Produtos Envolvendo Vetores - Material Teórico

Geometria Analítica I Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin Produtos envolvendo Vetores Introdução Produto Escalar Produto Vetorial Produto Misto Exercícios Complementares Compreender propriedades e teoremas que envolvem o estudo de vetores Interpretar geométrica e algebricamente os produtos vetorial e misto de vetores Aplicar os conceitos estudados para resolver exercícios propostos OBJETIVO DE APRENDIZADO Nesta Unidade ampliaremos nossa compreensão acerca dos vetores Neste sentido as discussões teóricas apresentadas aqui alicerçamse nos seguintes questionamentos O que é produto escalar de vetores Como representálo geométrica e algebricamente O que é produto vetorial O que é produto misto de vetores Como representálo geométrica e algebricamente Ao final da Unidade serão propostos alguns exercícios para que você possa aprofundar o estudo desta Unidade Sugerimos que você também assista às videoaulas e não se esqueça de conferir as datas de avaliação ORIENTAÇÕES Produtos envolvendo Vetores UNIDADE Produtos envolvendo Vetores Contextualização Para iniciarmos esta Unidade em que refletiremos sobre a importância dos produtos envolvendo vetores tomemos por exemplo o produto escalar que é muito utilizado por exemplo na Física No estudo de conceitos da Física os vetores assumem papel fundamental dado que nesta área de conhecimento eles são utilizados para descrever e analisar grandezas físicas que possuem módulo e direção como velocidade e força Nesse sentido é importante destacar que quando uma grandeza física é descrita por um único número ela é denominada de grandeza escalar por outro lado quando uma grandeza física é descrita por um módulo que indica a quantidade ou tamanho do vetor ela é denominada grandeza vetorial A seguir apresentamos alguns exemplos desta denominação teste Grandeza Física Grandeza escalar Tempo Temperatura Massa Densidade Carga elétrica Grandeza vetorial Movimento Velocidade Força Neste contexto os vetores são utilizados para calcular e relacionar as grandezas físicas por meio de produtos de vetores Mas não podemos confundir o produto de vetores com o produto que utilizamos em álgebra por exemplo 2 3 6 Ao falarmos de produtos de vetores precisamos associálos às ideias de grandeza escalar e grandeza vetorial Voltemos à tabela anterior Para calcularmos uma grandeza escalar utilizaremos o produto escalar e para calcularmos uma grandeza vetorial utilizaremos o produto vetorial Além da Física esses conceitos são utilizados em variadas situações Que tal conhecermos algumas aplicações antes de iniciarmos nossos estudos sobre os produtos envolvendo vetores Para iniciarmos gostaríamos de fazer uma pergunta você sabe qual o número do seu CPF Cadastro de Pessoas Físicas Se você não sabe o número do seu CPF anoteo antes de continuar a leitura 6 Exemplo 1 O dígito verificador do CPF adaptado de SANTOS 2009 p 1578 No nosso país Brasil cada pessoa física possui um único e definitivo número de inscrição no CPF que o identifica perante a Secretaria da Receita Federal Tal número de inscrição é constituído de nove dígitos agrupados de três em três mais dois dígitos verificadores Tomemos por exemplo o CPF 31340280930 Os dígitos verificadores têm por finalidade comprovar a validade do número do CPF informado No nosso exemplo os dígitos verificadores são o 3 e o 0 números finais do CPF Tais dígitos são obtidos por meio das seguintes operações envolvendo produtos escalares a Cálculo do primeiro dígito verificador Tomamos um vetor a IR9 cujos componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na ordem dada Para o CPF anterior temos o vetor a 313402809 Tomemos por base também um vetor padrão b IR9 tal que b 1098765432 Se calculamos o produto escalar entre os vetores a e b representado por ab teremos ab 3134028091098765432 