Geometria Analítica I: Cálculo Vetorial e Exercícios Resolvidos

Geometria Analítica I Material Teórico Responsável pelo Conteúdo Profa Dra Ana Lucia Junqueira Revisão Textual Profa Ms Selma Aparecida Cesarin Cálculo Vetorial Introdução O Plano Cartesiano Vetores em Sistemas de Coordenadas Base de Espaços Euclidianos Combinação Linear Operações com Vetores Vetor Definido por Dois Pontos Norma Euclidiana do Vetor Coordenadas do Ponto Médio Exercícios Resolvidos Norma Ângulo Nesta Unidade desenvolveremos o cálculo vetorial do ponto de vista algébrico O objetivo principal é a abordagem de vetores nos espaços euclidianos de dimensão 2 plano cartesiano e de dimensão 3 espaço OBJETIVO DE APRENDIZADO Leia atentamente o conteúdo desta Unidade que possibilitará conhecer o tratamento algébrico dado aos vetores Além disso você também encontrará exercícios resolvidos relacionados ao tema estudado É extremante importante que você vasculhe todo o material didático disponibilizado bem como o material audiovisual Isso oa ajudara a fixar melhor os conceitos e se preparar para a realização das atividades da Unidade ORIENTAÇÕES Cálculo Vetorial UNIDADE Cálculo Vetorial Contextualização A Geometria Analítica é parte integrante dos conteúdos a serem trabalhados na Educação Básica e além disso conceitos trabalhados e aprofundados nos componentes curriculares dos cursos de graduação das Ciências Exatas tais como Engenharia Ciências da Computação Arquitetura Matemática Física etc Seu estudo é relevante pois é uma ferramenta importante para o Cálculo Diferencial e Integral e é uma das principais referências em um primeiro curso de Álgebra Linear Historicamente as ideias da Geometria Analítica surgiram da comparação de grandezas curvilíneas com grandezas retilíneas Os egípcios e os babilônios deram os primeiros passos na Geometria por meio do estudo do círculo Desde o século III aC os matemáticos gregos descreviam pontos no plano utilizando o recurso de dar suas duas coordenadas ou três no caso de ser um ponto no espaço O mesmo recurso era utilizado em mapas nas representações LesteOeste e NorteSul Por que motivo então o sistema de coordenadas está ligado a Descartes um filósofo do século XVII Sabemos desde a descoberta do papiro de Ahmés cerca de 1650 a C que cálculos aritméticos podem ser atrelados a alguma interpretação geométrica Na época de Tales séc 6 aC a única interpretação geométrica do produto de dois comprimentos era uma área do retângulo com arestas de medidas adequadas Mas a proposição inicial do trabalho de Descartes chamado La Géométrie de 1637 sugere outra interpretação para as operações aritméticas Problemas de Geometria podem em boa parte ser descritos de modo que o conhecimento de comprimentos de certos segmentos é suficiente para a sua construção Assim como a Aritmética consiste de suas operações elementares como adição subtração multiplicação e divisão também em Geometria para encontrar os segmentos desejados é necessário apenas adicionar ou subtrair outros segmentos ou usar as referências à quarta proporcional segundo Descartes Tome segmentos com comprimentos 1 a b arranjeos segundo as hipóteses do teorema de Tales para que o esboço desse arranjo corresponda à proporção a 1 x b a quarta proporcional que surge da construção é o segmento cujo comprimento é exatamente x a b Essa maneira surpreendente de utilizar o teorema de Tales já tinha sido utilizada por Bombelli em 1572 mas foi o trabalho de Descartes que primeiro teve divulgação significativa e influência social Abriase a possibilidade de se obterem pontos descritos por expressões envolvendo variáveis e operações aritméticas 6 7 No trabalho de Viète em décadas anteriores já se usavam símbolos gráficos para constantes e variáveis mas agora a capacidade de se localizar um ponto designado por exemplo por a b e a b abria uma estrada de duas mãos entre a Geometria e a Aritmética a Geometria