Transferência de Calor por Condução

Escola de Engenharia Departamento de Engenharia Mecânica Transferência de Calor por Condução José Carlos Fernandes Teixeira 2002 ÍNDICE 1 INTRODUÇÃO 1 2 SISTEMAS A TEMPERATURA UNIFORME 3 3 CONDUÇÃO NUM SÓLIDO SEMIINFINITO 8 31 FACE A TEMPERATURA UNIFORME 9 32 FLUXO DE CALOR CONSTANTE PELA FACE 11 33 FRONTEIRA CONVECTIVA 12 4 CONDUÇÃO TRANSIENTE NUMA PLACA INFINITA 15 41 CONDIÇÕES DE FRONTEIRA 16 5 CONDUÇÃO TRANSIENTE EM OUTRAS GEOMETRIAS 22 6 SISTEMAS MULTIDIMENSIONAIS TRANSIENTES 23 REFERÊNCIAS 25 Apêndice A FUNÇÃO ERRO 26 Apêndice B DIAGRAMAS DE HEISLER 28 Transferência de Calor por Condução i 1 INTRODUÇÃO Neste texto será abordado o problema da condução em estado não estacionário Contudo em muitas situações práticas é necessário conhecer a evolução do perfil térmico e do fluxo de calor ao longo do tempo pelo que as soluções apresentadas anteriormente não se aplicarão Em coordenadas rectangulares a equação geral para a transferência de calor em condução admitindo a condutividade térmica constante tem a forma t T z T y T x T α 1 2 2 2 2 2 2 1 O tratamento desta equação na sua forma mais geral é complicado sendo necessário recorrer frequentemente à aplicação de técnicas numéricas para a sua solução Contudo é possível obter soluções analíticas exactas ou aproximadas em determinadas situações simples mas que se revestem de algum interesse prático já que muitos sistemas podem ser aproximados sem grande erro por uma dessas situações Incluemse neste domínio os casos em que o problema se pode reduzir à condução de calor a uma dimensão pelo que neste caso a equação 1 se reduz t T x T α 1 2 2 2 Por forma a terse uma melhor interpretação física das possíveis situações que esta equação pode descrever considerese um corpo arbitrário imerso num fluido e entre os quais a troca de calor é caracterizada por um coeficiente de transferência h Se a temperatura inicial for T e a do fluido for T as condições iniciais e de fronteira serão i 0 0 0 t T h T x T k t T x T w w i 3 em que o subscrito w refere a superfície do corpo A solução da Equação 2 com as condições 3 pode ser generalizada pela introdução de parâmetros adimensionais Se L representa uma dimensão característica do corpo por exemplo o raio numa esfera então a variável linear pode ser adimensionalizada definindo L ζ x 4 Quanto à temperatura esta pode ser adimensionalizada relativamente às temperaturas do fluido ambiente e inicial do corpo Γ T T T T i 5 Transferência de Calor por Condução 1 já que em última análise qualquer objecto ficará em equilíbrio térmico com o ambiente Finalmente o coeficiente de transferência de calor e o tempo podem tornarse adimensonais pela introdução dos seguintes números tempo adimensional 2 2 L Fo α t coeficiente adimensional k Bi hL 6 Assim as equações 2 e 3 podem ser reescritas 2 2 Fo ζ Γ Γ 0 Fo Bi 0 Fo 0 Γ Γ Γ Γ w w i ζ ζ 7 pelo que a solução da equação 7 tem a forma Γ f ζ FoBi 8 Assim os parâmetros Bi e Fo são importantes características da resposta transiente do corpo a alterações da temperatura O número de Fourier Fo é um tempo adimensional e pela sua definição mostra que corpos de elevada difusividade respondem mais rapidamente que outros de baixa difusividade corpos volumosos respondem mais lentamente que outros mais pequenos Redefinindo o número de Biot Bi da forma h Lk Bi 1 9 pode então concluirse que ele representa o rácio entre a resistência térmica por condução e a resistência térmica por convecção Assim o comportamento transiente de corpos com baixo Bi é condicionado pela resistência térmica superficial analogamente corpos de elevado Bi são controlados pela resistência interna Nesta discussão não foi referido o caso em que a superfície do corpo sofre uma brusca variação da sua temperatura para o valor T No entanto pode considerarse como um caso extremo em que a resistência externa de convecção é nula ou de outra forma w h ou ainda Bi pelo que a solução toma a forma Γ g ζ Fo Transferência de Calor por Condução 2 2 SISTEMAS A TEMPERATURA UNIFORME Uma simplificação possível consiste em considerar que o corpo está em qualquer instante de tempo a temperatura uniforme Isto consiste em admitir que a solução do campo de temperaturas função do tempo e da posição no interior do corpo é apenas função do tempo ou seja T t T x y z t 10 É evidente que este conceito numa perspectiva estritamente rigorosa é fisicamente incorrecto Admitindo que a temperatura do corpo varia com o tempo então terá de ocorrer transferência de calor que por sua vez só ocorre em consequência de um gradiente térmico o que contraria a primeira hipótese Contudo certas situações podem sem grande erro ser aproximadas por uma análise baseada neste conceito Para entender quais as circunstâncias que podem conduzir a esta aproximação tomese o exemplo esquematizado na Figura 1 T1 R T2 R T Figura 1 Resistências térmicas na troca de calor por convecção de um sólido Nesta temse um corpo sólido imerso num fluido estagnado Concrectizando admitase que temos um corpo metálico dentro de uma tina com líquido e que este se encontra inicialmente a uma temperatura inferior à do metal A dissipação de calor do corpo para o líquido ocorre em consequência da diferença de temperatura entre os dois elementos do sistema e é controlada pelas resistências térmicas de convecção na interface do corpo e de condução no interior deste Sempre que se verifique a condição T2 R 1T R 1 2 T T R R 11 Transferência de Calor por Condução 3 a taxa de dissipação de energia é controlada essencialmente pela resistência de convecção e nestas circunstâncias a temperatura no interior do corpo será aproximadamente uniforme Por outras palavras quando a condição 11 se verifica a energia transmitese facilmente do interior para a periferia do corpo mas há dificuldade em dissipála para o exterior Assim sendo esta rápida transferência de energia no interior do corpo facilita a uniformização da temperatura no seu interior Retomando a discussão iniciada acima esta condição é caracterizada por um número de Biot tal que 0 Bi Para o exemplo da Figura 1 sendo T a temperatura do fluido vizinho admitida constante pode escreverse uma simples relação de balanço de energia da forma dt V d T c T h A T p ρ 12 que relaciona a troca de calor dissipado por convecção com a taxa de variação de energia interna Esta equação traduz o facto de que a energia perdida por convecção pela superfície é igual à variação de energia interna do corpo Admitindo para condição incial que 0 0 T T t 13 A equação diferencial 12 resulta em t V c hA p e T T T T ρ 0 14 o que mostra uma aproximação assimptótica no tempo à temperatura do fluido vizinho Nesta análise admitiuse ainda que as condições de dissipação de energia h e ρ se mantêm constantes ao longo do tempo p c Tal como na análise da condução de calor em estado estacionário também aqui se pode efectuar uma analogia com circuitos eléctricos Para tal efeito considerese o simples circuito RC representado na Figura 2 em que uma fonte de alimentação carrega o condensador aí representado Quando o circuito é interrompido equivalente ao tempo zero na condição 13 por acção no comutador a carga armazenada no condensador no corpo referido nesta discussão equivale a ρc pV é dissipada pela resistência para o exterior Aqui esta é equivalente à resistência convectiva 1 hA do sistema térmico recordese que pela condição 11 a resistência por condução é desprezada ρCpV hA 1 Figura 2 Circuito eléctrico equivalente ao da Figura 1 Transferência de Calor por Condução 4 Na Eq 11 o termo ρc pV hA tem as dimensões de T1 pelo que tal como no circuito eléctrico da Figura 2 é referido como constante de tempo e indica a rapidez na dissipação de calor Completando o parelelismo com o circuito eléctrico neste é acumulada carga eléctrica ao passo que num sistema térmico acumulase energia Ao fluxo de energia denominase calor e ao fluxo de carga denominase corrente eléctrica O fluxo instantâneo de calor entre o corpo e fluido ambiente pode ser determinado pela relação T hA T Q 15 ou em forma adimensional c V hAt i p e T hA T Q ρ 16 Pela integração desta relação entre t 0 e t t 0 t Qdt E 17 determinase o calor trocado durante o período de duração t c V hAt i p p e T T Vc E ρ ρ 1 18 Utilizando esta metodologia podem analisarse sistemas mais complexos da mesma forma simples A título exemplificativo considerese aquele representado na Figura 3 em que um reservatório contendo um fluido troca calor com este e simultaneamente dissipa energia para o ambiente Figura 3 Comportamento transiente de dois elementos As temperaturas iniciais do fluido interno e das paredes do reservatório são distintas e na figura estão representados os parâmetros físicos relevantes ao problema O balanço de energia pode ser efectuado a cada elemento do sistema donde resultarão dus equações que tomam a forma Transferência de Calor por Condução 5 Corpo 1 dt V dT c T h A T p 1 1 1 2 1 1 1 1 ρ Corpo 2 dt V dT c T h A T T h A T p 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 ρ 19 Daqui resulta um sistema de duas equações diferenciais ordinárias a duas incógnitas T1 e T2 e cuja solução nos dará a evolução da temperatura com o tempo De um modo geral o sistema de equações resultante nº de equações igual ao nº de corpos no sistema poderá ser resolvido por técnicas numéricas Range Kutta Para este caso particular uma solução analítica pode também ser encontrada e admitindo que as temperaturas iniciais dos dois corpos são iguais T 0 a solução toma a forma 1 2 1 T T m t m t m e m m m e m m T T T T 2 1 1 2 1 1 2 2 0 1 20 em que 2 4 2 1 3 1 2 3 2 1 3 2 1 1 2 K K K K K K K K m 21 As constantes K1 e K3 são o inverso das constantes de tempo dos corpos 1 e 2 respectivamente Finalmente 2 2 1 1 2 c 2V h A K p ρ De notar que a forma geral da Eq 20 continua a ser uma exponencial tal como o caso abordado inicialmente Por fim a solução para a temperatura do corpo 2 pode ser encontrada substituindo 20 na 1ª das equações 19 A Figura 4 mostra a solução das referidas equações admitindo que a temperatura inicial é distinta nos dois corpos 90 e 20 ºC respectivamente Uma alternativa mais simples para a solução consiste em resolver as equações diferenciais 19 explicitando dT1 e dT2 em função do intervalo de tempo dt Usando as condições iniciais a temperatura pode ser calculada sequencialmente para cada um dos corpos em cada intervalo de tempo Embora este procedimento pode ser implementado sem dificuldade em folha de cálculo é necessário muito cuidado com a escolha do intervalo de tempo pois facilmente se podem obter soluções sem significado físico por exemplo oscilações na temperatura Estes dois exemplos servem para ilustrar a aplicabilidade do princípio da temperatura uniforme à análise transiente da transferência de calor Devese sublinhar que a solução é independente da forma do corpo apenas deve ser verificada a hipótese de admitir a resistência interna de condução nula 11 Transferência de Calor por Condução 6 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 500 1000 1500 2000 2500 Tempo s Temperatura ºC Água Tanque Figura 4 Comportamento transiente de dois corpos Embora esta relação indique qualitativamente numa perspectiva puramente física a condição de validade da hipótese de temperatura constante deve ser atribuido um critério quantitativo que permita à priori o seguimento ou não desta abordagem Em primeira análise a hipótese 11 implica que a razão h k seja 1 ou Por outro lado é também evidente que em igualdade de materiais k e ambientes convectivos h a forma do corpo poderá contribuir para uma melhor ou pior capacidade de dissipação de energia Suponhamse dois corpos de massas iguais mas de forma distinta com representado na Figura 5 Será compreensível que o corpo a tendo uma área externa muito superior ofereça menor resistência interna à condução de calor que o corpo b pois por hipótese o ponto central está mais próximo da respectiva superfície Este facto pode ser contabilizado no critério de aplicabilidade deste método caracterizando a dimensão linear característica pela razão 0 Bi V A Assim pode admitirse uma boa aproximação à solução de problemas em regime transiente sempre que 10 k h V A 22 De uma forma simplista pode considerarse que V A traduz uma distância característica do centro à periferia do objecto a b Figura 5 Influência da forma do corpo 3 CONDUÇÃO NUM SÓLIDO SEMIINFINITO Transferência de Calor por Condução 7 Apesar da simplicidade tornamse evidentes as limitações do método apresentado anteriormente Sem recorrer a técnicas numéricas mais complicadas podem encontrarse soluções analíticas para sistemas simples1 e que podem constituir aproximações válidas a muitos sistemas de interesse prático É o caso concrecto do denominado sólido semiinfinito Este pode ser interpretado como um corpo de grandes dimensões em que a transferência de energia ocorre apenas segundo uma face plana Nestas circunstâncias a transferência de calor é unidimensional pelo que t T x T α 1 2 2 23 em que x define uma distância à face do corpo A única interacção térmica com o exterior ocorre pela face plana Nesta a Figura 6 mostra as possíveis condições de fronteira que podem ser consideradas para esta geometria a fronteira a temperatura fixa b fronteira a fluxo de calor conhecido c fronteira convectiva Nesta figura estão também esquematizadas de forma qualitativa a evolução do perfil de temperatura com o tempo para estes três casos T T t0 T T x0 h Q x i 0 Figura 6 Condução transiente num sólido semi infinito 31 FACE A TEMPERATURA UNIFORME 1 Por sistemas simples podem designarse aqueles em que a geometria eou as condições de fronteira podem ser expressas matematicamente de forma simples dentro de um determinado sistema de coordenadas 3 apresenta um conjunto de soluções mais vasto pelo que o leitor é remetido para esse texto Transferência de Calor por Condução 8 Admitindo que o corpo se encontra inicialmente a temperatura uniforme T a face plana é a partir do instante de tempo inicial colocada a uma temperatura diferente T Assim i 0 0 0 0 0 t T t T T x T i 24 A solução da equação 23 com as condições especificadas em 24 toma a forma t x T T T x t T i 2 α erf 0 0 25 Em que erfx é a função erro definida pelo integral t x d e t x α η η π α 2 0 2 2 2 erf 26 apresentada sob a forma de tabela no Apêndice A A Figura 7 mostra a evolução do perfil de temperatura no interior do sólido ao longo do tempo admitindo o material como sendo aço macio e que ocorre um arrefecimento do material a partir da sua face 00 02 04 06 08 10 12 0000 0005 0010 0015 0020 0025 0030 0035 x m Temperatura adimensionalisada t0 s t4 s t15 s t100 s Figura 7 Evolução do perfil de temperatura num corpo semi infinito Uma vez conhecido o perfil de temperatura num determinado instante de tempo é possível calcular o fluxo de calor local nesse mesmo instante de tempo utilizando a equação de Fourier da condução de calor Então o gradiente de temperatura dT dx será t x dx d e T T dx T d t x erf T T dx d dx dT t x i i α π α α 2 2 2 4 0 0 0 2 27 o que após alguma manipulação permite determinar o fluxo de calor local Transferência de Calor por Condução 9 t x i e t T kA T q x t α απ 4 0 2 28 O fluxo de calor trocado com o corpo pode ser determinado à superfície x0 pelo que a relação 28 vem t T kA T t q i απ 0 0 29 Notese que este é o valor instantâneo do fluxo de calor pelo que para o cálculo do calor trocado durante um intervalo de tempo t a expressão 29 terá de ser integrada entre 0 t do que resulta απ 0 2 t T kA T Q t i 30 A Figura 8 mostra a evolução do fluxo de calor e da energia trocados pela face ao longo do tempo Atendendo a que o gradiente de temperatura na face é infinito para t0 o fluxo de calor é infinito no instante inicial 00 05 10 15 20 25 0 10 20 30 40 50 60 70 Tempo s Fluxo kW 00 20 40 60 80 100 120 Calor trocado kJ Fluxo Calor Calor trocado Figura 8 Evolução do fluxo de calor na face de um sólido semi infinito Um caso interessante de aplicação desta solução resulta quando dois sólidos semi infinitos são colocados em contacto Se as suas temperaturas iniciais forem TAi e TBi e desprezando a resistência térmica de contacto entre as duas superfícies a temperatura da interface Ts vai ser a mesma para os dois corpos e não variará com o tempo O equilíbrio térmico pressupõe que B A t q t q 0 0 31 pelo que substituindo na equação 30 e tendo em consideração que a expressão quando aplicada ao corpo A requer uma mudança de sinal temse t T A T k t T A T k B B i s B A A i s A α π π α 32 Resolvendo em ordem a Ts temse Transferência de Calor por Condução 10 50 50 50 50 B p A p B i B p A i A p s c k k c T c k T c k T ρ ρ ρ ρ 33 ou seja a temperatura de equilíbrio da interface é uma média da temperatura inicial de cada corpo pesada pelo factor ρc pk de cada um deles A Figura 9 ilustra este exemplo Q Q T A B S t t Figura 9 Troca de calor entre dois corpos semi infinitos 32 FLUXO DE CALOR CONSTANTE PELA FACE Tal como em 31 a temperatura inicial do corpo é T mas a partir do instante inicial pela face transmitese um fluxo de calor constante Q i 0 Como exemplo prático desta situação pode considerarse o caso da transferência de calor num elemento de combustível de um reactor nuclear em que o fluxo de calor do núcleo para o elemento é constante ditado pelas características da reacção nuclear ou o fluxo da radiação solar Assim as condições iniciaisfronteira podem ser descritas pelas relações 0 0 0 0 t x k T A Q T x T x i 34 A solução analítica para a equação 23 tem a forma t x kA Q x e kA t Q T T x t t x i α α π α 2 1 2 0 4 0 2 erf 35 A Figura 10 mostra a evolução do perfil de temperatura para um sólido semi infinito em aço macio quando sujeito a um fluxo de calor de 10000 Wm2 A Figura mostra que a derivada junto à face mantémse constante ao longo do tempo Transferência de Calor por Condução 11 00 20 40 60 80 100 120 000 005 010 015 020 025 030 035 x m TTi ºC t10 s t50 s t100 s Figura 10 Evolução do perfil térmico num sólido semi infinito quando sujeito a um fluxo de calor de 10000 Wm2 33 FRONTEIRA CONVECTIVA Esta é provavelmente a solução de maior interesse prático Aqui a face plana está em contacto com um fluido a temperatura constante T sendo a interacção corpofluido caracterizada por um coeficiente de transferência de calor h admitido constante ao longo do tempo A temperatura inicial do corpo continua a ser T Matematicamente as condições inicial e de fronteira podem exprimirse i 0 0 0 0 t x kA T T T hA T x T x x i 36 A solução toma a forma t x k t h k t h k hx T T T x t T i i α α α 2 c 1 erf exp 1 erf 2 2 Χ Χ Χ 37 Esta relação está representada graficamente na Figura 11 para vários valores de k t h α Transferência de Calor por Condução 12 001 01 1 0 02 04 06 08 1 12 14 16 X θ 01 005 03 10 30 oo Figura 11 Evolução do perfil térmico num sólido semi infinito fronteira convectiva O fluxo de calor na face pode em cada instante ser calculado a partir do valor da temperatura na fronteira pela relação 36 A Figura 12 mostra para o exemplo anterior aço macio a evolução desse fluxo O valor desta quantidade tende assintopticamente para zero 100 iT T 0 2 4 6 8 10 12 0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 tempo s Fluxo Calor kWm2 Figura 12 Evolução do fluxo térmico à superfície de um sólido semi infinito com fronteira convectiva É de sublinhar que a função erro Erfx para valores muito elevados do seu argumento vale aproximadamente 1 pelo que em consequência a equação 37 tornase muito sensível Transferência de Calor por Condução 13 para tempos elevados Daí que seja importante usar o valor da função erro com a máxima precisão possível para evitar erros elevados A título exemplificativo se X08 e 01 h αt k o valor da função erro para 18 é 098909 e a equação 37 toma o valor 0123 Em contrapartida se para erf18 for tomada a aproximação de 10 erro de 11 a equação 22 toma o valor de 0270 erro de 119 Reparese ainda que a solução da equação 37 para h αt k é equivalente à solução obtida para uma alteração súbita da temperatura da face caso 31 deste texto de T para T pelo que o resultado é equivalente à equação 25 i Transferência de Calor por Condução 14 4 CONDUÇÃO TRANSIENTE NUMA PLACA INFINITA Por forma a que o fluxo de calor ocorra apenas segundo uma direcção é necessária a selecção de configurações geométricas apropriadas O caso de uma placa plana de espessura finaita e infinita nas outras duas direcções garante tal condição Neste caso podem desprezarse os fluxos pelas extremidades pelo que apenas é necessário um sistema de coordenadas definido no sentido da espessura x Definindo a temperatura em relação a um valor de referência θTTr a equação 2 toma a forma 2 2 x t θ α θ 38 Usando o método de separação de variáveis temse X x T t θ 39 em que Xx e Tt representam funções de x e t apenas Assim a equação 38 vem 2 2 dx T d X dt X d T α 40 ou 2 2 2 1 1 λ α dx d X x dt d T T 41 O parâmetro λ2 é introduzido já que cada um dos termos da equação é função apenas de uma variável O sinal garante que a solução é descrita por uma função do tipo exponencial negativa solução que é compatível com o comportamento físico de um sistema em troca de calor Desta equação resultam as duas equações diferenciais 0 0 2 2 2 2 X dx X d T dt T d λ αλ 42 Que têm solução do tipo x B x B x X B e T t t λ λ αλ cos sin 3 2 1 2 43 em que Bi são constantes Assim temse x B x B e t λ λ θ αλ cos sin 2 1 2 44 Transferência de Calor por Condução 15 41 CONDIÇÕES DE FRONTEIRA De entre as possíveis condições de fronteira irão apenas ser consideradas as convectivas já que esta é provavelmente a solução de maior interesse prático Considerese a Figura 13 que representa uma placa de espessura 2L sujeita a fronteiras convectivas nas duas faces o coeficiente de transferência de calor é h O οο οο 2L L h h Tx x0 xL x h a b dT 0 dx Figura 13 Placa plana infinitamente longa Admitindo que o perfil inicial de temperatura Tx é simétrico em relação ao plano central este comportase como uma fronteira adiabática pelo que o sistema pode ser reduzido a uma placa com metade da espessura em que a sua face esquerda é adiabática e a face direita está sujeita a um fluxo convectivo A condição de fronteira para esta face é já conhecida e toma a forma T k T h x T 45 Sendo agora T T θ a temperatura de referência as condições de fronteira para a equação 38 serão para t 0 T x T T T x θ para t 0 0 x θ para x0 θ θ k h x para xL 46 Da segunda condição resulta 0 2 1 0 sin cos 0 2 x t x x B x B e x λ λ λ θ αλ 47 Transferência de Calor por Condução 16 pelo que x B e t λ θ αλ cos 2 48 A aplicação da última condição resulta L x t L x t x B k e h x B e λ λ λ αλ αλ cos sin 2 2 49 ou L k h L λ λ λ cos sin 50 o que é equivalente a L k hL L λ λ 1 tan 51 Invertendo λ λ hL L cot L k 52 e que está representada na Figura 14 100 80 60 40 20 0 20 40 60 80 100 0 2 4 6 8 10 12 Figura 14 Série de soluções da equação 52 A Figura 14 representa os dois termos da equação em função de L λ para um determinado Bi Desta pode observarse que a equação é satisfeita por um número infinito de soluções do parâmetro L λ A sucessão de valores n λ depende do número de Biot baseado na semi espessura da placa Por exemplo para Bi10 caso representado na Figura 14 a sucessão de raízes é λ1 1 428 λ2 4 3058 λ3 7 228 Assim a solução do perfil térmico toma a forma 1 cos 2 n n t n x e B n λ θ αλ 53 Transferência de Calor por Condução 17 sendo n λ a raíz de ordem n da equação 0 Bi tan L L n n λ λ 54 Da aplicação da condição inicial 46 resulta 1 cos n n n x B T T x λ 55 o que significa que o perfil inicial de temperatura deve ser representado por uma série infinita de cosenos Pode demonstrarse Chapman 1989 que a forma dos coeficientes é n B n n n L n n L L L x dx t T x B λ λ λ λ 2 cos sin 2 cos 0 56 A expressão final para a temperatura na placa virá 1 0 cos cos sin cos 2 2 n L n n n n n t n x dx t T x L L L x e n λ λ λ λ λ λ θ αλ 57 Assumindo que a distribuição inicial de temperatura na placa é uniforme T a equação 57 virá iT x 1 cos cos sin sin 2 2 n n n n n n t n i i x L L L L e T T T T T T n λ λ λ λ λ λ θ αλ 58 O calor removido pelas faces da placa durante um período de tempo t será t L x t dt x T kA qdt Q 0 0 59 Introduzindo a quantidade de calor inicialmente acumulada na placa em metade dela pela sua simetria T T ALc Q i p i ρ 60 temse 1 2 2 1 cos sin sin 1 2 n t n n n n n i n e L L L L L Q Q αλ λ λ λ λ λ 61 Adimensionalisando as variáveis da forma definida pelas equações 4 6 e 7 temse 1 Fo cos cos sin sin 2 2 n n n n n n n i n e T T T T δ ξ δ δ δ δ λ δ 1 Fo 2 2 1 cos sin sin 1 2 n n n n n n i n e Q Q δ δ δ δ δ δ 62 sendo n δ a raíz de ordem n de 0 Bi tan n n δ δ 63 Transferência de Calor por Condução 18 A solução das equações anteriores foi calculada numericamente para várias combinações de ξ Fo e Bi A representação mais frequente é de Heisler apresentada pela combinação de três gráficos Para a sua interpretação convém ter presente as seguintes formas de adimensionalisar a temperatura T T T T i i 0 0 θ θ representa a temperatura adimensionalisada no centro da placa ao fim de um determinado tempo T T T T 0 θ0 θ representa a temperatura adimensionalisada num ponto da placa relativamente à verificada no seu centro no mesmo instante de tempo Um primeiro gráfico Figura 15 determina a temperatura no centro da placa um segundo Figura 16 permite calcular a temperatura numa posição que não o centro ao fim desse intervalo de tempo Figura 15 Cálculo da temperatura no centro de uma placa plana Transferência de Calor por Condução 19 Figura 16 Cálculo da temperatura fora do centro placa plana Assim a temperatura pode ser determinada pela consulta dos dois gráficos aplicando a relação T T T T T T T T i i 0 0 0 0 θ θ θ θ Uma análise mais detalhada dos gráficos permite retirar as seguintes conclusões 1 A condição de fronteira correspondente a fixar o valor da temperatura na face pode ser determinada destas soluções fazendo h ou seja 1 0 Bi o que corresponde à solução dada pela curva mais à esquerda da Figura 15 2 O gráfico apenas apresenta a solução para 1 100 Bi o que está de acordo com a condição de corpo a temperatura uniforme ou seja nestas circunstâncias não é necessário utilizar esta solução elaborada pois a solução mais simples capítulo 2 é adequada Tal pressuposto é validado pelo gráfico da Figura 16 onde se pode verificar que quando os valores da função tendem para 1 ou seja a temperatura em qualquer ponto é igual à temperatura no centro da placa temperatura uniforme 100 1 Bi 3 O caso de uma placa de espessura L isolada numa das faces e com a outra em troca por convecção ou para o efeito a temperatura fixa nota 1 pode ser tratada pela solução de uma placa de espessura 2L em troca de calor por convecção nas duas faces O calor trocado durante um intervalo de tempo t pode de modo análogo ser determinado pela consulta do gráfico da Figura 17 representação da equação 62 Neste caso o calor está referenciado à energia interna do corpo tendo por base a temperatura ambiente De facto a máxima quantidade de calor que pode ser trocada está limitada à troca de calor que pode ocorrer até o corpo estar em equilíbrio térmico com o fluido Figura 17 Calor dissipado placa plana Transferência de Calor por Condução 20 Transferência de Calor por Condução 21 5 CONDUÇÃO TRANSIENTE EM OUTRAS GEOMETRIAS De forma análoga à dedução apresentada para uma placa outras geometrias que garantem uma fluxo de calor unidimensional podem ser tratadas por uma solução semi analítica Merecem destaque as formas geométricas cilíndrica e a esférica Os diagramas de Heisler para estas duas geometrias são apresentados de forma análoga aos da placa Em anexo estão