ab 3101938470625840392 ab 3092428010320276 ab 151 A seguir tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11 Se o resto desta divisão inteira é 0 ou 1 então o primeiro dígito verificador é 0 Caso contrário resto entre 2 e 10 o primeiro dígito verificador é dado por 11 resto Para o exemplo em questão a divisão inteira de 151 por 11 resulta em quociente 13 e resto 8 Sendo assim o primeiro dígito verificador é 11 8 3 b Cálculo do segundo dígito verificador Tomamos um vetor c IR10 cujos primeiros componentes são os dígitos que compõem o número do CPF na ordem dada e o último componente é o primeiro dígito verificador encontrado Para o exemplo em questão temos c 3134028093 Tomemos por base também um vetor padrão d IR10 tal que b 111098765432 Se calculamos o produto escalar entre os vetores c e d representado por cd temos cd 3134028093111098765432 cd 3111103948072685049332 cd 33102732012400276 cd 187 A seguir tomamos o resto da divisão inteira desse produto escalar por 11 Se o resto dessa divisão inteira é 0 ou 1 então o segundo dígito verificador é 0 Caso contrário resto entre 2 e 10 o segundo dígito verificador é dado por 11 resto Para o exemplo em questão a divisão inteira de 187 por 11 resulta em quociente 17 e resto 0 Sendo assim o segundo dígito verificador é 0 Exemplo 2 Trabalho adaptado de SANTOS 2009 p 1656 Uma aplicação importante do produto escalar é o cálculo do trabalho realizado por uma força F sobre uma partícula em movimento O caso mais simples ocorre quando a força F é constante e atua sobre uma partícula que se desloca em uma trajetória retilínea representada por um vetor deslocamento d como mostrado na Figura a seguir Lembrese de que a força é uma grandeza vetorial Força constante significa que a força é constante em módulo direção e sentido F 0 d Figura 1 Força constante F atuando em um deslocamento retilíneo d Fonte CONDE 2004 p 166 Em tal situação definese o trabalho w realizado pela força F sobre a partícula com deslocamento dado pelo vetor d através do produto escalar w Fd Fdcosθ Observe que o trabalho é uma grandeza escalar obtida a partir de duas grandezas vetoriais e nos dá a variação da energia da partícula ao longo do deslocamento d No Sistema Internacional de Medidas Sistema SI a unidade padrão de força é o Newton N e a de deslocamento é o metro m Assim a unidade SI de trabalho é 1 Newton metro Nm ou 1 Joule 1 J 1 Nm a Uma força de magnitude 6 N e direção N45L atua sobre uma partícula que se move do ponto 2 0 ao ponto 5 2 o deslocamento é medido em metros Determine o trabalho realizado pela força Conforme ilustrado na Figura 2 b o vetor força é dado por F 6cosπ46senπ4 F 3232 N O vetor deslocamento é dado por d 5220 d 32m Finalmente Figura 2 c o trabalho é dado por w Fd w 323232 w 323322 w 92 62 w 152J Estes são apenas alguns exemplos de aplicações dos produtos envolvendo vetores que estudaremos nesta Unidade Recomendamos que após estudar a Unidade você retome estes exemplos no sentido de resignificálos Introdução Nesta Unidade abordaremos os seguintes produtos entre vetores produto escalar produto vetorial e produto misto Para cada um deles apresentaremos a definição as propriedades principais e alguns exemplos de aplicação Ao final da Unidade propomos alguns exercícios complementares para auxiliarlos no estudo destes conceitos Iniciemos pois definindo o produto escalar Produto Escalar Sejam os vetores 𝑢 𝑎𝑏 e 𝑣 𝑐𝑑 o número real obtido por 𝑢𝑣 𝑎𝑐 𝑏𝑑 é denominado produto escalar Notação Representaremos o produto escalar pela notação 𝑢𝑣 É importante destacar que a denominação Produto escalar se deve ao fato de o resultado desse produto ser uma grandeza escalar Exemplos 1 Sejam os vetores 𝑢 34 e 𝑣 25 determine o produto vetorial entre eles 2 Sejam os vetores 𝑢 358 e 𝑣 421 determine o produto vetorial entre eles Solução 𝑢𝑣 345281 𝑢𝑣 12108 𝑢𝑣 14 Como podemos