Analítica Geometrizar a Natureza Estender a discussão dos pontos para as fi guras foi imediato toda fi gura traçada sobre um plano é composta de pontos e todo ponto possui uma posição que pode ser descrita por dois números as coordenadas de modo análogo ao da posição de um ponto sobre um mapa ou sobre a superfície terrestre recortada em meridianos e paralelos Naturalmente toda a discussão se apoiava na existência de uma reta numérica o locus geométrico dos resultados de todas as operações aritméticas Anos mais tarde Isaac Newton propôs a interpretação de números negativos também como pontos de uma reta y x 1 5y 5 x 0 Observe o método de Descartes em ação na fi gura traçando segmentos de retas paralelas aos eixos vemos de acordo com o teorema de Tales que 5 está para 1 assim como 5 y está para x o que dá para y o valor 5 5x dependente de x Em outras palavras os pontos da reta apresentam projeções ou coordenadas nas retas numeradas tais que y 5 5x é sufi ciente para determinar univocamente essa reta Assim a revolução cartesiana está na tentativa de Descartes de geometrizar a Natureza e La Gèomètrie foi o seu grande e original trabalho neste campo Seu mérito consistiu basicamente em aplicar a álgebra ao estudo dos problemas geométricos Toda fi gura geométrica pode ser representada por uma equação algébrica e os problemas de geometria são portanto passíveis de resolução por meio da álgebra Inversamente a geometria esclarece o signifi cado das expressões algébricas Texto baseado no artigo de Maria Ângela de Camargo no especial p 3 Pedagogia Comunicação 2005 7 UNIDADE Cálculo Vetorial O Tratamento Algébrico de Vetores uv y y1y2 y2 y1 O x2 x1 x1x2 x v u y ay1 y1 O x1 x u ax1 au zk z z xi k v P y j y xi yi i O J Sintetizando A Geometria foi criada pelos gregos mas para ser mais Descartes Fonte WikimediaCommons desenvolvida necessitava da Álgebra um campo que os gregos não dominavam Somente no século XVII a Álgebra estaria suficientemente desenvolvida para ser mesclada à Geometria Dois franceses Pierre de Fermat 16011665 e René Descartes 15961650 como em outros casos da história das ciências desenvolveram a Geometria Analítica de maneira independente Matemáticos consideram Descartes um pensador muito importante por sua descoberta da Geometria Analítica Até Descartes a Geometria e a Álgebra apareciam como ramos completamente separados da Matemática Descartes mostrou como traduzir problemas de Geometria para a Álgebra abordando esses problemas por meio de um sistema de coordenadas que hoje leva o seu nome A teoria de Descartes forneceu a base para o Cálculo de Newton e Leibniz que contribuiu muito para a Matemática moderna e além dela Isso parece ainda mais incrível tendo em mente que esse trabalho A Geometria foi intencionado apenas como um exemplo no seu Discurso do Método 8 9 Introdução Na Unidade anterior estudamos vetores de um ponto de vista totalmente geométrico Porém o ferramental geométrico se mostra ineficiente e por vezes insuficiente quando nos deparamos com problemas de maior complexidade Nesta Unidade introduziremos a representação algébrica dos vetores e do espaço Euclidiano É essa representação que nos permite converter problemas geométricos em problemas algébricos e efetivamente realizar cálculos com vetores Nesse sentido vamos tratar de vetores em sistemas de coordenadas Veremos como tratar a igualdade vetorial e as operações elementares de vetores Vamos apresentar a definição de vetor por meio de dois pontos como calcular a norma vetorial e como encontrar o ponto médio além de abordar o conceito de paralelismo entre dois vetores E como de praxe apresentamos a resolução de diversas atividades envolvendo os conceitos estudados para contribuir com a compreensão e a aprendizagem deles O Plano Cartesiano O plano cartesiano como é tratado atualmente já é conhecido de estudos anteriores na Educação Básica Mesmo assim vamos recordar por