Apostila de Transferência de Calor e Massa

UNIVERSIDADE DE SANTA CRUZ DO SUL DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ARQUITETURA E CIÊNCIAS AGRÁRIAS CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA TRANSFERÊNCIA DE CALOR E MASSA Atualizado por Prof Anderson Fávero Porte Santa Cruz do Sul agosto 2007 Apostila de Transferência de Calor e Massa 2 1 GENERALIDADES 11 INTRODUÇÃO Sempre que um corpo está a uma temperatura maior que a de outro ou inclusive no mesmo corpo existam temperaturas diferentes ocorre uma cessão de energia da região de temperatura mais elevada para a mais baixa e a esse fenômeno dáse o nome de transmissão de calor O objetivo de presente curso é estudar as leis e os princípios que regem a transmissão de calor bem como suas aplicações visto que é de fundamental importância para diferentes ramos de Engenharia o domínio dessa área de conhecimento Assim como o Engenheiro Mecânico enfrente problemas de refrigeração de motores de ventilação ar condicionado etc o Engenheiro Metalúrgico não pode dispensar a transmissão de calor nos problemas relacionados a processos pirometalúrgicos ou hidrometalúrgicos ou nos projetos de fornos ou de regeneradores Em nível idêntico o Engenheiro Químico ou Nuclear necessita da mesma ciência em estudos sobre evaporação condensação ou em trabalhos de refinaria e reatores enquanto o Eletricista a utiliza no cálculo de transformadores e geradores e o Engenheiro Naval aplica em profundidade a transmissão de calor em caldeiras máquinas térmicas etc Até mesmo o Engenheiro Civil e o arquiteto especialmente em países frios sentem a importância de em seus projetos preverem tubulações interiores nas alvenarias das edificações objetivando o escoamento de fluidos quentes capazes de permitirem conforto maior mediante aquecimento ambiental Esses são apenas alguns exemplos entre as mais diversas aplicações que a Transmissão de Calor propicia no desempenho profissional da Engenharia Conforme se verá no desenvolvimento da matéria é indispensável aplicar recursos de Matemática e de Mecânica dos Fluidos em muitas ocasiões bem como se perceberá a ligação e a diferença entre Transmissão de calor e Termodinâmica A Termodinâmica relaciona o calor com outras formas de energia e trabalha com sistemas em equilíbrio enquanto a Transmissão de calor preocupase com o mecanismo a duração e as condições necessárias para que o citado sistema atinja o equilíbrio É evidente que os processos de Transmissão de Calor respeitem a primeira e a segunda Lei da Termodinâmica mas nem por isto podese esperar que os conceitos básicos da Transmissão de calor possam simplesmente originarse das leis fundamentais da Termodinâmica Evidente também é sem dúvida que o calor se transmite sempre no sentido da maior para a menor temperatura e só haverá transmissão de calor se houver diferença de temperatura da mesma forma que a corrente elétrica transita do maior para o menor potencial e só haverá passagem de corrente elétrica se houver uma diferença de potencial percebese de início sensível analogia entre os fenômenos térmico e elétrico o que é absolutamente correto pois que de fato o fenômeno é de transporte e pode ser inclusive estudado de forma global como calor eletricidade massa quantidade de movimento etc resultando daí a absoluta identidade entre as diferentes leis que comandam deferentes setores do conhecimento humano Apostila de Transferência de Calor e Massa 3 12 REGIMES DE TRANSMISSÃO DE CALOR Seja uma parede em forma de paralelepípedo com todas as faces suficientemente isoladas exceto duas opostas e paralelas de início estas faces estão à mesma temperatura Ti logo não há transmissão de calor através da parede Em determinado instante elevase subitamente uma das faces à temperatura Tf e haverá transporte de calor na direção x Fig 14 Fig 14 Imaginandose que Ti e Tf sejam temperaturas mantidas inalteradas haverá para cada instante t que se considere uma curva representativa de T fx isto é um mesmo ponto de uma mesma seção reta terá temperaturas diferentes no decorrer do tempo daí as curvas para os tempos t1 t2 t3 etc Desde que se conservem Ti e Tf ocorrerá um determinado momento a partir do qual os pontos de uma mesma seção reta não mais variarão sua temperatura com o tempo Com esse exemplo é possível caracterizar os dois regimes em que podem suceder as formas de transmissão de calor Durante o período em que um mesmo ponto da parede alterou sua temperatura com o tempo dizse que a parede estava em regime transitório e quando a temperatura do mesmo ponto conservouse constante dizse que na parede reinava regime estacionário ou permanente são esses os dois regimes de transmissão de calor O regime transitório pode ser particularmente um caso de periodicidade no qual as temperaturas de um mesmo ponto variem ciclicamente segundo uma determinada lei como por exemplo uma variação senoidal ou a variação da temperatura na cobertura de um edifício exposta dia e noite às condições atmosféricas A esse regime costumase denominar regime periódico É possível e inclusive muito útil definir regime estacionário e regime transitório em termos de fluxo de calor Assim regime estacionário é aquele em que o fluxo de calor é constante no interior da parede pois os pontos interiores já apresentam saturação térmica e Apostila de Transferência de Calor e Massa 4 não alterarão mais suas temperaturas logo o fluxo de calor que entra é igual ao fluxo de calor que sai e regime transitório é aquele em que o fluxo de calor é variável nas diferentes seções da parede ou em outras palavras o fluxo que entra é diferente do fluxo de calor que sai 13 FORMAS DE TRANSMISSÃO DE CALOR Existem três formas de transmissão de calor condução convecção e radiação Tais formas são fundamentalmente diferentes regidas por leis próprias mas que na realidade podem ocorrer em simultaneidade o que torna por vezes muito complexa a solução absolutamente exata de um problema de transmissão de calor O bom senso do engenheiro sua experiência e o adequado conhecimento da matéria ensejarlheão a oportunidade de desprezar uma ou até duas formas de transmissão de calor no projeto ou num problema de Engenharia desde que as formas não consideradas tenham presença insignificante não ocasionando falhas nos resultados finais e oferecendo autenticamente uma solução de Engenharia não deixando um problema sem solução dada a preocupação com a exatidão que conforme se poderá perceber no desenvolvimento de assunto é em várias ocasiões absolutamente dispensável Em capítulos seguintes será estudada em detalhe cada uma das formas de transmissão de calor mas cabe aqui definir corretamente as diferenças entre as três citadas para que o acompanhamento do assunto possa ser feito com maior segurança e categoria 131 Transferência de Calor por Condução Quando existe um gradiente de temperatura num corpo a experiência mostra que ocorre uma transferência de energia de alta temperatura para a região de baixa temperatura Dizse que a energia é transferida por condução e a taxa de transferência de calor por unidade de área é proporcional ao gradiente normal de temperatura A q x T Quando a constante de proporcionalidade é inserida x kA T q 11 onde q é a taxa de transferência de calor e Tx é o gradiente de temperatura na direção do fluxo de calor A constante positiva k é chamada condutividade térmica do material sendo o sinal de menos inserido para satisfazer o segundo princípio da termodinâmica ou seja o calor deve fluir no sentido da temperatura decrescente como indicado no sistema de coordenadas da Fig 11 Apostila de Transferência de Calor e Massa 5 Fig 11 Esquema mostrando a direção do fluxo de calor A equação 11 é chamada de lei de Fourier da condução de calor em homenagem ao físico matemático francês Joseph Fourier que trouxe contribuições significativas ao tratamento analítico da transferência de calor por condução É importante observar que a Eq 11 é a equação de definição de condutividade térmica e que k tem unidade de watt por metro por grau Celsius WmoC no Sistema Internacional de Unidades SI O problema a ser tratado agora é o da determinação da equação básica que governa a transferência de calor através de um sólido utilizando a Eq 11 como ponto de partida Considere o sistema unidimensional mostrado na Fig 12 Se o sistema está em regime permanente isto é se a temperatura não varia com o tempo então o problema é simples devendose somente integrar a Eq 11 e substituir os valores apropriados para a solução nas quantidades desejadas Entretanto se a temperatura do sólido varia com o tempo ou se existem fontes ou sumidouros de calor no interior do sólido a situação é mais complicada Consideremos o caso geral onde a temperatura pode variar com o tempo e fontes de calor podem ocorrer no interior do corpo Para o elemento de espessura dx o seguinte balanço de energia pode ser feito Fig 12 Volume elementar para a análise da condução de calor unidimensional Energia conduzida para dentro pela face esquerda calor gerado no interior do elemento variação de energia interna energia conduzida para fora pela face direita Estas quantidades de energia são dadas pelas seguintes expressões Energia conduzida para dentro pela face esquerda Apostila de Transferência de Calor e Massa 6 x kA T q x Calor gerado no interior do elemento qx q Adx Variação da energia interna cA T dx E τ ρ Energia conduzida para fora pela face direita x dx x k T x A k T x kA T q x dx x dx onde q energia gerada por unidade de volume c calor específico do material ρ densidade A combinação das relações acima fornece τ ρ x dx x k T x A k T cA T dx qAdx x kA T ou τ ρ c T q x x k T 12 Esta é equação da condução de calor unidimensional Para tratar do fluxo de calor em mais de uma dimensão devese considerar o calor conduzido para dentro e para fora do volume elementar em todas as três direções coordenadas como mostrado na Fig 13 O balanço de energia conduz a Fig13 τ d dE q q q q q q q z dz y dy x dx ger z y x sendo as quantidades de energia dadas por x kdydz T q x Apostila de Transferência de Calor e Massa 7 x dx dydz x k T x k T q x dx y kdxdz T q y y dy dxdz y k T y k T q y dy z kdxdy T qz z dz dxdy z k T z k T q z dz qdxdydz qger τ τ ρ cdxdydz T d dE Assim a equação geral tridimensional da condução fica ρ τ c T q z z k T y y k T x x k T 13 Para condutividade constante a Eq 13 pode ser escrita α τ T k q z T y T x T 1 2 2 2 2 2 2 14 onde a quantidade α kρc é chamada de difusividade térmica do material Quanto maior o valor de α mais rapidamente o calor irá se difundir através do material Isto pode ser visto observandose as quantidades que compõem α Um valor elevado de α pode resultar tanto de um valor elevado da condutividade térmica quanto de um valor baixo da capacidade térmica ρc Um valor baixo da capacidade térmica significa que menor quantidade de energia em trânsito através do material é absorvida e utilizada para elevar a temperatura do material assim mais energia encontrase disponível para ser transferida Nas deduções acima a expressão da derivada x dx foi escrita na forma de uma expansão de Taylor onde somente os dois primeiros termos da série foram considerados no desenvolvimento Muitos problemas práticos envolvem somente casos especiais das equações gerais apresentadas acima Como uma orientação pata desenvolvimento em capítulos futuros é conveniente mostrar a forma reduzida da equação geral para alguns casos de interesse prático Fluxo de calor unidimensional em regime permanente sem geração de calor 0 2 2 dx d T 15 Apostila de Transferência de Calor e Massa 8 Fluxo de calor unidimensional em regime permanente com fontes de calor 0 2 2 k q x T 16 Condução bidimensional em regime permanente sem fontes de calor 0 2 2 2 2 y T x T 17 1311 Condutividade Térmica A Eq 11 é a equação de definição para a condutividade térmica Com base nesta definição podem ser feitas medidas experimentais para a determinação da condutividade térmica de diferentes materiais Tratamentos analíticos da teoria cinética podem ser usados para gases em temperaturas moderadamente baixas para antecipar com precisão os valores observados experimentalmente Em alguns casos existem teorias para o cálculo da condutividade térmica em líquidos e sólidos mas em geral nestas situações os conceitos não são muito claros permanecendo várias questões em aberto O mecanismo da condução térmica num gás é simples A energia cinética de uma molécula é identificada com sua temperatura assim numa região de alta temperatura as moléculas têm velocidades maiores do que numa região de baixa temperatura As moléculas estão em movimento contínuo ao acaso colidindo umas com as outras e trocando energia e quantidade de movimentoEsta movimentação ao acaso das moléculas independe da existência de um gradiente de temperatura no gás Se uma molécula se movimenta de uma região de alta temperatura para uma de baixa temperatura ela transporta energia cinética para esta região de baixa temperatura do sistema perdendo esta energia através de colisões com moléculas de energia mais baixa Foi dito que a unidade da condutividade térmica é watts por metro por grau Celsius WmoC no SI Note que existe uma taxa de calor envolvida e o valor numérico da condutividade térmica indica a rapidez com que o calor será transferido num dado material Qual é a taxa de transferência de energia levandose em consideração o modelo molecular discutido acima Quanto mais veloz o movimento das moléculas mais rapidamente a energia será transportada Portanto a condutividade térmica de um gás deve ser dependente da temperatura Um tratamento analítico simplificado mostra que a condutividade térmica de um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta Convém lembrar que a velocidade do som em um gás varia com a raiz quadrada da temperatura absoluta kRT v esta velocidade é aproximadamente a velociade média das moléculas O mecanismo físico da condução de energia térmica em líquidos é qualitativamente o mesmo dos gases entretanto a situação é consideravelmente mais complexa uma vez que o espaçamento das moléculas é menor e os campos de força molecular exercem uma forte influência na troca de energia no processo de colisão A energia térmica pode ser conduzida em sólidos de duas maneiras vibração da grade e transporte por elétrons livres Em bons condutores elétricos um grande número de elétrons movese sobre a estrutura do material Como estes elétrons podem transportar carga elétrica podem também conduzir energia de uma região de alta temperatura para uma Apostila de Transferência de Calor e Massa 9 região de baixa temperatura como nos gases A energia também pode ser transmitida como energia de vibração na estrutura do material Entretanto este último modo de transferência de energia não é tão efetivo quanto o transporte por elétrons sendo esta a razão pela qual bons condutores elétricos são quase sempre bons condutores de calor como por exemplo o cobre o alumínio e a prata e isolantes elétricos geralmente são bons isolantes térmicos Um problema técnico importante é o armazenamento e o transporte por longos períodos de líquidos criogênicos como o hidrogênio líquido Tais aplicações causaram o desenvolvimento de superisolantes para serem usados em temperaturas mais baixas até aproximadamente 250oC O superisolamento mais efetivo é constituído de múltiplas camadas de materiais altamente refletivos separados por espaçadores isolantes O sistema é evacuado para minimizar as perdas pela condução no ar sendo possível atingir condutividades térmicas tão baixas quanto 03 mWmoC 132 Transferência de Calor por Convecção É sabido que uma placa de metal aquecida irá se resfriar mais rapidamente quando colocada em frente ao ventilador do que exposta ao ar parado Este processo é chamado de transferência de calor por convecção O termo convecção fornece ao leitor uma noção intuitiva em relação ao processo de transferência de calor entretanto esta noção intuitiva deve ser ampliada para que se possa conseguir um tratamento analítico adequado do problema Por exemplo sabemos que a velocidade do ar sobre a placa aquecida influencia a taxa de transferência de calor Mas esta influência sobre o resfriamento será linear ou seja dobrandose a velocidade do ar estaremos dobrando a taxa de calor transferido Devemos supor que a taxa de transferência de calor será diferente se a placa for resfriada com água em vez de ar Porém de quanto será essa diferença Estas questões podem ser respondidas com o auxílio de algumas análises básicas a serem apresentadas nos próximos capítulos Agora o mecanismo físico da transferência de calor por convecção será esquematizado e mostrada a sua relação com o processo de condução Considere a placa aquecida mostrada na fig 15 A temperatura da placa é Tp e a temperatura do fluido é T Nesta está representado o comportamento da velocidade do escoamento que se reduz a zero na superfície da placa como resultado da ação viscosa Como a velocidade da camada de fluido junto à parede é zero o calor deve ser transferido somente por condução neste ponto Assim devemos calcular o calor transferido usando a Eq 11 com a condutividade térmica do fluido e o gradiente de temperatura junto à parede Por que então se o calor é transferido por condução nesta camada falamos em transferência de calor por convecção e precisamos considerar a velocidade do fluido A resposta é que o gradiente de temperatura depende da razão na qual o calor é removido uma velocidade alta produz um gradiente elevado de temperatura e assim por diante Portanto o gradiente de temperatura junto à parede depende do campo de velocidade conseqüentemente em análises posteriores desenvolveremos uma expressão que relaciona essas duas quantidades Deve ser lembrado entretanto que o mecanismo de transferência de calor na parede é um processo de condução O efeito global da convecção é expresso através da lei de Newton do resfriamento q hATp T 18 Apostila de Transferência de Calor e Massa 10 Fig 15 transferência de calor por convecção Aqui a taxa de transferência de calor é relacionada à diferença de temperatura entre a parede e o fluido e à área superficial A A quantidade h é chamada de coeficiente de transferência de calor por convecção e a Eq 18 é a equação de definição deste parâmetro Para alguns sistemas é possível o cálculo analítico de h Para situações complexas e determinação é experimental o coeficiente de transferência é algumas vezes chamado de condutância de película devido à sua relação com o processo da condução na fina camada de fluido estacionário junto à superfície da parede Pela Eq 18 a unidade de h é watt por metro quadrado por grau Celsius Wm2oC no SI Em vista desta discussão podese antecipar que a transferência de calor por convecção irá exibir uma dependência da viscosidade do fluido além da sua dependência das propriedades térmicas do fluido condutividade térmica calor específico densidade Isto é esperado porque a viscosidade influência o perfil de velocidade e portanto a taxa de transferência de energia na região junto à parede Se uma placa aquecida estiver exposta ao ar ambiente sem uma fonte externa de movimentação de fluido o movimento do ar será devido aos gradientes de densidade nas proximidades da placa Esta convecção é chamada natural ou livre em oposição à convecção forçada que ocorre no caso de se ter um ventilador movimentando o ar sobre a placa Os fenômenos de ebulição e condensação são também agrupados dentro desse assunto de transferência de calor por convecção 133 Transferência de Calor por Radiação Em contraste com os mecanismos de condução e convecção onde a energia é transferida através de um meio natural o calor pode também ser transferido em regiões onde existe o vácuo perfeito O mecanismo neste caso é a radiação eletromagnética que é propagada como resultado de uma diferença de temperatura tratase da radiação térmica Considerações termodinâmicas mostram que um radiador ideal ou corpo negro emite energia numa taxa proporcional à quarta potência da temperatura absoluta do corpo Quando dois corpos trocam calor por radiação a troca líquida de calor é proporcional à diferença T4 Assim q σAT1 4 T2 4 19 Onde σ é a constante de proporcionalidade chamada de constante de StefanBoltzmann que vale σ 5669 x 108 Wm2K4 A Eq 19 é chamada de lei de StefanBoltzmann da Apostila de Transferência de Calor e Massa 11 radiação térmica e vale somente para corpos negros É importante observar que esta equação é válida somente para radiação térmica outros tipos de radiação eletromagnética podem não ser tratados com esta simplicidade Foi mencionado que um corpo negro é um corpo que emite energia de acordo com a lei T4 Tal corpo é denominado negro porque superfícies negras como um pedaço de metal coberto por negro de fumo se aproxima desse tipo de comportamento Outros tipos de superfícies como uma superfície pintada ou uma placa metálica polida não emitem tanta energia quanto o corpo negro entretanto a radiação total emita por estes corpos ainda é proporcional a T4 Para levar em consideração a natureza cinzenta destas superfícies é introduzido um outro fator na Eq 19 a emissividade ε que relaciona a radiação de uma superfície cinzenta com a de uma superfície negra ideal Além disso devemos levar em conta que nem toda a radiação que deixa uma superfície atinge a outra superfície uma vez que a radiação eletromagnética se propaga segundo linhas retas havendo perdas para o ambiente Portanto para considerar estas duas situações são introduzidos dois novos fatores na Eq 19 Q Fεεεε FG σσσσAT1 4 T2 4 110 onde Fε é a função emissividade e FG é a função fator de forma geométrico A determinação da forma destas funções para configurações específicas é objeto de um capítulo subseqüente Entretanto é importante alertar para o fato destas funções em geral não serem independentes uma da outra como indicado na Eq 110 O fenômeno da transferência de calor por radiação pode ser muito complexo e os cálculos raramente são simples como indicado pela Eq 110 No momento interessanos somente enfatizar as diferenças entre o mecanismo físico da transferência de calor pela radiação e os sistemas condução e convecção Apostila de Transferência de Calor e Massa 12 2 CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM REGIME PERMANENTE 21 INTRODUÇÃO Agora serão examinadas as aplicações da lei de Fourier da condução de calor para o cálculo da transferência de calor em sistemas unidimensionais Muitos formatos físicos diferentes podem ser incluídos na categoria de sistemas unidimensionais Sistemas cilíndricos e esféricos são unidimensionais quando a temperatura no corpo é função somente da distância radial e independe do ângulo azimutal ou da distância axial Em alguns problemas bidimensionais os efeitos da segunda coordenada espacial podem ser tão pequenos a ponto de serem desprezados e o problema de fluxo de calor multidimensional pode ser aproximado por uma análise unidimensional Nestes casos as equações diferenciais são simplificadas e as soluções são obtidas mais facilmente como resultados destas simplificações 22 A PAREDE PLANA Inicialmente considere a parede plana onde pode ser feita uma aplicação direta da lei de Fourier Eq 11 Da integração resulta 1 2 T T x kA q 21 para condutividade constante A espessura da parede é x e as temperaturas das faces da parede são T1 e T2 Se a condutividade térmica varia com a temperatura de acordo com alguma relação linear k ko1 βT a equação resultante para o fluxo de calor é 2 1 2 2 1 2 2 T T T T x k A q o β 22 Se mais de um material estiver presente como é o caso da parede composta mostrada na Fig 21 o fluxo de calor poderá ser escrito c 3 4 c B 2 3 B A 1 2 A x T k A T x T k A T x T k A T q Observe que o fluxo de calor deve ser o mesmo através de todas as seções Resolvendo estas equações simultaneamente o fluxo de calor é dado por x k A x k A k A x T T q c C B B A A 4 1 23 Apostila de Transferência de Calor e Massa 13 Aqui é conveniente introduzir um ponto de vista conceitual diferente para a lei de Fourier A taxa de transferência de calor pode ser considerada como um fluxo a combinação da condutividade térmica espessura do material e a área como uma resistência a este fluxo A temperatura e a função potencial ou motora para este fluxo de calor e a equação de Fourier pode ser escrita a elétrica Resistênci Diferença de potencial Fluxo de calor 24 que é uma relação semelhante à lei de Ohm na teoria de circuitos elétricos Fig 21 Transferência de calor unidimensional através de uma parede composta e analogia elétrica Fig 22 Transferência de calor em série e em paralelo através de uma parede composta e a analogia elétrica Na Eq 21 a resistência a resistência térmica é xkA e na Eq 23 á soma dos três termos do denominador Esta situação é esperada na Eq 23 porque as três paredes lado a lado agem como três resistências térmicas em série Apostila de Transferência de Calor e Massa 14 A analogia elétrica pode ser empregada para resolver problemas mais complexos envolvendo resistências térmicas em série e em paralelo Um problema típico e o seu circuito análogo estão mostrados na Fig 22 A equação do fluxo de calor unidimensional para este tipo de problema pode ser escrita t total R T q 25 onde Rt são as resistências térmicas dos vários materiais É interessante mencionar que em alguns sistemas como o da Fig 22 pode resultar um fluxo de calor bidimensional se as condutividades térmicas dos materiais B C e D forem muito diferentes Nesses casos outras técnicas devem ser empregadas para a obtenção de uma solução 24 SISTEMAS RADIAIS CILINDROS Considere um cilindro longo de raio interno ri raio externo re e comprimento L tal como mostrado na Fig 23 Este cilindro é submetido a um diferencial de temperaturaTi Te e desejase saber qual será o fluxo de calor Podese considerar que o fluxo é transmitido na direção radial e assim a única coordenada espacial que deve ser especificada é r Fig 23 Fluxo de calor unidimensional através de uma parede cilíndrica e a analogia elétrica Fig 24 Fluxo de calor unidimensional através de seções cilíndricas múltiplas e a analogia elétrica Mais uma vez é usada a lei de Fourier inserindose a relação de áreas apropriadas A área para o fluxo de calor em sistemas cilíndricos é Ar 2πrL E portanto a lei de Fourier fica Apostila de Transferência de Calor e Massa 15 dr kA dT q r r ou dr 2 krL dT q r π 27 com as condições de contorno T Ti em r ri T Te em r re A solução da Eq 27 é i e e i r r T kL T q ln 2 π 28 e a resistência térmica pode ser usado para paredes cilíndricas compostas da mesma maneira que para paredes planas Para o sistema de três camadas mostrado na Fig 24 a solução é C B A k r r k r r k r r T L T q 3 4 2 3 1 2 4 1 ln ln ln 2 π 29 O circuito térmico é mostrado na Fig 24b Sistemas esféricos também podem ser tratados como udimensionais quando a temperatura é somente função do raio O fluxo de calor é então e i e i 1 r 1 r T 4 kT q π 210 25 O COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Considere a parede plana mostrada na Fig 25 exposta a um fluido quente A em um dos lados O calor transferido é dado por B 2 2 2 1 1 A 1 T h A T T T x kA T h A T q Apostila de Transferência de Calor e Massa 16 Fig 25 Fluxo de calor através de uma parede plana O processo de transferência de calor pode ser representado pelo circuito da resistência da Fig 25 e o calor total transferido é calculado como razão entre a diferença total de temperatura e a soma das resistências térmicas h A x kA h A T T q B A 2 1 1 1 211 Observe que o valor 1ha é usado para representar a resistência de convecção O calor total transferido pelos mecanismos combinados de condução e convecção é freqüentemente expresso em termos de um coeficiente global de transferência de calor U definido pela relação UA Ttotal q 212 onde A é uma área adequada para a transferência de calor De acorda com a Eq 211 o coeficiente global de transferência de calor é 2 1 1 1 1 h x k h U A analogia elétrica para um cilindro oco que troca calor por convecção interna e externamente está representada na Fig 26 onde TA e TB são as temperaturas dos fluidos Fig 26 Analogia elétrica para um cilindro oco com troca de calor por convecção nas superfícies interna e externa Observe que a área para convecção não é a mesma para os dois fluidos neste caso Estas áreas dependem do diâmetro interno do tubo e da espessura da parede Neste caso o fluxo total de calor é dado por Apostila de Transferência de Calor e Massa 17 e e i e i i B A h A kL r r A h T T q 1 2 ln 1 π 213 de acorda com o circuito térmico da Fig 26 Os termos Ai e Ae reapresentam as áreas das superfícies interna e externa do tubo O coeficiente global de transferência de calor pode ser baseado tanto na área interna como na externa e e i i e i i i A h A kL r r A h U 1 2 ln 1 1 π 214 e i e e i i e e h kL r r A A h A U 1 2 ln 1 1 π 215 26 ESPESSURA CRÍTICA DE ISOLAMENTO Considere uma camada de isolamento que pode ser instalada ao redor de um tubo circular como mostrado na Fig 27 A temperatura interna do isolamento é fixada em Ti e a superfície externa troca calor com o ambiente a T Do circuito térmico o calor transferido vale Fig 27 Espessura crítica de isolamento r h k r r T L T q e i e i 1 ln 2 π 216 Vamos agora manipular esta expressão para determinar o raio externo de isolamento re que irá maximizar a transferência de calor A condição de máximo é 2 2 1 ln 1 1 2 0 r h k r r hr kr T T L dr dq e i e e e i π Apostila de Transferéncia de Calor e Massa 18 que fornece como resultado k r 217 h A equaao 217 expressa 0 conceito de raio critico de isolamento Se o raio externo for menor que o valor dado por esta equacao entao a transferéncia de calor sera aumentada com a colocagao de mais isolante Para raios externos maiores que o valor critico um aumento de espessura de isolamento causara um decréscimo da transferéncia de calor O conceito central é que para valores de h suficientemente pequenos as perdas de calor por convecgao podem aumentar com o aumento da espessura do isolamento porque isto aumenta a superficie externa do isolamento 27 SISTEMAS COM GERACAO DE CALOR Algumas aplicagdes interessantes dos principios da transferéncia de calor estao relacionadas com sistemas onde o calor pode ser gerado internamente Os reatores nucleares séo um exemplo assim como condutores elétricos e sistemas quimicamente reagentes Nossa discussao aqui ficara limitada aos sistemas unidimensionais ou mais especificamente sistemas onde a temperatura é funcdo unica de uma varidvel espacial 271 Parede plana com geracao de calor Considere a parede plana com fontes de calor uniformemente distribuidas como mostrado na Fig 28 A espessura da parede na direcao x é 2L e é admitido que as dimens6es nas outras diregdes sAo suficientemente grandes para que o fluxo de calor seja considerado unidimensional O calor gerado por unidade de volume g e a condutividade térmica é considerada constante nao variando coma temperatura Esta situagao pode ser produzida na pratica passandose uma corrente elétrica através de um condutor Do Capitulo 1 a equacao diferencial para esta situagao é dT q f449 218 dx ok Para as condioes de contorno especificamos as temperaturas dos dois lados da placa isto 6 TT em x 9L 219 A solugao geral da Eq218 é T L x Cx4C 220 2k Como a temperatura deve ser a mesma nos dois lados da parede C deve ser zero A temperatura do plano médio é denotado por T da Eq 220 To C Apostila de