Teoria de Galois: Uma Análise da Vida e Contribuições de Évariste Galois

Responsável pelo Conteúdo Prof Me Paulo Roberto Nascimento Revisão Textual Esp Jéssica Dante Teoria de Galois Teoria de Galois Apresentar e compreender a teoria de Galois e as extensões ciclotômicas OBJETIVO DE APRENDIZADO Teoria de Galois UNIDADE Teoria de Galois Teoria de Galois O matemático Évariste Galois pretendia estudar na École Polytechnique a mais refe renciada escola de matemática de Paris Em 1827 foi recusado em sua primeira ten tativa pois os professores não entendiam seu raciocínio avançado e o consideravam petulante e arrogante Em 1828 fez mais uma tentativa e teve a mesma avaliação ou seja foi reprovado Galois então perdeu a calma e chegou a jogar um apagador em Dinet o avaliador Nun ca mais o deixaram colocar os pés na École Polytechnique Ele tinha grande facilidade com a resolução de cálculos e ainda adolescente já tinha conhecimento mais avançado que de seus professores Mas acabou conseguindo uma vaga em uma escola menor nos arredores de Paris a École Normale Supérieure Mesmo sem conseguir seu intuito prosseguiu com seus estudos algébricos e produziu teorias avançadas a respeito da resolução de equações de quarto e quinto grau Após ter suas pesquisas recusadas em um concurso da Academia de Ciências Galois conjecturou que estava sendo perseguido e boicotado pela comunidade matemática de Paris Em 31 de maio de 1832 escreveu um ensaio matemático no qual resumia suas des cobertas e um manifesto político chamado A Todos os Republicanos Enviou ao amigo Auguste Chevalier esperando que este submeteria o ensaio à apreciação de Gauss e Jacobi famosos matemáticos da época Neste ensaio Galois fez incrementos inéditos e revolucionários para o estudo da álgebra Nele está esmiuçado o conceito da Teoria dos Grupos conceito fundamental para o desenvolvimento da álgebra abstrata posteriormente Galois foi incrível para que o estudo da matemática moderna continuasse Ele havia formulado uma completa explicação de como se poderia obter soluções para equações do quinto grau Primeiro ele classificara todas as equações em dois tipos as que podiam ser solucionadas e as que não podiam Dessa forma para aquelas que eram solucio náveis ele deduziu uma fórmula que encontra as soluções das equações Além disso Galois examinou as equações de grau mais alto do que cinco identificando assim as que tinham soluções Os estudos de Galois só ganharam reconhecimento muitos anos mais tarde cerca de catorze anos depois quando foram publicados no Journal de Mathématiques Pures et Appliquées por Joseph Liouville Assim ficou eternizado o nome do mais rebelde e trágico de todos os matemáticos já que ele faleceu em um duelo de armas devido ao envolvimento com uma mulher comprometida Se não falecesse tão cedo e sabendo de sua genialidade podemos conjecturar que as con tribuições de Galois para a Matemática seriam imensas 8 9 Para chegar ao principal teorema da teoria de Galois precisamos de alguns elementos Nesta unidade utilizaremos a notação L M para indicar que L é uma extensão de M mesmo significado de L M como extensão Kmonomorfismo seja K um subcorpo dos subcorpos M e L de C Um Kmonomor fismo de M em L é um monomorfismo M L φ tal que k k k K φ Um Kautomorfismos é um Kmonomorfismo sobrejetor U m exemplo clássico de Kmonomorfismo tomando 3 2 K M e L Q Q C e a função identidade Id M L dada por id α α Outro exemplo se 3 2 K M e L Q Q C vamos definir M L φ por 2 3 i onde e π φ α ωα ω Fica como exercício ao caro estudante verificar que φ é um Kmonomorfismo Temos então um primeiro resultado Teorema V amos supor que L K seja uma extensão normal e finita e que além disso K M L Isso nos garante que L K L M M K Seja M L τ um Kmonomorfismo Existe então um Kautomorfismo σ de L de forma que σ M τ Demonstração Temos que L K é uma extensão normal e finita e portanto L é o corpo de decom posição de algum polinômio f sobre K Logo L é também o corpo de decomposição de f sobre M pois K M e os coeficientes de f estão em K e de f τ sobre M τ Como τ K é a identidade