provar a existência de um ângulo reto Considerandose o conceito de produto escalar podemos mostrar a existência de dois vetores que determinam os lados de um triângulo cujo produto escalar é igual a zero Propriedades do Produto Escalar Sejam 𝑢 𝑣 e 𝑤 vetores quaisquer α um número real e 𝑜 o vetor nulo temos que 𝑢𝑣 𝑣𝑢 II 𝑢𝑣 𝑤 𝑢𝑣 𝑢𝑤 e 𝑢 𝑣𝑤 𝑢𝑤 𝑣𝑤 III α 𝑢𝑣 𝑎𝑙𝑏𝑎𝑟𝑣 IV 𝑢𝑢 0 se 𝑢 0 e 𝑢𝑜 𝑜 se 𝑢𝑜 000 V 𝑢𝑢 𝑢² Definição Geométrica do Produto Escalar Se 𝑢 e 𝑣 são vetores não nulos e θ o ângulo entre eles temos que 𝑢𝑣 𝑢𝑣cosθ 0 θ 180 Ao aplicarmos a Lei dos Cosenos ao triângulo ABC temos u v² u² v² 2uvcosθ Desse modo podemos concluir que o produto escalar de dois vetores não nulos é igual ao produto de seus módulos pelo cosseno do ângulo por eles formado Exemplo Sendo u 4 v 6 e 120 o ângulo entre estes vetores calcular o produto escalar entre estes vetores Solução Sabemos que uv uvcosθ logo uv 46cos120 uv 4612 uv 242 uv 12 Utilizando o produto escalar para determinar o ângulo entre vetores Sejam u e v vetores do IR² ou do IR³ com origem comum e o ângulo formado por eles seja θ como exemplificamos na figura a seguir Se aplicarmos a lei dos cossenos no triângulo formado pelos vetores u v e u v teremos u v² u² v² 2uvcosθ Sabemos que u v² u² 2uv v² Assim substituindo na expressão anterior temos u v² u² v² 2uvcosθ Simplificando essa expressão temos a seguinte redução uv uvcosθ Desta maneira cosθ uv uv Portanto θ arccosuv uv Exemplo Dados os vetores u 236 e v 034 do IR³ encontre o ângulo entre eles Utilizando uma calculadora científica encontraremos arccos37 6462 Portanto o ângulo θ é igual a 6462 θ é um ângulo agudo 0 θ π2 uv 0 θ é um ângulo obtuso 0 θ πuv 0 θ é um ângulo reto θ π2 uv 0 O conceito de produto escalar é muito utilizado na Física Por exemplo podemos utilizar este conceito para calcularmos a grandeza trabalho vez que o trabalho realizado por uma força constante ao longo de um deslocamento é definido como o produto escalar desta força pelo deslocamento realizado pelo corpo no qual a força está aplicada Produto vetorial Sejam os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 pertencentes ao IR³ denotaremos o produto vetorial por u x v lêse u vetorial v e o definimos como u x v y1z2 y2z1i x2z1 x1z2j x1y2 x2y1k Se calculamos o determinante utilizando cofatores obtemos u x v y1 z1 z2 x1 z2 x2 z1 j x1 y2 y1k Logo u x v y1z2 y2z1i x2z1 x1z2j x1y2 x2y1k Importante Você também pode utilizar outras técnicas para calcular o determinante como por exemplo a Regra de Sarrus Exemplo Dados os vetores u 123 e v 231 determine o produto vetorial entre eles Solução u x v i j k x1 y1 z1 x2 y2 z2 i j k y1 z1 z2 y2 z2 z1 i j k u x v i j k 1 2 3 2 3 1 u x v 7i 7j 7k u x v 7 7 7 Propriedades do Produto Vetorial 1 O sentido do vetor u x v pode ser obtido pela chamada regra da mão direita Observe a imagem a seguir A regra da mão direita pode ser interpretada da seguinte forma apontandose o dedo indicador na direção do vetor u e o dedo médio na direção do vetor v o vetor u x v tem direção dada pelo dedo polegar 2 u x v v x u 3 Se v αu então u x v u x αu 0 4 u x vu 0 e u x vv 0 5 Distributividade u x v w u x v u x w u v x w u x v v x w 6 Associatividade α u x v αu x v 7 Identidade de Lagrange u x v² u²v² uv² Dados três vetores mathbfumathbfvmathbfw o produto misto desses vetores é definido como sendo o escalar mathbfu imes mathbfv cdot mathbfw denotado por mathbfumathbfvmathbfw Sendo assim o produto misto é a combinação dos produtos escalar e vetorial e esta combinação define um novo produto entre vetores Importante Devemos determinar primeiramente o produto vetorial O produto misto também pode ser representado considerandose a base ortogonal mathbfu cdot mathbfv imes mathbfwbeginvmatrix x1 y1 z1 x2 y2 z2 x3 y3 z3 endvmatrix Para calculamos o produto misto podemos utilizar o conceito de determinantes e calculálo