Transferência de Calor e Massa 19 Portanto a distribuição de temperatura é 2 2 k x q T T o 221a 2 L x T T T T o p o 221b que é uma distribuição parabólica Uma expressão para a temperatura do plano médio To pode ser obtida através de um balanço de energia Em regime permanente o calor total gerado deve ser igual ao calor perdido pelas duas faces Assim qA L dx dT kA x L 2 2 onde A é a área de seção transversal da placa O gradiente de temperatura na parede é obtido diferenciandose a Eq 221b L T T L x T T dx dT o p x L o p L x 2 2 2 Então qL L T k T o p 2 e p o T k qL T 2 2 222 Fig 28 Esquema ilustrativo do problema da condução unidimensional com geração de calor 272 CILINDRO COM GERAÇÃO DE CALOR Considere um cilindro de raio R com fontes de calor uniformemente distribuídas e condutividade térmica constante Se o cilindro for suficientemente longo para que a Apostila de Transferência de Calor e Massa 20 temperatura possa ser considerada somente uma função do raio a equação diferencial apropriada pode ser obtida da equação 0 1 2 2 k q dr dT r dr d T 223 As condições de contorno são T Tp em r R e o calor gerado pode ser igual ao calor perdido na superfície dr r R RL dT k R L q π π 2 2 Como a função temperatura pode ser contínua no centro do cilindro podese especificar que dr 0 dT em r 0 Entretanto não será necessário usar esta condição pois isto será verificado automaticamente quando as duas condições de contorno forem satisfeitas A Eq 223 pode ser escrita k r q dr dT dr r d T 2 2 sendo que dr dr r dT d dr dT dr d T r 2 2 Portanto a integração fornece 1 2 2 C k r q dr r dT e 2 1 2 ln 4 C r C k qr T Da segunda condição de contorno acima R C k qR k qR dr dT R r 1 2 2 e portanto C1 0 A solução final para a distribuição de temperatura é 2 2 4 r k R q T T p 224 ou na forma adimensional 2 1 R r T T T T p o p onde To é a temperatura em r 0 dada por p o T k qR T 4 2 Apostila de Transferência de Calor e Massa 21 3 CONDUÇÃO TRANSIENTE E USO DE CARTAS DE TEMPERATURA Se a temperatura da face de um corpo sólido for alterada repentinamente a temperatura no interior do sólido principia a variar com o tempo Passase algum tempo antes que seja atingida a distribuição de temperatura estacionária A determinação da distribuição de temperatura é assunto complicado pois a temperatura varia tanto com a posição como com o tempo Em muitas aplicações práticas a variação da temperatura com a posição é desprezível durante o estado transiente e por isso considerase a temperatura função exclusiva do tempo A análise da transferência de calor com esta hipótese é a análise global do sistema por ser a temperatura função exclusiva do tempo a análise é muito simples Por isso neste capítulo principiamos com a análise global de condução transiente de calor O emprego de cartas de temperatura é ilustrado para resolver a condução de calor transiente simples numa placa num cilindro ou numa esfera nas quais a temperatura varia com o tempo e com a posição 31 ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA Considere um sólido de forma arbitrária volume V área superficial total A condutividade térmica k densidade ρ calor específico cp a uma temperatura uniforme To que é repentinamente imerso no instante t 0 em um fluido agitado e mantido a uma temperatura uniforme T A fig 31 ilustra o sistema da transferência de calor considerado A transferência de calor entre o sólido e o líquido se realiza por convecção com um coeficiente de transferência de calor h Admitese que a distribuição de temperatura dentro do sólido em qualquer instante seja suficientemente uniforme de tal modo que a temperatura de sólido pode ser considerada função exclusiva do tempo isto é Tt A equação de energia na transferência de calor no sólido pode ser escrita como Fig31 Nomenclatura da análise global do sistema durante o fluxo transiente de calor Taxa de fluxo de calor afluente ao sólido de volume V Taxa de aumento da energia interna do sólido de volume V Apostila de Transferência de Calor e Massa 22 Escrevendose as expressões matemáticas apropriadas a cada um destes termos obtémse dt c V dT t T t Ah T p ρ 31 ou 0 T c V T t Ah dT t dT ρ p em t 0 32 sujeito à condição inicial Tt To em t 0 Para conveniência da análise definese uma nova temperatura θt θt Tt T Então a equação 32 tornase 0 t m dt t d θ θ em t 0 33 e θt To T θo em t 0 onde definimos c V Ah m ρ p 34 A Eq 33 é uma equação diferencial ordinária na temperatura θt cuja solução geral é dada por θt C emt 35 A aplicação da condição inicial dá a constante de integração C θo Então a temperatura do sólido em função do tempo é mt o o e T T T T t t θ θ 36 A fig 32 mostra um gráfico da temperatura adimensional da Eq 36 em função do tempo A temperatura decai exponencialmente com o tempo e a forma da curva é determinada pelo valor do expoente m Aqui m tem a dimensão de tempo1 É claro que as curvas na fig 32 se tornam cada vez mais inclinadas à medida que o valor de m cresce Isto é qualquer acréscimo de m fará com que o sólido responda mais rapidamente a uma variação de temperatura ambiente O exame dos parâmetros na definição de m revela que o aumento da área superficial para um dado volume e o coeficiente de transferência de calor provocam o aumento de m Aumentandose a densidade o calor específico ou o volume haverá diminuição de m Apostila de Transferência de Calor e Massa 23 Fig 32 A temperatura adimensional θθθθtθθθθo em função do tempo Para estabelecer alguns critérios com que a distribuição de temperatura possa ser considerada uniforme no interior do sólido e com que a análise global do sistema seja aplicável vamos definir um comprimento característico Ls como A Ls V 37 e o número de Biot Bi como k hL Bi s 38 onde k é a condutividade térmica do sólido Em sólidos que tenham a forma de placa ou cilindro longo ou esfera a distribuição de temperatura dentro do sólido no estado transiente em qualquer instante é uniforme com um erro menor do que cerca de 5 se 10 s s k hL Bi 39 Discutiremos mais adiante este assunto que se tornará então mais claro Aqui admitiremos que a análise global do sistema é aplicável nas situações em que Bi 01 O significado físico do número de Biot visualizase melhor se for escrito na forma ks Ls h Bi que é a razão entre o coeficiente de transferência de convectiva calor na superfície do sólido e a condutância específica do sólido Portanto a hipótese de temperatura uniforme no interior do sólido é válida se a condutância específica do sólido for muito maior do que o coeficiente de transferência convectiva de calor 32 CONDIÇÃO DE CONTORNO MISTA Na discussão precedente consideramos uma situação em que todas as fronteiras da região estavam sujeitas a convecção Este método também se aplica quando parte da fronteira está sujeita a convecção e o restante está sujeito a um certo fluxo de calor como vamos ilustrar agora Considere uma placa de espessura L inicialmente a uma temperatura uniforme To Em qualquer instante t 0 fornecese calor à placa através de uma de suas superfícies com uma constante de q Wm2 enquanto se dissipa calor por convecção pela outra superfície Apostila de Transferência de Calor e Massa 24 para um ambiente com temperatura uniforme T com um coeficiente de transferência de calor h A fig 33 mostra a geometria e as condições de contorno do problema Fig 33 Nomenclatura para análise global do fluxo transiente de calor em uma placa Vamos admitir áreas iguais A na transferência de calor em ambas as faces da placa O balanço de energia neste caso particular dá dt c AL dT t T t Ah T Aq p ρ dt c L dT t T t h T q p ρ em t 0 310a com a condição inicial Tt To em t 0 310b Para conveniência na análise definimos uma nova temperatura θt θt Tt T Dessa forma as Eqs 310 são escritas Q t m dt t d θ θ em t 0 311a θt To T θo em t 0 311b onde definimos c L h m ρ p e c L q Q ρ p A solução da Eq 311a é a soma da solução da parte homogênea da 311a com a solução particular na forma θt Cemt θp 312 onde C é a constante de integração A solução particular θp é dada por m θp Q 313 Combinando as Eqs 312 e 313 obtemos Apostila de Transferência de Calor e Massa 25 m Q Ce t mt θ 314 A constante de integração C é determinada pela aplicação da condição inicial 311b como m Q C o θ 315 Substituindo a Eq 315 na 314 obtemos a solução deste problema da transferência de calor m Q e e t mt mt o 1 θ θ ou h q e e t mt mt o 1 θ θ 316 Para t esta solução simplificase em h q m θ Q 317 que é a temperatura estacionária da placa 33 PLACA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURA TRANSIENTE Em muitas situações os gradientes de temperatura no interior dos sólidos não são desprezíveis e não é aplicável a análise global do sistema Neste caso a análise dos problemas da condução de calor envolve a determinação da distribuição de temperaturas no interior do sólido em função do tempo e da posição e é um tema bastante complicado Vários métodos de análise para resolver estes problemas são discutidos em diversos textos com tratamento avançado da condução de calor Problemas simples como a condução de calor unidimensional dependente do tempo em uma placa sem geração interna de energia podem ser resolvidos facilmente pelo método da separação de variáveis como será descrito mais adiante neste capítulo Além disso a distribuição de temperatura em tais situações foi calculada e os resultados apresentados na forma de cartas de temperaturas transientes em várias obras Apresentaremos as cartas de temperaturas transientes e de fluxo de calor e discutiremos seu significado físico e seu emprego Considere uma placa por exemplo uma parede plana de espessura 2L confinada na região L x L Inicialmente a placa está a uma temperatura uniforme Ti De repente a t 0 ambas as superfícies de contorno da placa são sujeitas a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para o ambiente à temperatura T e assim mantida nos instantes t 0 A fig 34a mostra a geometria coordenadas e condições de contorno deste problema particular Porém neste problema há simetria geométrica e térmica em torno do plano x 0 de forma que podemos considerar o problema de condução do calor numa metade da região digamos 0 x L Com essa consideração o problema da condução do calor numa placa de espessura 2L confinada à região L x L como está ilustrado na fig 34a é equivalente ao problema de uma placa de espessura L confinada na região 0 x L como está ilustrado 34b Então a formação matemática deste problema da condução do calor dependente do tempo com a geometria e as condições de contorno de fig 34b é dada por Apostila de Transferência de Calor e Massa 26 a b Fig 34 Geometria coordenadas e condições de contorno da condução de calor transiente em uma placa t T x T α 1 2 2 em 0 x L e t 0 318a 0 x T em x 0 e t 0 318b hT hT x k T em x L e t 0 318c T Ti em t 0 e 0 x L 318d 331 Equações Adimensionais O problema da condução transiente de calor dado pelas Eqs 318 pode ser expresso em forma adimensional introduzindose as seguintes variáveis adimensionais temperatura adimensional T T T x t T i θ 319a coordenada adimensional L x X 319b número de Biot k hL Bi 319c 2 tempo adimensional ou número de Fourier L αt τ 319d Desta forma o problema da condução de calor dado pelas Eqs 319 se transforma em τ θ θ 2 2 X em 0 X 1 e τ 0 320a 0 X θ em X 0 e τ 0 320b 0 θ θ Bi X em X 1 e τ 0 320c θ 1 em 0 X 1 e τ 0 320d O significado físico do tempo adimensional τ ou número de Fourier visualizase melhor se a equação 319d for reordenada na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 27 W C L longo de L no volume ao taxa de retenção de calor W C L longo de L no volume ao de condução de calor taxa 1 o 3 o 3 3 2 2 t c L L L k L t ρ p α τ 321a Portanto o número de Fourier é uma medida da razão entre a taxa de condução e a taxa de retenção de calor num elemento de volume Por isso quanto maior o número de Fourier mais profunda é a penetração do calor num sólido durante um certo intervalo de tempo O significado físico do número de Biot compreendese melhor se a Eq 319c for escrita na forma o L compriment condutânci a do sólido no sólido calor na superfície do de e de transferência coeficient k L h k hL Bi 321b Assim o número de Biot é a razão entre o coeficiente de transferência de calor e a condutância do sólido sobre o comprimento característico Comparando os problemas de condução de calor expressos pelas Eq 318 e 320 concluímos que o número de parâmetros independentes que afetam a distribuição de temperatura no sólido reduzse significativamente quando se exprime o problema na sua forma adimensional No problema dado pelas Eqs 318 a temperatura depende dos oito seguintes parâmetros físicos x t L k α h Ti T Porém no problema adimensional expresso pelas Eqs 320 a temperatura depende dos três seguintes parâmetros adimensionais X Bi e τ Fica evidente que se exprimirmos o problema na forma adimensional o número de parâmetros que afetam a distribuição de temperatura reduzse significativamente Por isso é prático resolver o problema de uma vez por todas e expor os resultados na forma de cartas para referência rápida 332 Carta de Temperatura Transiente numa Placa O problema definido pelas Eqs 320 já foi resolvido e os resultados para a temperatura adimensional estão nas Figs 35a e 35b A Fig35a dá a temperatura no plano central To ou θ0 τ em X 0 em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1Bi A curva com 1Bi 0 corresponde ou a h ou então as faces da placa estão mantidas na temperatura ambiente T Nos grandes valores de 1Bi o número de Biot é pequeno ou a condutância interna do sólido é grande em relação ao coeficiente de transferência de calor na superfície Isto por sua vez implica que a distribuição de temperatura dentro do sólido é suficientemente uniforme e portanto podese adotar a Apostila de Transferência de Calor e Massa 28 análise global do sistema A Fig 35b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro da placa com a temperatura do plano central To Se soubermos a temperatura To saberemos as temperaturas nas diferentes posições dentro da placa Um exame da Fig 35b revela que nos valores de 1Bi maiores do que 10 ou Bi 01 a distribuição de temperaturas na placa pode ser considerada uniforme com um erro menor do que cerca de 5 Devemos recordar que o critério Bi 01 foi utilizado para que a análise global do sistema fosse aplicável Fig 35 Carta de temperaturas transientes numa placa de espessura 2L sujeita a convecção em ambas as faces a Temperatura To no plano central x0 b correção de posição para utilizar com a parte a Apostila de Transferência de Calor e Massa 29 A Fig36 Mostra o calor adimensional transferido QQo em função do tempo adimensional em vários valores do número de Biot numa placa de espessura 2L Aqui Q representa a quantidade total de energia perdida pela placa até certo tempo t durante a transferência de calor A quantidade Qo definida como Qo ρcpVTi T 322 representa a energia interna inicial da placa na temperatura ambiente Fig 36 Calor adimensional transferido QQo numa placa de espessura 2L 34 CILINDRO LONGO E ESFERA EMPREGO DAS CARTAS DE TEMPERATURAS TRANSIENTES A distribuição das temperaturas adimensionais transientes e os resultados da transferência de calor semelhantes aos que estão nas Figs 35 e 36 também podem ser calculados nos casos de um cilindro longo e no de uma esfera 341 Carta de temperaturas transientes num cilindro longo Considere a condução de calor unidimensional transiente num cilindro longo de raio b inicialmente a uma temperatura uniforme Ti Repentinamente no tempo t 0 a superfície em r b é sujeita a convecção com um coeficiente de transferência de calor h para um ambiente à temperatura T e mantida assim em t 0 A formulação matemática deste problema de condução de calor é dada em forma adimensional como τ θ θ R R R R 1 em 0 R 1 e τ 0 323a Apostila de Transferência de Calor e Massa 30 0 R θ em R 0 e τ 1 323b 0 θ θ Bi R em R 1 e τ 0 323c θ 1 em 0 R 1 e τ 0 323d onde as várias grandezas adimensionais são definidas da forma seguinte k hb Bi número de Biot 324a 2 b αt τ tempo adimensional ou número de Fourier 324b T T T r t T i θ temperatura adimensional 324c b r R coordenada radial adimensional 324d O problema da Eq 322 já foi resolvido e os resultados para temperatura no centro To ou θ0τ estão na Fig 37a em função do tempo adimensional com vários valores do parâmetro 1Bi A fig37b relaciona as temperaturas em diferentes posições dentro do cilindro com a temperatura no plano médio To Por isso dada To as temperaturas nas diferentes posições internas do cilindro podem ser determinadas a partir da Fig 37b Apostila de Transferência de Calor e Massa 31 Fig 37 Carta de temperaturas transientes num cilindro maciço longo de raio rb sujeito a convecção na superfície rb a Temperatura To no eixo do cilindro b correção de posição para utilizar com a parte a A Fig 38 mostra o calor adimensional transferido QQo em função do tempo adimensional com diversos valores do número de Biot no problema do cilindro dado pelas Eqs 322 Aqui Qo tem o significado definido pela equação 322 e Q representa a quantidade total de energia perdida pelo cilindro até certo tempo t durante a transferência transiente de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 32 Fig 38 Calor adimensional transferido QQo num cilindro longo de raio b 342 Carta de temperaturas transientes numa esfera Numa esfera de raio b inicialmente a uma temperatura uniforme Ti e em t 0 sujeita a convecção na superfície r b com um coeficiente de transferência de calor h para um ambiente à temperatura T o problema da condução transiente de calor é dado na forma adimensional como τ θ θ R R R R 2 2 1 em 0 R 1 e τ 0 324a 0 R θ em R 0 e τ 0 324b 0 θ θ Bi R em R 1 e τ 0 324c θ 1 em 0 R 1 se for τ 0 325c Aqui os parâmetros adimensionais Bi θ e R são definidos como as Eqs 324 A Fig 39a mostra a temperatura no centro To ou θ 0τ da esfera em função do tempo adimensional τ com diferentes valores do parâmetro 1Bi A Fig 39b apresenta a relação entre as temperaturas em diferentes posições dentro da esfera e a temperatura no centro To Apostila de Transferência de Calor e Massa 33 Fig 39 Carta de temperaturas transientes numa esfera maciça de raio rb sujeito a convecção na superfície rb a Temperatura To no centro da esfera b correção de posição para empregar com a parte a A Fig 310 mostra o calor adimensional QQo em função do tempo adimensional com diferentes valores do número de Biot Aqui Q e Qo são definidos como previamente Apostila de Transferência de Calor e Massa 34 Fig 310 Calor adimensional transferido QQo numa esfera de raio b Apostila de Transferência de Calor e Massa 35 4 CONVECÇÃO CONCEITOS E RELAÇÕES BÁSICAS Até aqui consideramos a transferência condutiva de calor nos sólidos nos quais não há movimento do meio Nos problemas de condução a convecção participou na análise simplesmente como condição de contorno na forma de um coeficiente de transferência de calor Nosso objetivo neste e nos capítulos seguintes a respeito da convecção é estabelecer as bases físicas e matemáticas para a compreensão do transporte convectivo de calor e revelar as várias correlações na transferência de calor Nas aplicações de engenharia há interesse na perda de carga e na força de arraste associadas ao escoamento dentro de dutos ou sobre corpos Por isso são apresentadas as correlações apropriadas para prever a queda de pressão e força de arraste num escoamento A análise da convecção é complicada pois o movimento do fluido afeta a perda de carga a força de arraste e a transferência de calor Para determinar a força de arraste ou a perda de carga deve ser conhecido o campo de velocidades nas vizinhanças imediatas da superfície Para determinar a transferência convectiva de calor também se precisa da distribuição de velocidades no escoamento do fluido porque a velocidade participa da equação da energia a solução da equação da energia determina a distribuição de temperaturas no campo do escoamento A literatura a respeito da transferência convectiva de calor é superabundante e está sempre crescendo Nestes últimos anos com a disponibilidade de computadores digitais rápidos e de elevada capacidade têmse feito notáveis progressos na análise com grandes detalhes de problemas muito complicados de transferência de calor Não obstante um grande número de problemas de engenharia mais simples pode ser resolvido com o emprego de correlações padrões de transferência de calor Por isso vamos focalizar nossa atenção sobre esses casos Para atingir este objetivo apresentaremos neste capítulo uma visão coerente da convecção a fim de propiciar uma base firme para aplicações Serão discutidos os conceitos básicos associados ao escoamento sobre um corpo ao escoamento dentro de um duto e à turbulência Ilustraremos também o papel da distribuição de temperaturas e o da distribuição de velocidades num escoamento sobre a transferência de calor e a força de arraste As distribuições de velocidades e de temperaturas no escoamento são determinadas a partir da solução das equações do movimento e da energia Por isso estas equações são apresentadas no caso de um escoamento bidimensional de um fluido com propriedades constantes incompressível nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas A simplificação destas equações é ilustrada a fim de se obterem as equações que governam a análise dos problemas mais simples de transferência de calor Finalmente discutese o significado físico dos parâmetros adimensionais e apresentamse as equações das camadas limites 41 ESCOAMENTO SOBRE UM CORPO Quando um fluido escoa sobre um corpo sólido a distribuição de velocidades e de temperaturas na vizinhança imediata da superfície influencia fortemente a transferência convectiva de calor O conceito de camada limite é freqüentemente introduzido para Apostila de Transferência de Calor e Massa 36 modelar os campos de velocidade e de temperatura próximos da superfície sólida a fim de simplificar a análise da transferência convectiva de calor Assim estaremos envolvidos com dois tipos de camadas limites a camada limite cinética e a camada limite térmica 411 Camada limite cinética Para ilustrar o conceito de camada limite cinética consideremos o escoamento de um fluido sobre uma placa como está ilustrado na fig 41 O fluido na borda frontal da placa isto é em x 0 tem uma velocidade u que é paralela à superfície da placa À medida que o fluido se move na direção x ao longo da placa as partículas do fluido em contato com a face da placa assumem velocidade zero isto é não há deslizamento sobre a face da placa Portanto a partir da superfície da placa haverá um retardamento da componente x da velocidade uxy u Isto é na superfície da placa em y 0 a componente axial da velocidade é zero ou u 0 O efeito do retardamento é reduzido quando o fluido se move em uma região afastada da face da placa a distâncias suficientemente grandes da placa o efeito de retardamento é nulo isto é u u para grandes y Portanto a cada posição x ao longo da placa há uma distância y δx medida a partir da superfície da placa onde a componente axial da velocidade u é igual a 99 da velocidade da corrente livre u isto é u 099 u O lugar geométrico destes pontos onde u 099 u é a camada limite cinética δx Com o conceito de camada limite cinética assim introduzido no escoamento sobre uma placa plana o campo do escoamento pode ser dividido em duas regiões distintas 1 Na região da camada limite a componente axial da velocidade uxy varia rapidamente com a distancia y à face da placa portanto os gradientes de temperatura e as tensões de cisalhamento são grandes 2 Na região fora da camada limite na região de escoamento potencial os gradientes de velocidade e as tensões de cisalhamento são desprezíveis Fig 41 Conceito de camada limite no escoamento sobre uma placa plana Referindonos à ilustração na Fig 41 vamos examinar o comportamento do escoamento na camada limite em função da distância x medida a partir da borda frontal da placa A característica do escoamento é governada pelo valor da grandeza número de Reynolds No escoamento sobre uma placa plana como está na Fig 41 este número é definido por Apostila de Transferência de Calor e Massa 37 ν x u x Re 41 onde u velocidade da corrente livre x distância à borda frontal ν viscosidade cinemática do fluido A camada limite começa na borda frontal isto é em x 0 da placa como uma camada limite laminar na qual o escoamento permanece ordenado e as partículas do fluído se movem ao longo das linhas de corrente Este movimento ordenado continua ao longo da placa até que se atinge uma distância crítica ou o número de Reynolds alcance um valor crítico Depois de este número de Reynolds crítico ser atingido os pequenos distúrbios no escoamento começam a ser amplificados e flutuações no fluído começam a se desenvolver o que caracteriza o final da camada limite laminar e o início da transição para a camada limite turbulenta No escoamento sobre uma placa plana o número de Reynolds crítico no qual acontece a transição do escoamento laminar para o turbulento é geralmente tomado na maior parte das finalidades analíticas como 5 105 Re x v x u x 42 Entretanto este valor crítico é fortemente dependente da rugosidade da superfície e do nível de turbulência da corrente livre Por exemplo com distúrbios muito grandes na corrente livre a transição pode começar em um número de Reynolds tão baixo como 105 e nos escoamentos livres de perturbações pode não começar até que o número de Reynolds atinja um valor de 106 ou mais Mas num escoamento sobre uma placa plana a camada limite é sempre turbulenta para Rex4x106 Na camada limite turbulenta próxima da parede há uma camada muito delgada chamada subcamada laminar onde o escoamento retém seu caráter laminar Adjacente a subcamada laminar existe uma região chamada camada amortecedora na qual há turbulência muito fina e a velocidade média axial aumenta rapidamente com a distância à superfície sólida A camada amortecedora é seguida pela camada turbulenta na qual há turbulência em alta escala e a velocidade muda relativamente pouco com a distância à parede A fig 42 mostra o conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo Neste caso a coordenada x é medida ao longo da superfície curva do corpo principiando pelo ponto de estagnação e em cada posição x segundo a normal à superfície do corpo A velocidade da corrente livre u x não é constante mas varia com a distância ao longo da superfície curva O conceito de camada limite discutido acima também se aplica a esta situação particular A espessura da camada limite δ x cresce com a distância x ao longo da superfície Entretanto devido a curvatura da superfície depois de uma certa distância x o perfil de velocidade u x y mostra um ponto de inflexão isto é u y δ se anula na superfície do sólido Além do ponto de inflexão há uma inversão do escoamento e dizse que a camada limite está descolada da superfície do sólido Além do ponto de inversão do fluxo os padrões do fluxo são muito complicados e o conceito da camada limite não é mais aplicável Apostila de Transferência de Calor e Massa 38 Fig 42 Conceito de camada limite no escoamento sobre um corpo curvo 412 Coeficiente de arraste e força de arraste Suponha que o perfil de velocidade u x y na camada limite seja conhecido A tensão de cisalhamento x τ que atua ao longo da superfície em qualquer posição x é determinada a partir de sua definição por 0 y x y µ u x y τ 43 A constante de proporcionalidade µ é a viscosidade do fluido Logo conhecendo se a distribuição de velocidades na camada limite podese determinar a força de cisalhamento devida ao escoamento que está atuando sobre a superfície sólida A definição de tensão de cisalhamento dada pela Eq 43 entretanto não é prática para aplicações de engenharia Na prática a tensão de cisalhamento ou força de arraste local x τ por unidade de área está relacionada com o coeficiente local de arraste cx pela relação 2 2 u cx x ρ τ 44 onde ρ é a densidade do fluido e u é a velocidade da corrente livre Portanto conhecendo o coeficiente de arraste podemos calcular a força de arraste exercida pelo fluido que está escoando sobre a placa plana Igualando as Eqs 43 e 44 obtemos o y x y u x y u c 2 2 ν 45 Portanto o coeficiente local de arraste pode ser determinado pela Eq 45 se o perfil de velocidade u x y na camada limite for conhecido O valor médio do coeficiente de arraste Cm de x0 até xL é definido como L x o cxdx L 1 Cm Apostila de Transferência de Calor e Massa 39 46 Sabendo o coeficiente médio de arraste Cm podemos calcular a força de arraste F que está atuando sobre a placa de x0 até xL e numa largura w com a fórmula 2 2 u wLC F m ρ N 47 413 Camada limite térmica Análogo ao conceito de camada limite cinética podese imaginar o desenvolvimento de uma camada limite térmica ao longo da placa associada ao perfil de temperatura no fluido Para ilustrar o conceito consideremos um fluido a uma temperatura uniforme T que escoa sobre uma placa plana mantida a uma temperatura constante W T Sejam x e y os eixos coordenados paralelo e perpendicular à superfície da placa respectivamente como está na figura 43 Fig 43 Conceito de camada limite térmica no escoamento de um fluido quente sobre uma placa fria Definimos a temperatura adimensional θxy como W W T T T T x y x y θ 48 onde Txy é a temperatura local no fluido Na superfície da placa a temperatura do fluido é igual à temperatura da parede portanto θxy 0 em y 0superfície da placa 49 a A distâncias suficientemente grandes da placa a temperatura do fluido é a mesma T então 1 θ x y a medida que y 49 b Apostila de Transferência de Calor e Massa 40 Por isso em cada posição x ao longo da placa podese imaginar uma posição x y δ no fluido onde θ x y seja igual a 099 O lugar geométrico destes pontos onde θ x y 099 é chamado a camada limite térmica δ x A espessura relativa da camada limite térmica tδ x frente a camada limite cinética δ x depende da grandeza do número de Prandtl do fluido Nos fluidos que tem um número de Prandtl igual a unidade como os gases x t x δ δ A camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr 1 como os metais líquidos e é muito mais delgado do que a camada limite cinética nos fluidos que tem Pr 1 414 Coeficiente de transferência de calor Suponha que a distribuição de temperatura Txy na camada limite térmica seja conhecida Então o fluxo de calor qx do fluido para a placa é determinado por 0 y y T x y q x κ 410 a onde k é a condutividade térmica do fluido Entretanto nas aplicações de engenharia não é prático empregar a Eq 410 a para calcular a taxa de transferência de calor entre o fluido e a placa Na prática definese um coeficiente de transferência de calor local hx para calcular o fluxo de calor entre o fluido e a placa TW h x T q x 410 b Igualando 410 a e 410 b obtemos W y T T y T k h x 0 411 a Esta expressão agora é escrita em termos da temperatura adimensional θ x y como 0 y y x y k h x θ 411 b Logo as Eqs 411 fornecem a relação para determinar o coeficiente de transferência de calor local hx a partir do conhecimento da distribuição da temperatura adimensional θ x y na camada limite térmica O coeficiente de transferência de calor médio hm sobre a distância x0 até xL ao longo da superfície da placa é determinado a partir de L m h x dx L h 0 1 412 Apostila de Transferência de Calor e Massa 41 Sabendo o coeficiente de transferência de calor médio hm podemos determinar a taxa de transferência de calor Q do fluido