então f f τ e temos o seguinte M L M L τ τ σ τ Afirmamos por um teorema da teoria de grupos anéis e corpos que existe um iso morfismo tal que L L M σ σ τ e portanto σ é um automorfismo de L e como K K σ τ e esta é identidade concluímos que σ é um K automorfismo de L O caro estudante deve pensar para que serve esta teoria É importantíssima na teoria de grupos e permite que vários resultados sejam corroborados Mais um resultado 9 UNIDADE Teoria de Galois Proposição Seja L K uma extensão normal e finita e α β L as raízes do polinômio f que é irredutível sobre K Existe então um K automorfismo σ de L que satisfaz σ α β Demonstração Temos que existe um isomorfismo K K τ α β tal que K Id e τ τ α β Pelo teorema anterior podemos estendêlo a um Kautomorfismo Passemos agora para os grupos de Galois e ao final o teorema fundamental da teoria de Galois Definição Seja L K uma extensão de corpo Todo corpo M tal que K M L é chamado de corpo intermediário Para cada corpo intermediário M associamos o grupo M Gal L M de todos o Mautomorfismos de L Dessa forma K é o grupo de Galois Gal L K e L 1 ou seja o grupo de Galois que contém somente a aplicação identidade em L Proposição Se M N então M N Demonstração Basta observar que todo automorfismo que fixa os elementos de N também fixa os elementos de M ou seja é um automorfismo de M Dado um subgrupo H de Gal L K associamos o conjunto H x L x x H ϕ ϕ Este é um corpo intermediário conforme o seguinte resultado Lema se H é um subgrupo de Gal L K então H é um subcorpo de L que contém K Demonstração Sejam x y H e ϕ H Temos então que x y x y x y ϕ ϕ ϕ e portanto x y H Da mesma forma H é fechado para subtração divisão e multiplicação por elementos não nulos e portanto H é subcorpo de L Finalmente como ϕ Gal L K então k k k K ϕ logo K H Assim como a aplicação também é reversa ou seja se H G então H G dizemos então que H é corpo fixo de H Temos então mais um resultado 10 11 Proposição Seja M um corpo intermediário e H Gal L K Temos então que M M e H H Demonstração Temos que M M x L x x M ϕ ϕ e portanto M Gal L M o que implica que se x M então x x Gal L M M ϕ ϕ e portan to x M Conclusão M M Agora H x L x x H ϕ ϕ ou seja H Gal L H e então x x x H ϕ e ϕ H pois ϕ Gal L K Logo Gal L H H ϕ Conclusão H H Em 1831 Évariste Galois resolveu em seu artigo Mémoire Sur les conditions de résolubilité des équations par radicaux o problema de solubilidade por radicais de polinômios irredutí veis de grauprimo e encontrou condições para um polinômio ser ou não solúvel por radicais Galois escreveu Se a equação proposta tiver seus coeficientes racionais sua equação auxi liar também terá e será suficiente determinar se a equação auxiliar de grau n 2 tem ou não uma raiz racional Vamos agora preparar o caminho para o teorema fundamental da teoria de Galois Tomemos L K uma extensão em C com grupo de Galois G que consiste de todos os automorfismos de L ℑ o conjunto dos corpos intermediários isto é subcorpos de M que satisfazem K M L e o conjunto de todos os subgrupos H de G Vamos definir as seguintes funções ℑ e ℑ da seguinte forma se M ℑ então M é o grupo de todos os automorfismos de L e se H então H é o corpo fixo de H Já vimos que ambas as aplicações e são reversas ou seja M M e H H Antes do teorema fundamental segue um lema que nos auxiliará a proválo Lema seja L K uma extensão de corpo M um corpo intermediário e τ um Kautomorfismo de L então 1 M M τ τ τ Demonstração Seja M τ M e M e x1 M γ Logo existe x M tal que 1 x x τ Temos então 1 1 1 1 x x x x x τγτ τ γ τ τ γ τ 11 UNIDADE Teoria de Galois O que nos mostra que 1 M M τ τ Da mesma forma se M e x M γ τ então 1 1 1 x x x τ γ τ τ τ e portanto 1 M M τ τ τ Tomando agora M ϕ τ pelo que acabamos de ver 1 M ψ τ ϕτ e então 1 1 1 1 M ϕ τ τ ϕτ τ τψτ τ τ e então 1 M M τ τ τ Concluímos então que 1 M M τ τ τ Vamos agora ao teorema fundamental Teorema Se L K é uma extensão normal finita em C com grupo de Galois Ge se ℑ forem definidas como vimos anteriormente então 1 A ordem do grupo de Galois G é L K 2 e são mutuamente inversas e geram uma correspondência