por meio dos cofatores ou da regra de Sarrus mathbfucdot mathbfv imes mathbfwx1 beginvmatrix y2 z2 y3 z3 endvmatrixy1 beginvmatrix x2 z2 x3 z3 endvmatrixz1 beginvmatrix x2 y2 x3 y3 endvmatrix Exemplo Dados os vetores mathbfu 101 mathbfv 132 e mathbfw 132 determine mathbfu cdot mathbfv imes mathbfw Identidades do Produto Misto 1 mathbfu cdot mathbfv imes mathbfw mathbfv cdot mathbfw imes mathbfu mathbfw cdot mathbfu imes mathbfv 2 mathbfw cdot mathbfu imes mathbfv mathbfv cdot mathbfw imes mathbfu 3 mathbfu cdot mathbfv imes mathbfw mathbfu cdot mathbfw imes mathbfv Interpretação Geométrica do Produto Misto Veja a seguir uma interpretação geométrica do produto misto Observe o paralelepípedo que tem por arestas os vetores mathbfu mathbfv mathbfw não coplanares com vértice em A conforme a figura a seguir Vamos mostrar que o produto misto mathbfumathbfvmathbfw representa o volume do paralelepípedo De fato já vimos que mathbfu imes mathbfv é um vetor ortogonal ao plano determinado por mathbfu e mathbfv e também que mathbfu imes mathbfv representa a área do paralelogramo da base ABCD onde mathbfu AB e mathbfv AD Além disso a altura h é medida pela projeção ortogonal de mathbfw sobre mathbfu imes mathbfv Portanto h mathbfw cos heta onde heta anglemathbfwmathbfu imes mathbfv Então como o volume de um paralelepípedo V Sbase h concluímos que V mathbfu imes mathbfv mathbfw cos heta mathbfu imes mathbfv cdot mathbfw mathbfu mathbfv mathbfw Exemplos 1 Determine a área do paralelogramo determinado pelos vetores mathbfu 246 e mathbfv 422 Solução Inicialmente precisamos calcular mathbfu imes mathbfv mathbfu imes mathbfv beginvmatrix mathbfi mathbfj mathbfk 2 4 6 4 2 2 endvmatrix mathbfileft4cdot26cdot2right mathbfjleft2cdot26cdot4right mathbfkleft2cdot24cdot4right 4mathbfi 20mathbfj 12mathbfk quad Rightarrow quad mathbfu imes mathbfv 4 20 12 Agora vamos determinar mathbfu imes mathbfv mathbfu imes mathbfv sqrt42 202 122 mathbfu imes mathbfv sqrt16 40 144 mathbfu imes mathbfv sqrt200 Portanto a área do paralelogramo é igual a sqrt200 2 Podemos afirmar que o módulo de mathbfumathbfvmathbfw é igual a seis vezes o volume do tetraedro de arestas mathbfu mathbfv e mathbfw Temos a seguinte figura Sabemos que o volume do tetraedro ABDE é dado por Vr frac13 Sb h Onde Sb fracoverlinei imesoverlinev2 e h overlinewcos heta Logo Vr frac13 fracoverlinei imesoverlinev2 overlinewcos heta Vr frac16 overlinei imesoverlinevcdotoverlinew Vr frac16 overlinei overlinev overlinew 1 Determine o produto escalar de overlineu 1 3 5 e overlinev 7 2 1 2 Considere os vetores overlineu 1 2 3 e overlinev 2 0 1 vetores do mathbbR3 Calcule o produto escalar de overlineu e overlinev 3 Qual deve ser o valor de x para que os vetores overlineu x 2 3 e overlinev 2 1 2 sejam ortogonais 4 Determinar o ângulo entre os vetores overlineu 1 3 3 e overlinev 5 3 2 5 Dados os vértices do triângulo ABC A 1 1 0 B 2 1 3 e C 0 2 1 determine a área deste triângulo 6 Dados overlineu 2 4 6 e overlinev 3 1 5 vetores do mathbbR3 calcule a área do paralelogramo determinado por estes vetores 7 Qual deve ser o valor de k para que os vetores overlineu 3 k 2 overlinev 3 2 k e overlinew 1 3 1 sejam coplanares 8 Dados os vetores overlineu 2 1 1 e overlinev 1 1 a calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por overlineu e overlinev seja igual a sqrt62 9 Dados os pontos A 2 1 1 B 3 1 0 e C 4 2 2 determine a a área do triângulo ABC b a altura do triângulo relativa ao vértice C Agora vamos determinar u e v u 1² 3² 3² u 1 9 9 u 19 v 5² 3² 2² v 25 9 4 v 38 Substituindo na expressão cosθ uu v uv temos cosθ uu v uv cosθ 2 1938 cosθ 2 722 Fatorando a raiz temos cosθ 2 192 Sabemos que θ arccos 2 192 θ 15 radianos 86 5 Sabemos que ÁreaΔABC AB x AC 2 Precisamos calcular AB e AC AB B A 213 110 103 AC C A 021 110 111 Agora precisamos calcular AB x AC AB x AC i j k 