para a placa de x0 até xL e para a espessura w W m T wLh T Q 413 415 Relação entre cx e hx Considerando as expressões exatas de coeficiente de local de arraste e do número de Nusselt local no escoamento laminar sobre uma placa plana 0 332Re 1 2 2 x Cx 414 a 2 1 1 3 Re 0 332Pr x x Nu 414 b Definimos o número de Stanton local Stx como c u h x St p x ρ que pode ser reordenado na forma x x x Nu u x v v h x x k St PrRe α Então a expressão 414 b do número de Nusselt local pode ser reescrita como 2 1 2 3 Re 0 332Pr x Stx 414 c Das Eqs 414 a e 414 c podese obter a seguinte relação entre o número de Stanton e o coeficiente de arraste 2 Pr 2 3 Cx St x 415 a Esta expressão recebe o nome de analogia de ReynoldsColburn e relaciona o coeficiente local de arraste cx ao número de Stanton local Stx num escoamento laminar sobre uma placa plana Portanto fazendose as medidas do arraste atrativo no escoamento laminar sobre uma placa plana quando não há transferência de calor podese determinar o coeficiente de transferência de calor correspondente pela Eq 415 a É muito mais fácil fazer medidas de arraste do que medidas de transferência de calor Podese também aplicar a Eq 415 a ao escoamento turbulento sobre uma placa plana porém não se aplica ao escoamento laminar dentro de um tubo No caso de valores médios a Eq 415 a é escrita como 2 Pr 2 3 m m C St 415 b Apostila de Transferência de Calor e Massa 42 onde Stm e Cm são respectivamente o número de Stanton médio e o coeficiente médio de arraste 42 ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM DUTO Os conceitos básicos discutidos na última seção sobre o desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana também se aplicam ao escoamento na região da entrada de dutos Ilustramos este assunto considerando o escoamento no interior de um tubo circular 421 Camada limite cinética Considere o escoamento dentro de um tubo circular como está ilustrado na fig 44 Fig44 Conceito de desenvolvimento da camada limite cinética na região de entrada de um tubo circular O fluido tem uma velocidade de entrada uniforme 0 u Quando o fluido entra no tubo começa a se desenvolver uma camada limite cinética sobre a superfície da parede A velocidade das partículas do fluido na superfície da parede anulase e a velocidade nas vizinhanças da parede diminui como resultado a velocidade na parte axial do tubo aumenta para ser cumprida a exigência da continuidade do fluxo A espessura da camada limite cinética δz cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que ocupa todo o tubo A região que se estende desde a entrada do tubo até um pouco além da posição hipotética em que a camada limite atinge o eixo do tubo é a região hidrodinâmica de entrada Nesta região a forma do perfil de velocidade varia tanto na direção axial como na radial A região além da distância hidrodinâmica de entrada é chamada região hidrodinamicamente desenvolvida pois nesta região o perfil de velocidade é invariante com a distância ao longo do tubo Se a camada limite permanece laminar até encher todo o tubo o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar completamente desenvolvido prevalece na região hidrodinamicamente desenvolvida Entretanto se a camada limite transformase em turbulenta antes de a sua espessura atingir o eixo do tubo há um escoamento turbulento completamente desenvolvido na região hidrodinamicamente desenvolvida Quando o escoamento é turbulento o perfil de velocidade é mais achatado do que o perfil parabólico de velocidade no escoamento laminar No escoamento no interior de um tubo circular o número de Reynolds definido por Apostila de Transferência de Calor e Massa 43 v Re um D 416 é utilizado como critério para a passagem do escoamento laminar a turbulento Nesta definição m u é a velocidade média do escoamento D é o diâmetro interno do tubo e v é a viscosidade cinemática do fluido No escoamento no interior de um tubo circular observa se ordinariamente escoamento turbulento para 2300 Re v um D 417 Entretanto este valor crítico depende fortemente da rugosidade da superfície das condições de entrada e das flutuações no escoamento Em geral a transição pode ocorrer no domínio 2000Re4000 422 Fator de atrito e perda de carga Nas aplicações de engenharia o gradiente de pressão dPdz associado ao escoamento é uma grandeza de interesse pois a perda de carga queda de pressão ao longo de um dado comprimento do tubo pode ser determinada pela integração de dPdz sobre o comprimento Para desenvolver uma expressão que defina dPdz consideremos um balanço de forças sobre um comprimento diferencial dz do tubo Igualando a força da pressão à força de cisalhamento na parede obtemos veja fig 45 Fig 45 Equilíbrio de forças num elemento diferencial de volume w z z z S z PA PA τ w w w D D D A S dz dP τ τ π π τ 4 4 2 418 a onde A é a área de seção reta e S é o perímetro A tensão de cisalhamento w τ na parede está relacionada com o gradiente de velocidade por Apostila de Transferência de Calor e Massa 44 parede parede w r u y u µ µ τ 418 b uma vez que r D2 y Então das Eqs 418 a e 418 b temos r parede u D dz dP 4µ 418 c Nas aplicações de engenharia a Eq 418 c não é prática para determinação de dPdz pois exige o cálculo do gradiente de velocidade na parede Para calcular a perda de carga queda de pressão nas aplicações de engenharia definese um fator de atrito f D u f dz dP m 2 ρ 2 418 d onde um é a velocidade média do escoamento dentro do tubo e ρ é a densidade do fluido Igualando as Eqs 418 c e 418 d obtémse a seguinte expressão para o fator de atrito parede m r u u f 2 8 ρ µ 418 e Portanto dada a distribuição de velocidades u do escoamento no interior do tubo o fator de atrito f pode ser determinado pela Eq 418 e Dado o fator de atrito a perda de carga P1 P2 P sobre a distância z2 z1 L no tubo é determinada pela integração da Eq 418 d 2 1 2 1 2 2 P P Z Z m dz D u f dP ρ ou a perda de carga P fica 2 2 m u D f L P ρ m2 N 419 a Se M for a vazão em metros cúbicos por segundo através do tubo a potência da bomba exigida para movimentar o fluido no tubo contra a perda de carga P se torna Potência da bomba 2 3 m P N s M m Potência da bomba M P ouW s Nm 419 b 423 Camada limite térmica No caso da distribuição de temperaturas no escoamento no interior de um tubo circular é mais difícil visualizar o desenvolvimento da camada limite térmica e a exigência de uma Apostila de Transferência de Calor e Massa 45 região termicamente desenvolvida Entretanto sob certas condições de aquecimento ou de resfriamento como fluxo de calor constante ou temperatura uniforme na parede do tubo o conceito é possível Considere um escoamento laminar no interior de um tubo circular sujeito a um fluxo de calor uniforme nas paredes Sejam r e z as coordenadas respectivamente radial e axial Definese uma temperatura adimensional θ r z como z T z T z T T r z z r w m w θ 420a onde Twz temperatura na parede do tubo Tmz Temperatura média de todo o fluido na área transversal do tubo em z Trz temperatura local do fluido Evidentemente θ r z é zero na superfície da parede do tubo e atinge um valor finito no eixo do tubo Então visualizase o desenvolvimento de uma camada limite térmica paralelamente a superfície da parede A espessura da camada limite térmica tδ z cresce continuamente ao longo da superfície do tubo até que preenche todo o tubo A região da entrada do tubo até a posição hipotética onde a espessura da camada limite térmica atinge o eixo do tubo é a região de entrada térmica Nesta região a forma do perfil da temperatura adimensional θ r z muda tanto na direção axial quanto na radial A região além da distância de entrada térmica é chamada região termicamente desenvolvida porque nesta região o perfil da temperatura adimensional permanece invariante com a distância ao longo do tubo isto é z T z T z T T r z r w m w θ 420 b É difícil explicar qualitativamente por que θ r deve ser independente da variável z pois as temperaturas no segundo membro da Eq 420 b dependem tanto de r como de z Entretanto podese demonstrar matematicamente que não só com uma temperatura constante mas também com um fluxo de calor constante na parede a temperatura adimensional θ r depende somente de r para valores suficientemente grandes de z 424 Coeficiente de transferência de calor Nas aplicações de engenharia envolvendo o escoamento de um fluido num tubo a taxa de transferência de calor entre o fluido e o tubo é uma informação de muito interesse Discutiremos o conceito de coeficiente de transferência de calor que é utilizado com mais freqüência nas aplicações de engenharia para determinar a transferência de calor entre o fluido e a superfície da parede Considere um fluido escoando dentro de um tubo circular de raio interno R Seja Trz a distribuição de temperaturas no fluido onde r e z são as coordenadas radial e axial respectivamente O fluxo de calor do fluido para a parede do tubo é determinado por Apostila de Transferência de Calor e Massa 46 parede r K T r z q z 421 a onde k é a condutividade térmica do fluido Nas aplicações de engenharia não é prático utilizar a Eq 621 a para determinar a transferência de calor entre o fluido e a parede do tubo pois essa equação envolve o cálculo da derivada da temperatura na parede Para evitar esta dificuldade definese um coeficiente de transferência de calor local h z z T z h z T q z w m 421 b onde Tmz temperatura média global calculada sobre a área da seção transversal do tubo na posição z Twz temperatura na parede do tubo em z Evidentemente se o coeficiente de transferência de calor for conhecido é questão muito simples determinar o fluxo de calor na parede para uma dada diferença entre a temperatura média do fluido e a da parede do tubo Por isso o uso do coeficiente de transferência de calor é muito conveniente nas aplicações de engenharia e sua determinação em várias condições de escoamento foi objeto de numerosas investigações experimentais e analíticas Trataremos da relação entre o coeficiente de transferência de calor hz a partir de Trz Igualando 421 a e 421 b obtemos r r Rparede Tw z Tm z k T r z z h 422 a onde Tmz e Twz num tubo circular de raio R são determinadas por 2 0 0 0 2 2 2 R u rdr r T r z u rdr r u rdr u r T r z z Tm m R R R π π π π 422 b r Rparede w T r z z T 422 c A temperatura média do fluido Tmz é uma definição baseada no transporte de energia térmica com o movimento global do fluido à medida que ele passa através da seção transversal pois a grandeza ρc put representa o fluxo de energia por unidade de área Num fluido incompressível de propriedades constantes o termo ρ cp cancelase no numerador e no denominador de 422 b A Eq 422 a pode ser escrita em termos da temperatura adimensional θ r z definida pela Eq 420 a como r Rparede r r z k z h θ 423 a Na região termicamente desenvolvida a temperatura adimensional θ r é independente de z Então a equação 423 a se reduz a Apostila de Transferência de Calor e Massa 47 r Rparede dr r k d h θ 423 b onde θ r é definida pela Eq 420 b Este resultado implica que na região termicamente desenvolvidao coeficiente de transferência de calor não varia com a distância ao longo do tubo e vale para a transferência de calor sob condições de fluxo de calor constante na parede ou temperatura constante na parede As definições dadas pela Eq 423 podem ser empregadas para desenvolver expressões do coeficiente de transferência de calor se a distribuição da temperatura adimensional no fluido definida pela equação 420 b for conhecida 43 PARÂMETROS ADIMENSIONAIS Neste capítulo foram introduzidos parâmetros adimensionais como os números de Reynolds de Prandtl de Nusselt e de Stanton e vamos discutir o significado físico destes parâmetros adimensionais na interpretação das condições associadas com o escoamento do fluido ou com a transferência de calor Consideremos o número de Reynolds baseado em um comprimento característico L reordenado na forma 2 2 Re L vu L u v u L força de inérciaforça viscosa 424 a Então o número de Reynolds representa a razão entre a força de inércia e a força viscosa Este resultado implica que as forças viscosas são dominantes nos números de Reynolds pequenos e as forças de inércia são dominantes nos números de Reynolds grandes Lembremonos de que o número de Reynolds foi utilizado como critério para determinar a transformação do escoamento laminar em turbulento O número de Prandtl pode ser escrito na forma x v c k k c p p Pr ρ µ ρ µ difusividade molecular do momentodifusividade molecular do calor 424 b Representa portanto a importância relativa do transporte de momento e energia no processo de difusão Nos gases com Pr 1 a transferência de momento e energia pelo processo de difusão é equilibrada Nos óleos Pr 1 e daí se vê que a difusão de momento é muito maior do que a difusão de energia mas nos metais líquidos Pr1 e a situação é inversa Lembramos que na discussão do desenvolvimento das camadas limites cinética e térmica no escoamento sobre uma placa plana a espessura relativa das camadas limite cinética e térmica dependia da grandeza do número de Prandtl Considere o número de Nusselt baseado em um comprimento característico L reordenado na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 48 T L k T h k hL Nu 425 a onde T é a diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e a temperatura dos fluidos Então o número de Nusselt pode ser interpretado como a razão entre a transferência de calor por convecção e por condução através de uma camada do fluido de espessura L Com base nesta interpretação o valor do número de Nusselt igual a zero implica que não há convecção A transferência de calor se efetua por pura condução Um valor maior do número de Nusselt implica um aumento de transferência convectiva de calor O número de Stanton pode ser reordenado como T c u h T c u h St m p p m ρ ρ 425 b onde T é uma diferença de temperatura de referência entre a superfície da parede e o fluido O numerador representa o fluxo de calor para o fluido e o denominador representa a capacidade de transferência de calor do escoamento do fluido O parâmetro adimensional o número de Eckert definido como 2 Cp T u E surgem freqüentemente em problemas de transferência de calor em alta velocidade O número de Eckert pode ser reordenado como T Cp u Cp T u E 2 2 426 Temperatura dinâmica devido ao movimento do fluido pela diferença de temperatura Aqui 2 2 Cp u representa uma elevação ideal de temperatura se um gás ideal com a velocidade u fosse reduzido adiabaticamente à velocidade zero Esta definição implica que se o número de Eckert for pequeno os efeitos da geração viscosa da energia devido ao movimento do fluido podem ser desprezados em comparação com as diferenças de temperaturas envolvidas no processo de transferência de calor Lembramos que o termo da dissipação viscosa de energia que apareceu na equação da energia e a grandeza do número de Eckert tornamse o critério para decidir se os efeitos de dissipação viscosa de energia devem ser considerados na análise da transferência de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 49 5 CONVECÇAO FORÇADA NO ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS 51 ESCOAMENTO NO INTERIOR DE UM TUBO CIRCULAR Os problemas de transferência de calor estacionária e de perda de carga na convecção laminar forçada dentro de um tubo circular em regiões afastadas da entrada onde os perfis de velocidades e de temperaturas estão plenamente desenvolvidos têm grande interesse em numerosas aplicações de engenharia O fator de atrito e o coeficiente de transferência de calor no escoamento são determinados respectivamente a partir do conhecimento da distribuição da velocidade e da distribuição de temperaturas no fluido 511 Fator de atrito Considere um fluido incompressível de propriedades constantes em uma convecção laminar forçada dentro de um tubo de raio R na região onde o escoamento está hidrodinamicamente desenvolvido O fator de atrito no escoamento no interior de um tubo circular está relacionado com o gradiente de pressão nas paredes pela Eq 418e m dr r R du u f 2 8 ρ µ 51 A distribuição de velocidades ur pode ser determinada a partir da solução das equações do movimento Foi demonstrado que no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido dentro de um tubo circular as equações do movimento se reduzem à simples equação escrita na forma dz dP dr dr r du d r µ 1 1 em 0 r R 52 sujeita às condições de contorno dudr 0 em r 0 53a u 0 em r R 53b A primeira condição de contorno é a simetria do perfil de velocidades em torno do eixo do tubo e a segunda é a nulidade da velocidade nas paredes No escoamento laminar estacionário plenamente desenvolvido dentro de um tubo circular o gradiente de pressão dPdz é constante Então a solução da Eq 53 dá o perfil das velocidades plenamente desenvolvido ur 1 4 1 2 2 R r dz R dP u r µ 54 Apostila de Transferência de Calor e Massa 50 Aqui a velocidade ur é sempre uma grandeza positiva no escoamento na direção positiva dos z mas o gradiente de pressão dPdz é uma grandeza negativa A velocidade média do escoamento um sobre a seção reta do tubo é determinada a partir da definição e fica dz dP R ru r dr R u R m 0 2 2 8 2 1 µ π π 55 uma vez que ur é dada pela Eq 54 O significado físico da velocidade média um implica que a vazão através do tubo é determinada por vazão área da seção reta um πR 2um Agora das Eqs 54 e 55 obtemos 12 2 R r u r u m 56 Esta relação mostra que o perfil de velocidades urum na região hidrodinamicamente desenvolvida é parabólico A velocidade uo no eixo do tubo é obtida da Eq 54 quando se faz r 0 dz dP R u µ 4 2 0 57 Uma comparação entre os resultados dados pelas Eqs 55 e 57 mostra que a velocidade no eixo do tubo é igual ao dobro da velocidade média do escoamento um u 0 2 58 O fator de atrito f no escoamento laminar no interior de um tubo circular na região hidrodinamicamente desenvolvida é determinado quando se obtém o gradiente da velocidade a partir da Eq 56 D u R u dr du r m m R r 8 4 59 e se introduz este resultado na Eq 51 Re 64 64 u D f m ρ µ 510 a onde D é o raio interno do tubo e v u D D u m m µ ρ Re 510 b é o número de Reynolds Apostila de Transferência de Calor e Massa 51 Na literatura o fator de atrito também se define com base no raio hidráulico Se fr representa o fator de atrito baseado no raio hidráulico ele está relacionado com o fator de atrito definido pela Eq 510 a por f 4fr Isto é a Eq 510 a na representação de fr seria fr l6Re onde µ ρ Re um D Este resultado recebe muitas vezes o nome de relação de HagenPoiseuille para o fator de atrito em tubos em virtude dos dados experimentais de Hagen ulteriormente verificados teoricamente por Poiseuille 512 Coeficiente de transferência de calor O coeficiente de transferência de calor no escoamento interior de um tubo circular na região termicamente desenvolvida está relacionado com o gradiente da temperatura adimensional nas paredes pela Eq 423 b r R dr r k d h θ 511 onde θ r é definida pela Eq 420b z T z T z T T r z r w m w θ 512 Para determinar h é necessária a distribuição de temperaturas no escoamento o que pode ser estabelecido a partir da solução da equação da energia Na região hidrodinamicamente desenvolvida a equação da energia no escoamento laminar de um fluido incompreensível dentro de um tubo circular com dissipação viscosa da energia desprezível pela equação 2 2 1 1 z T r r r T r z T u r α 513 Em geral esta é uma equação diferencial parcial para determinar a distribuição de temperaturas no escoamento e sua solução é bastante complicada Entretanto na convecção forçada no interior de um tubo circular na região termicamente desenvolvida com temperatura da parede constante ou com fluxo de calor na parede constante podese demonstrar que o termo do gradiente de temperatura axial na Eq 513 reduzse a uma constante isto é z T constante Então a equação diferencial parcial 513 se reduz a uma equação diferencial ordinária no perfil de temperaturas plenamente desenvolvido T pois o termo 2 2 z T se anula para t z constante Vamos examinar agora o problema da transferência de calor com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede ou temperatura constante na parede na convecção forçada no interior de um tubo circular 513 Fluxo de calor constante Demonstrase que na condição de fluxo de calor constante na parede o gradiente de temperatura na direção do escoamento em qualquer Apostila de Transferência de Calor e Massa 52 ponto do fluido é constante e igual ao gradiente axial da temperatura média do fluido Isto é dz z dT z r z T m constante 514 Este resultado implica que com o fluxo de calor constante na parede a temperatura média do escoamento Tmz na região termicamente desenvolvida cresce linearmente com a distância z ao longo do tubo Quando a Eq 514 for introduzida na Eq 513 o termo 2 2 z T se anula para t z constante e se obtém a seguinte equação diferencial ordinária para Tr dz z u r dT dr dr r dT d r m 1 1 α 515 Esta equação escrevese em termos da temperatura adimensional θ r definida pela Eq 512 como 1 1 z T z T dz z u r dT dr dr r d d r w m m α θ 1 516 a onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido ur é dado pela Eq 56 1 2 2 R r u u r m 516 b As Eqs 516 a e 516 b são combinadas e escritas mais compactamente como 1 2 R r Ar dr dr r d d θ em 0 r R 517 a onde a constante A é definida por dz z dT z T z T u A m w m m 2 α constante 517 b As condições de contorno para a Eq 517 são dr 0 dθ em r 0 518 a θ 0 em r R 518 b A primeira condição de contorno afirma que θ é simétrica em torno do eixo do tubo e a segunda resulta da definição de θ dada pela Eq 512 pois θ deve ser zero nas paredes Apostila de Transferência de Calor e Massa 53 A Eq 517 a é semelhante à equação de condução de calor estacionária em coordenadas cilíndricas e pode ser integrada facilmente sujeita às condições de contorno das Eqs 518 para dar 2 4 2 4 1 16 1 16 3 R r R r AR θ r 519 A constante desconhecida A que aparece nesta equação pode ser determinada empregando se a definição da temperatura média global do fluido De acordo com a definição da temperatura média global do fluido dada pela Eq 422b escrevemos 2 0 2 R u rdr r u r m m R π π θ θ 520 onde o perfil de velocidades plenamente desenvolvido ur é dado pela Eq 516 b isto é 1 2 2 R r u u r m 521 As Eqs 519 e 521 são introduzidas na Eq 520 e as integrações são feitas Obtémse 96 11 AR2 θm 522 a Também a definição de θ r dada pela Eq 512 permitenos escrever 1 z T z T z T z T m w m w m θ 522 b Igualando 522a e 522b encontramos 11 96 2 AR 523 Introduzindo este resultado de AR2 na Eq 519 obtemos 2 4 4 1 16 1 16 3 11 96 R r R r θ r 524 A Eq 524 é o perfil de temperaturas adimensionais na convecção forçada em um tubo circular na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida com a condição de Apostila de Transferência de Calor e Massa 54 contorno fluxo de calor constante na parede Lembramos que este perfil de temperaturas foi empregado para determinar o coeficiente de transferência de calor Dado o perfil de temperaturas no fluido o coeficiente de transferência de calor h é obtido imediatamente a partir de sua definição dada pela Eq 511 D k h 11 48 525 a ou 4 364 11 48 k hD Nu 525 b onde D é o diâmetro interno do tubo e Nu é o número de Nusselt O resultado das Eqs 525 representa o coeficiente de transferência de calor na convecção laminar forçada no interior de um tubo circular na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida com a condição de contorno fluxo de calor constante na parede 514 Parede com temperatura constante O problema de transferência de calor descrito acima na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida também pode ser resolvido com a condição de contorno parede com temperatura constante mas a análise é mais elaborada e não será apresentada aqui O resultado é 3 657 k hD Nu 526 que representa o número de Nusselt ou o coeficiente de transferência de calor na convecção laminar forçada no interior de um tubo circular na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida com a condição de contorno parede com temperatura constante 515 Estimativa das propriedades físicas Nos resultados dados pelas Eqs 525 e 526 a condutividade térmica do fluido k depende da temperatura Quando a temperatura do fluido varia ao longo do tubo k pode ser calculada pela temperatura média global do fluido tb definida como 2 1 To Ti Tb 527 onde Ti temperatura volumar do fluido na entrada e To temperatura volumar do fluido na saída 516 Média logarítmica e média aritmética das diferenças de temperaturas A média logarítmica MLDT das duas grandezas 2 1 e T T é definida como Apostila de Transferência de Calor e Massa 55 ln 2 1 2 1 ln T T T T T 528 a enquanto a média aritmética MA de 2 1 e T T é definida como 2 1 2 1 T T TMA 528 b 52 ESCOAMENTO NO INTERIOR DE DUTOS COM DIVERSAS SEÇÕES RETAS TRANSVERSAIS O número de Nusselt e o fator de atrito no escoamento laminar em dutos com diversas seções retas transversais foram determinados na região em que os perfis de velocidade e temperatura estão plenamente desenvolvidos Se a seção transversal do duto não for circular então a transferência de calor e o fator de atrito em muitos casos de interesse prático podem ser baseados no diâmetro hidráulico Dh definido como P A D c h 4 529 onde Ac Área de seção reta transversal do escoamento e P perímetro molhado Então os números de Nusselt e de Reynolds nestes casos são K hD Nu h 530 a v D u h m Re 530 b 521 Comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica Há interesse prático em conhecer o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh e o comprimento da entrada térmica Lt no escoamento no interior de dutos O comprimento da entrada hidrodinâmica Lh é definido um tanto arbitrariamente como a distância a partir da entrada do duto necessária para que se atinja uma velocidade máxima correspondente a 99 da grandeza plenamente desenvolvida O comprimento da entrada térmica Lt é definido um tanto arbitrariamente como a distância a partir do começo da seção de transferência de calor necessária para se atingir um número de Nusselt local Nux igual a 105 vez o valor plenamente desenvolvido Se a transferência de calor para o fluido principia na entrada do fluido no duto tanto a camada limite cinética como a camada limite térmica começam a se desenvolver imediatamente e Lh e Lt são ambos medidos a partir da boca do tubo como está na Fig 51a Em algumas situações a transferência de calor para o fluido começa após uma seção isotérmica acalmante como está na Fig 51b Neste caso Lh é medido a partir da entrada do duto pois a camada limite cinética começa a se desenvolver imediatamente após a Apostila de Transferência de Calor e Massa 56 entrada do fluido no duto mas Lt é medido a partir da posição onde se inicia a transferência de calor pois a camada limite térmica começa a se desenvolver na seção de transferência de calor Os comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica no escoamento laminar no interior de condutos foram dados por vários autores Apresentamos na Tabela 51 o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh no escoamento laminar no interior de condutos de várias seções transversais baseados na definição mencionada anteriormente Incluímos nesta tabela os comprimentos da entrada térmica nas condições de contorno temperatura da parede constante e fluxo de calor constante nas paredes num escoamento hidrodinamicamente desenvolvido mas termicamente em desenvolvimento Nesta tabela Dh é o diâmetro hidráulico e o número de Reynolds está baseado neste diâmetro Notamos na Tabela 51 que numa dada geometria o comprimento da entrada hidrodinâmica Lh depende apenas do número de Reynolds enquanto o comprimento da entrada térmica Lt depende do número de Péclét Pe que é igual ao produto dos números de Reynolds e Prandtl Por isso líquidos que têm um número de Prandtl da ordem da unidade têm Lh e Lt com grandezas comparáveis nos fluidos como os óleos que têm um número de Prandtl grande temos LtLh e nos metais líquidos que tem um número de Prandtl pequeno temos LtLh Fig 51 comprimentos da entrada hidrodinâmica e térmica a a transferência de calor se inicia na boca do duto b a transferência de calor se inicia depois de uma seção isotérmica Apostila de Transferência de Calor e Massa 57 Tab 51 Comprimento da entrada hidrodinâmica e térmica Lh Lt no escoamento laminar no interior de dutos Os comprimentos da entrada térmica dados na Tabela 51 valem no escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e se desenvolvendo termicamente Como discutiremos mais tarde em muitos casos os perfis de velocidades e de temperaturas se desenvolvem simultaneamente na região de entrada Este escoamento é o escoamento com desenvolvimento simultâneo Os comprimentos da entrada térmica no escoamento com desenvolvimento simultâneo também dependem do número de Prandtl Por exemplo no escoamento que se desenvolve simultaneamente dentro de um tubo circular com temperatura constante nas paredes o comprimento da entrada térmica Lt é DPe 0 037 Lt com Pr 07 que deve ser comparada com Pr 0 033 com DPe Lt que corresponde ao número dado na tabela 51 para o escoamento hidrodinamicamente desenvolvido e termicamente em desenvolvimento Portanto Lt cresce quando o número de Prandtl diminui e é uma função fraca de número de Prandtl para Pr 007 53 ESCOAMENTO TURBULENTO NO INTERIOR DE DUTOS O escoamento turbulento é importante nas aplicações de engenharia pois aparece na grande maioria dos problemas de escoamento de fluido e transferência de calor encontrados na prática da engenharia Apostila de Transferência de Calor e Massa 58 531 Fator de Atrito e perda de carga Considere um escoamento turbulento plenamente desenvolvido com uma velocidade média de um através de um tubo circular de diâmetro interno D A perda de carga P sobre o comprimento L do tubo pode ser determinada segundo a equação 2 2 2 m N u D f L P m ρ 531 onde f fator de atrito no escoamento O fator de atrito no escoamento laminar dentro de um tubo circular pode ser encontrado por método puramente teórico e demonstrouse que vale Re f 64 No caso de escoamento turbulento entretanto um certo empirismo se introduz em sua dedução pois se emprega um perfil de velocidades semiempírico nesta análise 80 log Re 02 1 f f 532 a Esta relação concorda com as experiências e é utilizada para determinar o fator de atrito no escoamento turbulento no interior de canos lisos A fig 52 mostra a comparação entre a equação 532 a e as experiências de vários pesquisadores aqui as experiências de Nikuradse cobrem uma faixa de número de Reynolds até 34x106 A equação implícita 532 a é aproximada quase exatamente pela seguinte expressão explícita 1 64 2 1 82 log Re f 532 b NiKuradse fez extensas experiências com escoamento turbulento no interior de canos artificialmente rugosos em uma faixa muito grande de rugosidade relativa D λ isto é a altura da saliência dividida pelo diâmetro de cerca de 11000 até 130 A rugosidade do grão de areia utilizada nessas experiências foi adotada como padrão para efeitos de rugosidade Também foi desenvolvida uma correlação do fator de atrito para o escoamento turbulento no interior de tubos rugosos baseada em experiências feitas com tubos rugosos A fig 53 mostra uma carta do fator de atrito originalmente apresentada por Moody para o escoamento turbulento no interior de tubos lisos e rugosos A curva do tubo liso é baseada na equação L T em y T em y T y 0 1 0 Apostila de Transferência de Calor e Massa 59 Também está incluído nesta figura o fator de atrito Re f 64 do escoamento laminar no interior de tubos circulares Fig 52 Lei de atrito no escoamento turbulento dentro de tubos lisos e dados experimentais de vários pesquisadores É evidente que no escoamento laminar a rugosidade da superfície não tem efeito sobre o fator de atrito no escoamento turbulento entretanto o fator de atrito é um mínimo para o tubo liso O escoamento laminar está confinado à região Re 2000 A turbulência transicional ocorre na região 2000Re10000 O escoamento plenamente turbulento ocorre na região Re104 Nos tubos lisos foram dadas expressões analíticas mais simples porém aproximadas para o fator de atrito na forma f 0316Re025 para Re 2 x 104 f 0184Re02 para 2 x 104 Re 3 x 105 Estes resultados se aplicam ao escoamento turbulento hidrodinamicamente desenvolvido O desenvolvimento hidrodinâmico no escoamento turbulento ocorre para xD muito menor do que no escoamento laminar Por exemplo as condições de escoamento hidrodinamicamente desenvolvido ocorrem para xD maior do que cerca de 10 a 20 Apostila de Transferência de Calor e Massa 60 Fig 53 Fator de atrito para ser utilizado na relação 2 2 U m f L D P ρ para a perda de carga em um escoamento no interior de tubos circulares De Moody 54 COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR Uma vez que a análise de transferência de calor no escoamento turbulento é muito mais elaborada do que no escoamento laminar foi desenvolvido um grande número de correlações empíricas para determinar o coeficiente de transferência de calor Apresentaremos algumas destas correlações 541 Equação de Colburn Nu 0023 Re08 Pr1 3 533 onde Nu hD K Re umD v e Pr ν α A equação 533 pode ser aplicada quando 07 Pr 160 Re 10000 L D 60 em tubos lisos 542 Equação de DittusBoelter Nu 0023 Re08 Pr n 534 onde n 04 no aquecimento Tw Tb e n 03 no resfriamento Tw Tb do fluido A faixa de aplicabilidade é a mesma que a da equação de Colburn 543 Equação de Sieder e Tate Nas situações que envolvem grande variações de propriedades Nu 0027 Re08 Pr1 3 0 14 µ b µ w 535 Esta equação é aplicável quando 07 Pr 16700 Re 10000 L D 60 em tubos lisos Todas as propriedades são estimadas na temperatura média global do fluido Tb exceto µw que é calculado à temperatura da parede 544 Equação de Petukhov As relações que acabamos de apresentar são relativamente simples mas dão um erro máximo de 25 na faixa de 067 Pr 100 e podem ser aplicadas no escoamento turbulento em dutos lisos Uma correlação mais precisa que é também aplicável em dutos Apostila de Transferência de Calor e Massa 61 rugosos foi desenvolvida por PetuKhov e colaboradores no Instituto de Altas Temperaturas de Moscou 1 2 2 3 8 1 12 7 Pr 07 1 8 Pr Re f X f X N n w b u µ µ 536 n 011 aquecimento com Tw uniforme Tw Tb 025 esfriamento com Tw uniforme Tw Tb 0 fluxo de calor uniforme na parede ou gases As Eqs 536 são aplicáveis no escoamento turbulento plenamente desenvolvido na faixa 104 Re 5x106 05 Pr 200 com erro de 5 a 6 05 Pr 2000 com erro de 10 008 b w µ µ 40 Notamos que b w µ µ 1 quando o líquido for aquecido e b w µ µ 1 quando o líquido for resfriado Todas as propriedades físicas exceto w µ são estimados na temperatura média global O fator de atrito f nas equações 536 pode ser estimado pelo diagrama de Moody para tubos lisos ou obtido da carta de Moody fig 53 para tubos lisos ou rugosos 545 Equação de Nusselt As relações anteriores são aplicáveis no domínio LD 60 Nusselt estudou os dados experimentais com LD de 10 a 100 e concluiu que h neste domínio é aproximadamente proporcional a DL1 8 Daí substituiu a Eq 535 por Nu 400 10 Pr 036Re 0 0 055 1 3 80 D L em L D 537 onde L é o comprimento medido do princípio da seção de transferência de calor e as propriedades do fluido são calculadas à temperatura média global do fluido 546 Equação de Notter e Sleicher O número de Nusselt é determinado teoricamente a partir da solução da equação da energia com o emprego de um perfil apropriado de velocidades no escoamento turbulento O número de Nusselt resultante na região hidrodinâmica e termicamente desenvolvida foi expresso na forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 62 0016 Rea Prb 5 Nu 538 onde a 088 Pr 4 0 24 e b 033 05e06Pr que é aplicável em 01 Pr 104 104 Re 106 D 25 L A Eq 538 correlaciona bem os dados experimentais e proporciona uma representação mais exata do efeito do número de Prandtl Pode ser preferida à Eq 537 55 TRANSFERÊNCIA DE CALOR NOS METAIS LÍQUIDOS Os metais líquidos são caracterizados pelo número de Prandtl muito baixo variando de cerca de 002 a 0003 Por isso as correlações de transferência de calor das seções anteriores não se aplicam aos metais líquidos pois sua faixa de validade não se estende a valores tão baixos do número de Prandtl O Lítio o Sódio o Potássio o Bismuto e o sódiopotássio estão entre os metais comuns de baixo ponto de fusão que são convenientes para a transferência de calor Há interesse para a engenharia na transferência de calor em metais líquidos pois se podem transferir grandes quantidades de calor em altas temperaturas com diferença de temperatura relativamente baixa entre o fluido e a superfície da parede do tubo As altas taxas de transferência de calor resultam da alta condutividade dos metais líquidos comparada com a condutividade dos líquidos e gases ordinários Por isso são particularmente atraentes como meio de transferência de calor nos reatores nucleares e em muitas outras aplicações em alta temperatura e com elevado fluxo de calor A principal dificuldade no emprego dos metais líquidos está em seu manuseio São corrosivos e alguns podem provocar violentas reações quando entram em contato com o ar ou a água Como se discutiu no Cap 4 quando Pr1 como nos metais líquidos a camada limite térmica é muito mais espessa do que a camada limite cinética Isto implica que o perfil de temperaturas e portanto a transferência de calor nos metais líquidos não é influenciada pela subcamada laminar ou pela viscosidade Desse modo nesses casos esperase uma dependência bastante fraca entre a transferência de calor e o número de Prandtl Por isso a maior parte das correlações empíricas da transferência de calor com metais líquidos foi estabelecida fazendose o gráfico do número de Nusselt contra o número de Péclét Pe RePr Esta situação discutida inicialmente com referência ao escoamento sobre uma placa plana também se aplica ao escoamento num tubo circular como está ilustrado na figura 54 Nesta figura os números de Nusselt no aquecimento de metais líquidos em tubos longos sujeitos a um fluxo de calor constantes nas paredes compiladas de várias fontes por Lubarsky e Kaufman estão plotados contra os números de Péclét Os dados parecem ter boa correlação mas há também espalhamento A explicação está nas dificuldades inerentes às experiências com metais líquidos especialmente em ter que se tratar com altas temperaturas e diferenças de temperatura muito pequenas O fato de alguns metais líquidos não molharem a superfície Apostila de Transferência de Calor e Massa 63 sólidas também é considerado uma possível explicação para alguns valores medidos do número de Nusselt serem mais baixos do que as previsões teóricas Resumiremos algumas correlações empíricas e teóricas para a transferência de calor nos metais líquidos no escoamento turbulento plenamente desenvolvido dentro de um tubo circular com fluxo de calor constante nas paredes e também temperatura constante da parede como condição de contorno Fig 54 Números de Nusselt medidos no aquecimento de metais líquidos em tubos longos circulares com fluxo de calor constante nas paredes 551 Fluxo de calor uniforme nas paredes Lubarsky e Kaufman propuseram a seguinte relação empírica para calcular o número de Nusselt no escoamento turbulento plenamente desenvolvido de metais líquidos em tubos lisos Nu 0625 Pe 04 539 número de Péclét Pe Re Pr para 102 Pe 10 4 LD 60 e as propriedades são calculadas à temperatura média global do fluido Skupinski Tortel e Vautrey baseados nas experiências de transferência de calor feitas com misturas de sódio e potássio recomendaram a seguinte expressão para metais líquidos em escoamento turbulento plenamente desenvolvido dentro de tubos lisos Nu 482 00185 Pe 0827 540 para 36 x 10 3 Re 905 x 10 5 10 2 Pe 10 4 e LD 60 As propriedades físicas são calculadas à temperatura média global do fluido A Eq 539 prevê número de Nusselt mais baixo que a Eq 540 é previsão conservadora Apostila de Transferência de Calor e Massa 64 552 Temperatura uniforme nas paredes Seban e Shimazaki utilizaram a analogia entre a transferência de momento e a transferência de calor e propuseram a expressão seguinte para metais líquidos em tubos lisos com temperatura uniforme nas paredes Nu 50 0025 Pe 08 541 para Pe 100 LD 60 e lpropriedades físicas calculadas à temperatura média global do fluido Também foram desenvolvidas expressões para o número de Nusselt no escoamento turbulento plenamente desenvolvido de metais líquidos em tubos lisos sujeitos à condição de contorno temperatura uniforme nas paredes mediante ajustes empíricos dos resultados das soluções teóricas Apresentaremos agora os resultados destes ajustes Sleicher e Tribus Nu 48 0015 Pe 091 Pr 030 para Pr 005 542 Azer e Chão Nu 50 005 Pe 077 Pr 025 para Pr 01 Pe 15000 543 Notter e Sleicher Nu 48 00156 Pe 085 Pr 008 para 0004 Pr 01 Re 500000 544 6 CONVECÇÃO FORÇADA NO ESCOAMENTO SOBRE CORPOS 61 COEFICIENTE DE TRANSFERËNCIA DE CALOR NO ESCOAMENTO SOBRE UMA PLACA PLANA Vamos considerar agora a transferência de calor para um fluido ou de um fluido que escoa sobre uma placa plana Suponha que a transferência de calor se inicia na borda frontal da placa Como foi discutido no Cap 4 as camadas limite cinética e térmica começam a se desenvolver simultaneamente e sua espessura relativa depende do valor do número de Prandtl Se a distribuição de temperatura Tx y na camada limite for conhecida o coeficiente de transferência de calor local hx pode ser determinado a partir de sua definição dada na Eq 411 a como W y 0 T T y T k h x 61 onde T e Tw são as temperaturas da corrente livre do fluido e da parede respectivamente Apostila de Transferência de Calor e Massa 65 Apresentaremos primeiro uma análise aproximada da determinação da distribuição de temperaturas na camada limite térmica e a seguir o coeficiente de transferência de calor no caso especial em que Pr 1 isto é nos metais líquidos A razão para considerar primeiro os metais líquidos está na simplicidade da análise neste caso particular além disso ela nos ajudará a aprofundar a compreensão do papel da camada limite térmica na transferência de calor O caso de Pr 1 gases que envolve análise mais elaborada será considerado mais tarde 611 Metais líquidos num escoamento laminar O número de Prandtl é muito baixo nos metais líquidos por isso a camada limite térmica é muito mais espessa que a camada limite cinética isto éδt δ Fig 61 Camadas limites cinética e térmica na transferência de calor em metais líquidos Pr 1 A Fig 61 ilustra as camadas limites cinética e térmica quando ambas começam a se desenvolver a partir da borda frontal da placa plana Sejam T e u a temperatura e a velocidade do fluido respectivamente fora das camadas limites Tw é a temperatura da superfície da placa Admitiremos um fluido incompressível de propriedades constantes num escoamento bidimensional estacionário com dissipação viscosa de energia desprezível A equação da energia que governa a distribuição de temperaturas Tx y na camada limite térmica é obtida pela equação 2 2 y T y v T x u T αααα 62 Para conveniência de análise definimos uma temperatura adimensional θ x y como w w T T T T x y x y θ 63 onde θx y varia de zero na superfície da parede até a unidade na extremidade da camada limite térmica Então a equação da energia é escrita em termos de θx y como Apostila de Transferência de Calor e Massa 66 2 2 y y v u x θθθθ αααα θθθθ θθθθ para x 0 64 e as condições de contorno são θθθθ 0 em y 0 65 a θθθθ 1 em y tδδδδ x 65 b onde as Eqs 65 a e 65 b dão respectivamente a temperatura na superfície da parede igual a Tw e a temperatura na fronteira da camada limite térmica com espessura tδδδδ x igual a T A análise exata deste problema de temperatura é bastante elaborada pois as componentes da velocidade u e v devem ser determinadas a partir do problema cinético antes que a equação da energia 64 possa ser resolvida Entretanto uma solução aproximada deste problema com o método integral é relativamente simples Os passos básicos são os seguintes A equação da energia 64 é integrada em relação a y na camada limite térmica e a componente da velocidade vx y é eliminada por meio da equação da continuidade A equação resultante chamada a equação integral da energia é dada por t y y em dy d dy u dx d t δ α θ θ δ 0 1 0 0 66 onde t x t δ δ x y u x y e u θ θ Até aqui a análise e a Eq 66 são exatas mas esta equação não pode ser resolvida pois ela envolve três incógnitas tδδδδ x x y u x y θ Por isso precisamos de relações adicionais Neste estágio são introduzidas aproximações a fim de desenvolveremse expressões analíticas simples para ux y e θθθθ x y coerentes com a realidade física Uma vez que a camada limite cinética é muito delgada a velocidade do escoamento em uma grande porção da camada limite térmica é uniforme e igual a u como está ilustrado na Fig 61 Por isso numa primeira aproximação o perfil de velocidades é tomado como u x y u constante 67 O perfil de temperaturas θθθθ x y pode ser representado como uma aproximação polinomial dentro da camada limite térmica Suponhamos uma aproximação cúbica para θθθθ x y com a forma θθθθ xy c0 c1xy c2xy2 c3xy3 x y em0 tδδδδ 68 e que as quatro condições necessárias para determinar os quatro coeficientes tenham a forma Apostila de Transferência de Calor e Massa 67 θθθθ 0 em y 0 69 a θθθθ 1 em y tδδδδ 69 b y 0 θθθθ em y tδδδδ 69 c 0 y2 2 θθθθ em y 0 69 d Notamos que as duas primeiras condições são as condições de contorno a terceira está baseada na definição da camada limite térmica e a última é obtida pela estimativa da equação da energia 64 em y 0 observandose que u v 0 na superfície da parede A aplicação das condições 69 à Eq 68 dá o perfil de temperaturas na forma 3 t t y 2 1 y 2 3 x y δδδδ δδδδ θθθθ 610 Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs 67 e 610 são introduzidos na equação integral da energia 66 Obtemos t 0 3 t t 2 3 dy y 2 1 y 2 3 1 u dx d t δδδδ αααα δδδδ δδδδ δδδδ 611 onde o segundo membro vem da relação 3 2 y t y 0 δδδδ θθθθ Quando se faz a integração em relação a y a equação diferencial ordinária para a espessura tδδδδ da camada limite térmica t t 2 3 dx d 8 u 3 δδδδ αααα δδδδ ou 612 u dx 4 d t t αααα δδδδ δδδδ A integração da Eq 612 com as condições δδδδt 0 em x 0 dá a espessura da camada limite térmica como x u 8 2 t αααα δδδδ 613 a ou u x 8 t αααα δδδδ 613 b Apostila de Transferência de Calor e Massa 68 O gradiente de temperatura na parede com o perfil cúbico da temperatura Eq 610 fica t y 0 2 3 y δδδδ θθθθ 614 e o coeficiente de transferência de calor definido pela Eq 61 escrevese em termos de θθθθ x y como y y 0 k x h θθθθ 615 A partir das Eqs 614 e 615 temos t k 2 3 h x δδδδ 616 Levando tδδδδ da Eq 613 b para a equação 616 determinase o coeficiente de transferência de calor local hx como Re Pr x k 8 2 3 v v u x x k 8 2 3 x u 8 2 3k h x x αααα αααα 617 O número de Nusselt local Nux no escoamento laminar de metais líquidos sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme fica 2 1 x x x 0 530Pe Re Pr 8 2 3 k h x x Nu 618 v u x Rex número de Reynolds local αααα v Pr número de Prandtl αααα u x Re Pr Pe x x número local de Péclét A solução dada pela Eq 618 foi obtida por uma análise aproximada Este resultado deve ser comparado com a solução exata de Pohlhausen para este problema de transferência de calor no caso limite Pr 0 dada por Nux 0564 1 2 Pex exato para Pr 0 619 Esta equação foi deduzida sob a hipótese de que Pr 0 na prática esta hipótese implica que se trata de metais líquidos isto é Pr 005 A solução aproximada dada pela Eq 618 é razoavelmente próxima deste resultado exato No começo desta análise estabelecemos que nos metais líquidos a camada limite cinética é muito menor do que a camada limite térmica Para testar a validade desta Apostila de Transferência de Calor e Massa 69 afirmação dividamos a espessura da camada limite cinética δδδδ x pela espessura da camada limite térmica tδδδδ x Eq 613 b Obteremos 2 692Pr 8 13 280 x u u v x x x t α δ δ Nos metais líquidos com Pr 001 encontramos 0164 x x t δδδδ δδδδ 620 o que mostra nos metais líquidos ser δδδδ x tδδδδ x 612 Fluidos ordinários em escoamento laminar Examinaremos agora a determinação do coeficiente de transferência de calor no escoamento laminar de fluidos ordinários que tem Pr 1 sobre uma placa plana mantida a uma temperatura uniforme Admitese que um fluido a uma temperatura T flui com a velocidade u sobre uma placa plana O eixo x é paralelo à placa na direção do escoamento com a origem x 0 na borda frontal e o eixo y é perpendicular à placa no sentido da placa para o fluido A placa é mantida a uma temperatura T na região 0 x x0 e a uma temperatura uniforme Tw na região x xo Isto é a transferência de calor entre a placa e o fluido não começa até a posição x xo A Fig 62 ilustra as camadas limite cinética e térmica na situação física que acabamos de descrever Ressaltamos que a camada limite cinética é mais espessa do que a camada limite térmica pois Pr1 e δδδδ x começa a se desenvolver na borda frontal da placa enquanto tδδδδ x começa a se desenvolver em x xo onde principia a seção de transferência de calor Novamente admitiremos um fluido incompressível de propriedades constantes num escoamento bidimensional estacionário laminar com dissipação viscosa desprezível A equação da energia na camada limite é 2 2 y y v u x θθθθ αααα θθθθ θθθθ em x xo 621 Fig 62 Camadas limite cinética e térmica num fluido com Pr 1 e as condições de contorno são Apostila de Transferência de Calor e Massa 70 θθθθ 0 em y 0 622 a θθθθ 1 em y tδ x 622 b onde θ é definido pela Eq 63 Uma vez que a análise exata deste problema de temperatura é bastante complicada novamente consideremos a solução pelo método integral 1 A equação da energia 621 é integrada em relação a y sobre a camada limite térmica e a componente de velocidade vxy é eliminada por meio da equação da continuidade A equação integral da energia é determinada como t y y em y dy u dx d t δ α θ θ δ 0 1 0 0 623 que é a mesma Eq 66 Esta equação não pode ser resolvida pois envolve três incógnitas x y u x y t x θ δ Por isso precisamos de relações adicionais 2 Introduzimos aproximações para desenvolver expressões analíticas de uxy e de θθθθ x y Para o perfil de velocidades uxy escolhemos uma aproximação polinomial cúbica e tomamôla na forma y 3 2 1 y 2 3 u u x y δδδδ δδδδ 624 Para o perfil de temperaturas θθθθ x y escolhemos um perfil cúbico e imediatamente obtemos a sua expressão pela Eq 610 3 t t y 2 1 y 2 3 x y δδδδ δδδδ θθθθ 625 3 Os perfis de velocidades e de temperaturas dados pelas Eqs 624 e 625 são levados á equação integral da energia 623 Obtemos t 3 t t 3 t 0 2 3 dy y 2 1 y 2 3 1 y 2 1 y 2 3 dx u d t δδδδ αααα δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ 626 a 2 u 3 dy y 4 1 y 4 3 y 2 1 y 4 3 y 4 9 y 2 3 dx d t 0 6 3 t 3 4 t 3 3 3 4 3 t 2 t t δδδδ αααα δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδ δδδδ δδδδ 626 b A integração em relação a y é então realizada u 2 3 28 1 20 3 8 1 20 3 4 3 4 3 dx d t 3 4 t 3 4 t 3 4 t 2 t 2 t t2 δδδδ αααα δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ δδδδ 627 Agora uma nova variável x é definida como a razão entre a espessura da camada limite térmica e a espessura da camada limite cinética Apostila de Transferência de Calor e Massa 71 x x x t δδδδ δδδδ 628 Então a Eq627 se torna u 2 3 280 3 20 3 dx d 4 2 δδδδ αααα δδδδ 629 Consideraremos agora a situação em que a espessura da camada limite térmica é menor do que a espessura da camada limite cinética δδδδ como está ilustrado na Fig 62 para Pr1 Então 1 e na Eq 629 o termo 3280 4 pode ser desprezado em comparação com 320 2 A Eq 629 é simplificada para u 10 dx d 2 αααα δδδδ δδδδ 630 Feita a derivação em relação a x u dx d dx d α δ δ 10 2 3 2 2 ou u 10 dx d dx d 3 2 3 3 2 αααα δδδδ δδδδ δδδδ 631 uma vez que dx d 3 1 dx d 3 2 A espessura da camada limite cinética δδδδ foi determinada como u vx 13 280 δδδδ 2 632 a e derivando obtemos u v 13 140 dx δδδδ dδδδδ 632 b A substituição das equações 632 na equação 631 leva a 56 v 39 4 3 dx d x 3 3 αααα 633 Esta é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem em 3 e sua solução geral é escrita como 14 v 13 Cx x 4 3 3 αααα 634 Apostila de Transferência de Calor e Massa 72 A constante de integração C é determinada pela condição de contorno δδδδ t 0 em x xo que é equivalente a 0 x em x xo 635 Encontraremos 4 3 0 1 3 x x 1 14 Pr 13 x 636 onde αααα v Pr número de Prandtl Se admitimos que a transferência de calor para o fluido principia na borda frontal da placa fazemos x0 0 e a Eq 636 simplificase para 3 1 3 1 3 1 t 0976 Pr Pr 14 13 x x x δδδδ δδδδ 637 Esta relação mostra que a razão entre a espessura da camada limite térmica e da cinética num escoamento laminar sobre uma placa plana é inversamente proporcional à raiz cúbica do número de Prandtl A substituição de δδδδ x da Eq 632 a na Eq 637 dá a espessura da camada limite térmica como 3 1 2 1 x t Pr Re x 453 x δδδδ 638 onde v u x Re x Na aproximação polinomial cúbica considerada aqui para θθθθ x y o coeficiente de transferência de calor local hx foi relacionado anteriormente com a espessura da camada limite térmica δδδδ t x pela Eq 616 x k 2 3 x h δδδδ t 639 Introduzindose δδδδ t x da Eq 638 na Eq 639 encontrase o número de Nusselt local Nux 1 2 x 1 3 x Re 0331 Pr k h x x Nu com Rex5105 640 Esta solução aproximada é notavelmente próxima da solução exata deste problema dada por Pohlhausen como Apostila de Transferência de Calor e Massa 73 1 2 x 1 3 x Re Nu 0332 Pr exata com Rex5105 641 Note que a relação de transferência de calor dada pela Eq 640 foi deduzida por uma análise aproximada com a hipótese δδδδ δδδδ t ou Pr1 Entretanto a comparação com os resultados exatos mostra que ela é válida no domínio 06Pr10 que cobre muitos gases e líquidos Para grandes valores do número de Prandtl os cálculos exatos de Pohlhausen mostram que o número de Nusselt local Nux é dado por 1 2 x 1 3 x Re Nu 0339 Pr exata com pr e Rex5105 642 Para calcular o coeficiente de transferência de calor a partir das relações acima recomendase que as propriedades do fluido sejam calculadas na média aritmética entre a temperatura da parede Tw e a temperatura do escoamento externo T isto é Tf12Tw T a chamada temperatura películar Nas aplicações de engenharia definese um coeficiente de transferência de calor médio hm sobre o comprimento da placa desde x 0 até x L L 0 m h x dx L 1 h 643 Notando que hx x 12 encontramos que o coeficiente de transferência de calor médio no escoamento laminar paralelo a uma placa plana sobre a distância de x 0 até x L é dado por x L m 2h x h 644 Então os números de Nusselt médios no escoamento laminar paralelo à placa plana são dados por 1 2 L 1 3 m Re 0664 Pr Nu exata06Pr10 645 a 1 2 1 3 Re 0 678Pr L Num exata Pr 645 b onde k h L Nu m m v u L ReL e as propriedades são estimadas na temperatura pelicular A Eq 645 b deduzida para o caso limite Pr é aplicável aos fluidos que têm um número de Prandtl grande como os óleos 613 Escoamento turbutento A transição do escoamento laminar para o turbulento ocorre no domínio dos números de Reynolds entre 2 x 105 e 5 x 105 no escoamento sobre uma placa plana As correlações da Apostila de Transferência de Calor e Massa 74 transferência de calor podem ser desenvolvidas no escoamento turbulento sobre uma placa plana utilizandose as relações entre o coeficiente de transferência de calor e o de arraste dados pela Eq 615a 2 Pr 2 3 Cx St x 646 Por exemplo se Cx for obtido da equação 00592 Rex 20 Cx encontraremos 7 5 20 2 3 10 Re 10 5 0 0296Re Pr x x x com x St 647 a ou Cx é 9 7 2 584 2 3 10 Re 10 0185logRe Pr x x x com St 647 b e todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular Mais recentemente Whitaker utilizou os dados experimentais de Zukauskas e Ambrazyavichyus e modificou a expressão de Colburn para desenvolver a seguinte correlação para a camada limite turbulenta sobre uma placa plana 0 029 Re 80 Pr 0 43 Nux x 648 válida de Rex 2 105 até 5 105 todas as propriedades são calculadas na temperatura pelicular Nas aplicações práticas há interesse no coeficiente de transferência de calor médio hm na distância 0 x L da placa Quando o escoamento é turbulento é sempre precedido por uma camada limite laminar na qual a equação que governa a transferência de calor é diferente da que governa o escoamento turbulento Por isso a promediação deve ser feita em ambas as regiões como descreveremos agora Admita um escoamento laminar na região 0 x c e turbulento na região c x L Os coeficientes de transferência de calor locais nestas duas regiões são obtidos das Eqs 641 e 648 respectivamente como em v u x x k hl x 1 3 1 2 Pr 0 332 0xc laminar em Pr v u x x 0029 k h 0 43 0 8 l x cXL turbulento O coeficiente de transferência de calor médio hm na região 0 x L é definido como L t x C L x m h dx h dx L h 0 0 1 L c 0 2 0 43 0 8 c 0 0 5 1 3 5 0 m dx x Pr v 0029k u dx x Pr v L 0332k u 1 h 649 a e o número de Nusselt médio Num na região 0 x L é Apostila de Transferência de Calor e Massa 75 k h L Nu m m 649 b Depois de feitas a integrações o número de Nusselt médio nas regiões de escoamento Laminar e turbulento é 0 5 c 1 3 0 8 c 0 8 L 0 43 m Re 0664 Pr Re Re 0036 Pr Nu 650 válida para ReL Rec onde ReL u Lv e Rec número de Reynolds crítico para a transição Evidentemente o Num dado pela Eq 650 depende do valor do número de Reynolds crítico da transição do escoamento laminar para o turbulento O nível da turbulência da corrente livre afeta a transição Quando há geração elevada da turbulência na corrente livre a transição para o escoamento turbulento ocorre em um número de Reynolds crítico mais baixo Entretanto se se tomar cuidado para eliminar a turbulência da corrente livre retardase a transição para o escoamento turbulento Com o número de Reynolds crítico Rec 2 105 a Eq 650 se torna 1 3 0 8 L 0 43 m 297 Pr 17400 Re 0036 Pr Nu 651 O último termo do segundo membro pode ser aproximado por 0 43 1 3 297 Pr 297 Pr e a correção de viscosidade pode ser introduzida multiplicandose o segundo membro da expressão resultante por w 0 25 µµµµ µµµµ Então obtémse a seguinte expressão 9200 Re 0036 Pr Nu 0 8 L 0 43 m w 0 25 µµµµ µµµµ 652 Todas as propriedades físicas são calculadas na temperatura da corrente livre exceto w µµµµ que é calculado na temperatura da parede Nos gases a correção de viscosidade é desprezível e neste caso as propriedades físicas são calculadas na temperatura pelicular A Eq 652 dá o número de Nusselt médio nas camadas limite laminar e turbulenta sobre uma placa plana com ReL 2 105 Foram propostas por Whitaker e usadas para correlacionar os dados experimentais de vários investigadores com o ar a água e óleos cobrindo as seguintes faixas 2 105 ReL 55 106 070 Pr 380 026 µµµµ µµµµ 35 A Eq 652 relaciona os dados experimentais razoavelmente bem quando a turbulência da corrente for pequena Se estiver presente turbulência de alto nível na corrente livre a Eq 652 sem a constante 9200 correlaciona os dados razoavelmente bem 62 ESCOAMENTO TRANSVERSAL A UM CILINDRO CIRCULAR ISOLADO O escoamento transversal a um cilindro circular isolado é encontrado freqüentemente na prática mas a determinação dos coeficientes de arraste e de transferência de calor é assunto muito complicado devido à complexidade dos padrões do escoamento em torno de um Apostila de Transferência de Calor e Massa 76 cilindro A Fig 63 ilustra as características do escoamento em torno de um cilindro circular evidentemente elas dependem do número de Reynolds definido como v u D Re 653 onde D é o diâmetro do cilindro e u é a velocidade da corrente livre Para um número de Reynolds menor do que 4 aproximadamente o escoamento não se separa e o campo de velocidades pode ser analisado pela solução das equações do movimento Para números de Reynolds acima de 4 aproximadamente os turbilhões começam na região da esteira e a análise da distribuição de velocidades e de temperaturas em torno do cilindro com Re 4 tornase muito complicada 621 Coeficiente de arraste Considere um escoamento à velocidade u transversal a um cilindro circular de diâmetro D e seja F a força de arraste atuando no comprimento L do cilindro O coeficiente de arraste cD é definido como 2 u c LD F 2 D ρρρρ 654 Fig 63 Escoamento em torno de um cilindro circular em vários números de Reynolds Aqui LD representa a área normal ao escoamento O coeficiente de arraste cD definido pela Eq 680 é o valor médio do coeficiente de arraste local calculado sobre a circunferência do cilindro Portanto dado cD a força de arraste F atuando sobre o comprimento L do cilindro pode ser calculada de acordo com a Eq 654 A Fig 65 mostra o coeficiente de arraste cD no escoamento transversal a um cilindro isolado O significado físico da variação de cD com o número de Reynolds é mais bem percebido se examinarmos os resultados da Fig 65 relacionandoos aos esboços da Fig 64 Com Re 4 o arraste é causado somente pelas forças viscosas pois a camada limite permanece aderente ao cilindro Na região 4 Re 5000 formamse turbilhões na esteira por isso o arraste é devido parcialmente às forças viscosas e parcialmente à formação da esteira isto é à baixa pressão provocada pela separação do escoamento Na região 5 x 103 Re 35 x 105 o arraste é provocado predominantemente pelos vórtices muito turbulentos na esteira A redução repentina do arraste a Re 35 x 105 é provocada pela transformação súbita da camada limite em turbulenta fazendo com que o ponto de separação do escoamento desloquese para a parte posterior do cilindro o que reduz a dimensão da esteira e daí o arraste Apostila de Transferência de Calor e Massa 77 Fig64 Coeficiente de arraste no escoamento transversal a um cilindro circular isolado 622 Coeficiente de transferência de calor A Fig 66 mostra a correlação de MacAdams para o coeficiente de transferência de calor médio hm no resfriamento ou no aquecimento do ar que flui transversalmente a um cilindro isolado As propriedades sâo estimadas a T Tw2 Esta correlação não mostra explicitamente a dependência entre os resultados e o número de Prandtl pois os gases têm um número de Prandtl da ordem da unidade Por isso foram desenvolvidas correlações mais elaboradas por diversos pesquisadores a fim de incluir o número de Prandtl e daí estender a aplicabilidade dos resultados para fluidos que não sejam gases Whitaker estabeleceu uma correlação entre o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento de gases ou de líquidos transversal a um cilindro isolado dada por 25 0 w 0 4 2 3 0 5 m m Pr 006 Re 0 4 Re k h D Nu µµµµ µµµµ 655 que concorda com os dados experimentais dentro de 25 nas faixas seguintes Apostila de Transferência de Calor e Massa 78 Fig 85 Número de Nusselt médio para o aquecimento ou o resfriamento do ar fluido em torno de um único cilindro circular 40 Re 105 067 Pr 300 025 µµµµw µµµµ 52 Apostila de Transferência de Calor e Massa 79 Fig 86 Número de Nusselt no escoamento transversal a um cilindro circular isolado onde as propriedades físicas são estimadas na temperatura da corrente livre exceto w µµµµ que é estimada na temperatura da parede Para os gases a correção de viscosidade é desprezada e neste caso as propriedades são estimadas na temperatura pelicular Observamos que a equação 655 envolve duas diferentes dependências funcionais entre o número de Nusselt e o número de Reynolds A dependência funcional Re05 caracteriza a contribuição oriunda da camada limite laminar não destacada e a dependência Re23 caracteriza a contribuição da região da esteira em torno do cilindro A fig 66 mostra a correlação entre a Eq 655 e os dados experimentais de vários pesquisadores para diferentes fluidos Uma correlação mais elaborada porém mais geral é dada por Churchill e Bernstein para o coeficiente de transferência de calor médio hm no escoamento em torno de um cilindro isolado aplicável para 102 Re 107 e Pe Re Pr 02 4 5 8 5 3 1 4 2 1 3 2 1 m 282000 Re 1 0 4 Pr 1 Pr 062 Re 0 3 Nu 656 A Eq 656 prevê muitos dados com desvio para menos de cerca de 20 na faixa de 20000 Re 400000 Por isso nesta faixa particular do número de Reynolds recomendase a seguinte forma modificada da Eq 656 2 1 3 1 4 2 1 3 2 1 m 282000 Re 1 0 4 Pr 1 Pr 062 Re 0 3 Nu 657 para 20000 Re 400000 Nas Eqs 656 e 657 todas as propriedades são estimadas na temperatura pelicular As Eqs 656 e 657 foram desenvolvidas fazendose a correlação entre os Apostila de Transferência de Calor e Massa 80 dados experimentais de muitos pesquisadores incluindo fluidos como o ar a água e o sódio líquido com temperatura constante na parede e também com fluxo de calor constante na parede Para o domínio do número de Péclét menor do que 02 Nakai e Okazaki propuseram a correlação 1 1 2 m ln Pe 08237 Nu com Pe 02 658 As propriedades devem ser estimadas na temperatura películar 63 ESCOAMENTO EM TORNO DE UMA ESFERA ISOLADA As características do escoamento em torno de uma esfera são semelhantes às dos escoamentos apresentados na fig 83 no caso de um cilindro isolado Por isso a dependência entre o coeficiente de arraste ou o coeficiente de transferência de calor e o número de Reynolds deve ter no caso de uma esfera a mesma forma que no caso de cilindro único 631 Coeficiente de arraste Se F for a força total de arraste devida ao escoamento em torno de uma esfera isolada o coeficiente médio de arraste cD é definido pela relação 2 u c A F 2 D ρρρρ 659 onde A é a área frontal isto é A ππππD 2 4 e u é a velocidade da corrente livre Notamos que FA é a força de arraste por unidade de área frontal da esfera Fig 67 Coeficiente de arraste no escoamento em torno de uma única esfera A fig 67 apresenta o coeficiente médio de arraste cD no escoamento em torno de uma esfera única A comparação entre as curvas do coeficiente de arraste nas Fig 64 e 67 para Apostila de Transferência de Calor e Massa 81 um cilindro isolado e para uma esfera isolada respectivamente revela que as duas curvas tem características gerais semelhantes 632 Coeficiente de transferência de calor No escoamento de gases em torno de uma única esfera Mc Adams recomenda a correlação simples 0 6 m m 037 Re k h D Nu para 17 Re 70000 660 onde hm é o coeficiente de transferência de calor médio sobre a superfície inteira da esfera As propriedades estão calculadas em T Tw 2 Uma correlação mais geral para o escoamento dos gases e de líquidos em torno de uma esfera única foi apresentada por Whitaker na forma 25 0 w 0 4 2 3 0 5 m Pr 006 Re 0 4 Re 2 Nu µµµµ µµµµ 661 que é válida nos domínios e as propriedades físicas são estimadas na temperatura de corrente livre exceto 35 Re 8 x 104 07 Pr 380 1 µµµµw µµµµ 32 w µµµµ que é estimada na temperatura da parede Com os gases a correção de viscosidade é desprezível e as propriedades físicas são estimadas na temperatura pelicular A Eq 661 para uma esfera e a Eq 655 para um cilindro tem a mesma dependência funcional entre o número de Nusselt e o número de Reynolds exceto quanto a constante 2 Na Eq 661 À medida que Re 0 isto é o escoamento se anula a Eq 661 admite um valor limite Nu 2 que representa a condução de calor estacionária de uma esfera a uma temperatura uniforme para o meio infinito que a rodeia Apostila de Transferência de Calor e Massa 82 Fig 68 Número de Nusselt no escoamento em torno de uma esfera única A fig 68 mostra a correlação entre a Eq 661 e os dados experimentais para o ar a água e o óleo A Eq 661 representa razoavelmente bem os dados 64 ESCOAMENTO ATRAVÉS DE FEIXES DE TUBOS A transferência de calor e a perda de carga característica de feixes de tubos têm numerosas aplicações no projeto de trocadores de calor e de equipamento industrial de transferência de calor Por exemplo um tipo comum de trocador de calor consiste num feixe de tubos com um fluido passando dentro dos tubos e outro passando transversalmente em torno dos tubos Os arranjos de feixes de tubos utilizados mais freqüentemente incluem os arranjos alinhado e alternado ilustrados na Fig 68 a e b respectivamente A geometria dos feixes de tubos é caracterizada pelo passo transversal ST e pelo passo longitudinal SL entre os centros dos tubos o passo diagonal SD entre os centros dos tubos no sentido diagonal é utilizado muitas vezes no caso do arranjo alternado Para definir o número de Reynolds no escoamento através de um feixe de tubos a velocidade do escoamento é baseada na área mínima de escoamento livre disponível para o escoamento quer a área mínima ocorra entre os tubos em uma linha transversal quer em uma linha diagonal Então o número de Reynolds no escoamento num feixe de tubos é definido por µµµµ Re DGmáx 662 Gmáx ρumáx velocidade máxima da vazão mássica 663 é a vazão mássica por unidade de área onde a velocidade do escoamento for máxima e D é o diâmetro externo do tubo ρ é a densidade e umáx é a velocidade máxima baseada na área mínima de escoamento livre disponível no escoamento do fluido Se u for a velocidade do fluido medida em um ponto do trocador de calor antes de o fluido entrar no feixe de tubos ou a velocidade do escoamento baseada no escoamento no interior do casco do Apostila de Transferência de Calor e Massa 83 trocador sem os tubos então a velocidade máxima do escoamento umáx no arranjo alinhado da Fig 8l0a é determinada por 1 D S D S u D S S u u T T T T máx 664 onde ST é o passo transversal e D é o diâmetro externo do tubo Evidentemente no arranjo alinhado ST D é a área de escoamento livre mínima entre os tubos adjacentes em uma fila transversal por unidade de comprimento do tubo Fig 69 Definiçãodos passos longitudinal transversal e diagonal nos arranjos de feixes de tubos alinhados e alternados a arranjo alinhado b arranjo alternado No arranjo alternado da Fig 69 b a área de escoamento livre mínima pode ocorrer entre tubos adjacentes numa fila transversal ou numa linha diagonal No primeiro caso determinase umáx como se ensinou acima no último caso fazse 1 2 1 2 D S D S u D S S u u D T D T máx 665 A velocidade máxima da vazão mássica Gmáx definida pela Eq 663 também pode ser calculada a partir de Gmáx Amín M 666 onde M vazão mássica total do escoamento através do feixe em quilogramas por segundo e Amín área total mínima de escoamento livre Os padrões do escoamento através de um feixe de tubos são tão complicados que é virtualmente impossível prever mediante análise a transferência de calor e a perda de carga no escoamento através de feixes de tubos Por isso o método experimental é a única alternativa e dispomos de grande riqueza de dados experimentais na literatura As pesquisas experimentais indicam que nos feixes de tubos com mais do que cerca de N 10 a 20 filas de tubos na direção do escoamento com o comprimento do tubo grande em comparação com o diâmetro do tubo os efeitos da entrada da saída e das bordas Apostila de Transferência de Calor e Massa 84 são desprezíveis Nesses casos o número de Nusselt do escoamento através do feixe depende dos seguintes parâmetros Re Pr SLD STD e do arranjo geométrico dos tubos isto é se os tubos estão alinhados ou alternados 7 SISTEMAS COM CONDUÇÃO E CONVECÇÃO ALETAS O calor conduzido através de um corpo deve ser freqüentemente removido ou fornecido por algum processo de convecção Por exemplo o calor perdido por condução através de um forno deve ser dissipado para o ambiente por convecção Em aplicações de trocadores de calor um arranjo de tubos aletados pode ser empregado para a remoção de calor de um líquido quente A transferência de calor do líquido para o tubo aletado é por convecção O calor é conduzido através do material e finalmente dissipado no ambiente por convecção Obviamente uma análise dos sistemas que combinam condução e convecção é muito importante do ponto de vista prático Parte desta análise dos sistemas que combinam condução e convecção será feita no capítulo que trata de trocadores de calor Aqui serão examinados alguns problemas simples de superfícies protuberantes Considere a aleta unidimensional exposta a um fluido cuja temperatura é T como mostrado na Fig29 A temperatura da base da aleta é To Para o estudo deste problema devemos fazer um balanço de energia sobre o elemento da aleta de espessura dx como mostrado na figura Assim Fig 71 Aleta retangular Energia entrando pela face esquerda energia saindo pela face direita energia perdida por convecção A equação que define o coeficiente de calor por convecção é q hATp T 71 onde a área nesta equação é a área da superfície que troca calor por convecção Seja A a área transversal da aleta e P o seu perímetro Apostila de Transferência de Calor e Massa 85 Portanto as quantidades de energia são Energia entrando pela face esquerda dx kA dT qx Energia saindo pela face direita dx dx d T dx kA dT dx kA dT q x dx x dx 2 2 Energia perdida por convecção T hPdx T q A área diferencial para a convecção é o produto do perímetro da aleta pelo comprimento diferencial dx Quando combinamos estas quantidades o balanço de energia fica 0 2 2 T kA T hP dx d T Este resultado é escrito mais compactamente na forma 0 2 2 2 x m dx x d θ θ 72 onde m2 hPAk θx Tx T A Eq 72 é a equação unidimensional da aleta para aletas com seção transversal uniforme A solução desta equação diferencial ordinária sujeita às condições de contorno apropriadas nas extremidades da aleta dá a distribuição de temperatura na aleta Uma vez conhecida a distribuição de temperatura o fluxo de calor através da aleta é facilmente determinado A Eq 72 é uma equação diferencial ordinária linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes Sua solução geral pode ser da forma θx C1emx C2emx 73 onde as constantes são determinadas a partir das duas condições de contorno especificadas no problema da aleta A solução da Eq 73 é a mais conveniente para utilizar na resolução da equação da aleta 72 no caso de uma aleta longa Relembrando que o seno hiperbólico e o coseno hiperbólico podem ser construídos pela combinação de emx e emx é possível exprimir a solução 231 nas seguintes formas alternativas θx C1cosh mx C2senh mx 74a θx C1cosh mL x C2senh mL x 74b A solução dada pelas Eq 74 é mais conveniente para analisar aletas de comprimento finito A distribuição de temperatura θx numa aleta com seção reta uniforme pode ser determinada a partir da Eq 73 ou da Eq 74 se as constantes de integração C1 e C2 forem determinadas pelas duas condições de contorno do problema uma na base da aleta e a outra no topo da aleta Ordinariamente a temperatura na base x 0 é conhecida isto é θ0 To T θ o 75 Apostila de Transferência de Calor e Massa 86 onde To é a temperatura na base da aleta Diversas situações físicas diferentes são possíveis no topo da aleta x L pode ser considerada qualquer das três seguintes condições Caso 1 A aleta é muito longa e a temperatura da extremidade da aleta é essencialmente a mesma do fluido ambiente Caso 2 A extremidade da aleta é isolada ou perda de calor desprezível na ponta e assim dTdx 0 Caso 3 A aleta tem comprimento finito e perde calor por convecção pela sua extremidade 71 Aletas longas Numa aleta suficientemente longa é razoável admitir que a temperatura na ponta da aleta se aproxima da temperatura T do fluido que a rodeia Com esta admissão a formulação matemática do problema das aletas é 0 2 2 2 x m dx x d θ θ em x 0 76a θx To T θo em x 0 76b θx 0 em x 76c onde m2 PhAk A solução é obtida na forma da Eq 73 θx C1emx C2emx 77 A condição de contorno 76c exige que C2 0 e a aplicação da condição de contorno 76b dá C1 θo Então a resolução se torna mx o o e T T T T x x θ θ 78 que é a solução mais simples do problema da aleta Agora uma vez que a distribuição de temperatura é conhecida o fluxo de calor através da aleta é determinado calculandose o fluxo de calor condutivo na base da aleta de acordo com a equação 0 x dx x Ak d Q θ 79 Derivandose a Eq 78 em função de θx e substituindo o resultado na Eq79 obtémse PhkA m Ak Q o o θ θ 710 uma vez que Ph kA m 72 Aletas com perda de calor desprezível na ponta Apostila de Transferência de Calor e Massa 87 A área de transferência de calor na ponta da aleta é em geral muito pequena diante da área lateral da aleta para a transferência de calor Nesta situação a perda de calor na ponta da aleta é desprezível em comparação com a perda pelas superfícies laterais e a condição de contorno na ponta da aleta que caracteriza essa situação é dθdx 0 em x L Dessa forma a formulação matemática do problema da aleta se torna 0 2 2 2 x m dx x d θ θ em 0 x L 711a θx To T θo em x 0 711b 0 dx dθ x em x L 711c Escolhemos a solução na forma da Eq 74b θx C1 cosh mL x C2 senh mL x 712 A razão desta escolha está em que a solução 712 tem uma forma na qual uma das constantes de integração é imediatamente eliminada pela aplicação de uma das condições de contorno De fato a condição de contorno 711c exige que C2 0 então a aplicação da condição de contorno 711b dá C1 θocosh mL e a solução se torna ml x m L T T T T x x o o cosh cosh θ θ 713 A taxa de fluxo de Q através da aleta é agora determinada introduzindose a solução Eq 713 na Eq 79 Assim obtemos Q Akθom tg mL PhkAtg mL θo 714 73 Aletas com convecção na ponta Uma condição de contorno na ponta da aleta fisicamente mais realista é a que inclui transferência de calor por convecção entre a ponta e o fluido ambiente Então a formulação matemática do problema da condução de calor se torna 0 2 2 2 x m dx x d θ θ em 0 x L 715a θx To T θo em x 0 715b 0 x h dx x d k eθ θ em x L 715c onde k é a condutividade térmica da aleta e he é o coeficiente de transferência de calor entre a ponta da aleta e o fluido ambiente A solução é escolhida na forma da Eq 74b Apostila de Transferência de Calor e Massa 88 θx C1 cosh mL x C2 senh mL x 716 A aplicação das condições de contorno 715b e 715c respectivamente nos dá θo C1 cosh mL C2 senh mL 717a e k C2m he C1 0 717b uma vez que mk senhmL h mL x mk senhm L h x m L T T T T x x e e o x L o cosh cosh θ θ 718 A taxa do fluxo de calor através da aleta é obtida quando introduzimos este resultado na Eq 79 Então vem mk senhmL h mL mL mk h PhkA senhmL q e e o cosh cosh θ 719 74 EFICIÊNCIA DA ALETA Na análise precedente consideramos somente aletas de seção reta uniforme Em numerosas aplicações são utilizadas aletas de seção reta variável A determinação da distribuição de temperatura e daí do fluxo de calor nestes casos é bastante complicada e fica além do objetivo desse curso Entretanto a análise de transferência de calor foi realizada com uma grande diversidade de geometrias de aletas e os resultados foram apresentados em termos de um parâmetro chamado eficiência da aleta η definido pela relação entre a transferência real de calor através da aleta e transferência ideal de calor através de uma aleta se toda a superfície da aleta estivesse à temperatura To da base da aleta ideal aleta Q η Q 720 Aqui Qideal é dado por o f ideal a h Q θ 721a onde af área de superfície da aleta h coeficiente de transferência de calor θo To T Portanto se a eficiência da aleta η for conhecida a transferência de calor Q através da aleta é denominada pela relação o f ideal aleta a h Q Q θ η η 721b Apostila de Transferência de Calor e Massa 89 As gráficos 71 e 72 mostram a efeciência da aleta num gráfico em função do parâmetro 2 h kt L com geometrias típicas de aletas O gráfico 71 mostra a eficiência de aletas axiais em que a espessura da aleta varia com a distância x em relação à base da aleta onde a espessura é t O gráfico 72 é a eficiência de aletas em forma de disco circular de espessura constante Nas aplicações práticas uma superfície aletada no que se refere à trasferência de calor é composta pelas superfícies das aletas e pela fração lisa A transferência de calor Qtotal desta superfície é obtida somandose a transferência de calor através das aletas com a da fração lisa Qtotal Qaleta Qfração lisa ηafhθo a afhθo 722 Onde a área total de transferência de calor isto é superfícies das aletas superfície lisa af área de transferência de calor das aletas A equação pode ser escrita mais compactamente como o o total ah ah Q θ η θ β ηβ 1 723 onde β βη η 1 rendimento da aleta ponderada pela área a β a f Embora a colocação de aletas numa superfície aumente a área da superfície de transferência de calor aumenta também a resistência térmica sobre a fração da superfície onde as aletas foram fixadas Por isso podem haver situações em que a colocação de aletas não aumenta a transferência de calor Como guia prático a razão PkAh deve ser muito maior que a unidade para justificar o emprego de aletas No caso de aletas em forma de placas por exemplo PA 2t então PkAh se torna 2kth implicando que a condutância interna da aleta deve ser muito maior que o coeficiente de transferência de calor para que as aletas aumentem a taxa de transferência de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 90 Apostila de Transferência de Calor e Massa 91 8 TROCADORES DE CALOR Os trocadores de calor são equipamentos que facilitam a transferência de calor entre dois ou mais fluidos em temperaturas diferentes Foram desenvolvidos muitos tipos de trocadores de calor para emprego em diversos níveis de complicação tecnológica e de porte como usinas elétricas a vapor usinas de processamento químico aquecimento e condicionamento de ar em edifícios refrigeradores domésticos radiadores de automóveis radiadores de veículos espaciais etc Nos tipos comuns como os trocadores de calor de casco e tubos e os radiadores de automóveis a transferência de calor se processa principalmente por condução e convecção de um fluido quente para um fluido frio separados por uma parede metálica Nas caldeiras e nos condensadores a transferência de calor por ebulição e por condensação é de primordial importância Em certos tipos de trocadores de calor como as torres de resfriamento o fluido quente por exemplo a água é resfriado por mistura direta com o fluido frio por exemplo o ar isto é a água nebulizada ou que cai numa corrente induzida de ar é resfriada por convecção e por vaporização Nos radiadores para aplicações espaciais o calor residual do fluido refrigerante é transportado por convecção e condução para a superfície de uma aleta e daí por radiação térmica para o vácuo O projeto de trocadores de calor é assunto complicado A transferência de calor e a perda de carga o dimensionamento e a avaliação do desempenho os aspectos econômicos têm papéis importantes no projeto final Por exemplo embora sejam muito importantes as considerações de custo nas aplicações de grande porte como usinas de eletricidade e de processamento químico as considerações de peso e de dimensões são o fator dominante na escolha do projeto para aplicações espaciais ou aeronáuticas Um tratamento completo dos trocadores de calor está fora portanto das finalidades deste polígrafo Neste capítulo nós discutiremos a classificação dos trocadores de calor a determinação do coeficiente de transferência de calor global a diferença de temperatura média logarítmica e os métodos de cálculo e do dimensionamento dos trocadores de calor 81 CLASSIFICAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR Os trocadores de calor são feitos em tantos tamanhos tipos configurações e disposições de escoamento que uma classificação mesmo arbitrária é necessária para o seu estudo Fraas e Ozisik Walker e Kakaç Shah e Bergles classificam os trocadores de calor Na discussão seguinte consideramos as classificações de acordo com 1 o processo de transferência 2 a compacticidade 3 o tipo de construção 4 a disposição das correntes e 5 o mecanismo da transferência de calor 811 Classificação pelo processo de transferência Os trocadores de calor podem ser classificados como de contato direto e de contato indireto No tipo de contato direto a transferência de calor ocorre entre dois fluidos imiscíveis como um gás e um líquido que entram em contato direto As torres de resfriamento condensadores com nebulização para vapor de água e outros vapores utilizando pulverizadores de água são exemplos típicos de trocadores por contato direto Apostila de Transferência de Calor e Massa 92 Fig 81 Secção através de uma torre de resfriamento com convecção natural e com recheio para aumentar a área efetiva da superfície das gotículas de água mediante múltipla subdivisão As torres de resfriamento são largamente empregadas para dispor do rejeito térmico dos processos industriais lançando o calor na atmosfera e não em um rio ou lago ou no oceano Os tipos mais comuns incluem as torres de resfriamento com tiragem natural e as torres com tiragem forçada No tipo com tiragem natural mostrado na Fig 81 pulverizase a água na corrente de ar que ascende através da torre por convecção térmica As gotículas cadentes de água são resfriadas pela convecção ordinária e peia evaporação da água O recheio ou enchimento dentro da torre reduz a velocidade média de queda das gotículas e aumenta o tempo de exposição das gotículas à corrente de ar que as resfria enquanto caem através da torre Grandes torres de resfriamento de tiragem natural com mais de 100 metros de altura foram construídas para resfriar o despejo térmico das usinas de força Numa torre de resfriamento com tiragem forçada a água é pulverizada na corrente de ar que circula através da torre impulsionada por um ventilador que pode ser montado no alto da torre e aspira o ar para cima ou do lado de fora da base de modo a impelir o ar para a torre A Fig 82 mostra uma secção através de uma torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador A circulação intensificada do ar aumenta a capacidade de transferência de calor da torre de resfriamento Nos trocadores de calor de contato indireto como os radiadores de automóveis os fluidos quente e frio estão separados por uma superfície impermeável e recebem o nome de trocadores de calor de superfície Não há mistura dos dois fluidos 812 Classificação de acordo com a compacticidade Apostila de Transferência de Calor e Massa 93 A definição de compacticidade é tema bastante arbitrário A razão entre a área da superfície de transferência de calor num dos lados do trocador de calor e o volume pode ser empregada como medida da compacticidade do trocador de calor Um trocador de calor com densidade de área superficial em um dos lados maior do que cerca de 700 m2m3 é classificado arbitrariamente como trocador calor compacto independentemente de seu projeto estrutural Por exemplo os radiadores de automóvel com uma densidade de área superficial da ordem de 1100 m2m3 e os trocadores de calor de cerâmica vítrea de certos motores a turbina de gás que têm uma densidade de área superficial da ordem de 6600 m2m3 são trocadores de calor compactos Os pulmões humanos com uma densidade de área da ordem de 20000 m2m3 são os trocadores de calor e de massa mais compactos O miolo do regenerador do motor Stirling de finíssima estrutura tem uma densidade de área que se aproxima da densidade de área do pulmão humano Fig 82 Torre de resfriamento com tiragem forçada e induzida por um ventilador No outro extremo da escala de compacticidade os trocadores do tipo tubular plano e os do tipo casco e tubos tem densidade da área superficial na faixe de 70 a 500 m2m3 e não são considerados compactos Apostila de Transferência de Calor e Massa 94 Fig7 3 Radiador de automóvel O incentivo para se utilizar trocadores de calor compactos está em que um alto valor da compacticidade reduz o volume do trocador de calor para um desempenho especificado Quando os trocadores de calor se destinam a automóveis a motores marítimos a aviões ou a veículos aeroespaciais a sistemas criogênicos a aparelhos de refrigeração ou de condicionamento de ar o peso e o volume portanto a compacticidade são importantes Para aumentar a eficiência ou a compacticidade dos trocadores de calor empregamse aletas Num trocador de calor de gás para líquido por exemplo o coeficiente de transferência de calor do lado do gás é uma ordem de grandeza mais baixa do que do lado do líquido Por isso usamse aletas no lado do gás para se ter um projeto equilibrado a superfície de transferência de calor do lado do gás tornase muito mais compacta A Fig 83 mostra um radiador de automóvel típico 813 Classificação pelo tipo de construção Os trocadores de calor também podem ser classificados de acordo com as características construtivas Por exemplo existem trocadores tubulares de placa de placa aletada de tubo aletado e regenerativos 8131 Trocadores de calor tubulares Os trocadores de calor tubulares são amplamente usados e fabricados cm muitos tamanhos com muitos arranjos de escoamento e em diversos tipos Podem operar em um extenso domínio de pressões e de temperaturas A facilidade de fabricação e o custo relativamente baixo constituem a principal razão para seu emprego disseminado nas Apostila de Transferência de Calor e Massa 95 aplicações de engenharia Um modelo comumente empregado o trocador de casco e tubos consiste em tubos cilíndricos montados em um casco cilíndrico com os eixos paralelos ao eixo do casco A Fig 84 ilustra as principais partes de um trocador que tem um fluido correndo no interior dos tubos e outro fluido correndo externamente aos tubos Os principais componentes deste tipo de trocador de calor são o feixe de tubos o casco os cabeçotes e as chicanas As chicanas sustentam os tubos dirigem a corrente do fluido na direção normal aos tubos e aumentam a turbulência do fluido no casco Há vários tipos de chicanas e a escolha do tipo de chicana da geometria e do espaçamento depende da vazão da perda de carga permitida no lado do casco das exigências da sustentação dos tubos e das vibrações induzidas pelo escoamento São disponíveis muitas variações do trocador de casco e tubos as diferenças estão no arranjo das correntes do escoamento e nos detalhes de construção Discutiremos esse assunto mais tarde juntamente com a classificação dos trocadores de calor segundo o arranjo do escoamento Fig 84 Trocador de calor de casco e tubo um passe no casco e um passe no tubo Quanto à espécie dos fluidos podemos ter líquido para líquido líquido para gás ou gás para gás Os trocadores do tipo líquido para líquido são os de aplicação mais comum Ambos os fluidos são bombeados através do trocador a transferência de calor no lado dos tubos e no lado do casco ocorre por convecção forçada Uma vez que o coeficiente de transferência de calor é alto com o fluxo do líquido não há geralmente necessidade de aletas A disposição líquido para gás também é comumente empregada nestes casos usamse em geral aletas no lado do tubo em que flui o gás onde o coeficiente de transferência de calor é baixo Os trocadores do tipo gás para gás são adotados nos exaustores de gás e nos recuperadores de pré aquecimento do ar nos sistemas de turbinas de gás nos sistemas criogênicos de liquefação de gás e nos fornos de aço Geralmente se empregam aletas internas e externas nos tubos para intensificar a transferência de calor 8132 Trocadores de calor de placa Como o nome indica os trocadores de calor são geralmente construídos de placas delgadas As placas podem ser lisas ou onduladas Já que a geometria da placa não pode suportar pressões ou diferenças de temperaturas tão altas quanto um tubo cilíndrico são ordinariamente projetados para temperaturas ou pressões moderadas A compacticidade nos trocadores de placa se situa entre 120 e 230 m2m3 8133 Trocadores de calor de placa aletada O fator de compacticidade pode ser aumentado significativamenteaté cerca de 6000 m2m3 com os trocadores de calor de Apostila de Transferência de Calor e Massa 96 placa aletada A Fig 85 ilustra configurações típicas de placas aletadas As aletas planas ou onduladas são separadas por chapas planas Correntes cruzadas contracorrente ou correntes paralelas são arranjos que podem ser obtidos com facilidade mediante a orientação conveniente das aletas em cada lado da placa Os trocadores de placa aletada são geralmente empregados nas trocas de gás para gás porém em aplicações a baixa pressão que não ultrapassem cerca de 10 atm isto é 1000 kPa As temperaturas máximas de operação estão limitadas a cerca de 800C Trocadores de calor de placa aletada também são empregados em criogenia Fig 85 Trocadores de calor de placa aletada 8134 Trocadores de calor de tubo aletado Quando se precisa de um trocador que opere em alta pressão ou de uma superfície extensa de um lado utilizamse os trocadores de tubo aletado A Fig 86 ilustra duas configurações típicas uma com tubos cilíndricos e outra com tubos chatos Os trocadores de tubo aletado podem ser utilizados em um largo domínio de pressão do fluido nos tubos não ultrapassando cerca de 30 atm e operam em temperaturas que vão desde as baixas nas aplicações criogênicas até cerca de 870C A densidade máxima de compacticidade é cerca de 330 m2m3 menor que a dos trocadores de placa aletada Os trocadores de calor de tubo aletado são empregados em turbinas de gás em reatores nucleares em automóveis e aeroplanos em bombas de calor em refrigeração eletrônica criogenia em condicionadores de ar e muitas outras aplicações 8135 Trocadores de calor regenerativos Os trocadores de calor regenerativos podem ser ou estáticos ou dinâmicos O tipo estático não tem partes móveis e consiste em uma massa porosa por exemplo bolas seixos pós etc através da qual passam alternadamente fluidos quentes e frios Uma válvula alternadora regula o escoamento periódico dos dois fluidos Durante o escoamento do fluido quente o calor é transferido do fluido quente para o miolo do trocador regenerativo Depois o escoamento do fluido quente é interrompido e principia o escoamento do fluido frio Durante a passagem do fluido frio transferese calor do miolo para o fluido frio Os regeneradores de tipo estático podem ser pouco compactos para o uso em alta temperatura 900 a 1500C como nos pré aquecedores de ar na fabricação de coque e nos tanques de fusão de vidro Podem porém ser regeneradores compactos para uso em refrigeração no motor Stirling por exemplo Apostila de Transferência de Calor e Massa 97 Fig 86 Trocadores de calor de tubo aletado Fig 87 Préaquecedor de ar Ljungstrom Nos regeneradores do tipo dinâmico o miolo tem a forma de um tambor que gira em torno de um eixo de modo que uma parte qualquer passa periodicamente através da corrente quente e em seguida através da corrente fria O calor armazenado no miolo durante o contato com o gás quente é transferido para o gás frio durante o contato com a corrente fria O exemplo típico de regenerador rotativo é o préaquecedor regenerativo de ar Ljungstrom Fig 87 Os regeneradores rotativos podem operar em temperaturas até 870C miolos de cerâmica são utilizados em temperaturas mais altas Os regeneradores rotativos só são convenientes para a troca de calor de gás para gás pois somente com gases a capacidade calorífica do miolo que transfere o calor é muito maior do que a capacidade calorífica do gás escoante Não é conveniente para a transferência de calor de líquido para Apostila de Transferência de Calor e Massa 98 líquido pois a capacidade calorífica do miolo de transferência de calor é muito menor do que a capacidade calorífica do líquido Uma vez que o miolo da transferência de calor gira a temperatura dos gases e a da parede dependem do espaço e do tempo como resultado a análise da transferência de calor dos regeneradores é complexa pois o fluxo periódico introduz diversas variáveis novas Nos trocadores de calor convencionais estacionários é suficiente definir as temperaturas de entrada e de saída as vazões os coeficientes de transferência de calor dos dois fluidos e as áreas superficiais dos dois lados do trocador No trocador de calor rotativo entretanto é necessário também relacionar a capacidade calorífica do rotor com a capacidade calorífica das correntes dos fluidos com as vazões dos fluidos e com a velocidade de rotação 814 Classificação segundo a disposição das correntes Existem numerosas possibilidades para a disposição do escoamento nos trocadores de calor Vamos resumir aqui as principais 8141 Correntes paralelas Os fluidos quente e frio entram na mesma extremidade do trocador de calor fluem na mesma direção e deixam juntos a outra extremidade como está na Fig 78a 8142 Contracorrente Os fluidos quente e frio entram em extremidades opostas do trocador de calor e fluem em direções opostas como está na Fig 88b Fig 88 a Correntes paralelas b contracorrente e c correntes cruzadas 8143 Correntes cruzadas No trocador com correntes cruzadas em geral os dois fluidos fluem perpendicularmente um ao outro como está na Fig 88c Na disposição com correntes cruzadas o escoamento pode ser misturado ou não misturado dependendo do projeto A Fig 89a mostra uma disposição em que ambos os fluidos quente e frio fluem através de canais separados formados por ondulações por isso os fluidos não podem Apostila de Transferência de Calor e Massa 99 moverse na direção transversal Dizse então que cada corrente do fluido está não misturada A Fig 89b ilustra o perfil típico de temperaturas na saída quando ambas as correntes são nãomisturadas como está na Fig 89a As temperaturas de entrada de ambos os fluidos são uniformes mas as temperaturas de saída mostram variação transversal às correntes Na disposição do escoamento da Fig 89c o fluido frio flui no interior de tubos e assim não pode se mover na direção transversal Por isso o fluido frio está nãomisturado Entretanto o fluido quente flui sobre os tubos e pode moverse na direção transversal Por isso a corrente de fluido quente está misturada A misturação tende a tornar uniforme a temperatura do fluido na direção transversal por isso a temperatura de saída de uma corrente misturada apresenta variação desprezível na direção cruzada Fig 89 Disposições com correntes cruzadas a ambos os fluidos nãomisturados b perfil de temperaturas quando ambos os fluidos estão nãomisturados c fluido frio nãomisturado fluido quente misturado Apostila de Transferência de Calor e Massa 100 Fig 810 Dispositivos de escoamento de múltiplos passes a um passe no casco dois passes nos tubos b dois passes no casco quatro passes nos tubos e c três passes no casco seis passes nos tubos Em geral num trocador com correntes cruzadas são possíveis três configurações idealizadas do escoamento 1 ambos os fluidos estão nãomisturados 2 um fluido está misturado e o outro está nãomisturado e 3 ambos os fluidos estão misturados A última configuração não é usada comumente Em um trocador de casco e tubos a presença de um grande número de chicanas serve para misturar o fluido no lado do casco conforme se discutiu acima isto é a temperatura tende a se tornar uniforme em qualquer seção transversal Escoamento multipasse A configuração de escoamento com passes múltiplos é empregada freqüentemente no projeto de trocadores de calor pois a multipassagem intensifica a eficiência global acima das eficiências individuais É possível grande variedade de configurações das correntes com passes múltiplos A Fig 810 ilustra disposições típicas O trocador de calor da Fig 810a tem um passe no casco e dois passes nos tubos e recebe o nome de trocador de calor umdois A Fig 8l0b mostra a configuração dois passes no casco quatro passes nos tubos e a Fig 8l0c a configuração três passes no casco seis passes no tubo 815 Classificação pelo mecanismo de transferência de calor As possibilidades para o mecanismo de transferência de calor incluem uma combinação de quaisquer dois entre os seguintes 1Convecção forçada ou convecção livre monofásica 2 Mudança de fase ebulição ou condensação 3 Radiação ou convecção e radiação combinadas Em todos os casos discutidos anteriormente consideramos a convecção forçada monofásica em ambos os lados do trocador de calor Condensadores caldeiras e radiadores de usinas de força espaciais incluem mecanismos de condensação de ebulição e de radiação respectivamente sobre uma das superfícies do trocador de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 101 a Condensadores Os condensadores são utilizados em várias aplicações como usinas de força a vapor de água plantas de processamento químico e usinas nucleares elétricas de veículos espaciais Os principais tipos incluem os condensadores de superfície os condensadores a jato e os condensadores evaporativos O tipo mais comum é o condensador de superfície que tem a vantagem de o condensado ser devolvido à caldeira através do sistema de alimentação de água Fig 811 Corte Transversal de um condensador de superfície típico de dois passes de uma grande usina de força a vapor de água A Fig 811 mostra um corte através de um condensador de superfície de dois passes de um grande turbina a vapor em uma usina de força Uma vez que a pressão do vapor na saída da turbina é de somente 10 a 20 polegadas de mercúrio absolutas a densidade do vapor é muito baixa e a vazão do fluido é extremamente grande Para minimizar a perda de carga na transferência do vapor da turbina para o condensador o condensador é montado ordinariamente abaixo da turbina e ligado a ela A água de resfriamento flui horizontalmente no interior dos tubos enquanto o vapor flui verticalmente para baixo entrando por uma grande abertura na parte superior e passa transversalmente sobre os tubos Observe que há dispositivo de aspiração do ar frio das regiões que ficam exatamente acima do centro do poço quente Este dispositivo é importante pois a presença de gás não condensável no vapor reduz o coeficiente de transferência de calor na condensação b Caldeiras As caldeiras a vapor de água constituem uma das primitivas aplicações dos trocadores de calor O termo gerador de vapor é muitas vezes aplicado às caldeiras nas quais a fonte de calor é uma corrente de fluido quente em vez de produtos da combustão Uma enorme variedade de caldeiras já foi construída Existem caldeiras em pequenas unidades para aquecimento doméstico até unidades gigantescas complexas e Apostila de Transferência de Calor e Massa 102 caras para as modernas usinas de força c Radiadores de usinas de força espaciais A rejeição do calor residual do condensador de uma usina de força cuja finalidade é produzir eletricidade para o equipamento de propulsão de orientação ou de comunicação de um veículo espacial acarreta sérios problemas mesmo com a usina produzindo uns poucos quilowatts de eletricidade O único modo com que se pode dissipar o calor residual de um veículo espacial é pela radiação térmica aproveitando a vantagem da relação de quarta potência entre a temperatura absoluta da superfície e o fluxo de calor radiativo Portanto na operação de algumas usinas de força de veículos espaciais o ciclo termodinâmico se processa em temperaturas tão altas que o radiador trabalha aquecido ao rubro Mesmo assim é difícil manter a dimensão do radiador dentro de um casco razoável nos veículos de lançamento 82 DISTRIBUIÇÃO DE TEMPERATURA NOS TROCADORES DE CALOR Nos trocadores de calor do tipo estacionário a transferência de calor do fluido quente para o fluido frio provoca variação da temperatura de um ou de ambos os fluidos que passam através do trocador A Fig 812 ilustra como a temperatura do fluido varia ao longo do percurso no trocador de calor em alguns trocadores de calor típicos com um passe Em cada instante a distribuição de temperatura é plotada em função da distância à entrada do fluido frio A Fig 812a por exemplo caracteriza um trocador de calor em contracorrente no qual a elevação da temperatura do fluido frio é igual à queda da temperatura do fluido quente a diferença de temperatura T entre o fluido quente e o fluido frio é constante em todos os pontos Entretanto nos outros casos Fig 812b até e a diferença de temperatura T entre o fluido quente e o fluido frio varia com a posição ao longo do percurso do fluido A Fig 812b corresponde à situação em que o fluido quente se condensa e transfere calor para o fluido frio fazendo com que sua temperatura se eleve ao longo do percurso Na Fig 812c o líquido frio está se evaporando e resfria o fluido quente ao longo do seu percurso A Fig 812d mostra configuração de escoamento paralelo na qual ambos os fluidos se deslocam na mesma direção com o fluido frio experimentando uma elevação de temperatura e o fluido quente uma queda de temperatura A temperatura de saída do fluido frio não pode ser mais elevada do que a do fluido quente Por isso a eficiência dos trocadores de calor com escoamento paralelo é limitada Devido a esta limitação não são em geral considerados para a recuperação de calor Entretanto uma vez que a temperatura do metal fica aproximadamente no meio das temperaturas do fluido quente e do fluido frio a parede metálica permanece a uma temperatura quase uniforme A Fig 812e mostra uma configuração em contracorrente na qual os fluidos se deslocam em sentidos opostos A temperatura de saída do fluido frio pode ser mais alta do que a do fluido quente Teoricamente a temperatura de saída de um fluido pode aproximar se da temperatura de entrada do outro Por isso a capacidade térmica do trocador de calor em contracorrente pode ser o dobro da capacidade do trocador de calor com escoamento paralelo A alta recuperação de calor e a eficiência térmica deste trocador fazem com que seja preferível ao trocador com escoamento paralelo sempre que as exigências do projeto permitam tal escolha A temperatura do metal no trocador em contracorrente em posição à Apostila de Transferência de Calor e Massa 103 do trocador com escoamento paralelo tem um gradiente significativo ao longo do percurso no trocador Fig 812 Distribuição axial da temperatura em trocadores de calor típicos de passe único Nas configurações de escoamento multipasse e cruzado a distribuição de temperatura no trocador de calor exibe padrão mais complicado Por exemplo a Fig 813 mostra a distribuição de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois passes nos tubos A Fig 814 mostra um perfil típico de temperatura em um trocador de calor com correntes cruzadas quando ambos os fluidos são nãomisturados Apostila de Transferência de Calor e Massa 104 Fig 813 Distribuição axial de temperatura em um trocador de calor de um passe no casco e dois passes no tubo Fig 814 Distribuição de temperatura em um trocador de calor com escoamento cruzado Ambos os fluidos são nãomisturados Nesta configuração os fluidos quente e frio entram no miolo do trocador de calor com temperaturas uniformes mas como há canais no percurso das correntes para evitar a mistura transversal as temperaturas não são constantes em qualquer seção transversal perpendicular à direção do escoamento e as temperaturas de saída não são uniformes Se não houvesse canais para um dos fluidos seria possível a sua misturação transversal ao longo do percurso da corrente e a sua temperatura de saída tornarseia aproximadamente uniforme Apostila de Transferência de Calor e Massa 105 83 COEFICIENTE DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR GLOBAL Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor várias resistências térmicas no percurso do fluxo de calor do fluido quente para o frio combinamse para constituir um coeficiente de transferência de calor global U Considere que a resistência térmica total R ao fluxo de calor através de um tubo entre a corrente interna e a externa seja composta das seguintes resistências térmicas externa dacorrente térmica sistência dotubo domaterial térmica sistência erna dacorrente térmica sistência R Re Re int Re 81 e os vários termos são dados por 0 0 1 1 A h KA t A h R m i i 82 onde Ao Ai áreas das superfícies externa e interna respectivamente m2 i i m A A A A A 0 0 ln média logarítmica da área m2 hi ho coeficiente de transferência de calor da corrente interna e externa respectivamente Wm2 C k condutividade térmica do material do tubo Wm C R resistência térmica entre a corrente interna e a externa t espessura do tubo m A resistência térmica R dada pela Eq 82 pode ser expressa como um coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície interna ou na superfície externa do tubo Não importa sobre que área está baseada desde que seja especificada na definição Por exemplo o coeficiente de transferência de calor global U0 baseado na superfície externa do tubo é definido por 0 0 0 0 0 1 1 1 1 h t k A A h A A A R U m i i 0 0 0 0 1 ln 1 2 1 1 h D D k D h D D i i i 83 i m D D t D A A 0 0 0 2 ln Do Di 2t 84 e Di e Do são os diâmetros interno e externo do tubo respectivamente De modo semelhante o coeficiente de transferência de calor global Ui baseado na superfície interna do tubo é definido por Apostila de Transferência de Calor e Massa 106 1 1 1 1 0 0 0 h A A t k A A h AiR U i m i i 1 ln 1 2 1 1 0 0 0 h D D D D k D h i i i i 85 Quando a espessura da parede for pequena e a condutividade térmica for alta a resistência do tubo pode ser desprezada e a Eq 85 se reduz a 1 0 1 1 h h U i i 85 a No uso dos trocadores de calor a superfície de transferência de calor fica suja com a acumulação de depósitos que introduzem resistência térmica adicional ao fluxo de calor O efeito das incrustações é geralmente levado em conta na forma de um fator de incrustação F com as dimensões m2CW este assunto será discutido adiante com mais detalhes Consideraremos agora a transferência de calor através de um tubo com incrustações em ambas as superfícies externa e interna A resistência térmica R ao fluxo de calor neste caso é 0 0 0 0 1 1 A h A F KA t A F A h R m i i i i 86 onde Fi e F0 são os fatores de incrustação resistência unitária de incrustação nas superfícies interna e externa do tubo respectivamente e as outras grandezas foram definidas previamente Nas aplicações de trocadores de calor o coeficiente de transferência de calor global é ordinariamente baseado na superfície externa do tubo Então 86 pode ser representada em termos do coeficiente de transferência de calor global baseado na superfície externa do tubo como 0 0 0 0 0 0 0 1 ln 2 1 1 h F D D k D D F D h D D U i i i i i 87 O valor do coeficiente de transferência de calor global em diferentes tipos de aplicação varia amplamente Intervalos típicos de U0 são os seguintes Trocadores de água para óleo 60 a 350 Wm2 C Trocadores de gás para gás 60 a 600 Wm2 C Condensadores de ar 350 a 800 Wm2 C Condensadores de amônia 800 a 1400 Wm2 C Condensadores de vapor de água 1500 a 5000 Wm2 C Fica evidente que Uo é geralmente baixo para fluidos que têm baixa condutividade térmica como os gases ou os óleos 831 Fator de incrustação Apostila de Transferência de Calor e Massa 107 Na década passada muito esforço se fez a fim de compreender a incrustação Durante a operação os trocadores ficam incrustados com depósitos de um tipo ou de outro nas superfícies de transferência de calor Por isso a resistência térmica ao fluxo de calor cresce o que reduz a taxa de transferência de calor O dano econômico das incrustações pode ser atribuído 1 Ao dispêndio mais alto de capital em virtude de unidades superdimensionadas 2 Às perdas de energia devidas à falta de eficiência térmica 3 Aos custos associados à limpeza periódica dos trocadores de calor 4 À perda de produção durante o desmonte para limpeza l Incrustação por precipitação a cristalização da substância dissolvida na solução sobre a superfície de transferência de calor 2 Incrustação por sedimentação o acúmulo de sólidos finamente divididos suspensos no fluido do processo sobre a superfície de transferência de calor 3 Incrustação por reação química a formação de depósitos sobre a superfície de transferência de calor por reação química 4 Incrustação por corrosão o acúmulo de produtos de corrosão sobre a superfície de transferência de calor 5 Incrustação biológica o depósito de microorganismos na superfície de transferência de calor 6 Incrustação por solidificação a cristalização de um líquido puro ou de um componente da fase líquida sobre a superfície de transferência de calor subresfriada Evidentemente o mecanismo de incrustação é muito complicado e não dispomos ainda de técnicas confiáveis para sua previsão Quando um trocador de calor novo é posto em serviço seu rendimento se deteriora progressivamente em virtude do desenvolvimento da resistência das incrustações A velocidade e a temperatura das correntes parecem estar entre os fatores que afetam a taxa de incrustação sobre uma dada superfície O aumento da velocidade diminui a taxa de depósito e também a quantidade final do depósito sobre a superfície Aumentando a temperatura do fluido como um todo aumenta a taxa de crescimento das incrustações e o seu nível estável terminal Apostila de Transferência de Calor e Massa 108 Tabela 81 Fator de incrustação F em equipamentos de transferência de calor Baseada na experiência dos fabricantes e dos usuários a Associação dos Fabricantes de Equipamentos Tubulares Tubular Equipment Manufacturers Association TEMA preparou tabelas de fatores de incrustação como guia nos cálculos da transferência de calor Apresentamos na Tabela 81 alguns resultados A incrustação é um tema muito complicado e sua representação numa listagem simples é muito questionável Na falta de melhor a lista é a única referência para se avaliar os efeitos das incrustações na redução da transferência de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 109 84 O MÉTODO DTML PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR Na análise térmica dos trocadores de calor a taxa total de transferência de calor Q através do trocador é uma quantidade de interesse primordial Concentraremos nossa atenção nos trocadores de calor de passe único que têm configuração de escoamento do tipo ilustrado na Fig 815 É evidente segundo esta figura que a diferença de temperatura T entre os fluidos quente e frio não é em geral constante varia com a distância ao longo do trocador de calor Na análise da transferência de calor nos trocadores de calor é conveniente estabelecer uma diferença Tm entre o fluido quente e o frio de modo que a taxa total de transferência de calor Q entre os fluidos possa ser determinada pela seguinte expressão simples Q AU Tm 88 onde A é a área de transferência de calor total e U é o coeficiente de transferência de calor global médio baseado nesta área Na análise seguinte desenvolveremos uma expressão para a diferença de temperatura média na configuração de correntes paralelas com um único passe mostrado na Fig 815 O resultado obtido poderá ser aplicado em todas as configurações de escoamento da Fig 812 Fig 815 Nomenclatura para a dedução da diferença da temperatura média logarítmica Vamos nos referir à Fig 815 Façamos A área de transferência de calor medida a partir da entrada m2 mc mh vazão mássica dos fluidos frio e quente respectivamente kgh T Th Tc diferença local de temperatura entre os fluidos quente e frio C U coeficiente de transferência de calor global e local entre os dois fluidos Wm2 C A taxa de transferência de calor dQ do fluido quente para o frio através de uma área elementar dA no ponto A é dada por DQ U dA T 89 Apostila de Transferência de Calor e Massa 110 Entretanto dQ deve ser igual ao calor desprendido pelo fluido quente ou absorvido pelo fluido frio ao passarem do ponto A para o ponto A dA com esta consideração escrevemos dQ mh cph dTh fluido quente 810 a dQ mc cpc dTc fluido frio 8l0 b onde cpc e cph são os calores específicos e dTc e dTh são as variações das temperaturas dos fluidos frio e quente respectivamente Notemos que T Th Tc 811 a ou d T dTh dTc 811 b Combinando as Eqs 810 e utilizando a Eq 811 b obtemos d T pc c ph h pc c h ph m c dQ m c m c dQ m c dQ 1 1 812 que pode ser escrita mais compactamente como d T B dQ 813a onde B pc c h ph m c m c 1 1 813 b A eliminação de dQ entre as Eqs 89 e 813 a dá d T T UB dA 814 A integração da Eq 714 sobre o inteiro comprimento do trocador de calor dá t L A T T UdA B T T d 0 0 t A t T T A UdA BA T T d t L 0 0 815 onde At é a área total de transferência de calor do trocador de calor Agora definimos o coeficiente de transferência de calor global médio Um para o trocador de calor inteiro como tA t m UdA A U 0 1 816 Apostila de Transferência de Calor e Massa 111 Então a Eq 815 é integrada para dar t m L BU A T T 0 ln 817 A taxa total de transferência de calor Q através do trocador de calor é determinada pela integração da Eq 813 a sobre todo o comprimento Q T T dQ B T d L 0 0 T0 TL BQ Q B T T L 0 818 A eliminação de B entre as Eqs 817 e 818 leva a ln A U Q 0 0 m t L L T T T T 819 Nosso objetivo nessa análise era exprimir a taxa total de transferência de calor através do trocador de calor em termos de uma diferença média de temperatura Tln na forma Q At Um Tln 820 A comparação entre os resultados das Eqs 819 e 820 revela que a diferença média de temperatura Tln entre os fluidos quente e frio em todo o comprimento do trocador de calor é ln 0 0 ln L L T T T T T 821 A diferença de temperatura média Tln definida pela Eq 821 é a diferença de temperatura média logarítmica DTML Portanto a taxa total de transferência de calor entre os fluidos quente e frio em todas as disposições de correntes com passe único da Fig 812 é determinada a partir de Q A U Tln 822 onde Tln é definida pela Eq 821 Observamos que no caso especial T0 TL a Eq 821 leva a Tln 00 indeterminado Mas a aplicação da regra de LHospital mostra que neste caso particular Tln T0 TL É interessante comparar a DTML de T0 e TL com a média aritmética Apostila de Transferência de Calor e Massa 112 Tab 82 2 0 L a T T T 823 Apresentamos na Tabela 82 uma comparação entre as médias logarítmica e aritmética das duas grandezas To e TL Notamos que as médias aritmética e logarítmica são iguais para To TL Quando To TL a DTML é sempre menor do que a média aritmética se To não é mais do que 50 maior do que TL A DTML pode ser aproximada pela média aritmética dentro de cerca de 14 85 CORREÇÃO DA DTML EM TROCADORES COM CORRENTES CRUZADAS E MULTIPASSE A DTML desenvolvida na Sec 84 não se aplica à análise da transferência de calor em trocadores de correntes cruzadas e muitos passes As diferenças efetivas de temperatura foram determinadas nos escoamentos de correntes cruzadas e também multipasse mas as expressões resultantes são muito complicadas Por isso nessas situações é costume introduzir um fator de correção F de modo que a DTML simples possa ser ajustada para representar a diferença efetiva de temperatura Tcorr para a disposição de correntes cruzada e multipasse na forma F T em contracorrente ln Tcorr onde Tln deve ser calculada nas condições de contracorrente Especificamente T0 e TL que aparecem na definição da DTML dada pela Eq 812 devem ser veja Fig 812b T0 Thef Tcaf 825 a TL Thaf Tcef 825 b onde os índices c e h se referem respectivamente aos fluidos frio e quente A Fig 816 mostra o fator de correção F em algumas configurações usualmente empregadas nos trocadores de calor Nestas figuras a abscissa é a razão dimensional P definida como 1 1 1 P 2 t T t t 826 a Apostila de Transferência de Calor e Massa 113 onde T se refere à temperatura do lado do casco t é a temperatura do lado dos tubos e os subscritos 1 e 2 se referem respectivamente às condições de entrada e de saída O parâmetro R que aparece nas curvas é definido como ladodocasco p p ladodotubo mc mc t t T T R 1 2 2 1 826 b Observe que os fatores de correção na Fig 816 podem ser aplicados quer o fluido quente esteja do lado do casco quer do lado dos tubos Fig 816 Fator de correção F para o cálculo de Tcorrigida em trocadores multipasse com correntes cruzadas a um passe no casco e dois passes nos tubos b dois passes no casco e quatro passes nos tubos ou múltiplo de quatro passes nos tubos c correntes cruzadas um só passe os dois fluidos sem misturação Em geral F é menor do que a unidade nos arranjos de correntes cruzadas e multipasses é igual à unidade nos trocadores de calor em verdadeira contracorrente Apostila de Transferência de Calor e Massa 114 Representa o grau de afastamento da verdadeira diferença média de temperatura em relação à DTML na contracorrente Na Fig 816 notamos que o valor do parâmetro P se situa entre 0 e 1 e representa a eficiência térmica do fluido do lado do tubo O valor de R vai de zero até o infinito com o zero correspondendo à condensação pura do vapor no lado do casco e infinito à evaporação no lado dos tubos 86 MÉTODO ε NUT PARA ANÁLISE DOS TROCADORES DE CALOR O cálculo da capacidade e das dimensões dos trocadores de calor são os dois problemas importantes da análise térmica dos trocadores de calor O cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor das temperaturas de saída do fluido e das perdas de carga num determinado trocador de calor ou num trocador já dimensionado portanto podese dispor da área da superfície de transferência de calor e das dimensões dos canais de passagem das correntes O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do feixe de tubos para atingir as exigências da transferência de calor e da perda de carga Se não considerarmos a perda de carga o cálculo térmico envolve a determinação da taxa total de transferência de calor a um determinado trocador de calor e o dimensionamento envolve a determinação da superfície total de transferência de calor necessária para atingir a taxa de transferência de calor especificada Se as temperaturas de entrada e de saída do fluido quente e do fluido frio assim como o coeficiente da transferência de calor global forem especificadas o método da DTML com ou sem a correção pode ser empregado para resolver o problema do cálculo térmico ou do dimensionamento Em algumas situações são dadas apenas as temperaturas de entrada e as vazões dos fluidos quente e frio e o coeficiente de transferência de calor global pode ser estimado Em tais casos a temperatura média logarítmica não pode ser determinada pois as temperaturas de saída não são conhecidas Por isso o método da DTML na análise térmica dos trocadores de calor envolverá iterações tediosas para se determinar o valor próprio da DTML que satisfaça a exigência de o calor transferido no trocador de calor ser igual ao calor arrastado pelo fluido Para ilustrar o tedioso processo de iteração envolvido nestes cálculos consideremos o cálculo térmico com as seguintes condições Dados Propriedades físicas dos fluidos quente e frio Temperaturas de entrada Tc af e Thaf Vazões mc e mh kgs Coeficiente de transferência de calor global Um Superfície total de transferência de calor A Carta de correção da DTML Determinar A taxa total de transferência de calor Q Podemse seguir os seguintes passos para resolver o problema 1 Admita uma temperatura de saída e determine P e R de acordo com as Eqs 826a e 826b respectivamente encontre também o fator de correção F da DTML na carta 2 Calcule Tln nas condições de escoamento em corrente 3 Determine Q a partir de Q A UmF Tln Apostila de Transferência de Calor e Massa 115 4 Calcule as temperaturas de saída a partir de Q e das vazões 5 Compare as temperaturas de saída calculadas no passo 4 com os valores admitidos no passo 1 6 Se os valores admitidos e calculados das temperaturas de saída forem diferentes repita os cálculos até obter uma convergência especificada Evidentemente estes cálculos são muito tediosos A análise pode ser significativamente simplificada se usarmos o método ε NUT ou o método da efetividade desenvolvido originalmente por Kays e Londor Neste método a efetividade ε é definida como Qmax Q ε ε taxa real de transferência de calor taxa máxima possível de transferência de calor de uma corrente para outra A taxa máxima possível de transferência de calor Qmax é obtida num trocador em contracorrente se a variação de temperatura do fluido que tiver o valor mínimo de mcp for igual à diferença entre as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio Consideramos mcpmin porque a energia perdida por um fluido deve ser igual à recebida pelo outro fluido Se considerarmos mcpmáx então o outro fluido deve sofrer uma variação de temperatura maior do que a maior diferença de temperatura disponível isto é a T do outro fluido seria maior do que Thaf Tcaf Isto não é possível Com esta consideração Qmax é escolhido como Qmax mcpmin Thaf Tcaf 827 Então dados ε e Qmax a taxa real de transferência de calor Q é Q ε mcpmin Thaf Tcaf 828 Aqui mcpmín é a menor entre mhcph e mccpc dos fluidos quente e frio Thaf e Tcaf são as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio respectivamente Evidentemente se a eficiência ε do trocador for conhecida a Eq 828 dá uma expressão explícita para a determinação de Q no trocador Vamos agora descrever a dedução da expressão da efetividade ε 861 Determinação de ε A equação da efetividade depende da geometria do trocador de calor e da disposição das correntes Para ilustrar o procedimento geral da dedução de ε consideramos novamente o escoamento em correntes paralelas da Fig 815 Da Eq 828 nós escrevemos c af h af p mín T T mc Q ε 829 A taxa real de transferéncia de calor Q é dada por c af c ef pc c h ef h in h ph T T m c T T m c Q 830 Apostila de Transferência de Calor e Massa 116 A substituição da Eq 830 em 829 dá c af h af mín h ef h af h T T C T T C ε 831 a c af h af mín c af c ef c T T C T T C ε 831 b onde definimos ph h h C m c pc c c C m c 832 e Cmín é igual ao menor entre Ch e Cc Agora nosso objetivo é eliminar a razão das temperaturas digamos na Eq 831b O processo é o seguinte Consideramos a Eq 817 BU A T T m L 0 ln 833 onde com a disposição de escoamento paralelo temos c af h af T T T 0 834 a c ef h ef L T T T 834 b Levase a Eq 833 para a forma exponencial e usamse os resultados da Eq 834 m BAU c af af h c ef h ef e T T T T 835 A Eq 831 é resolvida em Thef c af c ef h c h af h ef T T C C T T 836 Este resultado entra na Eq 835 para eliminar Thef m BAU h c c in in h c af c ef e C C T T T T 1 1 h c BAU c in in h c in c ef C C e T T T T m 1 1 1 837 Apostila de Transferência de Calor e Massa 117 Este resultado entra na Eq 831b e se elimina a razão entre as temperaturas A efetividade ε é determinada como h mín c mín BAU C C C C e m 1 ε 838 a onde B é definido pela Eq 813b c h C C B 1 1 838 b Evidentemente se considerarmos