meio da figura a seguir y A B 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 abscissa abscissa ordenada ordenada O O plano cartesiano consiste em dois eixos perpendiculares sendo o horizontal chamado de eixo das abscissas e o vertical de eixo das ordenadas 9 Vetores em Sistemas de Coordenadas O plano cartesiano foi desenvolvido por Descartes no intuito de localizar pontos num determinado espaço As disposições dos eixos no plano formam quatro quadrantes e qualquer ponto do plano pode ser representado por suas coordenadas componentes Por exemplo na figura anterior o ponto A pode ser representado pelo par ordenado composto pelas suas coordenadas A 23 Seja o mathbbR2 o espaço geométrico bidimensional e o vetor mathbfu no sistema cartesiano ortogonal xOy da figura a seguir mathbfu u1u2 Exemplo Veja a figura a seguir O vetor mathbfu overlineOA tem origem em O 00 e extremidade em A ab Também chamamos o vetor mathbfu de vetor posição e definimos as coordenadas do vetor mathbfu como sendo mathbfu u1i u2j em que i e j são vetores unitários respectivamente nas direções do eixo X e do eixo Y ambos no sentido positivo Usaremos a notação mathbfu u1u2 ab para representar as coordenadas escalares do vetor mathbfu nas direções de i e j respectivamente distinguindo a notação de coordenadas de um ponto do plano O sentido do vetor nessas direções será dado pelo escalar de suas coordenadas se positivo mesmo sentido se negativo sentido contrário Nota Em cursos de Álgebra Linear é comum encontrarmos a notação vetorial na forma da matriz coluna mathbfu beginbmatrix a b endbmatrix abT transposta da matriz linha Exemplo O vetor mathbfu da figura a seguir tem coordenadas mathbfu 32 Já no espaço tridimensional mathbbR3 um vetor mathbfu pode ser representado por suas componentes em relação aos vetores unitários mathbfi mathbfj mathbfk respectivamente nas direções dos eixos OX OY e OZ no sentido positivo No caso de espaços euclidianos mathbbRn costumamos trabalhar com alguns conceitos que se mostram facilitadores para operar algebricamente grandezas geométricas como vetores por exemplo Faremos portanto uma pequena incursão nesses conceitos que são muito próprios da Álgebra Linear evidenciando a articulação entre esses dois campos da Matemática Base de Espaços Euclidianos Nesse caso usaremos uma notação mais usual em Álgebra Linear denotando um vetor por u em vez de mathbfu por uma questão de afinidade com este campo O conjunto B u1u2un é uma base ordenada do mathbbRn se B é linearmente independente LI ou seja a1u1 a2u2 anun 0 Leftrightarrow a1 a2 an 0 As bases canônicas usuais são mathbbR2 indicamos a base canônica B ij cujas coordenadas são i 10 e j 01 mathbbR3 indicamos a base canônica B ijk cujas coordenadas são i 100 j 010 e k 001 Ressaltamos que essas bases canônicas são ortonormais pois seus vetores são ortogonais e unitários Reforçamos que podemos ter diversos conjuntos que são base de um espaço euclidiano mas na prática as bases mais utilizadas são as ortonormais por uma questão de praticidade Por exemplo Na base canônica o vetor v 213 2i j 3k Cominação Linear Seja B u₁ u₂ uₙ uma base ordenada Todo vetor v pode ser escrito como v a₁u₁ a₂u₂ aₙuₙ onde a₁ a₂ aₙ são escalares reais e u₁ u₂ uₙ são vetores Dessa forma dizemos que o vetor v está escrito como combinação linear dos vetores u₁ u₂ uₙ na base B Os escalares a₁ a₂ aₙ são as coordenadas de v na base B Neste caso v possui n coordenadas na base B Notação v a₁u₁ a₂u₂ aₙuₙ a₁ a₂ aₙᵦ R² v ai bj a b R³ v ai bj ck a b c Observe que quando escrevemos o vetor na base canônica omitimos a base na notação matricial Veja alguns exemplos numéricos v 2i 3j 2 3 no R² e v i 2j 3k 1 2 3 no R³ Observe a praticidade de representar qualquer vetor na base canônica daí a denominação canônica Já em outra base nem sempre fica tão elementar representar um vetor Por exemplo se u₁ 1 1 0 u₂ 0 1 1 e u₃ 2 0 1 é fácil verificar que estes três vetores são L1 portanto o conjunto B u₁ u₂ u₃ é uma base de R³ Para representar o mesmo vetor v na base Bᵦ vᵦ a b cᵦ temos que encontrar escalares a b c tal que v au₁ bu₂ cu₃ Logo a1 1 0 b0 1 1 c2 0 1 a 2c a b b c 2 1 3 De III temos b c 3 substituindo em II Subtraindo V de I temos c 0 daí b 3 e a 2 Portanto podemos escrever vᵦ 2 3 0ᵦ 2u₁ 3u₃ 0u₄ Em geral vamos trabalhar com a base canônica dos espaços euclidianos Faremos em geral as definições no R² Ao longo do Curso estenderemos os conceitos para o R³ Também voltaremos a usar a notação v mas pode ocorrer de aparecer a notação v em negrito sem a seta vez por outra Observações I No plano todo conjunto v₁ v₂ de dois vetores não paralelos constitui uma de suas bases isto é todo vetor desse plano é combinação linear de v₁ e v₂ II No espaço todo conjunto de três vetores não coplanares constitui uma de suas bases isto é todo vetor do espaço é combinação linear dos três vetores desta base Operações com Vetores As operações elementares de adição subtração e multiplicação por escalar são as mesmas valendo todas as propriedades já vistas na visão geométrica de vetores apenas estamos tratando do ponto de vista algébrico ao trabalharmos vetores em coordenadas do plano ou do espaço Exemplo Se v a b e v c d são iguais se e somente se suas coordenadas correspondentes são iguais ou seja a c e b d Adição de vetores Seja u a b e v c d então u v a b c d a c b d Ou seja para adicionarmos vetores somamse as coordenadas correspondentes e o resultado final é um vetor Exemplo Se u 1 0 e v 4 5 então u v 1 0 4 5 3 5 Multiplicação de um vetor por um escalar Sejam α R um escalar e u a b um vetor O vetor αu αa b αa αb ou seja para multiplicar um escalar por um vetor devemos multiplicar cada coordenada do vetor pelo escalar Exemplo Se u 1 2 e α 4 αu 41 2 4 8 Vetor Definido Por Dois Pontos Na figura anterior vemos o ponto A12 e o ponto B21 Podemos definir o vetor u AB B A 2 1 1 2 1 3 De maneira geral temos a seguinte definição Sejam dois pontos no plano A x₁ y₁ e B x₂ y₂ O vetor AB OB OA Logo se v AB x₂ y₂ x₁ y₁ x₂ x₁ y₂ y₁ Resumindo as coordenadas de v são obtidas subtraindose das coordenadas do ponto B as coordenadas do ponto A ou seja v AB B A Proposição Exemplo Solução Como M xMyM xA xB 2 yA yB 2 3104 2 224 2 2 2 4 2 12 Ponto que divide um segmento numa razão dada A determinação das coordenadas do ponto P xyz ℝ3 que divide o segmento dados pelos dois pontos P1 x1y1z1 e P2 x2y2z2 numa certa razão kk 1 é dada pelas equações x x1 kx2 1 k y y1 ky2 1 k z z1 kz2 1 k Observe que para k 1 temos as coordenadas do ponto médio de P1P2 Além disso no caso de segmentos no plano bastam duas equações correspondentes às duas coordenadas dos pontos envolvidos Baricentro do triângulo Consideremos o triângulo de vértices A xAyAzA B xByBzB e C xCyCzC O baricentro G xGyGzG é dado pelas equações xG xA xB xC 3 yG yA yB yC 3 zG zA zB zC 3 Ou seja v w a c b d Em outras palavras dois vetores são paralelos quando suas componentes forem proporcionais mais ainda quando um deles for combinação linear do outro que no caso de apenas dois vetores significa um ser múltiplo do outro Exemplo Verificar se os vetores u 615 e v 25 são paralelos Basta que verifiquemos 6 2 15 5 1 3 Portanto são paralelos Note que v 13 u ou que u 3v Observação Os conceitos aqui estudados para vetores do plano R2 são facilmente estendidos para vetores do espaço R3 Exercícios Resolvidos 1 Encontrar a abscissa do ponto Ax3 para que este ponto seja equidistante dos pontos B 2 0 e C 4 1 Solução De acordo com o enunciado temos AB AC x2² 30² x4² 31² x2² 9 x4² 16 x² 4x 13 x² 2x 8x 32 4x 8x 32 13 4x 19 x 19 4 Assim o ponto A tem coordenadas A 19 4 3 2 Para que valores de x os vetores u 2x e v x8 são paralelos Solução De acordo com a teoria para que u e v sejam paralelos temos 2 x x 8 x² 16 x 4 Logo tanto para x 4 como para x 4 os vetores serão paralelos Mas atenção embora