que os caros alunos já o viram por isso será omitida a demonstração Vamos então ao teorema Teorema Se E é uma extensão finita de F então E é uma extensão algébrica de F Demonstração Vamos provar que cada elemento α E é algébrico sobre F 12 13 Como E é uma extensão finita de F podemos supor que E F n Conforme o lema anterior o conjunto 1 2 n α α α não é linearmente independente Logo existem 0 1 n a a a F não todos nulos tais que 2 0 1 2 0 n n a a a a α α α ou seja α é raiz do polinômio não nulo 2 0 1 2 n n f X a a X a X a X F X e portanto α é algébrico sobre F Foi mostrado que toda extensão finita é algébrica será que vale a recíproca Vamos agora definir o que é uma extensão normal Definição Uma extensão N F é dita ser normal se todo polinômio irredutível em F x que tenha uma raiz em N se decompõe completamente sobre N Para o próximo resultado precisamos saber o que é um polinômio minimal seja α um elemento algébrico de um corpo K O polinômio minimal mα de α é o polinômio mônico de menor grau que satisfaz mα α 0 Já um polinômio é mônico se o coefi ciente do termo de maior grau é igual a 1 Temos então o seguinte Utilizaremos também o seguinte lema que será apresentado sem sua demonstração Lema se K F é uma extensão de corpos e α K então o polinômio minimal m α x é irredutível sobre F Agora o principal resultado Lema seja α N e N F uma extensão algébrica Então N é normal se e so mente se o polinômio minimal m x F x α se decompõe totalmente sobre F Demonstração Seja N F uma extensão de corpos α N e m x F x α seu polinômio mi nimal Se N é normal a definição de extensão normal unida ao lema anterior nos diz que mα se decompõe completamente sobre N Provemos agora a recíproca Se para todo α N o seu polinômio minimal m α x F x se decompõe totalmente sobre N podemos concluir que não existem elementos transcendentes em N ou seja N F é uma extensão algébrica e podemos tomar m F x tal que m α 0 Resta mostrar que m mα Seja m F x irredutível e tal que m α 0 para algum α N Se m não fosse o polinômio minimal podería mos escrever m m f α para algum f x F x não constante Mas m é irredutível e portanto m mα O conjunto dos números reais é normal E o conjunto dos números complexos 13 UNIDADE Extensões Algébricas Agora a separabilidade Polinômio separável um polinômio f x F x é dito ser separável se todas as suas raízes são distintas Elemento separável dada uma extensão de corpos K F o elemento α K é separável se seu polinômio minimal mα for separável Extensão separável a extensão K F é dita ser separável se todo elemento algébrico de K for separável e se todo polinômio irredutível for separável Elemento primitivo dada uma extensão de corpos K F um elemento α K é chamado de primitivo se F α K Com isso temos o seguinte resultado apresentado sem sua demonstração Teorema Se K é um corpo de característica 0 então toda extensão separável de K é simples Vamos ilustrar este teorema com um exemplo Exemplo mostremos que a b a b a b É óbvio que a b a b a b Q pois como a b a b pela definição de corpo temos a b a b Como a b é o menor corpo que contém a b então a b a b Para provar a outra inclusão notemos que 2 a b a b e por tanto 3 a b a b definição de corpo Temos então 3 3 3 3 3 a b a a a b b a b b a b a a b b Assim 3 3 3 2 a b a a b b a b a b a b b Como 2 a b então b a b Escrevendo a a b b concluímos que a a b Logo a b a b e portanto a b a b Dados a b m será que vale a b m a b m 14 15 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Extensão Separável httpsbitly3QNU3n9 Extensões de Corpos httpsbitly3S9i5dk Extensões Algébricas de Corpos httpsbitly3df43ID Introdução à Teoria de Galois httpsbitly3RTdZGD Uma Introdução a Extensões de Corpos Finitas e Algébricas httpsbitly3BJCMHr Grupos Corpos Teoria de Galois e Aplicações httpsbitly3xu3TUB 15 UNIDADE Extensões Algébricas Referências EDWARDS H M Galois theory New York Springer 1984 Graduate Texts in Mathematics 101 ENDLER O Teoria dos corpos Rio de Janeiro IMPA 2005 JACOBSON N Basic algebra 2nd ed Mineola NY Dover Publications 2009 v 1 KAPLANSKY I Introdução à teoria de Galois 2nd ed Rio de Janeiro IMPA 1966 Notas de matemática 13 KATZ V J FRALEIGH J B A first course in abstract algebra 7th ed Boston AddisonWesley 2003 LANG S Algebra 3rd ed New York Springer 2002 Graduate Texts in Mathematics 211 16