bijetiva entre e ℑ 3 Se M for um corpo intermediário então L M M e G M K M 4 Um corpo intermediário M é uma extensão normal de K se e somente se M é um subgrupo normal de G 5 Se um corpo intermediário M é uma extensão normal de K então o grupo de Galois de M K é isomorfo ao grupo quociente G M Demonstração Para provar 1 utilizamos o seguinte resultado se L K é uma extensão nor mal finita em C então existem exatamente L K Kautomorfismos de L ou seja Gal L K L K Para provar 2 observemos que nestas condições L M é normal e portanto M é corpo fixo de M ou seja M M Tomemos H temos que H H e então H H H Temos H L H e H L H e então H H De H e H serem grupos finitos e H H segue que H H Prova de 4 se M K é normal tomemos τ G logo τ M é um Kmonomor fismo de M em L e portanto um Kautomorfismo de M ou seja M M τ e 1 M M τ τ o que implica que M é subgrupo normal de G A recíproca se M é subgrupo normal de G tomemos σ um Kmonomorfismo qualquer de M em L logo 12 13 existe um Kautomorfismo τ de L tal que τ M σ Mas 1 M M τ τ pois M é sub grupo normal de G e portanto M M τ e M M τ aplicando Portanto M M σ e segue que σ é um Kautomorfismo de M e M K é normal Para mostrar 5 consideremos G o grupo de Galois de M K podemos então de finir uma função G G φ dada por M G φ τ τ τ Esta função é um homo morfismo dos grupos G e G e temos que τ M é um K automorfismo de M Mas então φ é sobrejetora e o núcleo de φ é M Pelo teorema do isomorfismo da teoria de grupos temos então que Im G G G Ker M φ φ A importância do Teorema Fundamental da Teoria de Galois deriva mais da ferra menta em potencial do que pelo seu mérito intrínseco Ele nos permite aplicar a teoria de grupos em problemas de polinômios intratáveis em C e associar subcorpos de C Exemplifique este teorema estudando o corpo de decomposição de t4 1 sobre Q Passemos agora às extensões ciclotômicas Tomemos um corpo F e f x F x Um corpo de decomposição de f x sobre F é uma extensão L de F sobre a qual f x decompõese na forma 1 2 1 n n x a x a x a x a onde i x a L x para 12 i n n é o grau de f x e as raízes ia geram F sobre L Esta extensão L é uma extensão de grau mínimo sobre F onde f é decomposto linearmente É possível provar fica aqui a cargo do caro estudante verificar que o corpo de decomposição de um polinômio é único a menos de um isomorfismo Definição Seja nN e F um corpo O corpo de decomposição de 1 nx sobre F é chamado de nésimo corpo ciclotômico sobre F denotado por F n As raízes de 1 nx em n F são chamadas de raízes nésimas da unidade sobre F e o conjunto de todas estas raízes é denotado por E n Por exemplo t omando F Q temos que Q n é subcorpo de C e as raízes nésimas da unidade podem ser interpretadas como os vértices de um polígono regular de n lados sobre o círculo unitário no plano complexo Conforme o próximo resultado nos mostra a estrutura de E n pode ser determinada pela relação de n com a característica do corpo F 13 UNIDADE Teoria de Galois Teorema Seja F um corpo de característica q 0 nN tal que q não divide n Então E n é um grupo cíclico de ordem n com respeito à multiplicação em F n Demonstração Para 1 n é claro Se n 2 observemos que 1 1 n n x e nx sua derivada não tem raízes em comum e portanto todas as raízes de 1 nx são simples e temos que E n é formado por exatamente n elementos Tomemos n i j α α E Então 1 1 1 1 n n n n n i j i j i j α α α α α α ou seja 1 n i j α α E e sendo E n ele é abeliano Tomemos agora exp n t E como o expoente de um grupo divide sua ordem temos t n Mas todo it i α é raiz do polinômio 1 tx F x e este tem no máximo t raízes Logo t n e pelo teorema de estrutura de grupos abelianos finita mente gerados E n tem um elemento de ordem n o que nos leva à conclusão final de que E n é cíclico Definição Sejam F um corpo de característica 0 e n um inteiro positivo com q não dividindo n Então um gerador do grupo E n é chamado de uma raiz primitiva nésima da unidade sobre F Assim E n tem ϕ n geradores onde ϕ n denota a função ϕ de Euler ou seja há ϕ n raízes primitivas nésimas da unidade sobre F Tomando uma destas denotando por ω o