1 0 3 1 1 1 Calculando o determinante pela Regra de Sarrus temos i j k i j 1 0 3 0 10i 13j 11k 10k 11j 31i 1 1 1 1 3i 2j 1k 321 Calculando a área do triângulo ÁreaΔABC AB x AC 2 ÁreaΔABC 3² 2² 1² 2 ÁreaΔABC 4 2 ÁreaΔABC 187ua 6 Sabemos que Área paralelogramo u x v Calculando o determinante pela Regra de Sarrus temos i j k 2 4 6 2 4 6 2 3 1 5 54i 36j 21k 16i 25j 34k 20i 18j 2k 6i10j 12k 26i 28j 10k 262810 Aplicando a relação Área paralelogramo u x v temos Área paralelogramo 26² 28² 10² Área paralelogramo 676 784 100 Área paralelogramo 1560 Área paralelogramo 3950ua 7 Sabemos que para que os vetores sejam coplanares é preciso u v x w 0 Assim u v x w 3 k 2 3 2 k 1 3 1 3 k 2 3 k 3 2 k 2 1 3 1 1 3 Como u v x w 0 k² 12k 28 0 Calculando essa equação temos que k 2 ou k 14 8 Sabemos que Área paralelograma i x v e que i x v 62 i j k u x v 2 1 1 1 1 a Elevando os dois membros da equação ao quadrado eliminamos as raízes e teremos a1² 2a1² 3² 62 Calculando os produtos notáveis temos 5a² 2a 51 0 Determinando as raízes desta equação do 2º grau temos que a3 ou que a 175 Como queremos calcular a altura h se isolarmos esta variável teremos que h A b Desta modo teremos h fracAbfracABcdot ACABsqrt75fracsqrt75sqrt122212 frac5sqrt3sqrt6 Racionalizando teremos frac5sqrt3sqrt6cdot fracsqrt6sqrt6frac5sqrt3cdot66frac5sqrt186frac5cdotsqrt22 UNIDADE Produtos envolvendo Vetores Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Sites Apostilas Cálculo Vetorial Professoras do Departamento de Matemática UFBA Disponível no site wwwdmatufbabr Notas de Aula Álgebra vetorial e geometria analítica Eron e Isabel Disponível no site httpwwwifbaedubrdcaCorpoDocenteMATICCLC1lgebra20Vetorial2020I20Unidadepdf Portal Khan Academy Produto Escalar Disponível no site httpsptkhanacademyorgmathlinearalgebravectorsandspacesdotcrossproducts SANTOS Reginaldo Um Curso de Geometria Analítica e Álgebra Linear Disponível no site wwwmatufmgbrregi Vídeos Geometria Analítica Plana 2013 Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvfxJobmrGwI Produto escalar x Produto vetorial Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvtkILA12G5jw Produto Escalar Exercícios Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvmC5QQxicjNI Produto misto Disponível em httpswwwyoutubecomwatchvsjBRdGCfhXg 32 33 Referências CAMARGO Ivan de BOULOS Paulo Geometria analítica um tratamento vetorial 3ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 543p v1 CONDE A Geometria analítica São Paulo Atlas 2004 ebook FEITOSA Miguel Oliva Cálculo vetorial e geometria analítica exercícios propostos e resolvidos São Paulo Atlas 1996 IEZZI Gelson Fundamentos de matemática elementar geometria analítica 8ed São Paulo Atual 1997 374p v7 JULIANELLI José Roberto Cálculo vetorial e geometria analítica Rio de Janeiro Ciência Moderna 2008 LEITHOLD Louis O cálculo com geometria analítica São Paulo Habra 1994 LIMA Elon Lages Coordenadas no plano geometria analítica vetores e transformações geométricas Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2002 MENON M J Sobre as origens das definições dos produtos escalar e vetorial Revista Brasileira de Ensino de Física v 31 n 2 2009 Disponível em httpwwwsbfisicaorgbrrbefpdf312305pdf SANTOS F J FERREIRA S F Geometria analítica Porto Alegre Bookman 2009 ebook SANTOS R S Tecnologias digitais na sala de aula para aprendizagem de conceitos de geometria analítica manipulação no software Grafeq2008 137f Dissertação Mestrado em ensino de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Sul Instituto de Matemática Porto Alegre 2008 Disponível em httpwwwlumeufrgsbrbitstreamhandle1018315880000692687 pdfsequence1 SWOKOWSKI Earl W Cálculo com geometria analítica São Paulo Makron Books 1995 WINTERLE Paulo Vetores e geometria analítica São Paulo Makron Books 2000 232p v1 33 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional