Produto Vetorial e Produto Misto: Teoria e Aplicações

Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Prof Me João Dimas Saraiva dos Santos Revisão Técnica Profa Me Adriana Domingues Freitas Revisão Textual Prof Me Claudio Brites Produto Vetorial e Produto Misto Introdução Definição de Produto Vetorial Proposição de Lagrange Conclusões Finais sobre o Produto Vetorial Produto Misto Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto Nesta unidade estudaremos produto vetorial e produto misto O produto vetorial é mais um recurso importantíssimo da Álgebra Vetorial muito utilizado na descrição de fenômenos físicos abordados em Mecânica na eletricidade e no eletromagnetismo Já o produto misto reúne as propriedades e as aplicações dos dois isto é do produto escalar e do produto vetorial OBJETIVO DE APRENDIZADO A partir de agora você estudará o produto vetorial e o produto misto e para isso serão incluídos elementos da Álgebra Linear Ao longo das unidades nosso objeto de estudo vetores foi se ampliando e os temas se interrelacionando de tal modo que se tronou impossível prosseguir os estudos sem uma boa assimilação de conceitos anteriores Afinal a construção do conhecimento se realiza também por avanços e retrocessos O produto vetorial como o próprio nome indica resulta em um vetor Já o produto misto envolve o produto escalar e o produto vetorial o que sempre resultará em um número real Faremos as representações algébrica e geométrica tanto do produto vetorial como do produto misto visões complementares e que facilitam a concretização do conhecimento Além de outras aplicações no campo da Física e da Engenharia por exemplo o estudo do produto vetorial e do produto misto estão atrelados respectivamente ao cálculo da área de um paralelogramo e ao cálculo do volume de paralelepípedos Isso obviamente leva a desdobramentos e consequentemente a aplicações no cálculo de áreas e volumes de outras figuras geométricas ORIENTAÇÕES Produto Vetorial e Produto Misto UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Contextualização Nesta unidade vamos aprofundar nosso trabalho com vetores tendo como foco o produto vetorial e o produto misto Essas duas operações só estão definidas para vetores no espaço tridimensional contrariamente ao produto escalar o qual se define no espaço bi e tridimensional O produto vetorial resulta sempre em um vetor daí o seu nome Já o produto misto tem como resultado um número real Os produtos vetorial e misto têm representações algébricas u v e u v w respectivamente Você também encontrará o produto vetorial com a seguinte representação u v no entanto no nosso caso optamos pela primeira notação O módulo do produto vetorial representa a área do paralelogramo determinado pelos vetores u e v figura abaixo sendo esses vetores obrigatoriamente coplanares De modo análogo o volume de um paralelepípedo determinado por três vetores é igual numericamente ao valor absoluto do produto misto entre eles Para vetores u e v no espaço sabemos que seu produto vetorial v x w ainda é um vetor no espaço Desse modo dado um terceiro vetor u também no espaço podemos fazer o produto escalar de u por v x w obtendo um número real Esse produto é chamado de produto misto dos vetores u v e w que é representado por u v w Observe a figura a seguir Imagem As aplicações imediatas do produto vetorial e do produto misto como você deve ter percebido estão na determinação de áreas e de volumes Nesse ponto você também terá contato com a Álgebra Linear que num primeiro momento exigirá a aplicação de conceitos básicos de matrizes e sobretudo determinantes Os detalhes e esclarecimentos sobre o tema estão expostos ao decorrer na unidade 6 7 Introdução Vamos desenvolver algumas propriedades dos determinantes necessárias para dar sequência ao nosso trabalho 1 Definimos um determinante de ordem 2 como 1 1 1 2 2 1 2 2 x y x y x y x y x2 x1 y2 y1 Fizemos o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária Acompanhe o exemplo seguinte 6 2 6 3 4 2 18 8 26 4 3 2 Algumas propriedades dos determinantes que serão úteis no produto vetorial a A permutação de duas linhas inverte o sinal do determinante Vamos utilizar o mesmo exemplo do item 1 4 3 4 2 6 3 8 18 26 6 2 b Se duas linhas forem constituídas de elementos proporcionais o determinante é zero Exemplo 2 4 2 16 8 4 32 32 0 8 16 Os elementos da 2º linha são o quádruplo dos elementos da 1º linha c Se uma linha for constituída de zeros o determinante é zero 0 0 0 3 4 0 0 4 3 7 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto d Um determinante de ordem 3 três linhas por três colunas pode ser dado por 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 I II III a b c y z x z x y x y z a b c y z x z x y x y z Note que I foi obtido ao eliminarmos a 1º linha e a 1º coluna a12 a encontramos na 1º linha e na 1º coluna II foi obtido ao eliminarmos a linha e a colna às quais o elemento pertence b12 b está na 1º linha e a 2º coluna e III foi obtido da mesma forma O elemento c13 está na 1º linha e na 3º coluna suprimindo a linha e a coluna às quais o elemento pertence resta III A expressão do lado direto da equação é conhecida como desenvolvimento do determinante pelo Teorema de Laplace aplicado à primeira linha Esse procedimento pode ser aplicado à quaisquer umas das linhas ou quaisquer das colunas Na realidade as propriedades aqui abordadas fizeram referência apenas às linhas porém elas também são válidas para as colunas Acompanhe o exemplo a seguir 1 2 4 5 1 3 1 3 5 3 5 1 1 2 4 3 6 2 6 2 3 2 3 6 156312362143325 1303218249 10274076 89 Definição de Produto Vetorial Dados dois vetores 1 1 1 2 2 2 u x i y j z k ev x i y j z k nessa ordem denominamos produto vetorial de u por v e indicamos u x v leiase u vetorial v o vetor obtido desenvolvendose o determinante 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i j k y z x z x y x y z i j k y z x z x y x y z Acompanhe o exemplo Calcular u x v e v x u sendo 3 2 2 4 5 u i j k ev i j k 8 9 u x v 3 2 1 2 1 3 1 3 2 7 2 4 5 2 5 2 4 2 4 5 i j k i j k i j k v x u 4 5 2 5 2 4 2 4 5 7 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 i j k i j k i j k Perceba que para o cálculo de v x u os componentes de v foram anotados na segunda linha e os componentes de u na terceira linha isso nos leva a conclusão de que u x v v x u Observe a representação gráfica Figura 2 dos produtos vetoriais u x v e v x u obtidos acima Figura 2 Note que os vetores representados na figura têm sentidos opostos Considerandose as observações feitas sobre as propriedades dos determinantes de matrizes quadradas vamos listar o que podemos concluir de imediato sobre os determinantes de ordem 2 1º v x u u x v Figura 2 Observe que os vetores v x u e u x v são opostos A troca da ordem dos vetores no produto vetorial u x v gera a troca de sinais de todos os determinantes isto é troca os sinais de todos os seus componentes Do fato de u x v v x u concluímos que o produto vetorial contrariamente ao produto escalar não é comutativo No produto escalar vimos que u v v u concluindo que no produto vetorial a ordem dos fatores deve ser considerada 2º u x v 0 se e somente se u v uma vez que nesse caso os determinantes têm suas linhas constituídas de elementos proporcionais 9 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Vejamos os casos particulares a u x u 0 determinantes de ordem 2 com linhas iguais b u x 0 0 determinantes de ordem 2 com uma linha de zeros A seguir encontramse alguns exemplos de produto vetorial de vetores paralelos I u x 2 v 0 II 2u x 3u 0 III u x v x v x u IV u v x v u0 V 5 u 2v x 3 u 4v 0 VI 2 u x 0 0 Vamos a partir de agora explorar situações em u x v no caso de u e v serem nãonulos e nãoparalelos Características do vetor u x v Sejam os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 1 A direção de u x v O vetor u x v é ortogonal a u e ortogonal a v Como sabemos que dois vetores são ortogonais quando o produto escalar deles é zero basta mostrar que u x v u 0 e u x v v 0 Na Figura 3 está representado o que acima foi exposto Figura 3 10 11 Acompanhe as resoluções a seguir que comprovam o que se buscou discutir nesse item Dados os vetores u 1 2 5 e v 3 4 2 vamos calcular u x v A resolução desse determinante se dará por meio de um dispositivo prático cujas vantagens são agilizar na resolução e evitar que você corra o risco de esquecer de trocar o sinal do termo intermediário Esse processo consiste em dispor os vetores em linha e repetir pela ordem as duas primeiras colunas Os três componentes de u x v são dados pelos três determinantes Assim u x v 1 2 5 3 4 2 i j k 1 2 5 1 2 3 4 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 2 3 4 24 i 13 j 10 k Agora fazemos o produto escalar u x v u u x v u 24 13 10 1 2 5 24 26 50 0 isso comprova o que foi discutido anteriormente Exercício como sugestão comprove que u x v v 0 É bem simples 2 Sentido de u x v O sentido de u x v relativo a u e v é determinado pela regra da mão direita Figura 4a isto é se os dedos da mão direita estão postos em forma de concha de tal forma que eles fecham de u para v no sentido de rotação que leva u em v com menos de 1800 então o polegar irá apontar grosseiramente na direção de u x v Já a Figura 4b mostra que o produto vetorial muda de sentido quando a ordem dos vetores é invertida Observamos facilmente que só será possível dobrar os dedos de v x u se invertermos a posição da mão quando então o polegar estiver apontando para baixo Figura 4a Figura 4b 3 Comprimento de u x v Se θ é o ângulo entre dois vetores u x v nãonulos então u x v u v sen θ 11 15 c Ortogonal a u e v e tenha módulo 3 d Ortogonal a u e v e tenha cota igual a 5 3 Seja um triângulo isósceles de lados AB AC 4 e o ângulo entre esses lados mede 30o calcule AB x AC 4 Dados os vetores u 1 1 1 e v 3 2 4 calcular a a área do paralelogramo determinado por u e v b a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u 5 Determinar a distância do ponto 4 2 1 à reta r que passa por A1 2 3 e B5 1 1 6 Dados os vetores u 2 3 1e v 2 1 a calcule o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual à 21 7 Dados os pontos A1 2 1 B4 0 2 e C3 2 2 determinar a a área do triângulo ABC b a altura do triângulo relativa ao vértice C Resoluções 1 O vetor x é perpendicular ao eixo das ordenadas ou seja 0y Em símbolos x 0y logo ele é do tipo x x 0 z Sabendo que u x x v equivale a 1 1 1 0 2 1 1 i j k x z então 0 0 1 1 1 1 1 2 1 2 1 z x z x i j k 1 2 1 1 z x z x Logo x 1 0 1 2 Sabemos que u x v é ortogonal a u x v ao mesmo tempo Também sabemos que multiplicar um vetor por um número real não altera a sua direção logo todos os vetores do tipo a u x v e a R são também ortogonais a u e v Portanto esse problema tem infinitas soluções u x v 3 1 1 1 1 3 1 3 1 2 2 4 2 4 2 4 2 2 i j k i j k 8 6 10 15 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Logo as infinitas soluções são a 8 6 10 a R b A partir de u x v ou de qualquer a u x v a 0 obtermos dois vetores unitários Vamos determinar u x v 2 2 2 8 6 10 64 36 100 200 100 2 10 2 u1 8 6 10 8 6 10 4 3 1 10 2 10 2 10 2 10 2 5 2 5 2 2 u v u v x x ou 2 1 4 3 1 5 2 5 2 2 u u c Para obter um vetor de módulo 3 que seja ortogonal a u x v basta multiplicar por 3 um vetor unitário 4 3 1 12 9 3 3 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2 ou 4 3 1 12 9 3 3 5 2 5 2 2 5 2 5 2 2 d Das infinitas soluções a8 6 10 queremos aquela cuja cota seja igual a 5 Então 8a 6a 10a isto é 10a 5 logo a 1 2 3 Utilizando a relação u x v u v sen θ a qual representa a área de um paralelogramo ABAC sen30o AB AC x 1 44 2 AB AC x 8 Logo 8 representa a área do paralelogramo determinada pelos vetores AB e AC Então a área do triângulo isósceles ABC mede 4 ua unidades de área 4 a Primeiramente vamos determinar o produto vetorial u x v u x v 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 4 3 4 3 2 3 2 4 i j k i j k 2 1 1 A área do paralelogramo é dada pelo módulo do produto vetorial então u x v 2 2 2 2 1 1 6 ua 16 17 b Vamos utilizar a definição de área do paralelogramo A bh base vezes altura Utilizando essa definição para a representação geométrica teremos u h A u h u x v Temos que determinar o módulo de u 2 2 2 1 1 1 3 u Substituindo u 3 na fórmula seguinte obtemos 6 2 ua u 3 u v h x 5 Consideremos d a distância entre o ponto P e a reta r Observe na figura seguinte que calcular essa distância d é o mesmo que calcular a altura h como foi feito no item b do exercício anterior AB AB AP d x AB B A 5 1 1 1 2 3 6 1 4 AP P A 4 2 1 1 2 3 5 0 2 AB x AP i j k 1 4 6 4 6 1 6 1 4 i j k 0 2 5 2 5 0 5 0 2 AB x AP 2 8 5 e AB x AP 2 2 2 2 8 5 93 AB 2 2 2 1 4 6 53 AB AB AP d x 93 93 53 53 6 A área do paralelogramo é determinada por Au x v logo primeiramente devemos calcular u x v i j k 3 1 2 1 2 3 2 3 1 i j k 1 2 2 1 2 1 a a a 17 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto u x v 3a 1 2a 2 4 u x v 21 2 2 2 3 1 2 2 4 21 a a elevar ambos os membros ao quadrado 3a12 2a 22 42 21 9a2 6a 1 4a2 8a 4 16 21 13a2 14a 21 21 13a2 14a 21 21 0 13a2 14a 0 a13a 14 0 14 0 1 3 1 4 0 13 a ou a a Logo a 0 ou a 14 13 7 a Observe na figura a seguir que a partir do triângulo ABC é possível obter a área de um paralelogramo cuja área é o dobro da área do triângulo C A h B D Como a área do paralelogramo é determinada pelo módulo dos vetores AB x AP temos que primeiramente determinar os vetores AB x AP AB B A 4 0 2 1 2 1 3 2 3 AC C A 3 2 2 1 2 1 2 0 1 AB x AC 2 3 3 3 3 2 3 2 3 0 1 2 1 2 0 2 0 1 i j k i j k AB x AC 2 9 4 AB x AC 2 2 2 9 4 4 81 16 101 18 19 Então a área procurada é A 1 2 101 ua b A altura do triângulo que está indicada na figura é a mesma do paralelogramo de base AB Sabemos que a área do paralelogramo é base vezes altura então AB x AC 1 29 2 b h 1 29 2 h 29 b h 2 2 2 29 29 29 22 22 3 2 3 Produto Misto Chamamos de produto misto dos vetores 1 1 1 2 2 2 3 3 3 u x i y j z k v x i y j z k ew x i y j z k 1 1 1 2 2 2 3 3 3 u x i y j z k v x i y j z k ew x i y j z k considerados nessa ordem ao número real u v x w O produto misto também é indicado por u v w Sabendo que v x w 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 i j k y z x z x y x y z i j k y z x z x y x y z então temos u v x w 2 2 2 2 2 2 1 1 1 3 3 3 3 3 3 y z x z x y x y z y z x z x y e portanto u v x w 1 2 3 2 2 2 3 3 3 x x x x y z x y z Ao resolvermos esse determinante obteremos um número real de onde se conclui que u v x w ou seja o produto misto sempre resultará em um escalar número Atividade Calcule o produto misto dos vetores 0 2 4 2 1 3 2 01 u v ew Resolução Temos que determinar u v x w Temos então que resolver o determinante u v xw u v w u v w 0 2 4 1 3 2 3 2 1 2 1 3 0 2 4 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 8 8 16 19 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Propriedades do Produto Misto As propriedades do produto misto em sua maioria derivam das propriedades dos determinantes I O produto misto u v w muda de sinal ao trocarmos a posição de dois vetores Vamos comprovar essa propriedade com base na atividade anterior em que u v w 8 u v w 8 troca de u e v u v w 8 troca de u e w u v w 8 troca de v e w Se trocarmos novamente a ordem de dois vetores nos produtos mistos anteriores que resultaram em 8 o resultado volta a ser 8 Então se em relação ao produto misto u v w ocorrer a uma permutação haverá troca de sinal b duas permutações não alterará o valor Resulta dessa propriedade que os sinais e x podem ser trocados isto é u v x w u x v w pois u x v w w u x v w u v u v w u v x w II u x v w u v w x v w u v x w v w u x w u v w x u v w u v x III a uvw av w u vaw a u v w IV u v w 0 se e somente se os três vetores forem coplanares Admitindose que uvw 0 ou seja u v x w 0 concluise que v x w u Por outro lado no estudo do produto vetorial vimos que o vetor v x w é também ortogonal a v e w assim sendo como v e w é ortogonal aos três vetores u v e w esses são coplanares Figura 6 w x u w v v Figura 6 20 21 Do mesmo modo admitindose que u v e w sejam coplanares o vetor v x w por ser ortogonal a v e w é também ortogonal a u A conclusão imediata é de que u e v x w são ortogonais o produto escalar deles é igual a zero isto é u v x w u v w 0 Atividades 1 Verifique se são coplanares os vetores u 1 1 2 v 3 1 1 e w 0 2 1 Resolução Se o produto misto desses vetores for zero eles serão coplanares u v w 1 1 2 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1 1 2 2 1 0 1 0 3 0 2 1 Logo os vetores não são coplanares 2 Determine o valor de x para que os vetores u 1 x 2 v 1 3 2 e w 2 1 1 sejam coplanares Resolução u v w 0 1 2 3 2 1 2 1 3 1 3 2 0 1 2 1 3 10 0 1 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x 3x 11 x 11 3 3 Mostre que os pontos A1 0 2 B3 2 5 C0 1 3 e D5 4 2 são coplanares Para que os quatro pontos dados sejam coplanares os vetores AB AC e AD obrigatoriamente devem ser coplanares AB AC AD 0 D A B AB B A 3 2 5 1 0 2 2 2 3 AC C A 0 1 3 1 0 2 1 1 1 AD D A 5 4 2 1 0 2 4 4 0 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 2 2 3 8 8 0 0 4 0 4 0 4 4 4 4 0 Logo os pontos dados são coplanares 21 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Interpretação Geométrica do Módulo do Produto Misto O produto misto u v x w geometricamente é igual em módulo ao volume do paralelepípedo de arestas determinadas pelos vetores não coplanares u e v w Figura 7 A área da base do paralelepípedo é v x w Considerando θ o ângulo entre os vetores u e v x w Sendo v x w um vetor ortogonal à base a altura será paralela a ele e portanto h ucos θ Note que devemos considerar o valor absolutocos θ no caso de θ ser um ângulo obtuso O volume do paralelepípedo é dado pela fórmula V área da base altura V v x w ucos θ V uv x w cos θ V u v x w logo V u v w Atividade Sejam os vetores 4 1 2 2 0 1 1 3 u x v e w determine o valor de x para que o volume do paralelepípedo determinado por u v e w seja 36 uv unidades de volume Resolução O volume do paralelepípedo é dado por V u v w e de acordo com o enunciado u vw 36 o que nos leva ao determinante u v w 4 1 2 0 2 0 2 2 2 2 0 4 1 1 3 1 3 1 1 1 1 3 x x 24 6x 0 Isso resulta em 246x 36 que pela definição de módulo nos fornece duas possibilidades 24 6x 36 ou 24 6x 36 6x 12 ou 6x 36 24 x 2 ou x 10 22 23 Volume do Tetraedro Dados os pontos A B C e D nãocoplanares e os vetores AB AC e AD que pelo que discutiuse até então também serão nãocoplanares a consequência é de que esses vetores determinam um paralelepípedo Figura 8 cujo volume é V AB AC e AD O paralelepípedo por sua vez pode ser dividido em dois prismas triangulares de mesmo tamanho vide figura abaixo e portanto o volume Vp de cada prisma é a metade do volume V do paralelepípedo isto é 1 2 Vp V Um dado relevante da geometria espacial que vamos recorrer agora é o fato de que o prisma pode ser dividido em três pirâmides de mesmo volume sendo uma delas o tetraedro ABCD Com base nisso podemos concluir que o volume Vt do tetraedro é um terço do volume do prisma ou seja 1 1 1 3 3 2 t p V V V ou 1 6 tV ou ainda 1 6 tV AB AC AD Figura 8 Atividade Dados A1 1 0 B1 0 1 C0 1 1 e D3 2 1 como vértices de um tetraedro determine a o volume do tetraedro b a altura do tetraedro relativa ao vértice D Resolução O volume do tetraedro é 1 6 tV AB AC AD AB B A 1 0 1 1 1 0 0 1 1 AC C A 0 1 1 1 1 0 1 0 1 AD D A 3 2 1 1 1 0 2 1 1 AB AC AD 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 3 1 4 1 1 2 1 2 1 2 1 1 V 4 4 volume do paralelepípedo 23 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Observe que devemos considerar o valor absoluto ou seja módulo pois não há sentido em considerarmos um volume negativo 1 1 4 2 4 6 6 6 3 tV AB AC AD u v Observe na Figura 8 que a altura do tetraedro traçada do vértice D é a própria altura do paralelepípedo de base determinada por AB e AC O volume do paralelepípedo é definido por V área da base altura AB x AC h Isolando h pois é o que queremos calcular vem V h AB AC x AB x AC 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 i j k i j k 2 2 2 4 4 3 1 1 1 V h u c AB AC x unidades de comprimento 24 25 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Livros Geometria Analítica um tratamento vetorial CAMARGO Ivan de Geometria Analítica um tratamento vetorial 3ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2005 Cálculo Vetorial e Geometria Analítica JULIANELLI José Roberto Cálculo Vetorial e Geometria Analítica Rio de Janeiro Ciência Moderna 2008 Vetores e Geometria Analítica WINTERLE Paulo Vetores e Geometria Analítica 2 ed São Paulo Makron Books do Brasil 2000 Álgebra Linear com aplicações ANTON H Álgebra Linear com aplicações Porto Alegre Bookman 2001 25 UNIDADE Produto Vetorial e Produto Misto Referências BOULOS Paulo CAMARGO Ivan de Geometria Analítica i tratamento vetorial São Paulo Mc GrawHill 2005 3 edição LIMA Elon Lages Coordenadas no Espaço Rio de Janeiro Coleção do professor de Matemática 1993 SIMMONS George F Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Mc GrawHill 1987 SWOKOWSKI Earl W Cálculo com geometria analítica volume 2 São Paulo Makron Books do Brasil Editora Ltda 1994 2 edição VENTURI Jaci J álgebra Vetorial e Geometria Analítica Curitiba Scientia et Labor Editora da UFPR 1990 3 edição WINTERLE Paulo Vetores e Geometria Analítica São Paulo Makron Books Ltda 2000 26