apresentadas as soluções gráficas para estas duas geometrias e por conveniência também para a placa Transferência de Calor por Condução 22 6 SISTEMAS MULTIDIMENSIONAIS TRANSIENTES Os casos anteriormente discutidos restringiramse a configurações geométricas muito simples A análise de configurações mais complexas quer devido à geometria quer devido às condições de fronteira requerem uma análise que frequentemente se baseia na aplicação de métodos computacionais Há no entanto algumas situações em que as soluções analíticas anteriormente apresentadas podem ser usadas para a solução de algumas geometrias multidimensionais que resultem da sobreposição de duas ou mais geometrias simples anteriormente tratadas Considerese a Figura 18 Nesta a barra sombreada de comprimento infinito e secção rectangular WxD resulta da intersecção de duas placas planas infinitamente longas de espessura W e D respectivamente W D W y D x z Figura 18 Prisma rectangular em condução transiente Neste caso a equação de conservação de energia no interior da barra assume a forma t y x θ α θ θ 1 2 2 2 2 64 sujeita a condições convectivas nas suas faces caracterizadas por coeficientes apropriados Admitindo que a temperatura inicial da barra pode ser expressa pelo produto de duas funções independentes y T x T Ti x y 2 1 θ a solução para a equação 64 pode ser expressa pelo produto de duas soluções unidimensionais transientes y t x t y x θ θ θ 65 em que cada um dos factores é determinado para a respectiva placa infinita Assim t y y θ é determinado para uma placa infinita de espessura W De modo análogo para t x x θ relativamente à placa de espessura D Este procedimento pode ser estendido a outras configurações bidimensionais Figura 19a ou tridimensionais Figura 19b Transferência de Calor por Condução 23 D L W a b Figura 19 Gemoetrias tridimensionais a cilindro curto b paralelipípedo Transferência de Calor por Condução 24 REFERÊNCIAS 1 Holman JP Heat Transfer McGraw Hill 1985 2 Chapman AJ Heat Transfer MacMillan Hill 1989 3 Rohsenhow WM Hartnett JP Ganic EN Handbook of Heat Transfer McGraw Hill 1985 4 Abramowitz M Handbook of Mathematical Functions Dover 1972 5 Kreyszig E Advanced Engineering Mathematics John Wiley Sons 1994 Transferência de Calor por Condução 25 Apêndice A FUNÇÃO ERRO Transferência de Calor por Condução 26 x Erf x x Erf x x Erf x x Erf x 000 000000 058 058792 116 089910 174 098613 002 002256 060 060386 118 090484 176 098719 004 004511 062 061941 120 091031 178 098817 006 006762 064 063459 122 091553 180 098909 008 009008 066 064938 124 092051 182 098994 010 011246 068 066378 126 092524 184 099074 012 013476 070 067780 128 092973 186 099147 014 015695 072 069143 130 093401 188 099216 016 017901 074 070468 132 093807 190 099279 018 020094 076 071754 134 094191 192 099338 020 022270 078 073001 136 094556 194 099392 022 024430 080 074210 138 094902 196 099443 024 026570 082 075381 140 095229 198 099489 026 028690 084 076514 142 095538 200 0995322 028 030788 086 077610 144 095830 210 0997021 030 032863 088 078669 146 096105 220 0998137 032 034913 090 079691 148 096365 230 0998857 034 036936 092 080677 150 096611 240 0999311 036 038933 094 081627 152 096841 250 0999593 038 040901 096 082542 154 097059 260 0999764 040 042839 098 083423 156 097263 270 0999866 042 044747 100 084270 158 097455 280 0999925 044 046623 102 085084 160 097635 290 0999959 046 048466 104 085865 162 097804 300 0999978 048 050275 106 086614 164 097962 320 0999994 050 052050 108 087333 166 098110 340 0999998 052 053790 110 088021 168 098249 360 1000000 054 055494 112 088679 170 098379 056 057162 114 089308 172 098500 000 020 040 060 080 100 120 000 050 100 150 200 250 300 350 400 X Erf X Transferência de Calor por Condução 27 Apêndice B DIAGRAMAS DE HEISLER Transferência de Calor por Condução 28 Placa Plana Transferência de Calor por Condução 29 Cilindro Transferência de Calor por Condução 30 Esfera Transferência de Calor por Condução 31