Soluções de Extensões Ciclotômicas: Uma Abordagem Geométrica e Algébrica

Responsável pelo Conteúdo Prof Me Paulo Roberto Nascimento Revisão Textual Esp Vinicius Oliveira Soluções de Extensões Ciclotômicas Soluções de Extensões Ciclotômicas Compreender como encontrar soluções por meio de radicais e fazer construções geométricas com régua e compasso OBJETIVO DE APRENDIZADO Soluções de Extensões Ciclotômicas UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas Soluções de Extensões Ciclotômicas A fórmula 2 4 2 b b ac x a é famosa É a fórmula para a solução da equação quadrática 2 0 ax bx c sobre corpo dos números reais poderia ser sobre corpos de característica diferente de 2 Existem fórmulas análogas para a solução de equações algébricas de grau 3 e 4 que não são muito conhecidas A analogia consiste em que tais fórmulas envolvem somente as operações definidas sobre um corpo adição subtração multiplicação e divisão e extração de raízes Equações assim resolvidas por meio de fórmulas envolvendo radicais e operações elementares no corpo ficaram conhecidas por equações solúveis por radicais e o processo bem como o problema de determinar tais soluções foi chamado solubilidade por radicais A disparidade entre a simplicidade para obtenção da fórmula para equações quadráticas e a engenhosidade e complexidade para solubilidade das equações cúbicas e quárticas instigou matemáticos de várias gera ções O problema tornouse ainda mais instigante quando em torno de 1820 Ruffini e Abel exibiram independentemente quínticas equações algébricas de grau 5 não solúveis por radicais Findavase o sonho de obter fórmulas radicais para resolver uma equação algébrica geral de grau n O balde de água fria jogado por Abel e Ruffini no problema da solubilidade de equações algébricas não foi suficiente para fazer os matemáticos desistirem completamente do problema Muito pelo contrário apenas tornou o problema ainda mais desafiador saber se uma dada equação algébrica de grau n 5 seria ou não solú vel por radicais Por volta de 1830 Évarist Galois 18111832 resolveu por completo o problema exibindo seu critério de solubilidade Iniciamos então com a seguinte definição Definição Um grupo G é dito solúvel se existe uma cadeia de subgrupos 0 1 2 1 n n G G G G G G e em que e é o elemento neutro e em que cada i G é um subgrupo normal do grupo precedente i 1 G e o grupo quociente i 1 i G G é um grupo abeliano Como exemplos temos Todo grupo abeliano G é solúvel pois G e satisfazendo as condições dadas na definição Sendo F um corpo de característica zero e ζ uma raiz primitiva da unidade en tão a extensão K F ζ é o corpo de raízes do polinômio 1 nx e portanto normal Como F tem característica zero K é separável sobre F e logo K é de Galois sobre F O grupo de Galois Gal F K é solúvel pois quaisquer que sejam σ τ Gal F K temos que e σ ζ τ ζ são raízes de 1 nx e portanto potências de ζ Logo temos r r r s rs σ τ ζ σ τ ζ σ ζ σ ζ ζ ζ e 8 9 s s s r rs τ σ ζ τ σ ζ τ ζ τ ζ ζ ζ E portanto σ τ τ σ ou seja Gal F K é abeliano e solúvel Um fato importante é que a imagem homomórfica de um grupo solúvel também é solúvel Vamos agora definir as extensões radicais Definição Um corpo K é uma extensão radical de um corpo F se existe uma cadeia de corpos 0 1 2 r F F F F F K em que para 12 i r temos 1 i i i F F α com 1 m i iF α para algum inteiro m Por exemplo toda extensão de grau 2 quadrática é radical Fica como exercício ao caro estudante verificar isso Observações importantes Tomemos F E L como corpos de característica zero e tais que F E L E α com k α E Se L é finita sobre F e E é normal sobre F então existe uma exten são M de L que é radical sobre E e normal sobre F Sejam F um corpo de característica zero e f x F x Se f x 0 é solúvel por radicais então existe uma extensão radical normal de F contendo um corpo de raízes de f x A seguir temos o seguinte critério de solubilidade Critério de solubilidade de Galois sejam F um corpo de característica zero e f x F x Então f x é solúvel por radicais se e somente se o grupo de Galois de f x é solúvel Omitiremos a demonstração deste resultado devido ao fato de que a demonstração do mesmo não se encaixa em um curso de graduação fazendo parte de cursos de pós graduação mestrado eou doutorado No início do século XIX Evariste Galois identificou as estruturas nas quais estão inse ridas as raízes das equações de graus 2 3 e 4 e que não se mantêm para as equações de grau 5 e superior não permitindo a sua solução por meio de uma fórmula Vejamos alguns exemplos 2 0 f x ax bx c a b c a tem corpo de decomposição 2 4 K onde b ac A cadeia de corpos é dada por Como 2 Gal K S e 2 2 2 S então 2 Gal K S Logo é solúvel pois Gal K é abeliano 9 UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas Se temos um polinômio de grau 3 podemos reduzilo à forma 3 h x x px q x Seja K o corpo de decomposição de h x sobre temos que Gal K G é isomorfo a um subgrupo de 3 S que é solúvel Como subgrupo de grupo solúvel é também solúvel temos que Gal K G é solúvel Decorre disso a existência da fórmula que soluciona um polinômio de grau 3 Para grau 4 é análogo Para grau 5 tudo muda de figura Por exemplo o grupo de Galois do polinômio 5 4 2 f x x x não é solúvel por radicais e portanto não existe uma fór mula que envolva somente as operações definidas no corpo de extração de raízes para a solução de uma equação algébrica geral de grau 5 Sendo K o corpo de decomposição de p x sobre definimos K K σ tal que 1 i i σ α α e estendendoo a K temos que σ e um automorfismo Com isso é possível mos trar que a não solubilidade por radicais se aplica ao polinômio geral de grau n 5 1 1 1 0 0 1 1 n n n n f x x a x a x a onde a a a Isso se deve essencialmente ao fato de que 5 Sn n não é solúvel Vamos agora passar para a construção com régua e compasso Problemas como as impossibilidades geométricas duplicação do volume do cubo quadratura do círculo e trissecção de um ângulo com as quais os gregos se depararam vão agora ser vistos através do uso da importante ferramenta que já vimos o grau de uma extensão Primeiramente vamos formular a ideia de construção com régua e compasso Vamos considerar um conjunto de pontos do plano 2 digamos 0P obtido através da teoria de geometria euclidiana Vamos também assumir que as operações são Construção com régua em que através de dois pontos de 0P podemos traçar uma linha reta Construção com compasso em que podemos desenhar um círculo de centro em um dos pontos de 0P e o raio é igual à distância entre dois pontos de 0P Começamos com a seguinte Definição Os pontos de intersecção de quaisquer duas retas distintas ou círculos desenhados com as operações de régua e compasso são ditos construíveis de 0P Mais geralmente um ponto 2 r é construtível de 0P se há uma sequência 1 2 n r r r r de pontos de 2 tais que para cada 12 j n dos pontos jr é cons trutível a partir do conjunto 0 1 1 j P r r Exemplo tomemos os pontos 2 1 2 P P e consideremos 0 1 2 P P P Vamos obter o ponto médio do segmento 1 2 PP de extremos 1 2 P e P Vamos fazer o seguinte 10 11 1 Desenhamos uma reta passando pelos pontos 1 2 P e P por meio da opera ção régua 2 Utilizando o compasso desenhamos um círculo centrado em 1P e com raio igual à distância entre 1 2 P e P 3 Utilizando novamente o compasso desenhamos o círculo de centro em 2P com raio igual à distância entre 1 2 P e P 4 Chamemos de 1 2 R e R os pontos de intersecção das duas circunferências 5 Agora através da operação régua traçamos a reta passando por 1 2 R e R 6 Seja 3 R o ponto de intersecção entre as retas que passam por 1 2 P e P 1 2 R e R 7 3 R é ponto médio do segmento 1 2 PP P P R Ponto médio de P1P2 R R Figura 1 Para mostrar que 3 R é ponto médio do segmento 1 2 PP basta desenhar o triângulo de vértices 1 2 1 P P e R e utilizar semelhança de triângulos com os triângulos de vértices 1 1 3 P R e R e 2 1 3 P R e R O principal para o entendimento das limitações para construção com régua e compas so está relacionado com extensão de corpos Para fazer esta associação naturalmente em cada etapa da construção associamos o subcorpo de que é gerado pelas coordenadas dos pontos construídos que é também subcorpo de Chamemos de 0 K o subcorpo de gerado por x y coordenadas dos pontos em Se jr tem coordenadas j j x y en tão definimos j K como o corpo obtido de j K adicionado do conjunto j j x y formado pelas coordenadas do ponto j j x y ou seja 1 j j j j K K x y e temos então 0 1 n K K K 11 UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas E usamos isso para obter um critério de construtividade Temos o seguinte resultado a respeito disso Lema j j x e y são zeros em j K dos polinômios quadráticos sobre j 1 K Demonstração Existem três casos que devem ser considerados encontro entre retas encontro entre reta e circunferência e encontro entre circunferências Todos são mostrados através da geometria Vamos demonstrar o caso do encontro entre reta e circunferência Tomemos os pontos A B C de coordenadas p q r s t u em j 1 K Tra çamos a reta passando por A B e a circunferência de centro C e raio w Temos que 2 j 1 w K pois w é a distância entre dois pontos cujas coordenadas estão em j 1 K o que pode ser verificado utilizando a semelhança entre os triângulos ACX e ADB Assim temos a equação de reta que passa pelos pontos A e B x p y q r p s q A p q x x y y q B r s s q D C O x p r p Figura 2 E a equação da circunferência é dada por 2 2 2 x t y u w 12 13 x A C y B Figura 3 Resolvendo essas duas equações simultaneamente chegamos a 2 2 2 s q x t x p q u w r p Observando essa última expressão vemos que a coordenada x da intersecção dos pontos X e Y são os zeros de um polinômio quadrático sobre j 1 K o que também vale para a coordenada y Temos o seguinte resultado Teorema Se r x y é construtível a partir de um subconjunto 2 0P de e 0 K é um subcorpo de gerado pelas coordenadas dos pontos de 0P então os graus 0 0 0 0 K x K e K y K são potências de 2 Demonstração Por resultados anteriores temos que 1 1 j j j K x K ou 1 2 j j j K x K Se o polinômio quadrático sobre j 1 K que tem jx como zero é irredutível então 1 1 j j j K x K e em caso contrário 1 2 j j j K x K Da mesma forma 1 1 1 2 j j j j j j K y K ou K y K Logo temos que 1 1 1 1 1 1 1 2 4 j j j j j j j j j j j j K x y K K x y K x K x K ou ou 13 UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas Mas 1 j j K K é uma potência de 2 e portanto 0 Kn K também é uma potência de 2 e 0 0 0 0 n n K K x K x K K K e 0 0 K x K é uma potência de 2 Da mesma forma podemos concluir que 0 0 K y K é uma potência de 2 Partindo do que foi visto vejamos três exemplos clássicos da não possibilidade de construção com régua e compasso Exemplo o cubo não pode ser duplicado com régua e compasso Este é um teore ma chamado de teorema Wantzel Vejamos sua demonstração Dado um cubo de lado 1 assumimos que 0 00 10 P Assim temos que 0 K e que as outras possíveis distâncias entre os vértices deste cubo podem ser obti das a partir de 0P Para duplicar o cubo temos que construir um ponto α0 tal que 3 α 2 Logo α deve ser uma potência de 2 Mas α é zero do polinômio 3 t 2 sobre que é irredutível Logo 3 t 2 é polinômio minimal de α sobre e portanto 3 α Mas 3 obviamente não é uma potência de 2 contradição portanto o cubo não pode ser duplicado Exemplo o ângulo 3 π não pode ser trissectado utilizando construções com régua e compasso Esse é outro teorema de Wantzel Vejamos sua demonstração Para construir o ângulo 3 π podemos fazêlo a partir dos pontos 00 e 10 do pla no Para trissectar o ângulo 3 π temos que construir o ponto α0 tal que cos 9 π α Feito isso construiríamos o ponto β0 de forma que 2cos 9 π β Mas temos que 3 cos 3 4cos 3cos θ θ θ Fazendo 9 π temos 1 cos 3 2 θ e então β satisfaz 3 3 1 0 β β Mas o polinômio 3 3 1 f t t t é irredutível sobre e como 3 2 1 3 3 f t t t também é irredutível então 3 β uma contradi ção Logo o ângulo 3 π não pode ser trissectado com régua e compasso Exemplo com construções com régua e compasso não é possível fazer a quadratura do círculo Esse também é um teorema Vamos demonstrálo 14 15 Essa construção equivale a construir o ponto 0 π a partir dos pontos iniciais do conjunto 0 00 10 P Desse conjunto podemos construir o ponto 0π Se a construção existir então π é uma potência de 2 ou seja π seria algébrico sobre Mas já vimos que π não é algébrico sobre uma contradição Portanto com construções com régua e compasso não é possível fazer a quadratura do círculo Para concluir esta unidade vamos pensar nas seguintes considerações As construções geométricas são uma parte da Matemática destinada a explicar ou justificar por que certos procedimentos conduzem a determinadas construções De ma neira alguma as construções geométricas devem ser confundidas com desenhos geomé tricos uma vez que nesse último são usados outros instrumentos como o esquadro e o transferidor por exemplo além da régua e do compasso que são os únicos permitidos nas construções geométricas As construções geométricas tiveram início há cerca de 2500 anos quando não se usava o termo calcular mas construir e seu curso no decor rer da história se deu paralelo ao da geometria euclidiana Ambas sempre ligadas ou seja uma não existia sem a outra Com origem na Grécia Antiga tais construções bem como suas regras são atribuídas a Platão cerca de 390 aC que estabeleceu um rigoroso critério de trabalho devese utilizar apenas régua não graduada e compasso que deve ser dobradiço de tal forma que a régua é utilizada apenas para traçar uma reta por dois pontos distintos dados e o compasso é usado apenas para traçar uma circunferência com centro num ponto dado e que passa por outro ponto qualquer dado e também para transportar segmentos Como os postulados de Os Elementos de Euclides restringem o uso da régua e do compasso esses instrumentos são conhecidos como instrumentos euclidianos O compasso euclidiano era fechado ou desmontado assim que um de seus braços era retirado do papel Mesmo com essa descrição o compasso euclidiano ou compasso desmontável como também era conhecido era equivalente ao compasso moderno Ambos régua e compasso não devem ser utilizados com outra finalidade Infelizmente nas últimas décadas ocorreu no mundo todo uma decadência do estudo da Geometria nas escolas Deixouse de justificar através de construções por exemplo para apenas mostrar Atualmente com o surgimento dos programas ou ambientes de geometria dinâmica como o Régua e Compasso o Cabri e o GeoGebra en tre outros começou a se resgatar as construções geométricas e aos poucos a Geometria está começando a ser justificada Porém há uma preocupação quanto ao uso apenas desses ambientes deixando de lado as construções feitas em papel Em vez de se concentrarem em papel e lápis e nas construções com régua e compasso os livros atuais tendem a enfatizar o uso de softwares de geometria dinâmica Será verdade que as construções euclidianas usando régua e compasso em papel em breve serão coisas do passado Se bem usada a tecnologia evita a imprecisão das construções feitas pelo homem O GeoGebra por exemplo permite traçar ângulos e desenhar polígonos Sua vantagem em relação ao Régua e Compasso se dá pelo fato de ser mais completo e em relação ao Cabri pelo fato de ser gratuito ou seja de mais fácil acesso e por ter o recurso de 15 UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas entrada algébrica Tais programas são úteis em sala de aula porque aproveitam a fami liaridade dos alunos com o ambiente digital e melhoram a aprendizagem dos conceitos Ensinar Matemática ainda é um desafio especialmente para quem como aluno viveu a Matemática das regras do mecanicismo do estudar para passar Embora as novas pesquisas estejam voltadas para uma visão de que saber matemática implica fazer matemática ou seja reconstruir conceitos que a humanidade levou milênios para cons truir muitos professores por desconhecerem tais pesquisas e sentiremse inseguros recorrem constantemente aos livros didáticos e às listas de exercícios objetivos Quando se trata de problemas de construção geométrica com régua e compasso a situação é ainda mais complicada Os alunos e também alguns professores encontramse tão acostumados a todo esse ensino mecanizado que nem sequer verificam se é possível fazer determinada construção e enfrentam dificuldades no ensinoaprendizagem desses problemas por não compreenderem que nem sempre é possível obter uma solução gráfi ca adequada mesmo resolvendoos com o auxílio de métodos para sua construção Isso porque nem todo número é construtível Os números construtíveis nos despertam interesse e constituem o objeto de estudo desta unidade Tentando facilitar o entendimento do conceito de números construtíveis bem como buscar a forma mais adequada de aplicálos em situaçõesproblemas e con siderando os obstáculos que professores e alunos enfrentam concebemos a unidade de modo que possa ser aproveitada por alunos de vários níveis de escolaridade 16 17 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Leitura Construções com Régua e Compasso e Números Construtíveis httpsbitly3RJ1pcT Construções Geométricas com Régua e Compasso httpsbitly3eNFq68 Problema Usando Régua e Compasso httpsbitly3eOVuVd Ensinando Geometria com Régua e Compasso httpsbitly3eHEK25 17 UNIDADE Soluções de Extensões Ciclotômicas Referências EDWARDS H Galois theory New York SpringerVerlag 1984 ENDLER O Teoria dos corpos Rio de Janeiro IMPA 2005 JACOBSON N Basic algebra I 2nd ed Mineola NY Dover Publications 2009 KAPLANSKY I Introdução à teoria de Galois Rio de Janeiro IMPA 1966 KATZ V J FRALEIGH J B A first course in abstract algebra 7th ed Boston AddisonWesley 2003 LANG S Algebra 3rd ed New York SpringerVerlag 2002 18