uma disposição de escoamento diferente teremos uma expressão diferente para a efetividade 862 Relação ε NUT Por conveniência nas aplicações práticas definese um parâmetro adimensional o número de unidades de transferência de calor NUT como mín m C AU NUT N 839a Para simplificar a notação adotamos a seguinte abreviação NUT N 839 b Então a Eq 838 é escrita na forma h c mín h c mín C C C C C C C N C exp 1 min min ε 840 Definimos agora máx mín C C C 841 onde Cmín e Cmáx são respectivamente a menor e a maior das duas grandezas Ch e Cc Então a Eq 840 é escrita mais compactamente como C C N 1 1 exp 1 ε correntes paralelas 842 Esta equação dá a relação entre a efetividade ε e o número de unidades de transferência de calor N num trocador de calor com correntes paralelas independentemente de Cmín ocorrer no lado quente ou no lado frio Apostila de Transferência de Calor e Massa 118 Cálculos semelhantes podem ser feitos e as relações ε NUT podem ser desenvolvidas em trocadores de calor que têm outros arranjos de correntes como contracorrente correntes cruzadas passes múltiplos etc Fig 817 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig 818 Efetividade num paralelas trocador de calor em contracorrente Fig 819 Efetividade num trocador de calor com correntes Fig 820 Efetividade trocador de cruzadas ambas não misturadas um passe no casco e dois quatro etc passes nos tubos Apostila de Transferência de Calor e Massa 119 Fig 821 Efetividade num trocador de calor de dois passes no casco e quatro oito doze etc passes nos tubos Nas Figs 817 a 821 apresentamos algumas cartas de efetividade para arranjos típicos de escoamento Também listamos na Tabela 83 algumas relações funcionais para rápida referência Condensadores e caldeiras No caso de condensadores e caldeiras a temperatura do fluido no lado da ebulição ou no da condensação permanece essencialmente constante Lembremonos da Eqs 831 para a definição de efetividade Se a efetividade deve permanecer finita Cc ou Ch no lado em que há mudança de fase deve comportarse como um calor específico infinito pois Taf Tef neste lado é praticamente zero Essa exigência implica que numa caldeira ou num condensador devemos ter Cmáx e como resultado 0 máx mín C C C 743 Nestas situações as expressões da Tabela 83 simplificamse para ε 1 eN para C 0 744 Onde N AUm Cmín 763 Significado físico do NUT O significado físico do parâmetro adimensional NUT pode ser visto como segue NUT mín m C AU 745 capacidade calorífica do trocador capacidade calorifica das correntes Apostila de Transferência de Calor e Massa 120 Para um determinado valor de UmCmín o NUT é uma medida da área real de transferência de calor A da dimensão física do trocador Quanto mais alto o NUT maior é a dimensão física Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C C CmínCmáx não tem muito efeito sobre a efetividadeε Um trocador em contracorrente tem o valor maior de ε para valores especificados de NUT e de C em comparação com os valores de outras configurações do escoamento Tab 83 Fórmulas efetivas de trocador de calor Por isso dados NUT e C a configuração em contracorrente proporciona o melhor desempenho na transferência de calor 864 Emprego das relações εNUT As relações ε NUT podem ser facilmente empregadas para a resolução dos problemas de cálculo térmico e de dimensionamento Problema do cálculo térmico Suponha que as temperaturas de entrada Tcaf e Thaf as vazões mc e mh as propriedades físicas de ambos os fluidos o coeficiente de Apostila de Transferência de Calor e Massa 121 transferência de calor global Um e a área total de transferência de calor A sejam dados O tipo e a configuração do escoamento do trocador são especificados Desejamos determinar a taxa total de fluxo de calor Q e as temperaturas de saída Thef e Tcef Os cálculos são os seguintes 1 Calcule C Cmín Cmáx e N NUT UmACmín a partir dos dados de entrada especificados 2 Sabendo N e C determine ε a partir da carta ou da equação para a geometria e configuração do escoamento especificado 3 Sabendo ε calcule a taxa total de transferência de calor Q a partir de c af h af mín T T C Q ε 4 Calcule as temperaturas de saída a partir de Thef Thaf Ch Q c c af c ef C Q T T A discussão precedente do método εNUT ilustra claramente que o problema do cálculo térmico quando as temperaturas de saída não são dadas pode ser resolvido rapidamente com o método εNUT mas será necessário um tedioso processo de iteração para resolvêlo com o método DTML e a convergência pode não ser fácil Problema do dimensionamento Suponha que sejam dados as temperaturas de entrada e de saída a vazão o coeficiente de transferência de calor global e a taxa total de transferência de calor também a disposição do escoamento é especificada Desejamos determinar a superfície total de transferência de calor A 1 Sabendo as temperaturas de entrada e de saída calcule ε de acordo com as Eqs 831 2 Calcule C Cmín Cmáx 3 Sabendo ε e C determine NUT a partir da carta apropriada de εNUT 4 Sabendo NUT calcule a superfície de transferência de calor A segundo a Eq 839a m mín U A NUT C O emprego do método εNUT geralmente é preferido no projeto de trocadores de calor compactos para aplicações automotivas aeronáuticas de condicionamento de ar e outras aplicações industriais onde as temperaturas de entrada dos fluidos quente e frio são especificadas e as taxas de transferência de calor devem ser determinadas Nas indústrias de processamento de eletricidade e petroquímicas tanto as temperaturas de entrada como de saída dos fluidos quente e frio são especificadas por isso o método DTML é geralmente empregado Apostila de Transferência de Calor e Massa 122 87 TROCADORES DE CALOR COMPACTOS Um trocador de calor que tenha uma densidade de área superficial maior do que cerca de 700 m2m3 é classificado arbitrariamente como trocador de calor compacto Estes trocadores de calor são geralmente empregados em aplicações com corrente gasosa Por esse motivo o coeficiente de transferência de calor é baixo e é importante a pequenez de peso e de tamanho São encontrados em uma grande variedade de configurações do miolo de transferência de calor e suas características térmicas e hidrodinâmica foram estudadas extensamente A Fig 822 mostra miolos típicos dos trocadores de calor compactos A Fig 822a mostra um feixe de tubos com aletas circulares em cada tubo a Fig 822b mostra um miolo de aleta de chapa placa contínua e canais formados por chapas onduladas a Fig 822c mostra um miolo de tubos chatos aletados por chapas planas contínuas As características de transferência de calor e de perda de carga destes equipamentos para emprego como trocadores de calor compactos são determinadas experimentalmente Por exemplo as Figs 823 a 825 mostram transferências típicas de calor e dados do fator de atrito nos três diferentes modelos Note que os principais grupos adimensionais que governam essas correlações incluem os números de Stanton de Prandtl e de Reynolds GCp h St K Pr C pµ µ Re GDh 847 Aqui G é a velocidade mássica definida como G m Amín onde m vazão mássica total do fluido kgs e Amín área transversalmente mínima do escoamento livre m2 onde quer que esse mínimo ocorra A grandeza do diâmetro hidráulico Dh em cada configuração é especificado nas Figs 823 a 825 O diâmetro hidráulico Dh é definido como A LA D mín h 4 848 onde A é a área total de transferência de calor e a grandeza LAmín pode ser considerada o volume mínimo de passagem da corrente livre uma vez que L é o comprimento do percurso do fluido no miolo do trocador de calor Apostila de Transferência de Calor e Massa 123 Fig 822 Miolos típicos de trocadores de calor compactos a feixe de tubos cilíndricos aletados b chapa plana aletada c feixe de tubos chatos aletados Fig 823 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas de chapas contínuas Portanto uma vez conhecidas as cartas de transferência de calor e do fator de atrito para um modelo determinado de miolo como a da Fig 823 e conhecido o número de Reynolds do escoamento poderão ser calculados o coeficiente de transferência de calor h e o fator de atrito f do escoamento através do miolo Então o problema do cálculo da capacidade e das dimensões poderá ser resolvido mediante o processo da DTML ou com o método da análise da efetividade Descreveremos agora a análise da perda de carga nos trocadores de calor compactos Apostila de Transferência de Calor e Massa 124 Fig 824 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos chatos com aletas de chapas contínuas Fig 825 Transferência de calor e fator de atrito no escoamento através do feixe de tubos cilíndricos com aletas individuais Apostila de Transferência de Calor e Massa 125 A perda de carga associada ao escoamento através de um trocador de calor compacto consiste em três componentes o atrito no miolo a aceleração no miolo e as perdas de entrada e de saída Vamos apresentar agora a análise de perda de carga nos trocadores com aletas de chapa contínua e de tubos com aletas 871 Perda de carga em trocadores com aletas de chapa contínua Considere o miolo de um trocador com aletas de chapa contínua como está ilustrado na Fig 722b A medida que o fluido entra nos canais sofre quedas de pressão em virtude da contração resultante de variações de área e da expansão livre irreversível depois de uma contração repentina À medida que o fluido passa através do miolo do trocador de calor isto é do núcleo sofre queda de pressão em virtude do atrito fluido Também dependendo de existir aquecimento ou resfriamento há variação de pressão em virtude de aceleração ou de desaceleração da corrente Finalmente à medida que o fluido deixa o miolo do trocador de calor há quedas de pressão associadas à variação de área e a separação do fluido Então a perda de carga total no escoamento do fluido através do miolo do trocador de calor é dada por 0 2 0 2 2 1 1 2 1 2 ρ ρ σ ρ ρ ρ ρ σ ρ i m i mín i c i Ke A A f K G P 849 onde área frontal área mínima do escoamentolivre A A fr mín σ área mínima de escoamento livre área total detransferência de calor D L A A h mín 4 σ ρ ρ u A u A G mín fr velocidade mássica Kgm2s KcKe coeficiente de contração e de expansão do escoamento respectivamente ρi ρ0 densidade na entrada e na saída respectivamente 0 1 1 2 1 1 ρ ρ ρ i m A Eq 849 dá a perda de carga associada ao escoamento através do miolo do trocador de calor Podese considerar a relação também válida para o escoamento no interior dos tubos do trocador de calor Por isso a perda total de carga através do trocador de calor é igual à soma das perdas de carga do escoamento através dos tubos e no interior dos mesmos Na Eq 849 a perda de carga por atrito é em geral a mais importante e responde por cerca de 90 ou mais da perda de carga total através do miolo As perdas na entrada e na saída se tornam importantes nos trocadores curtos isto é com pequenos L com Apostila de Transferência de Calor e Massa 126 pequenos valores de σ valores grandes do número de Reynolds e com gases Com líquidos são desprezíveis 872 Perda de carga em trocadores de tubos aletados No escoamento normal a um banco de tubos aletados fig 822a as perdas na entrada e na saída são em geral devidas ao fator de atrito e por isso Kc Ke 0 Então pondo Kc Ke 0 na Eq 849 a perda de carga total no escoamento através do banco de tubos se torna m i mín i i A A f G P ρ ρ ρ ρ σ ρ 1 1 2 0 2 2 aceleração da corrente atrito no miolo 88 OTIMIZAÇÃO DOS TROCADORES DE CALOR Embora os projetos padrões dos trocadores de calor possam satisfazer às necessidades da maior parte das unidades pequenas e simples operando em temperaturas moderadas e pressões baixas é possível que sejam necessárias unidades individualmente projetadas para numerosas aplicações especiais Os trocadores de calor são projetados para uma vasta variedade de aplicações por isso os critérios de otimização dependem do tipo de aplicação Por exemplo os critérios de otimização podem requerer um mínimo de peso um mínimo de volume ou superfície mínima de transferência de calor custo inicial mínimo ou custos inicial e operacional mínimos maior taxa de transferência de calor perda de carga mínima para uma certa taxa de transferência de calor diferença média de temperatura mínima e assim por diante Por isso para efetivar um estudo de otimização deve ser executado o projeto térmico do trocador de calor e os cálculos devem ser repetidos para cada variável do projeto até que o critério de otimização seja satisfeito Já existem programas de computador para o projeto térmico dos trocadores de calor Bell descreve o procedimento de um projeto auxiliado por computador no caso do projeto térmico de trocadores de calor de casco e tubos Shah discute os aspectos básicos de um projeto térmico auxiliado por computador e o processo de otimização de trocadores de calor compactos Spalding ressalta os aspectos gerais de uma abordagem numérica para determinar a dinâmica do fluido e o desempenho térmico dos trocadores de calor Para ilustrar a estrutura lógica básica da otimização dos trocadores de calor focalizaremos nossa atenção nos trocadores de calor compactos O primeiro passo no processo de otimização é a solução dos problemas do cálculo da capacidade e das dimensões O problema do cálculo da capacidade se refere à determinação da taxa de transferência de calor das temperaturas de saída e da perda de carga em cada lado Geralmente são especificadas as seguintes grandezas nos problemas deste cálculo tipo do trocador de calor geometria das superfícies disposição das correntes vazões temperaturas de entrada e dimensões totais do miolo O problema do dimensionamento se refere à determinação das dimensões do miolo para se atingir a transferência de calor especificada e a perda de carga tolerada O papel do projetista é selecionar o tipo de construção a disposição das correntes e a geometria das Apostila de Transferência de Calor e Massa 127 superfícies de ambos os lados As seguintes grandezas são em geral especificadas temperaturas de entrada e de saída do fluido vazões perdas de carga e taxa de transferência de calor Shah descreve os pontos principais das grandes subrotinas de computador necessárias para realizar os cálculos de dimensionamento e de desempenho térmico e hidrodinâmico Incluem o seguinte 1 Especificações do projeto As especificações completas do projeto devem ser conhecidas assim como a subrotina do computador A informação deve incluir o tipo do trocador de calor a disposição das correntes a geometria das superfícies as condições de operação como temperaturas pressões vazões tipos de fluidos etc na entrada dimensões totais 2 Propriedades do fluido As propriedades dos fluidos como calor específico densidade viscosidade condutividade térmica e o número de Prandtl devem ser incluídas como uma função da temperatura na forma de correlações 3 Geometria do miolo A informação que caracteriza a geometria do miolo deve ser fornecida em cada lado do trocador incluindo a área mínima do escoamento livre o diâmetro hidráulico as dimensões das aletas necessárias para o cálculo da eficiência das aleta etc 4 Relação ε NUT Uma vez que o método ε NUT é utilizado no projeto térmico de trocadores de calor compactos devem ser fornecidas as fórmulas que definem a relação ε NUT As relações devem ser suficientemente gerais para permitirem a determinação de e quando forem conhecidas NUT e C Cmín Cmax e para calcular NUT quando ε e C forem disponíveis 5 Relação h e f As características da transferência do calor e do atrito do escoamento nos trocadores de calor compactos são geralmente dadas na forma de cartas de j e de f plotados em função do número de Reynolds Esses dados devem ser fornecidos na forma de correlações 6 Rendimento das aletas Quando são usadas superfícies estendidas no miolo da transferência de calor a eficiência das aletas η e a eficiência das aletas ponderada pela área η são necessárias nos cálculos de transferência de calor Por isso devem ser dadas as fórmulas que definem a eficiência η e a informação necessária para o cálculo de η 7 Relações de perda de carga A perda de carga no escoamento através do miolo é devida ao atrito do escoamento à aceleração e à desaceleração resultantes da transferência de calor à contração e à expansão da corrente na entrada e na saída do miolo Devem ser dadas as relações apropriadas para o cálculo da perda de carga decorrente destas causas Também deve ser feita provisão para o cálculo da perda de carga nos ângulos nas curvas nos distribuidores e coletores etc 881 Problema do cálculo da capacidade Se o problema envolve a otimização associada à taxa de transferência de calor ou à perda de carga resolvese o problema da capacidade e calculase a taxa de transferência de calor ou a perda de carga resultante 882 Problema de dimensionamento Se o problema envolve otimização associada às dimensões ao peso ou à superfície de transferência de calor e portanto ao custo então o problema do dimensionamento é resolvido e as dimensões do miolo e a superfície da transferência de calor são calculadas Apostila de Transferência de Calor e Massa 128 883 Problema da otimização Como se discutiu antes o critério para otimização depende da aplicação específica Por isso a grandeza otimizada isto é maximizada ou minimizada deve ser estabelecida Pode haver alguma restrição adicional Uma variedade de técnicas pode ser utilizada para se chegar a um projeto otimizado qualquer que seja a técnica adotada cada caso envolve a resolução do problema do cálculo da capacidade e das dimensões Suponha que o trocador de calor deva ser otimizado para um custo total mínimo O problema envolve restrições explícitas como uma área frontal fixa e intervalos das dimensões do trocador de calor e restrições implícitas sobre a taxa mínima de transferência de calor ou a perda de carga Uma vez escolhida a geometria da superfície o projetista tem a opção de impor restrições adicionais como os valores máximo e mínimo da altura da aleta espessura da aleta passe da aleta condutividade térmica da aleta comprimento da aleta razão do gás etc Então o problema se reduz à resolução do problema do cálculo térmico dentro dos limites das variáveis especificadas 9 RADIAÇÃO ENTRE SUPERFÍCIES NUM MEIO INERTE 91 NATUREZA DA RADIAÇÃO TÉRMICA A radiação térmica é a energia radiante emitida pelos corpos em virtude das suas temperaturas Todos os corpos a uma temperatura acima do zero absoluto emitem radiação térmica Considere por exemplo um corpo quente à temperatura Th colocado em uma câmara de vácuo cujas paredes estão frias à temperatura Tc como está ilustrado na Fig 91 Uma vez que o corpo quente está separado das paredes frias pelo vácuo não é possível a transferência condutiva ou convectiva de calor 0 corpo quente se resfria em virtude da troca de calor pela radiação térmica Outro exemplo é a transferência de energia do sol para a terra a energia térmica emitida do sol se propaga através do espaço e atinge a superfície da terra 0 transporte de energia radiante não exige um meio interveniente entre a superfície quente e fria 0 verdadeiro mecanismo da propagação de radiação não está completamente compreendido mas diversas teorias foram propostas para explicar o processo De acordo com a teoria eletromagnética de Maxwell a radiação é tratada como ondas eletromagnéticas enquanto o conceito de Max Planck trata a radiação como fótons ou quanta de energia Ambos os conceitos são utilizados para descrever a emissão e propagação de radiação Por exemplo os resultados obtidos a partir da teoria eletromagnética são usados para prever as propriedades radiantes dos materiais enquanto os resultados do conceito de Planck são empregados para prever a grandeza da energia radiante emitida por um corpo a uma dada temperatura Quando a radiação é tratada como uma onda eletromagnética considerase a radiação de um corpo à temperatura T como se fosse emitida em todos os comprimentos de onda desde λ 0 até λ Nas temperaturas encontradas na maior parte das aplicações de engenharia o conjunto da energia térmica emitida por um corpo está nos comprimentos de onda entre 10 λ µm λ 100 Por este motivo a região do espectro de comprimentos de onda entre 10 λ e µm λ 100 recebe geralmente o nome de radiação térmica 0 sol emite radiação térmica a uma temperatura efetiva superficial de cerca de 5760 k e o conjunto desta energia está nos comprimentos de onda entre 10 λ e Apostila de Transferência de Calor e Massa 129 µm λ 3 por isso esta região do espectro é conhecida geralmente como a radiação solar A radiação emitida pelo sol nos comprimentos de onda entre λ 04 e λ 07 µ m é visível para o olho esta região do espectro é a radiação visível isto é a luz visível A Fig 92 ilustra essas subdivisões do espectro de ondas eletromagnéticas Fig 91 Troca de radiação térmica A natureza ondulatória da radiação térmica implica que o comprimento de onda λ deve estar associado à freqüência ν da radiação A relação entre λ e o ν é v λ c 91 onde c é a velocidade de propagação no meio Se o meio no qual a radiação se propaga for o vácuo a velocidade de propagação é igual à velocidade da luz isto é co 29979 108 ms 92 Utilizando esta relação entre λ e ν incluímos na Fig 92 o espectro de freqüências correspondentes Fig 92 Espectro típico da radiação eletromagnética devida a temperatura de um corpo Outros tipos de radiação como os raios X os raios gama as microondas etc são bem conhecidos e utilizados em vários ramos da ciência e da engenharia Os raios X são produzidos pelo bombardeio de um metal com elétrons de alta freqüência e o grosso da energia está no domínio entre m e µ λ λ 2 4 10 10 Os raios gama são produzidos pela Apostila de Transferência de Calor e Massa 130 fissão dos núcleos ou pela desintegração radiativa e o grosso da energia está concentrado no domínio de comprimentos de onda menores do que o dos raios X Neste livro não vamos tratar destas radiações Nosso interesse está concentrado na radiação térmica como mecanismo de transporte de energia entre objetos em temperaturas diferentes No estudo da transferência de radiação devese fazer uma distinção entre os corpos semitransparentes à radiação e os opacos Se o material for semitransparente à radiação como o vidro os cristais incolores e os gases a temperaturas elevadas então a radiação que sai do corpo por suas superfícies externas é o resultado de emissões ocorrentes em todas as profundidades dentro do material A emissão de radiação nestes casos é um fenômeno global ou volumar Se o material for opaco à radiação térmica como os metais a madeira as rochas etc a radiação emitida pelas regiões do interior do material não atinge a superfície Nesses casos a radiação emitida pelo corpo tem origem no material na vizinhança imediata da superfície i e dentro de cerca de 1 µ m e a emissão é um fenômeno superficial Observese também que o material pode comportarse como um meio semitransparente em certas faixas de temperatura e como opaco em outras temperaturas O vidro é um exemplo típico deste comportamento é semitransparente à radiação térmica em temperaturas elevadas ou opaco em temperaturas intermediárias ou baixas 92 RADIAÇÃO DO CORPO NEGRO Um corpo em qualquer temperatura acima do zero absoluto emite radiação em todos os comprimentos de onda em todas as direções possíveis no espaço O conceito de corpo negro é uma idealização que serve para comparar as características da emissão e da absorção dos corpos reais Um corpo negro absorve toda a radiação incidente vinda de todas as direções em todos os comprimentos de onda sem que o corpo a reflita transmita ou espalhe Numa dada temperatura num dado comprimento de onda nenhum outro corpo à mesma temperatura pode emitir mais radiação do que um corpo negro A emissão de radiação por um corpo negro a qualquer temperatura T é a emissão máxima possível nesta temperatura O termo negro deve ser distinguido do seu uso ordinário em relação ao negrume de uma superfície sob observação visual O olho humano pode detectar o negrume somente na região visível do espectro Por exemplo um objeto como o gelo é brilhante ao olho mas é quase negro para a radiação térmica de grande comprimento de onda Entretanto um corpo negro é completamente negro à radiação térmica em todos os comprimentos de onda desde λ 0 até λ A radiação é emitida por um corpo em todas as direções É de interesse saber a quantidade de radiação emitida por um corpo negro em uma dada direção A quantidade fundamental que especifica a grandeza da energia da radiação emitida por um corpo negro a uma temperatura absoluta T num comprimento de onda λ em qualquer direção dada é a intensidade da radiação espectral do corpo negro bI λ T O termo espectral é utilizado para denotar a dependência entre o comprimento de onda e a intensidade da radiação e o índice b se refere ao corpo negro A grandeza de bI λ T para a emissão no vácuo foi determinada primeiro por Planck e é dada por Apostila de Transferência de Calor e Massa 131 1 exp 2 5 2 kT hc hc T Ib λ λ λ 93 onde h 66256 x 1034 J s e k 138054 x 1023 J K são as constantes de Planck e de Boltzmann respectivamente c 29979 x l08 ms é a velocidade da luz no vácuo T em kelvins é a temperatura absoluta e λ é o comprimento de onda bI λ T representa a energia radiante emitida por um corpo negro à temperatura T passando através de uma unidade de área perpendicular à direção de propagação por unidade de comprimento de onda em torno do comprimento de onda λ por unidade de ângulo sólido em torno da direção de propagação do feixe Com base nesta definição as unidades de bI λ T podem ser escritas como Energia Áreacomprimento de ondaângulo sólido 94a onde a área é medida perpendicularmente à direção da propagação 1Fig 93 Definição de ângulo sólido Se a energia for medida em watts a área em metros quadrados o comprimento de onda em micrômetros e o ângulo sólido em esterorradianos sr a Eq 94a tem a dimensão m sr m W 2 µ 94b O significado físico do ângulo sólido é mais bem visualizado se nos referirmos à Fig 93 Seja Ω a direção de propagação e 0 a posição de referência Consideremos uma pequena área dA a um distância r de 0 e normal à direção Ω O ângulo sólido dw subtendido por dA em O é definido como r2 dw dA 95 Apostila de Transferência de Calor e Massa 132 Com base nesta definição podemos inferir facilmente que o ângulo sólido subtendido por um hemisfério no seu centro é 2π isto é 2π r2r2 e por toda a esfera no seu centro é 4π isto é 4π r2r2 Na Eq 93 bI λ T é a intensidade da radiação do corpo negro por unidade de comprimento de onda em torno do comprimento de onda λ Entretanto a radiação é emitida em todos os comprimentos de onda Para determinar a intensidade da radiação do corpo negro bI λ T emitida à temperatura T sobre todos os comprimentos de onda integramos bI λ T desde λ 0 até λ 0 bI λ λ T dλ I b T Wm2sr 96 Aqui Ib T é a intensidade da radiação do corpo negro 921 Poder emissivo do corpo negro Há interesse prático em conhecerse a quantidade de energia radiante emitida por unidade de área de um corpo negro a uma temperatura absoluta T em todas as direções de um espaço hemisférico Para calcular esta grandeza consideremos uma área elementar dA à temperatura T como está ilustrado na Fig 94a Seja n a normal a esta superfície θ o ângulo polar medido a partir desta normal e θ o azimute A superfície emite radiação de intensidade espectral bI λ T em todas as direções De acordo com esta definição esta intensidade dada pela Eq 93 é independente da direção A grandeza bI λ TdA cosθ dw 97 representa a energia radiante espectral emitida pelo elemento de superfície dA que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em uma dada direção Ω Nesta expressão o termo dA cosθ é a projeção de dA sobre um plano normal à direção Ω o emprego da área projetada é necessário pois bI λ T por definição está baseada na área normal à direção de propagação Dividindo a Eq 97 por dA obtemos bI λ T cosθ dw 98 que representa a energia radiante espectral do corpo negro emitida por unidade de área da superfície que se propaga através do ângulo sólido elementar dw em qualquer direçãoΩ Observe a Fig 94b Um ângulo sólido elementar dw pode ser relacionado ao ângulo polar θ e ao azimute φ por θ θ φ θ sen r rd sen rd r dA dw 2 2 1 dθ dφ 99 Então a Eq 98 se torna bI λ Tcosθ senθ dθ dφ 910 Apostila de Transferência de Calor e Massa 133 Fig 94 Nomenclatura para a emissão de radiação por uma superfície dA b definição do ângulo sólido dw em termos de θ φ A radiação espectral do corpo negro emitida por unidade de área da superfície em todas as direções dentro do espaço hemisférico é obtida pela integração da Eq 910 sobre π φ 2 0 e 0θ 2 π Obtemos Ebλ T bI λ T 2 0 2 0 cos π θ π φ φ θ θ θ d d sen π 2 bI λ T 2 0 sen cos π θ θ θ θ d π 2 bI λ T 2 0 2 sen2 1 π θ bλ E T π bI λ T 911 bI λ T é o poder emissivo espectral do corpo negro Representa a energia radiante emitida por um corpo negro a uma temperatura absoluta T por unidade de área por unidade de tempo por unidade de comprimento de onda em torno de λ em todas as direções de um espaço hemisférico Representa realmente o fluxo de radiação espectral do corpo negro A função de Planck definida pela Eq 93 entra agora na Eq 911 Obtemos Ebλ T 1 exp 2 5 1 T c c λ λ Wm2 µ m 912 onde c1 2π hc2 3743 x 108 W µ m4 m2 c2 hck 14387 x 104 µ mK T temperatura absoluta K λ comprimento de onda µ m Apostila de Transferência de Calor e Massa 134 A Eq 912 pode ser usada para calcular bλ E T para quaisquer λ e T A Fig 95 mostra o gráfico de bλ E T em função de λ em várias T Notamos a partir desta figura que a um dado comprimento de onda a radiação emitida cresce com a elevação de temperatura e para uma dada temperatura a radiação emitida varia com o comprimento de onda e apresenta um máximo Esses máximos tendem a se deslocar para os comprimentos de onda menores à medida que a temperatura cresce As posições destes máximos são dadas pela lei do deslocamento de Wien como m k T máx 2897 6 µ λ 913 As posições dos máximos estão mostradas na Fig 95 pela linha tracejada Fig 95 Poder emissivo espectral do corpo negro a diferentes temperaturas 922 Lei de StefanBoltzmann A energia radiante emitida por um corpo negro a uma temperatura absoluta T em todos os comprimentos de onda por unidade de tempo por unidade de área é determinada pela integração da Eq 912 desde λ 0 até λ EbT 0 2 5 1 1 exp λ λ λ λ d T c c A variável de integração é modificada de λ para λT x Apostila de Transferência de Calor e Massa 135 EbT T4 x d x c x c x 0 2 5 1 1 exp 914 Esta integração pode ser realizada e o resultado é expresso como EbT σT4 Wm2 915 onde T está em kelvins e σ é a constante de StefanBoltzmann cujo valor numérico é σ 567 x 108 Wm2 K4 916 Aqui EbT é o poder emissivo do corpo negro e a Eq 915 é a lei de StefanBoltzmann O significado físico de EbT é representar o fluxo de radiação do corpo negro emitido por uma superfície unitária a uma temperatura absoluta T Podese determinar a relação entre EbT e IbT pela integração da Eq 911 sobre todos os comprimentos de onda Obtemos EbT π IbT Wm2 917 e das Eqs 915 e 917 escrevemos IbT 1 T 4 π σ Wm2sr 918 923 Funções de radiação do corpo negro Apostila de Transferência de Calor e Massa 136 Tab 91 Funções de radiações do corpo negro Em numerosas aplicações o interesse está centrado na emissão de radiação por um corpo negro no intervalo de comprimento de onda desde λ 0 até λ em função da emissão total desde λ 0 até λ Esta grandeza é determinada conforme sua definição por 4 0 0 0 T T d E T d E T d E T f b b b o σ λ λ λ λ λ λ λ λ λ 919 Apostila de Transferência de Calor e Massa 137 Entrando com Ebλ T da Eq 912 na Eq 919 Τ λ λ σ 0 2 5 1 1 exp x o x c x dx c T f 920 onde a variável de integração foi modificada de λ para λ T x A integração na Eq 920 pode ser efetuada e 0 T f λ calculada para um dado λ T A tabela 91 dá a função de radiação do corpo negro 0 T f λ em termos de λ T originalmente calculada por Dunkle Nesta tabela a primeira e a Segunda coluna dão λ T em µ m K e µ m o R respectivamente A terceira coluna é útil para computar o poder emissivo espectral do corpo negro bλ E T numa temperatura e num comprimento de onda especificados Até aqui discutimos a intensidade da radiação do corpo negro e o poder emissivo que são úteis para comparação da energia radiante emitida por superfícies reais Um corpo negro não existe na realidade entretanto podemos chegar a situações bastante próximas dele Considere por exemplo uma esfera oca cuja superfície interna é mantido a uma temperatura uniforme T com um pequeno orifício na sua superfície A radiação que sai pelo orifício é a melhor aproximação da radiação do corpo negro à temperatura T 93 PROPRIEDADES RADIANTES DAS SUPERFÍCIES A radiação emitida por um corpo real a uma temperatura T e num comprimento de onda λ é sempre menor do que do corpo negro Por isso a emissão do corpo negro é escolhida como referência e se define uma grandeza a emissividade da superfície como a razão entre a energia emitida por uma superfície real e a energia emitida pelo corpo negro à mesma temperatura o valor da emissividade varia de 0 a l Evidentemente existem numerosas possibilidades para fazer tal comparação por exemplo a comparação pode ser feita num dado comprimento de onda ou em todos os comprimentos de onda ou entre as energias emitidas numa direção especificada ou entre as energias emitidas num espaço hemisférico Aqui consideraremos a comparação somente entre as energias emitidas no espaço hemisférico não só num dado comprimento de onda mas também na média sobre todos os comprimentos de onda Com esta consideração empregamos os seguintes símbolos ελ emissividade espectral hemisférica e ε emissividade hemisférica Fig 95 Reflexão pelas superfícies a reflexão especular b reflexão difusa Apostila de Transferência de Calor e Massa 138 Um corpo negro absorve toda a radiação sobre ele incidente em todos os comprimentos de onda enquanto uma superfície real absorve somente parte da radiação e a fração absorvida varia com o comprimento de onda da radiação e com a temperatura na qual a radiação é emitida A grandeza poder de absorção ou absortividade de uma superfície é a fração da radiação incidente absorvida pela superfície Evidentemente existem numerosas possibilidades nesta definição por exemplo a absorção pode ser considerada em um dado comprimento de onda ou em todos os comprimentos de onda ou para a energia incidente em uma dada direção ou para a energia incidente em todas as direções de um espaço hemisférico Aqui consideraremos somente a situação na qual a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções no espaço hemisférico para um dado comprimento de onda e para a média sobre todos os comprimentos de onda Com esta consideração empregamos os símbolos seguintes λ α poder de absorção espectral hemisférico e α poder de absorção hemisférico Quando a radiação incide em uma superfície real uma fração é refletida pela superfície Se a superfície for perfeitamente plana isto é se as asperezas da superfície forem muito menores do que o comprimento de onda da radiação os raios incidente e refletido serão simétricos em relação a normal no ponto de incidência como está ilustrado na Fig 95a Esta reflexão como a dos espelhos é a reflexão especular Se a superfície tiver asperezas a radiação incidente será espalhada em todas as direções Uma reflexão idealizada nesta situação é aquela em que a intensidade da radiação refletida é constante em todos os ângulos de reflexão e independente da direção da radiação incidente é chamada reflexão difusa A Fig 95b ilustra a reflexão difusa em uma superfície As superfícies reais encontradas nas aplicações de engenharia não são nem perfeitamente difusas nem perfeitamente especulares Entretanto o conceito é útil para estudar os efeitos dos dois casos limites na transferência de radiação A refletividade de uma superfície é definida como a fração da radiação incidente refletida pela superfície Existem numerosas possibilidades para a definição da refletividade por exemplo a reflexão pode ser considerada em um dado comprimento de onda ou sobre todos os comprimentos de onda ou para a energia incidente em uma dada direção ou para a energia incidente em todas as direções no espaço hemisférico Há também a possibilidade de a reflexão ser especular ou difusa Aqui consideraremos somente a reflexão difusa nas situações em que a radiação incide sobre a superfície vinda de todas as direções do espaço hemisférico tanto para um dado comprimento de onda como para a média de todos os comprimentos de onda Com esta consideração empregamos os seguintes símbolos λ ρ refletividade espectral hemisférica e ρ refletividade hemisférica Finalmente se o corpo for opaco à radiação a soma da refletividade e do poder de absorção do corpo deve ser igual à unidade 1 λ λ ρ α 920 a α ρ 1 920 b Se o corpo for semitransparente à radiação a soma do poder de absorção e da refletividade é menor do que a unidade e a diferença é chamada o poder transmissor do corpo Com esta consideração escrevemos 1 λ λ λ τ ρ α 921 a 1 τ ρ α 921 b Apostila de Transferência de Calor e Massa 139 Fig 96 Reflexão absorção e transmissão da radiação incidente por um material semitransparente onde definimos λ τ poder transmissor espectral e τ poder transmissor A Fig 96 mostra que um feixe de radiação incidente sobre um corpo semitransparente de espessura finita uma placa de vidro por exemplo é parcialmente refletido parcialmente absorvido e o restante é transmitido através do vidro 931 Lei de Kirchhoff O poder de absorção e a emissividade de um corpo podem ser relacionados pela lei de Kirchhoff da radiação Considere um corpo colocado no interior de uma cavidade negra fechada cujas paredes são mantidas à temperatura uniforme T O corpo acaba por atingir o equilíbrio com as paredes da cavidade Seja iqλ T o fluxo de radiação espectral das paredes à temperatura T incidente no corpo O fluxo de radiação espectral λ q T absorvido pelo corpo no comprimento de onda λ é λ q T λ α T iqλ T 922 onde λ α T é o poder de absorção espectral do corpo A grandeza λ q T também representa o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo no comprimento de onda λ uma vez que o corpo está em equilíbrio radiante Notamos que a radiação incidente iqλ T provém das paredes perfeitamente negras da cavidade à temperatura T e que a emissão pelas paredes não é afetada mesmo que o corpo introduzido na cavidade seja um corpo negro Com esta consideração temos b q λ T iqλ T 923 onde b q λ T é o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro à temperatura T Das Eqs 922 e 923 escrevemos T q T q b λ λ λ α T 924 Apostila de Transferência de Calor e Massa 140 A emissividade espectral λ ε T do corpo para a radiação à temperatura T é definida como a razão entre o fluxo de radiação espectral λ q T emitido pelo corpo e o fluxo de radiação espectral emitido pelo corpo negro b q λ T à mesma temperatura isto é T q T q b λ λ λ ε T 925 Das Eqs 924 e 925 obtemos T T λ λ ε α 926 que é a lei de Kirchhoff da radiação que afirma ser a emissividade espectral para a emissão de radiação à temperatura T igual ao poder de absorção espectral para a radiação proveniente de um corpo negro à mesma temperatura T Devese tomar muito cuidado na generalização da Eq 926 para os valores médios de α e de ε sobre todos os comprimentos de onda isto é para o caso α T ε T 927 A Eq 926 é sempre válida mas a Eq 927 se aplica quando a radiação incidente e a radiação emitida tem a mesma distribuição espectral ou quando o corpo é cinzento isto é quando as propriedades radiativas são independentes do comprimento de onda A aplicação da Eq 927 simplifica enormemente o cálculo da troca de calor por radiação entre as superfícies como ficará claro mais adiante neste capítulo 932 Corpo cinzento Para simplificar a análise da transferência radiativa de calor adotase freqüentemente em muitas aplicações a hipótese de o corpo ser cinzento isto é admitese que as propriedades radiativas λ λ λ ρ ε α sejam uniformes em todo o espectro de comprimentos de onda Tais corpos recebem o nome de corpos cinzentos e com a hipótese do corpo cinzento o poder de absorção e a emissividade estão relacionados pela lei de Kirchhoff como α ε 933 Emissividade Se qT for o fluxo de radiação espectral emitido por uma superfície real a uma temperatura T e E b λ T for o poder emissivo espectral do corpo negro isto é o fluxo à mesma temperatura T então a emissividade espectral hemisférica λ ε da superfície é definida como T E T q b λ λ ελ 928 O valor médio de λ ε sobre todos os comprimentos de onda chamado a emissividade hemisférica e é definido como Apostila de Transferência de Calor e Massa 141 0 0 0 T E T d E T d E T d E b b b b λ ε λ λ ε ε λ λ λ λ λ 929 Se λ ε for conhecida em função do comprimento de onda a Eq 929 poderá ser utilizada para calcular ε Note que neste processo de calcular a média o poder emissivo espectral do corpo negro E b λ T serve como fator de ponderação 934 Poder de absorção Se α for o fluxo de radiação espectral incidente sobre uma superfície e a qλ T for a quantidade de radiação absorvida pela superfície então o poder de absorção espectral hemisférico λ α será definido como T q T q i a λ λ α λ 930 O valor médio de λ α sobre todos os comprimentos de onda o poder de absorção hemisférico α é definido como 0 0 λ λ α α λ λ λ T d q T d q i i 931 Dado λ α em função do comprimento de onda a Eq 931 pode ser utilizada para calcularα Observamos que o poder de absorção α depende da distribuição espectral da radiação incidente iqλ T e portanto iqλ T é utilizado como fator de ponderação mas a emissividade depende da temperatura da superfície e por isso o poder emissivo espectral do corpo negro E b λ T à temperatura da superfície é utilizado como fator de ponderação na Eq 929 935 Refletividade Se iqλ T for o fluxo de radiação espectral incidente na superfície e r qλ T for a quantidade de radiação refletida pela superfície então a refletividade espectral hemisférica λ ρ será definida por T q T q i r λ λ ρλ 932 O valor médio de λ ρ sobre todos os comprimentos de onda é a refletividade hemisférica p definida como Apostila de Transferência de Calor e Massa 142 0 0 λ λ ρ ρ λ λ λ T d q T d q i i 933 Dada λ ρ em função do comprimento de onda a Eq 933 pode ser empregada para calcular p Neste processo de promediação o fluxo de radiação espectral incidente iqλ T serve como fator de ponderação 936 Poder transmissor A análise do poder transmissor de um corpo semitransparente é em geral assunto complicado porque a radiação incidente sobre um corpo semitransparente penetra nas profundidades do meio onde é atenuada em virtude da absorção e em alguns casos do espalhamento pelo material Por isso o poder transmissor depende das propriedades radiantes do material da sua espessura e das condições nas superfícies externas Entretanto nas aplicações de engenharia há muitas situações como a transmissão de radiação através de uma lâmina de vidro nas quais o poder transmissor espectral hemisférico λ τ é definido como T q T q i tr λ λ τ λ 934 onde iqλ T tr qλ T são os fluxos de radiação incidente e transmitido respectivamente Dada a distribuição espectral de λ τ o poder transmissor hemisférico τ é determinado a partir de 0 0 λ λ τ τ λ λ λ T d q T d q i i 935 94 RADIAÇÃO SOLAR A energia do sol provém das regiões internas do sol em virtude de uma reação de fusão contínua Quase 90 desta energia são gerados dentro da região 023 vezes o raio do sol e em seguida transferidos radiativamente até uma distância cerca de 07 vezes o raio do sol Fora desta região há a zona convectiva onde a temperatura está na faixa de 6000 K A frieza relativa da superfície externa do sol é indicação de que a energia criada no interior é dissipada radiativamente pela superfície externa do sol Portanto o sol com seu raio R 696 x 105 km e massa M 199 x 1030 kg é uma fonte de energia quase inexaurível para a terra Somente uma pequena fração de energia do sol atinge a terra em virtude da grande distância entre eles A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera foi determinada muito precisamente por uma série de medidas elevadas feitas com o emprego de balões de aviões e de naves espaciais de 1967 a 1970 A energia resultante conhecida como a constante solar Gs vale Apostila de Transferência de Calor e Massa 143 Gs 1353 Wm2 936 Fig 97 Constante solar Gs e radiação solar extraterrestre Go Essa quantidade representa o fluxo de radiação solar incidente sobre um plano normal aos raios de sol exatamente no limite da atmosfera da terra quando esta está à distância média do sol À medida que a terra se desloca em torno do sol em uma órbita ligeiramente elíptica a distância entre eles varia de 983 da distância média quando a terra está no ponto mais próximo do sol até 1017 da distância média quando a terra atinge sua distância máxima ao sol Por isso o valor instantâneo de Gs varia aproximadamente por 34 isto é do máximo 1399 Wm2 em 21 de dezembro ao mínimo 1310 Wm2 em 21 de junho Entretanto para fins práticos a variação de Gs é desprezada e retorna a constante como 1353 Wm2 Então a energia solar Go que incide normalmente na superfície externa da atmosfera terrestre é Go Gs cos θ Wm2 937 onde Go é a radiação solar extraterrestre A Fig 97 ilustra o significado físico de Gs e de Go em relação à direção do feixe de raios solares O valor de Gs pode ser utilizado na lei da radiação do corpo negro para estabelecer uma temperatura efetiva Ts da superfície do sol 4 2 s s T R r G σ 938 onde Gs 1353 Wm2 r 69598 x lOs m raio do disco solar R 1496 x 10 m distância média da terra ao sol σ 56697 x 108 Wm2 K4 constante de StefanBoltzmann Então a temperatura efetiva da superfície do sol é T 5762 K A radiação solar que atinge a superfície mais elevada da atmosfera terrestre propagase através da atmosfera da terra antes de chegar à superfície Aproximadamente 99 da atmosfera estão contidos à distância de cerca de 30 km a partir da superfície da terra À medida que a radiação solar atravessa a atmosfera é absorvida ou é espalhada pelo meio atmosférico A fig 98 mostra a distribuição espectral da radiação solar G λ s exatamente fora da atmosfera da terra e no nível do solo quando a atmosfera está clara Notamos que a Apostila de Transferência de Calor e Massa 144 energia total contida abaixo da curva G λ s representa o fluxo de radiação solar exatamente acima da atmosfera terrestre isto é 2 0 1353 m w G d G s s λ λ 939 A curva da distribuição espectral da radiação solar que chega na superfície da terra fica abaixo da curva de G λ s e mostra vários mínimos O motivo disto é a absorção da radiação solar pelo O3 O2 CO2 e H20 em diversos comprimentos de onda O ozônio O3 que está concentrado em uma camada 10 a 30 km acima da superfície da terra absorve fortemente a radiação ultravioleta no intervalo λ 02 a a 029 Fig 98 Efeitos da atenuação atmosférica sobre a distribuição espectral da radiação solar µ m e bastante no intervalo 029 a 034 µ m Por isso é desprezível a radiação solar com comprimentos de onda menores do que cerca de 03 µ m que atinge a superfície da terra Assim os sistemas biológico na terra estão protegidos da danosa radiação ultravioleta A absorção do oxigênio ocorre numa raia muito estreita centrada em λ 076 µ m As bandas de absorção devidas ao vapor de água são visíveis distintamente na faixa de 07 a 22 µ m O dióxido de carbono e o vapor de água absorvem fortemente a radiação térmica nos comprimentos de onda maiores do que cerca de 22 µ m Disso resulta que a radiação solar que atinge a superfície da terra está essencialmente contida nos comprimentos de onda entre 029 e 25 µ m A energia total subtendida pela curva do espectro solar na superfície da terra num dia de atmosfera límpida é cerca de 956 Wm2 Este valor é consideravelmente menor do que a constante solar 1353 Wm2 na fronteira da atmosfera terrestre Além da absorção da radiação solar há o seu espalhamento pelas moléculas do ar pelas gotículas de água nas nuvens e pelos aerossóis ou partículas de poeira à medida que a radiação atravessa a atmosfera As moléculas de ar espalham a radiação solar de comprimentos de onda muito curtos em relação às dimensões das moléculas e este espalhamento é o espalhamento Rayleigh Gotículas de água aerossóis e outras sujeiras atmosféricas espalham a radiação em comprimentos de onda comparáveis ao diâmetro das partículas A parte da radiação solar que não é espalhada nem absorvida pela atmosfera e que atinge a superfície da terra como um feixe é a radiação solar direta A parte espalhada da radiação que atinge a superfície da terra vinda de todas as direções do firmamento é a Apostila de Transferência de Calor e Massa 145 radiação solar difusa Assim a radiação solar recebida pela superfície da terra é composta das partes direta e difusa A componente difusa varia de cerca de 10 do total num dia claro a quase 100 num dia totalmente nublado 941 Radiação solar que chega à terra A quantidade de energia solar recebida por uma superfície no nível do mar depende da orientação da superfície em relação ao sol da hora do dia do dia do ano da latitude do ponto de observação e das condições atmosféricas Na alvorada ou no crepúsculo a radiação solar que atinge a superfície da terra percorre um caminho oblíquo mais longo através da atmosfera por isso a atenuação atmosférica é maior e a intensidade se reduz significativamente O fluxo total de energia solar qt recebido por unidade de área de uma superfície ao nível do mar consiste nas componentes direta e difusa Seja qdf em watts por metro quadrado a radiação solar difusa incidente sobre uma superfície horizontal e devida à radiação proveniente de todo o hemisfério espacial e seja qD o fluxo da radiação solar direta por unidade de área normal à direção do feixe de radiação solar no nível do mar Seja θ o ângulo de incidência isto é o ângulo entre o raio do sol e a normal à superfície conforme a ilustração da Fig 99 Então o fluxo de energia solar total qt recebido pela área unitária da superfície no nível do mar é d f D t q q q cos θ Wm2 940 Portanto para calcular o fluxo total de energia solar recebido por uma superfície precisase saber o fluxo da radiação solar difusa o fluxo da radiação solar direita sobre um plano normal à direção do feixe e o ângulo de incidência θ Fig 99 Radiação solar recebida na superfície terrestre O ângulo de incidência θ pode ser relacionado ao ângulo de inclinação isto é o ângulo entre o plano horizontal e a superfície à latitude isto é a distância angular ao equador e à declinação isto é o ângulo entre o raio do sol e o plano equatorial no meiodia solar A energia solar incidente sobre uma superfície opaca é parcialmente absorvida pela superfície e o restante é refletido 95 CONCEITO DE FATOR DE FORMA Apostila de Transferência de Calor e Massa 146 Até agora discutimos a radiação para uma superfície única ou de uma superfície única Entretanto nas aplicações de engenharia os problemas de interesse prático envolvem troca de radiação entre duas ou mais superfícies Quando as superfícies estiverem separadas por um meio inerte que não absorve nem emite nem difunde a radiação a troca de radiação entre as superfícies não é afetada pelo meio O vácuo por exemplo é um perfeito meio inerte entretanto o ar e muitos gases se aproximam quase exatamente desta condição Para quaisquer duas superfícies dadas a orientação entre elas afeta a fração da energia radiante emitida por uma superfície e que incide diretamente na outra superfície Por isso a orientação das superfícies tem papel importante na troca radiativa de calor Para formalizar os efeitos da orientação na análise da troca radiativa de calor entre superfícies adotase o conceito de fator de forma Os termos fator de vista fator de visada e fator de configuração também são utilizados na literatura Devese fazer uma distinção entre o fator de forma difuso e o fator de forma especular O primeiro se refere à situação em que as superfícies são refletores difusos e emissores difusos enquanto o último se refere à situação em que as superfícies são emissores difusos e refletores especulares Neste livro vamos considerar apenas os casos em que as superfícies são emissores difusos e refletores difusos por isso não precisamos fazer a distinção Vamos empregar simplesmente o termo fator de forma e este termo corresponde ao fator de forma difuso O significado físico do fator de forma entre duas superfícies é representar a fração de energia radiante emitida por uma superfície que incide diretamente na outra superfície 951 Fator de forma entre duas superfícies elementares A fim de termos uma visão mais profunda da dedução das relações que definem os fatores de forma vamos demonstrar a expressão que define o fator de forma entre duas superfícies elementares Fig 910 Coordenadas para a definição do fator de forma Consideremos duas superfícies elementares dA1 e dA2 como está ilustrado na Fig 910 Seja r a distância entre essas duas superfícies 1 θ o ângulo polar entre a normal n1 ao elemento de superfície dA1 e a reta r que liga dA1 a dA2 e 2 θ o ângulo polar entre a normal n2 a elemento de superfície dA2 e a reta r Apostila de Transferência de Calor e Massa 147 Seja 12 dw o ângulo sólido sob o qual um observador em dA1 vê o elemento de superfície dA2 e I1 a intensidade da radiação emitida difusivamente pelo elemento de superfície em todas as direções do espaço hemisférico A taxa de energia radiante dQ1 emitida por dA1 e que incide na superfície dA2 é dQ1 dA1I1cos 1 θ dw12 941 onde o ângulo sólido dw12 é dado por dw12 dA2cos 2 θ r2 942 A substituição da Eq 942 na Eq 941 leva a 2 2 2 1 1 1 1 cos cos r dA dA I dQ θ θ 943 A taxa da energia de radiação Q1 emitida pelo elemento de superfície dA1 em todas as direções sobre o espaço hemisférico é π φ π θ φ θ θ θ 2 0 2 0 1 1 1 1 1 1 1 sen cos d d I dA Q 944 onde φ é o azimute Para uma superfície refletora e emissora difusa de radiação a intensidade da radiação emitida pela superfície é independente da direção Então com I1 constante a Eq 944 é integrada e nos dá Q1 1 1 dA π I 945 O fator de forma elementar dFdA1 dA2 por definição é a razão entre a energia radiante emitida por dA1 que incide diretamente sobre dA2 e a energia radiante emitida por dA1 em todas as direções no espaço hemisférico Portanto essa razão é obtida dividindose a Eq 943 pela Eq 945 dFdA1 dA2 2 2 2 1 1 1 cos cos r dA Q dQ π θ θ 946 O fator de forma elementar dFdA2 dA1 de dA2 para dA1 é agora obtido imediatamente da Eq 946 pela permutação dos índices 1 e 2 Encontramos dFdA2 dA1 2 1 2 1 cos cos r dA π θ θ 947 A relação de reciprocidade entre os fatores de forma dFdA1 dA2 e dFdA2 dA1 seguese das Eqs 946 e 947 como 1 2 2 1 2 1 dA dA dA dA dA dA dF dF 948 Esta relação implica que dadas duas superfícies elementares dA1 e dA2 se um dos fatores de forma for conhecido o outro é facilmente calculado pela relação de reciprocidade Apostila de Transferência de Calor e Massa 148 952 Fator de forma de superfícies finitas Já desenvolvemos o fator de forma entre duas superfícies elementares dA1 e dA2 Esses resultados são agora generalizados para se obterem os fatores de forma entre um elemento de superfície dA1 e uma superfície finita A2 ou entre duas superfícies finitas A1 e A2 O fator de forma FdA1 A2 de dA1 para A2 é determinado imediatamente integrandose o fator de forma elementar dFdA1 dA2 dado pela Eq 946 sobre a área A2 ou seja FdA1 A2 2 2 2 1 cos cos 2 dA r A π θ θ 949 O fator de forma FA2 dA1 de A2 para dA1 é obtido pela integração da Eq 947 sobre a área A2 seguida pela divisão por A2 FA2 dA1 2 2 2 1 2 1 cos cos dA r A dA π θ θ 950 A divisão por A2 no segundo membro torna a energia incidente em dA1 uma fração da emitida por A2 em todo o espaço hemisférico Das Eqs 949 e 950 escrevemos a relação de reciprocidade entre os fatores de forma FdA1 A2 e FA2 dA1 como dA1 dFdA1 A2 dA2 dFA2 dA1 951 O fator de forma A2 para A1 é obtido pela integração da Eq 950 sobre A1 FA1 A2 2 1 2 1 2 2 1 2 cos cos 1 A A dA dA r A π θ θ 952 E o fator de forma de A1 para A2 é obtido pela integração da Eq 949 sobre A1 e dividindose o resultado por A1 FA1 A2 1 2 1 2 2 2 1 1 cos cos 1 A A dA dA r A π θ θ 953 A divisão por A1 no segundo membro faz da energia incidente na superfície A2 uma fração da energia emitida por A1 em todo o espaço hemisférico Das Eqs 952 e 953 a relação de reciprocidade entre os fatores de forma FA1 A2 e 1 2 FA A é 1 2 2 1 2 1 A A A A A F A F 954 Apostila de Transferência de Calor e Massa 149 As relações de reciprocidade são úteis para determinar um fator de forma a termos o conhecimento do outro 953 Propriedades dos fatores de forma Vamos considerar agora uma cavidade fechada consistindo em N zonas cada uma com a área superficial iA i 1 2 N como está ilustrado na Fig 911 Admitese que cada zona seja isotérmica emissor difuso e refletor difuso A superfície de cada zona pode ser plana ou convexa ou côncava Os fatores de forma entre as superfícies Ai e Aj da cavidade fechada obedecem à seguinte relação de reciprocidade Ai j i FA A Aj i j FA A 955 A soma dos fatores de forma de uma superfície da cavidade fechada digamos A1 para todas as superfícies da cavidade inclusive para si mesma deve ser igual à unidade pela própria definição de fator de forma Esta é a relação da adição dos fatores de forma de uma cavidade fechada e é escrita como 1 1 N k A A k F i 956 Fig 911 Cavidade fechada com N zonas onde N é o número de zonas da cavidade fechada Nesta soma o termo i i FA A é o fator de forma da superfície Ai para si mesma representa a fração da energia radiante emitida pela superfície Ai que incide diretamente sobre si própria Evidentemente i i FA A se anulará quando Ai for plana ou convexa e será nãonulo se Ai for côncava esta afirmação se escreve 0 i i FA A se Ai for plana ou convexa 957a 0 i i FA A se Ai for côncavo 957 b As regras da reciprocidade e da adição são úteis pois proporcionam relações simples adicionais para se calcularem os fatores de forma num espaço fechado a partir do conhecimento de outros fatores Isto é para determinação de todos os possíveis fatores de forma numa cavidade fechada não se precisa calcular cada um deles diretamente mas devese fazer uso das regras de reciprocidade e de adição sempre que possível Esta situação é mais bem visualizada se todos os fatores de forma numa cavidade fechada com N zonas forem expressos em notação matricial como Apostila de Transferência de Calor e Massa 150 958 Evidentemente há N2 fatores de forma a serem determinados numa cavidade fechada de N zonas Entretanto a regra da reciprocidade fornece NN 12 relações e a regra da adição fornece N relações adicionais entre os fatores de forma Então o número total de fatores de forma que devem ser calculados numa cavidade fechada de N zonas a partir das expressões do fator de forma é N2 ½ NN 1 N ½ NN 1 959 Se as superfícies forem convexas ou planas N desses fatores de forma de uma superfície para si mesma se anulam e o número total de fatores de forma a serem calculados diretamente a partir da disposição geométrica das superfícies reduzse a ½ NN 1 N 2 3 N N 960 Por exemplo numa cavidade fechada com N 5 zonas com superfície plana em cada zona de todos os possíveis N2 25 fatores de forma o número de fatores de forma a serem determinados pela disposição geométrica das superfícies é somente 12NN 3 5 Se a geometria possuir simetria alguns dos fatores de forma são conhecidos a partir da condição de simetria o que reduz mais ainda o número de fatores de forma a serem calculados 96 MÉTODOS PARA DETERMINAR FATORES DE FORMA O cálculo do fator de forma entre duas superfícies elementares definidos pelas Eqs 946 e 947 não apresenta problema mas a determinação do fator de forma de superfícies finitas envolve a integração sobre as superfícies o que é difícil de realizarse analiticamente exceto em geometrias simples Na Tabela 92 apresentamos expressões analíticas dos fatores de forma em diversas configurações simples Alguns dos fatores de forma estão plotados nas Figs 912 a 916 Apostila de Transferência de Calor e Massa 151 Tab 91 Funções de radiações do corpo negro Apostila de Transferência de Calor e Massa 152 Apostila de Transferência de Calor e Massa 153 Fig 912 Fator de forma FdA1 A2 de uma superfície elementar dA1 para uma superfície retangular A2 Apostila de Transferência de Calor e Massa 154 Fig 913 Fator de forma FA1 A2 de uma superfície retangular A1 para uma superfície retangular A2 adjacentes e com planos perpendiculares Apostila de Transferência de Calor e Massa 155 Fig 914 Fator de forma FA1 A2 de uma superfície retangular A1 para uma superfície retangular A2 paralela e diretamente em frente da outra Fig 915 Fator de forma FA1 A2 entre dois discos paralelos coaxiais Apostila de Transferência de Calor e Massa 156 Fig 915 Fator de forma 1 2 FA A para cilindros concêntricos de comprimento finito a Do cilindro externo para o cilindro interno b do cilindro externo para si mesmo 961 Álgebra dos fatores de forma As cartaspadrão dos fatores de forma encontramse para um número limitado de configurações simples Entretanto pode ser possível dividir a configuração de uma disposição geométrica complicada em várias configurações simples de modo que o fator de forma possa ser determinado a partir das cartaspadrão Assim será possível determinar o fator de forma da configuração original complicada pela soma algébrica dos fatores de forma das configurações separadas mais simples Este método é conhecido como a álgebra dos fatores de forma Constitui método poderoso para determinar os fatores de forma de muitas configurações complicadas Não se pode estabelecer um conjuntopadrão de regras deste método mas o emprego apropriado das relações de reciprocidade e das regras da adição é a chave do sucesso da técnica Para ilustrar como a regra da adição e a relação de reciprocidade podem ser aplicadas consideremos o fator de forma de uma área A1 para uma área A2 que é dividida em duas áreas A3 e A4 como A2 A3 A4 961 segundo está ilustrado no esboço seguinte Então o fator de forma A1 para A2 pode ser escrito como F1 2 F1 3 F1 4 962 que é coerente com a definição do fator de forma Isto é a fração da energia total emitida por A1 que incide em A3 e A4 é igual à fração que incide na superfície A2 Apostila de Transferência de Calor e Massa 157 Outras relações adicionais entre estes fatores de forma podem ser escritas Por exemplo os dois membros da Eq 962 são multiplicados por A1 A1F1 2 A1F1 3 A1F1 4 Então a relação de reciprocidade aplicada a cada parcela dá A2F2 1 A3F3 1 A4F4 1 ou F2 1 2 4 1 4 3 3 1 A A F F A 4 3 4 1 4 3 3 1 A A A F A F 963 Suponha que a área A2 seja dividida em mais parcelas como A2 A3 A4 AN 964 Então a forma correspondente da Eq 959 é F2 1 N N N A A A A F A F A F 4 3 1 4 1 4 3 3 1 965 Evidentemente manipulações semelhantes podem ser feitas com a Eq 963 e podem obter outras relações entre os fatores de forma