tenham duas possibilidades o x assumido tem que ser o mesmo para os dois vetores Se x 4 u 24 é paralelo a v 48 ou seja v 2u Se x 4 u 24 é paralelo a v 48 ou seja v 2u 3 Os vetores u 63 v x8 w 10y z 19 são tais que 3i w 2z v Determinar os valores de x e y Solução De acordo com o enunciado temos que 3i w 2z v 63 10y 219 x8 189 10y 218 x8 28y9 2x10 28 2 x y 9 10 x 30 y 19 4 Dados os pontos A 011 e B 121 os vetores u 211 v 301 e w 222 verificar se existem os números abc tais que w aAB bū c𝑣 Solução O vetor AB OB OA 121 011 110 Substituindo na equação vetorial w aAB bū c𝑣 temos 222 a10 b211 c301 a 2b 3c a b b c 222 a 2b 3c a b b c Pela condição de igualdade de vetores obtemos o sistema a 2b 3c 2 I a b 2 II b c 2 III De II temos que b a 2 e de III que c b 2 substituindo em I obtemos a 2a 2 3b 2 2 2a 4 3b 6 2 a 3b 0 Com esta nova equação IV obtemos a 3b substituindo em II temos 3b b 2 2b 1 b 12 a 32 Como c b 2 c 1 2 1 Então existem escalares a 32 b 12 c 1 que são solução para a equação Logo w 3AB 12ū 1v Observe que para esta equação encontramos solução única vecw 3vecAB vecu vecv Então pelo item II das Observações podemos intuir que o conjunto vecA vecu vecv é uma base para o espaço mathbbR3 No caso vimos que o vetor vecw é combinação linear escrita de forma única dos vetores desta base Além disso os vetores da base são não coplanares 5 Dados os vetores vecu 312 vecv 023 e vecw 435 calcule a norma do vect 3vecu 2vecv 4vecw Solução O vetor vect 3vecu 2vecv 4vecw 3312 2023 4435 936046161220 9 0 163 4 126 20 vect 251120 Logo t sqrt252 112 202 sqrt625 121 400 sqrt1146 approx 339 6 Provar que os pontos A 201 B 315 e C 5313 são colineares Solução I Mostrar que overlineAB alpha overlineBC para algum escalar alpha overlineAB 114 e overlineBC 228 Logo overlineAB 2overlineBC e portanto os três pontos são colineares Vamos aproveitar para mostrar que sendo os pontos A B e C colineares vale II Mostrar que distAC distAB distBC distAB overlineAB sqrt12 12 42 sqrt18 3sqrt2 distBC overlineBC sqrt22 22 82 sqrt72 6sqrt2 Como overlineAC 3312 Rightarrow distAC overlineAC sqrt32 122 sqrt162 9sqrt2 Logo distAB distBC 3sqrt2 6sqrt2 distAC 7 Encontrar o vértice oposto a B no paralelogramo ABCD sabendo que A 324 B 513 e C 012 Solução Vamos esboçar a figura de um paralelogramo O ponto D é o ponto oposto a B e D A overlineBC ou D C B A Como overlineBC overlineOC overlineOB 012 513 505 Da equação D A overlineBC podemos escrever que overlineOD overlineOA overlineBC 324 505 229 Como as coordenadas de O 000 e o vetor overlineOD 229 então as coordenadas do ponto D 229 é o vértice oposto ao vértice B 8 Sabendo que o ponto P 3mn pertence à reta que passa pelos pontos A 124 e B 131 determinar m e n Solução Como os pontos AB e P pertencem à mesma reta qualquer dupla de vetores formada com estes três pontos será paralela Consideremos que overlineAB overlineAP Como overlineAB 213 e overlineAP 4m2n4 a condição de paralelismo implica a proporcionalidade das coordenadas deste dois vetores uma vez que overlineAP koverlineAB Podemos então escrever que 2 1 fracm21 k 3 n4 k Portanto k frac12 e assim temos que 1 frac12 Rightarrow m 2 2 Rightarrow m 4 3 n 4 6 Rightarrow n 2 Dessa forma o ponto P 342 pertence à reta na direção de overlineAB ou seja os pontos PAB são colineares O triângulo a seguir possui vértices A21 B34 e C101 Encontre o comprimento da mediana relativa ao vértice B Solução Observe a construção a seguir Nesta figura D é ponto médio de overlineAC e o vetor vecu overlineBD é tal que o comprimento da mediana é vecu Então temos D leftfrac2 102 frac1 12right 61 Assim o vetor vecu possui coordenadas vecu overlineBD D B 61 34 33 Logo o comprimento da mediana relativa ao vértice B é vecu sqrt32 32 sqrt18 3sqrt2 10 Considere os pontos A 301 B 212 e C 013 do mathbbR3 Perguntase Os pontos A B C são vértices de um triângulo Solução Para verificar se os três pontos são vértices de um