conjunto de todas as raízes primitivas nésimas da unidade sobre F é dado por 1 1 s s n mdc s n ω Vamos então à seguinte definição Seja F um corpo de característica q 0 e n e tal que q não divide n e ω uma nésima raiz primitiva da unidade sobre F então o polinômio 1 1 n s n s s n x x ω Φ é chamado de nésimo polinômio ciclotômico sobre F n Claro que os coeficientes de Φn x pertencem a F n mas os coeficientes perten cem ao subcorpo finito de F logo Φn x é um polinômio sobre F Observe que a soma de todas as raízes enésimas da unidade é igual a zero pois o coeficiente do termo 1 nx é zero no polinômio 1 nx 14 15 Exemplo Tomemos n 3 e F um corpo tal que sua característica seja diferente de e ω uma raiz primitiva cúbica da unidade sobre F Temos então 2 2 2 3 2 3 1 x x x x x x x ω ω ω ω ω Φ Se r é um primo e k um inteiro positivo podemos escrever 1 1 1 1 2 1 k k k k r r r r x x x x Φ Podemos então determinar 2 4 1 x x Φ Tomemos um corpo F tal que a característica de F não divide n inteiro positivo Ora então o polinômio ciclotômico Φn x está bem definido e se ω é uma raiz enésima da unidade então F n F ω onde F ω é a extensão de F gerada por ω F ω é dita ser extensão ciclotômica Em matemática a palavra ciclotomia remonta ao problema histórico de dividir o cír culo em um dado número de partes iguais ou equivalentemente de construir polígonos regulares com régua e compasso É conhecido que um polígono regular de n lados é construtível isto significa com régua e compasso se e somente se ϕ n é uma potência de 2 Lembramos que ϕ n denota a função phi de Euler em n Z e corresponde à quantidade de inteiros positivos que são menores que n relativamente primos com n Na teoria de grupos ϕ n é a ordem do grupo multiplicativo das unidades de n Z Z Podese mostrar que ϕ n é uma potência de 2 se e somente se 1 2 r k n p p com 22 1 qi ip primo para todo 12 i r i 1r Os primos da forma 22 1 qi são chamados primos de Fermat 1601 1665 Fermat conjecturou que todos os números da forma 22 1 q são primos De fato 22 1 q é primo para q 5 mas Euler 1707 1783 mostrou em 1732 que 225 1 641 6700417 Na literatura corrente consta que até o momento não se conhece nenhum primo de Fermat para q acima de 4 A relação da ciclotomia com isto consiste no fato que dividir o círculo em n arcos iguais é equivalente à construção com régua e compasso da nésima raiz complexa da unidade Um número complexo a bi ζ é dito construtível se o ponto do plano complexo a b é construtível com régua e compasso Sabese que um complexo ζ é construtível somente se o corpo Q ζ possui como dimensão vetorial sobre Q uma potência de 2 A dimensão vetorial de Q ζ sobre Q é chamada grau pelo fato de coincidir com o grau do polinômio mônico irredutível sobre Q tendo ζ como raiz Denotase por ζ Q Q o grau de Q ζ sobre Q Se 2 n e π ζ é uma nésima raiz complexa da unidade então n ζ ϕ Q Q 15 UNIDADE Teoria de Galois Atente para as referências e aprofunde seu conhecimento sobre a Teoria de Galois Há divers os artigos e textos muito interessantes tanto sobre a história quanto sobre a produ ção de Galois Algumas considerações sobre o que vimos O conceito de grupos é uma das ferramentas mais utilizadas na Matemática Moderna Dentre as diversas áreas da Ciência nas quais este conceito é fundamental estão incluídas a teoria quântica de campos as estruturas atômica e molecular e a cristalo grafia além do próprio estudo da álgebra abstrata onde tal conceito é utilizado para a construção de outras estruturas algébricas como anéis corpos e espaços vetoriais uma vez que estes podem ser vistos como grupos dotados de operações e axiomas adicionais A teoria dos grupos tem sua origem no trabalho do matemático francês Évariste Galois 18111832 sobre a solubilidade por radicais de equações polinomiais Outros matemáticos dentre eles o suíço Leonard Euler 17071783 o alemão Carl Friedrich Gauss 17771855 o francês Joseph Louis Lagrange 17361813 o norueguês Niels Henrik Abel 18021829 e o italiano Paolo Ruffini 17651822 também colaboraram para o crescimento desta área com contribuições na teoria das