Geometria dos Vetores: Material Teórico e Exercícios

Geometria Analítica I Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lúcia Junqueira Prof Ms Douglas Tinti Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin A Geometria dos Vetores Introdução Grandezas Escalares e Vetoriais Segmento Orientado Vetores e suas Características Propriedades dos Vetores Operações Elementares com Vetores Exercícios Resolvidos Introduzir o conceito geométrico intuitivo de vetores Apresentar segmentos orientados e a definição de equipolência entre segmentos orientados Definir vetor suas características básicas e apresentar os casos especiais Definir vetores paralelos perpendiculares e coplanares Apresentar e trabalhar com operações vetoriais geométricas Resolver problemas envolvendo os conceitos vistos em geometria vetorial OBJETIVO DE APRENDIZADO Caroa alunoa Leia atentamente o conteúdo desta Unidade que possibilitará conhecer o tratamento geométrico dado aos vetores Nesse primeiro momento do nosso estudo na Disciplina abordaremos a geometria dos vetores que prescinde de um sistema de coordenadas exatamente para podermos tratar dos vetores e estudar suas características básicas bem como as operações elementares de adição subtração e multiplicação por escalar em seu aspecto geométrico Você também encontrará exercícios resolvidos para auxiliar na compreensão do tema estudado Não deixe de explorar todo o material disponibilizado Fique atento à resolução dos exercícios para melhor fixar os conceitos e se preparar para realizar as atividades da Unidade Bons estudos ORIENTAÇÕES A Geometria dos Vetores UNIDADE A Geometria dos Vetores Contextualização Você deve se lembrar de em estudos anteriores já ter visto ou ouvido falar de vetores Conceitos como velocidade e aceleração de um objeto bem como as forças que agem sobre ele costumam ser descritos por vetores Figura 1 Fonte Adaptado de iStockGetty images Aliás os vetores desempenham um importante papel não só na Física mas também têm aplicação em várias outras áreas do conhecimento como na Engenharia e na Economia tanto em nível técnico quanto científico Além disso vetores são os elementos a partir dos quais se constrói o Cálculo Vetorial Vetor é um símbolo físicomatemático utilizado para representar o módulo a direção e o sentido de uma grandeza física vetorial Parece complicado Mas na realidade é uma coisa bastante simples Para facilitar imagine a seguinte situação 6 7 Você está chegando à Avenida Paulista na cidade de São Paulo numa tarde de domingo para encontrar com um co lega e visualiza uma bike muito maneira Impressionado manda uma mensagem pelo celular para seu colega com a foto da bike Figura 2 Fonte iStockGetty images Já tô chegando mas veja esta bikespeed Uau Onde vc viu O ciclista estava indo na direção da Paulista Em que sentido No sentido Paraíso A qual velocidade estava Uns 5 kmh pq aqui não pode correr muito Mas se estivesse numa pista de corrida uma bike dessas poderia atingir uns 70 kmh na reta e até uns 100 kmh na descida Fonte adaptada de httpgooglZiCBcc Sem nem perceber você acabou de determinar ao seu colega o VETOR que representa o movimento da bike na ciclovia da Av Paulista direção da Av Pau lista no sentido da Consolação ao Paraíso a uma velocidade de 5kmh inten sidade ou módulounidade 7 UNIDADE A Geometria dos Vetores Na Física é comum vermos as forças atuando num móvel sendo representadas por vetores como na imagem a seguir Figura 3 Fonte Adaptado de iStockGetty images Historicamente o conceito de vetor surgiu na Mecânica As origens da Ciência da Mecânica estão perdidas na Antiguidade Entretanto muitos historiadores associam o nascimento da Mecânica aos trabalhos do matemático grego Arquimedes 287212 a C que desenvolveu os princípios para a análise de forcas paralelas e aplicou esses princípios à estática de alavancas simples sistemas de polias corpos flutuando e centros de gravidade dos corpos Gravura publicada na revista inglesa Mechanics Magazine de 1824 para ilustrar a máxima de Arquimedes Dême um ponto de apoio e com uma alavanca moverei o mundo Figura 4 Fonte WikimediaCommons 8 9 Entretanto a análise bem sucedida de forças não paralelas só foi concluída aproximadamente dois mil anos após a morte de Arquimedes quando o matemático Simon Stevin 15481620 resolveu o problema do plano inclinado que envolve forças paralelas Stevin também usou segmentos de reta orientados para representar forças e incluiu uma flecha no segmento de reta para indicar o sentido da força ao longo da linha Ele mostrou como adicionar duas forças para obter sua resultante pela construção de um paralelogramo de forças cujos lados são forças flechas A diagonal do paralelogramo então representa a soma ou a resultante das duas forças As grandezas que se somam são chamadas de vetores Já os termos vetor ou portador e escalar foram introduzidos pela primeira vez por Sir W R Hamilton Vemos então que os vetores são os elementos a partir dos quais na Matemática foi construído o Cálculo Vetorial É disso que vamos tratar nesta primeira Unidade mais especificamente da geometria vetorial 9 UNIDADE A Geometria dos Vetores Introdução Nesta unidade estudaremos vetores do ponto de vista da geometria de vetores sempre permeando com exemplos e resolução de atividades envolvendo os conceitos estudados Então para situar iniciamos com um breve contexto histórico O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o matemático e engenheiro militar flamengo nascido em Bruges Simon Stevin 15481620 conhecido como o Arquimedes holandês Segundo Venturi 2015 p 64 em 1586 Stevin apresentou o problema da composição de forças Estática e Hidrostática e desenvolveu estudos no campo da geometria vetorial Entre outras coisas enunciou uma regra empírica para achar a soma de 2 forças aplicadas num mesmo pontoTal regra é conhecida hoje como regra do paralelogramo que veremos mais à frente Os vetores aparecem como linhas dirigidas na obra Ensaio sobre a Representação e Direção publicada em 1797 pelo matemático dinamarquês Gaspar Wessel 17451818 No entanto a sistematização da teoria vetorial ocorreu apenas no século XIX com o trabalho do irlandês William Rowan Hamilton 18051865 notavelmente precoce aos 5 anos lia grego latim e hebraico do alemão Hermann Grassmann 18091877 e do físico norte americano Josiah Gibbs 18391903 Grandezas Escalares e Vetoriais Grandeza é uma relação numérica estabelecida com um objeto Assim a altura de uma árvore o volume de um tanque o peso de um corpo a quantidade de pães entre outros são grandezas Então grandeza é tudo que se pode contar medir pesar enfim enumerar Vale ressaltar que temos três elementos que estão sendo considerados os objetos as grandezas associadas a eles e as medidas das grandezas que são números Objetos Números Grandezas Figura 1 10 Assim por exemplo a um balde podemos associar várias grandezas comprimentos a altura o diâmetro da base etc capacidade e massa por exemplo Logo é importante distinguir o objeto e as grandezas que podem ser associadas a ele Da mesma forma se pensarmos em uma grandeza devemos disociar as várias medidas que podem ser obtidas usando unidades diferentes A altura do balde pode ser medida em palmos em centímetros em metros ou qualquer outra unidade de comprimento Obtemos resultados diferentes 2 palmos e meio 50 centímetros meio metro vez que os números 25 50 e 05 são números diferentes mas o comprimento considerado é o mesmo expresso usando três unidades diferentes Logo é pertinente distinguir as grandezas e os números que são suas medidas As grandezas se dividem em escalares e vetoriais As grandezas escalares são aquelas representadas por um número real e que necessitam apenas de uma unidade de medida Por exemplo 5 kg de massa 10 m² de área 80 kmh de velocidade Nesses casos as grandezas escalares são massa área e velocidade associadas respectivamente às unidades físicas kg m² e kmh As grandezas vetoriais já possuem uma representação especial pois necessitam além da magnitude representada por um número real de uma direção e de um sentido Portanto são representadas por um símbolo matemático denominado vetor Nele se encontram três características sobre um corpo ou móvel O módulo que representa o valor numérico ou a intensidade da grandeza a direção e o sentido que determinam a orientação da grandeza São exemplos de grandezas vetoriais força campo elétrico velocidade e aceleração entre outros Adotaremos para a notação de vetor uma letra encimada por uma seta v Segmento Orientado Consideraremos dois pontos A e B no plano com A B O segmento orientado AB de origem em A e extremidade em B é o vetor representado na figura a seguir Se A B o segmento orientado é dito segmento orientado nulo representado só por um ponto com notação AB 0 Observe a figura a seguir As características de um segmento orientado AB são Norma ou módulo denotado por AB indica o comprimento magnitude do segmento AB em certa unidade Temos que AB 0 Se A B então o segmento orientado é nulo e tem AB 0 Sentido de A para B Direção da reta r Um segmento orientado tem direção sentido e magnitude mas ele não é totalmente determinado por estas características pois dois segmentos orientados com mesma direção mesmo sentido e mesmo comprimento que tenham por exemplo pontos iniciais diferentes são segmentos orientados diferentes Um segmento orientado é totalmente determinado por seu ponto inicial e seu ponto final Dois segmentos orientados com mesmo ponto inicial e ponto final são o mesmo segmento orientado O ponto inicial e o ponto final de um segmento orientado determinam a direção o sentido e o comprimento deste segmento orientado Observe que o segmento orientado AB tem mesmo módulo mesma direção mas sentido oposto ao segmento orientado AB No nosso caso módulo ou norma registram a magnitude tamanho do vetor Portanto pode ocorrer a notação convencional entre barras v para módulo do vetor v ou a notação entre barras duplas v para norma do vetor v mas estarão registrando a mesma medida da grandeza vetorial Se V é um espaço vetorial real ou complexo dizse que uma função V R tal que v v é uma norma se a v V v 0 v 0 b α K v V αv α v c v w V v w v w desigualdade triangular Dizse então que V é um espaço vetorial normado É possível verificar sem muita dificuldade que se V for um espaço vetorial normado então a função assim definida V V R tal que v w v w é uma métrica que provém da norma Essas são noções topológicas No caso de V ser um espaço vetorial euclidiano como ℝ n para algum n 1 V é dito espaço métrico no qual a norma é a distância entre dois pontos já conhecida por nós Nesses casos a norma e o módulo de um vetor são a mesma coisa É importante notar no caso de A B que o vetor nulo indicado por 0 representa o segmento nulo que é um único ponto Note que ao escrevêlo u AB estamos afirmando que o vetor u é determinado pelo segmento orientado AB Porém qualquer outro segmento de mesmo comprimento direção e sentido de AB representa o mesmo vetor u Assim sendo cada ponto do plano ou do espaço pode ser considerado origem de um segmento orientado que é representativo do vetor u Esta é a razão de o vetor ser chamado também de vetor livre no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto Importante Dois vetores são iguais se os segmentos orientados que os representam forem equipolentes Dessa forma é comum identificarmos por AB tanto o segmento orientado com ponto inicial em A e ponto final em B quanto o vetor por ele representado Vetor Oposto O vetor indicado por u é um vetor que possui a mesma direção e norma de u mas sentido oposto a u Este vetor é chamado de vetor oposto a u Figura 6 Vetor Unitário Se u1 então o vetor u é dito unitário Versor O vetor a é versor do vetor u se a tem mesma direção e sentido do vetor u mas com a1 Podemos escrever então o versor a 1u u uu Na figura a seguir a é versor de u Note que o vetor a 15 u Ou seja a uu Propriedades dos Vetores Vetores Paralelos Dois vetores u e v são paralelos indicamos por u v se u e v possuem a mesma direção ou seja um vetor é múltiplo do outro Dessa forma u vuαv para algum α Rα 0 Na figura a seguir por exemplo u 5v Vetores Iguais Dois vetores u e v são iguais indicamos por u v se os vetores possuem a mesma direção mesmo sentido e mesma norma Dois vetores u e v são ortogonais indicamos por u v se um representante de u formar um ângulo reto com um representante de v Figura 10 Considerase que o vetor nulo é ortogonal a qualquer vetor Vetores Colineares Dois ou mais vetores são colineares se tiverem a mesma direção Em outras palavras dois vetores u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas conforme indicam as figuras a seguir Sejam mathbfu um vetor alpha in mathbbR um escalar definimos a multiplicação do escalar alpha pelo vetor mathbfv tal que mathbfw alpha mathbfu Além disso se alpha eq 0 e mathbfu eq mathbf0 temos mathbfw alpha cdot mathbfu isto é o comprimento do vetor alpha mathbfu é igual ao comprimento de mathbfu multiplicado por alpha Dois ou mais vetores são coplanares se existir um plano que contém esses vetores Observe que dois vetores são sempre coplanares Observe as figuras A e B a seguir Não vale a propriedade comutativa mathbfu mathbfv mathbfv mathbfu Note que mathbfu mathbfv mathbfv mathbfu Esta propriedade é chamada de anticomutativa Considerandose que sempre se interpreta a subtração mathbfu mathbfv mathbfu mathbfv neste caso as propriedades são as mesmas da adição Confira na representação gráfica a seguir Ângulo entre Vetores Sejam mathbfu e mathbfv dois vetores não nulos o ângulo heta 0 leq heta leq pi entre os vetores mathbfu e mathbfv é o ângulo entre as semirretas determinadas por VA e VB Se heta 0 temos que mathbfu mathbfv com mathbfu e mathbfv de mesmo sentido se heta pi temos que mathbfu mathbfv com mathbfu e mathbfv de sentidos contrários ou opostos Exercícios Resolvidos 1 A figura a seguir é constituída de três retângulos congruentes Decida se é VERDADEIRA ou FALSA cada uma das alternativas a overlineAB overlineIH b overlineBD overlineFJ c overlineAD overlineGH d overlineFE perp overlineAD e overlineBD overlineHJ a overlineAB overlineAC e overlineBD são coplanares b overlineAD overlineBC overlineFG e overlineEH são representantes de um mesmo vetor c overlineBF é ortogonal ao plano que contém os pontos A B C d overlineCG perp overlineBC e ambos os vetores são paralelos ao plano que passa pelos pontos A E H e overlineAD overlineGF g overlineAC overlineGE h Se mathbfu overlineBC e mathbfv overlineHE então mathbfu mathbfv 5 Dados os vetores u v w representados a seguir encontre a adição u v w 6 Dados os vetores u v w a seguir encontre as operações indicadas a u w b u w c v w d v w e frac12v 2u 7 Considere o cubo representado a seguir Encontre o segmento orientado que representa a adição dos vetores indicados pelas linhas cheias UNIDADE A Geometria dos Vetores Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade Além das referências bibliográficas trazemos alguns links que podem contribuir para a compreensão dos conceitos vistos na Unidade Sites Cap 1 cálculo vetorial e geometria analíticasem autoria identificada httpptslidesharenetDukeWdealmeicap1calculovetorialegeometriaanaltica Conteúdo digital IGM Digital necessita ter instalado o software Geogebra para visualizar httpwwwlojaigmcomblogtxiqj Vetores livres abordagem geométrica httpwwwlojaigmcomblank1wixoj Soma de Vetores httpwwwlojaigmcomsomadevetoresi1lzc Multiplicação por um número httpwwwlojaigmcomblank3fnbl9 Grandezas e medidas nas séries iniciais do Ensino Fundamental Paulo Figueiredo Lima Paula Moreira Baltar Bellemain Maurício Figueiredo Lima Disponível em httpdocslidecombrdocumentstexto9grandezasemedidashtml Vídeos Decomposição de vetores httpswwwyoutubecomwatchvsIe53UDFfdY Geometria Analítica Vetores Aula 1 httpswwwyoutubecomwatchvJ8PZvry02k Esperamos com isso ter enriquecido sua compreensão sobre a geometria de vetores e seus desdobramentos Bons estudos 26 E fica assim provado com uso da geometria vetorial que as diagonais de um paralelogramo têm seus pontos médios coincidentes ou seja o mesmo ponto médio 27 Referências CAMARGO Ivan de BOULOS Paulo Geometria analítica um tratamento vetorial 3ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 543p v1 FEITOSA Miguel Oliva Cálculo vetorial e geometria analítica exercícios propostos e resolvidos São Paulo Atlas 1996 IEZZI Gelson Fundamentos de matemática elementar geometria analítica 8ed São Paulo Atual 1997 374p v7 JULIANELLI José Roberto Cálculo vetorial e geometria analítica Rio de Janeiro Ciência Moderna 2008 LEITHOLD Louis O cálculo com geometria analítica São Paulo Harbra 1994 LIMA Elon Lages Coordenadas no plano geometria analítica vetores e transfor mações geométricas Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2002 LIMA Paulo Figueiredo BELLEMAIN Paula Moreira Baltar Grandezas e Medidas In PITOMBEIRA João Bosco Org Coleção Explorando o Ensino v 17 Brasília Ministério da Educação Secretaria de Educação Básica 2010 SWOKOWSKI Earl W Cálculo com geometria analítica São Paulo Makron Books 1995 VENTURI Jacir J Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 10ed Curitiba Biblioteca Central da UFPR 2015 Disponível em httpwwwgeometriaanalitica combr Acesso em 13 mar 2016 WINTERLE Paulo Vetores e geometria analítica São Paulo Makron Books 2000 232p v1 27 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 Cruzeiro do Sul Educacional