triângulo basta verificar que os três pontos não são colineares ou seja que não estão sobre uma mesma reta Vamos escolher dois vetores Por exemplo a AB 231021 111 v AC 031031 312 É fácil notar que estes dois vetores não são paralelos pois se o fossem um deles seria múltiplo do outro observe que para obter a primeira coordenada de v teria de multiplicar o vetor u pelo escalar α 3 mas daí não obteríamos as outras coordenadas de v Logo este dois vetores são LI e como não são colineares os três pontos formam um triângulo 11 Determine o ponto de interseção da reta mediatriz com o segmento AB sendo A 35 e B 12 Lembrese de que fixado um plano a mediatriz de um segmento é a reta perpendicular ao segmento que passa pelo ponto médio do segmento Podemos também dizer que a mediatriz é o lugar geométrico de todos os pontos do plano equidistantes das extremidades deste segmento Solução Pela definição de mediatriz vemos que a interseção desta com o segmento se dá no ponto médio do segmento Então basta calcular o ponto médio do segmento AB Como A 35 e B 12 vimos que as coordenadas do ponto médio são dadas pelas médias aritméticas das respectivas coordenadas dos pontos em questão Logo M 312 522 2 32 2 1 3 2 Agora vamos tratar de vetores do plano cuja direção é determinada pelo ângulo que o vetor forma com o semieixo positivo OX Nesse caso como ficam as coordenadas do vetor Norma Ângulo Observe o vetor u xy do R2 construído da seguinte forma Neste figura temos que cosθ x u x ucosθ y usenθ Sendo assim podemos reescrever o vetor u xy da seguinte forma u xy ucosθusenθ ucosθsinθ O vetor u ucosθsinθ assim escrito está no sistema norma ângulo Nesse sistema veja como podem ser representados os vetores no primeiro e no segundo quadrantes bem como ficam suas coordenadas em relação à norma e o ângulo segundo quadrante a0 b0 y ab b v senθ primêrio quadrante v ab a0 b0 b v senθ a v cosθ Note que a mesma coisa pode ser feita para os outros dois quadrantes terceiro e quarto É só observar que o ângulo é sempre considerado em relação ao semieixo positivo OX e usar as correspondências desse ângulo relativas ao primeiro quadrante para o cálculo das respectivas funções trigonométricas associadas a cada componente Exemplo O vetor v 2 22 2 possui inclinação de 135 em relação a OX pois a partir de sua representação no plano cartesiano o triângulo retângulo de catetos de medida 2 2 determina o ângulo β que é o suplementar de θ Verifique na figura a seguir Nota Esses conceitos agora vistos serão muito úteis em atividades envolvendo o conceito de um tipo especial de multiplicação entre vetores a multiplicação escalar não confundir com a multiplicação por escalar que será abordada na próxima Unidade 12 Considere o vetor v representado na figura Sabendo que v 4 e que θ 60 determine as coordenadas de v UNIDADE Cálculo Vetorial Logo sen y y y 60 4 3 2 4 2 3 e cos x x x 60 4 1 2 4 2 Então as coordenadas de v 2 2 3 Saiba Mais Lei dos cossenos R2 P2Q2 2PQcos B Lei dos sensos P PQ A A A P P PQ PQ Q Q Q C C B B a b Vejamos agora exercícios envolvendo decomposição de vetores cuja direção é dada por ângulos Aproveitamos para ver algumas aplicações em Física 13 Dois cabos sujeitos a trações conhecidas F kN 1 30 e F kN 2 12 estão presos ao ponto A Um terceiro cabo AC é usado para sustentação conforme indica a figura C B A 30KNF 12kNF 25 10 15 Fonte httpwwwtutorbrasilcombrforumfisicaiestaticat28470html Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical 28 Queremos encontrar a força TAC sabendo que a força resultante vecR da soma das três forças vecF1 vecF2 e vecTAC é vertical Temos que vecF1 F1 30kN e que vecF2 F2 12kN E os ângulos que estas trações formam com a horizontal estão indicados na figura Primeiro vamos calcular a distAC h Para tal vamos usar o Teorema de Pitágoras uma vez que o triângulo ABC é retângulo com catetos medindo 15 e 20 e o segmento AC a hipotenusa Assim h2 152 202 400 