equações algébricas na teoria de números e na geometria O britânico Arthur Cayley 18211895 foi quem primeiro definiu o conceito moderno de grupo a quem é atribuído o célebre dito Um grupo é definido por meio de leis que combinam seus elementos Porém tal conceito não ganhou real aceitação até as apre sentações do alemão Walther Franz Anton von Dyck 18561934 em 1882 O estímulo para estudar grupos de dimensão infinita veio da geometria e topologia por influência do alemão Felix Klein 18401925 do norueguês Marius Sophus Lie 1842 1899 do francês Henri Poincaré 18541912 do alemão Max Dehn 18781952 e do também norueguês Peter Ludwig Mejdell Sylow 18321918 Nesta época o estudo dos grupos assumiu sua forma abstrata independente e se desenvolveu muito rapidamente A primeira grande fase da teoria dos grupos finitos atingiu o seu ápice no período imediatamente antes da Primeira Guerra Mundial com os trabalhos do alemão Ferdinand Georg Frobenius 18491917 do inglês William Burnside 18521927 e do bielorrusso Issai Schur 18751936 Depois de 1928 novas e decisivas contribuições foram feitas pelo também inglês Philip Hall 19041982 pelo alemão Helmut Wielandt 19102001 e no campo de representações de grupos pelo também alemão Richard Dagobert Brauer 19011977 A classificação foi completada em 1982 com a participação de centenas de matemá ticos liderados pelo norteamericano Daniel Gorenstein 19231992 Atualmente a teoria dos grupos está dividida em diversas subáreas e os interesses são muitos Vários problemas têm sido atacados e solucionados destacando o nome de muitos outros matemáticos e físicos Um dos conceitos mais modernos da teoria o qual 16 17 tem sido intensiva e extensivamente estudado é o conceito de grupo de laços um tipo especial entre os grupos de calibre da teoria de Gauge Buscando descrever as simetrias de equações satisfeitas pelas soluções de uma equa ção polinomial Évariste Galois deu origem à teoria dos grupos Em 1832 por meio de uma carta escrita ao seu amigo Auguste Chevalier Galois esboçou o seu famoso traba lho sobre solubilidade por radicais introduzindo o conceito de grupo solúvel O problema consistia em mostrar que uma equação polinomial admite solução por radicais se seu grupo é solúvel Embora não tendo esse trabalho reconhecido em vida devido à sua morte precoce no mesmo ano em que o escreveu suas descobertas foram publicadas mais tarde por Chevalier em Revue Encyclopédique Outras memórias e manuscritos de Galois foram publicados por Joseph Liouville 18091882 em 1846 em seu Journal de Mathématique e por Camille Jordan 1838 1902 em 1870 em seu livro Traité des Substitutions Tais trabalhos ajudaram a substanciar e divulgar a teoria de Galois O subsequente interesse por essa teoria ocasionou o surgimento da teoria geral dos grupos cuja expansão resultou nas assim chamadas estruturas algébricas atribuindose ao conceito de grupo um papel fundamental e proeminente na álgebra abstrata Os gru pos abelianos em homenagem a Niels Abel 18021829 são casos especiais de grupos solúveis que apesar de serem muito específicos estão presentes em várias estruturas fundamentais da álgebra comutativa tais como anéis corpos módulos e espaços vetoriais 17 UNIDADE Teoria de Galois Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Extensão Separável httpsbitly3eGup6x Aprenda Teoria de Galois em 24 horas httpsbitly3RY4nKd O Teorema Fundamental da Teoria de Galois httpsbitly3BycbwZ Teoria Elementar de Galois httpsbitly3Dme3dq Teoria de Galois Stringfixer httpsbitly3qzxbgD Teoria de Galois Classicistranieri httpsbitly3eFCxnL 18 19 Referências EDWARDS H Galois Theory New York SpringerVerlag 1984 ENDLER O Teoria dos corpos Rio de Janeiro IMPA 2012 Publicações mate máticas Disponível em httpsimpabrwpcontentuploads201704PM19pdf Acesso em 15052022 JACOBSON N Basic algebra 2nd ed Mineola NY Dover Publications 2009 v 1 KAPLANSKY I Introdução à teoria de Galois Rio de Janeiro IMPA 1966 KATZ V J FRALEIGH J B A first course in abstract algebra 7th ed Boston AddisonWesley 2003 LANG S Algebra 3rd ed New York SpringerVerlag 2002 19