625 logo h distAC 25 Assim Como vecR vecRx hati vecRy hatj e vecR é um vetor na vertical temos que Rx sum Fx 0 Logo a resultante vecR vecRy Então decompondo os vetores temos vecF1 30cos25circ hati 30sen25circ hatj vecF2 12cos10circ hati 12sen10circ hatj TAC TACsen heta hati TACcos heta hatj adotado o sentido de TAC onde está representado na figura a seguir sen heta 1525 cos heta 2025 Rx sum Fx 30cos25circ 12cos10circ TACsen heta 0 TAC 30cos25circ 12cos10circ approx 153714 div 06 approx 25619 Ry sum Fy 30sen25circ 12sen10circ TACcos heta Ry approx 12678 20832 2561908 147612 204952 35256kN Então a tração barTAC TACsen heta hati TACcos heta hatj 25619left06hati 08hatjright TAC 153714j 204952j TAC approx 2562kN Logo a tração no cabo AC é de aproximadamente 2562 kN kN é o quiloNewton uma unidade de força O kN é 1000 vezes a unidade de força N 14 Três forças coplanares de mesma intensidade k são aplicadas num ponto material formando ângulo de 120 duas a duas conforme mostra a figura a seguir Qual é a intensidade da força resultante Solução Temos de decompor as três forças em suas componentes Por hipótese sabemos que as três forças têm a mesma Intensidade ou seja F1 F2 F3 k Analisando a figura vemos que a força vecF3 está na direção vertical no sentido de cima para baixo Portanto sua componente na direção horizontal é nula Logo vecF3 khatj Agora observe que tanto vecF1 quanto vecF2 formam ângulo de 60 com a reta vertical que contém o vetor vecF3 Portanto têm componentes iguais na direção vertical Fy Fy kcos60 05k Também ambas as forças formam ângulo de 30 com a horizontal só que com sentidos opostos portanto suas coordenadas na horizontal são iguais e opostas isto é F2x kcos30 e F1x kcos30 Logo anulamse Dessa forma a força resultante vecR é vecR vecRx vecRy 0hati 05k 05k khatj 0hati 0hatj 0 Logo a intensidade da força resultante é vecR 0 31 Material Complementar Além das Referências Bibliográficas trazemos alguns links que podem contribuir para a compreensão dos conceitos vistos na Unidade Leitura Sistemas de coordenadas httpwwwinfoescolacommatematicasistemasdecoordenadas Sobre Descartes httpwwwuniversoracionalistaorgdescartes Vídeos Jardim dos números Plano Cartesiano httpm3imeunicampbrrecursos1121 Tesouro cartesiano httpm3imeunicampbrrecursos1183 O Uso de vetores nos jogos httpwwwpontovcombrsitearquitetura54matematicaefi sica132ousodevetoresnosjogos Álgebra Vetorial Aula 1 httpswwwyoutubecomwatchvRuM11dfoFA Álgebra Vetorial Aula 2 httpswwwyoutubecomwatchvgtPbaNzKG8Y 31 wwwcruzeirodosulvirtualcombr Campus Liberdade Rua Galvão Bueno 868 CEP 01506000 São Paulo SP Brasil Tel 55 11 33853000 UNIDADE Cálculo Vetorial Referências CAMARGO Ivan de BOULOS Paulo Geometria analítica um tratamento vetorial 3 ed São Paulo Pearson Prentice Hall 2006 543p v1 FEITOSA Miguel Oliva Cálculo vetorial e geometria analítica exercícios propostos e resolvidos São Paulo Atlas 1996 IEZZI Gelson Fundamentos de matemática elementar geometria analítica 8ed São Paulo Atual 1997 374p v7 JULIANELLI José Roberto Cálculo vetorial e Geometria Analítica Rio de Janeiro Ciência Moderna 2008 LEITHOLD Louis O cálculo com Geometria Analítica São Paulo Harbra 1994 LIMA Elon Lages Coordenadas no plano geometria analítica vetores e transformações geométricas Rio de Janeiro Sociedade Brasileira de Matemática 2002 LIMA Paulo Figueiredo BELLEMAIN Paula Moreira Baltar Grandezas e Medidas In PITOMBEIRA João Bosco Org Coleção Explorando o Ensino v 17 Brasília Ministério da Educação Secretaria de Educação Básica 2010 SWOKOWSKI Earl W Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Makron Books 1995 VENTURI Jacir J Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 10ª ed Curitiba Biblioteca Central da UFPR 2015 Disponível em httpwwwgeometriaanalitica combr Acesso em 13 mar 2016 WINTERLE Paulo Vetores e Geometria Analítica São Paulo Makron Books 2000 232p v1 32 Cruzeiro do Sul Educacional