Condução de Calor em Regime Transiente: Método da Capacitância Global

1 CONDUÇÃO DE CALOR EM REGIME TRANSIENTE Método da Capacitância Global Exemplo metal quente repentinamente colocado em um recipiente com líquido frio Ti Too Tt alta condutividade térmica a resistência à condução no interior do sólido pode ser desprezada Balanço de Energia Ee Eg Eac Es 0 T T hA dt c V dT sup p ρ θ θ T T T T i i θ θ ρ dt d hA V c sup p 2 Separando e integrando θ θ ρ θ θ t 0 sup p dt d hA V c i ρ θ θ θ θ ρ V t c hA exp ou t ln hA V c p sup i i sup p Constante de tempo t t p sup t R C Vc hA 1 ρ τ Total de energia transferida θ t 0 sup t 0 dt hA qdt Q τ θ ρ t p i t exp 1 Vc Q Validade do Método da Capacitância Global L x Ts1 Ts2 hToo 3 Regime estacionário balanço de energia na superfície T hA T T L T kA s2 s2 s1 k n de Biot hL R R 1 hA L kA T T T T o conv cond 2 s s2 s1 Quando Biot Bi é pequeno s2 s1 T T é pequeno a distribuição de temperatura ao longo do sólido é praticamente constante T 2 T s é grande a resistência térmica à convecção é muito maior do que a resistência térmica à condução Regime transiente Ti Too Bi1 Ti Too Bi1 Ti Too Bi1 10 k hL Bi c 4 Lc comprimento característico razão entre o volume do sólido e sua área superficial parede 2L LcL ro cilindro Lcro2 esfera ro Lcro3 Voltando à equação da temperatura pelo método da capacitância global ρ ρ θ θ t c L h exp V t c hA exp c p p sup i BiFo exp L t Bi exp t c L k k hL exp 2 c 2 c p c i α ρ θ θ Número de Fourier Fo Lc2 t α Se Bi 01 podese utilizar o método da capacitância global 5 Análise Geral Via Capacitância Global Asupcr qrad qconv hToo EgΔEac Asuph qsup Balanço de Energia t T Vc A q q E A q p c r rad conv g h ρ sup sup sup t T Vc A q T h T E A q p c r rad g h ρ sup sup sup Se a radiação for desprezada e h não varia com o tempo a solução desta equação é exp 1 exp at a b at T T T T i p c Vc hA a ρ sup p g h Vc E A q b ρ sup sup 6 Efeitos Espaciais Sem geração interna k constante 2 2 p x T k t T c ρ 2L hToo hToo x T0Ti Condição Inicial iT 0x T Condições de Contorno 0 x em 0 x T L x em T h T x k T h T T L k tx T T i α Adimensionalização L x x T T T T i i θ θ θ 7 Na equação θ θ i i 2 2 x L T T x L x T T T x x T x x T 2 2 2 i i x L T T x x L L T T θ θ t T T T T t T t T i i θ θ Substituindo na equação t T T x L T T i 2 2 2 i θ α θ Fo t L t L 1 x 2 2 2 2 θ α θ θ α θ Fo x 2 2 θ θ Condição Inicial 0 Fo em 1 θ Condições de Contorno 1 x em Bi x 0 x em 0 x θ θ θ x FoBi h T T L k tx T T i θ θ α 8 Parede Plana com Convecção a Solução Exata L hToo hToo x L n 2 n n 1 n x Fo cos C exp ζ ζ θ n n n n sen 2 2 4sen C ζ ζ ζ n ζ são as raízes positivas de Bi ntg n ζ ζ As quatro primeiras raízes são fornecidas no Apêndice B3 Incropera b Solução aproximada 20 Fo Truncar a série no primeiro termo 1 2 1 1 x Fo cos C exp ζ ζ θ Tabela 51 Bⁱ rad C₁ rad C₁ rad C₁ rad 010 03111 1060 04417 00246 05423 1029 015 03779 10237 05376 1036 06608 1045 020 04328 10311 06170 00483 07593 1092 025 04801 10382 06856 00598 08484 1073 030 05218 10450 07465 10712 09208 1080 04 05932 10580 08516 10932 10528 1164 05 06533 10701 09408 11143 1166 1141 06 07051 10814 10185 11346 12644 1173 07 07506 10919 10873 11539 13525 1973 08 07910 11016 11490 11725 14320 1226 09 08274 11107 12048 11902 15044 1248 010 08603 11201 12562 12071 15708 1273 10 1076 11795 15995 13384 20288 1493 30 11951 12102 17387 14191 22889 1622 40 12616 12287 19081 14689 2768 1884 50 13136 12402 19989 15029 25704 1780 60 13645 12479 20490 15235 26337 1837 70 13766 12532 00937 15411 27165 1874 80 13978 12570 11286 15226 17654 1892 90 1449 12598 1566 15611 28044 1910 100 14289 12620 11795 15677 28363 1924 200 14961 12699 23881 15919 29857 1978 300 15202 12717 23372 16937 00732 1992 400 15325 12723 23455 15993 30632 1994 500 15400 12726 33727 16002 00788 1998 1000 15552 12731 33809 16018 31102 1999 15707 12733 24050 16018 31415 2000 Bᵢ hLRk para parede plana e hr² para cilindro infinito e esfera Veja Fig 10 c Transferência total de energia Quantidade de energia que deixou a parede até um dado instante de tempo t E 0 E t E E E ac s e Δ E 0 E t Q Es T dV tx c T Q i p ρ Definindo ρ T c V T Q i p 0 V dV T T T tx T c c Q Q i i p p 0 ρ ρ θ θ θ θ T T T T 1 T T T T i i i i dV 1 V 1 Q Q 0 θ Utilizando a forma aproximada da equação para θ 0 1 1 0 1 sen Q Q ζ θ ζ em que Fo C exp 2 1 1 0 ζ θ 11 Sistemas radiais com Convecção a Cilindro 1 o 2 1 1 r Fo J C exp ζ ζ θ 0 θ em que 2 0 0 rt Fo e rr r α 1 1 1 0 0 J 2 1 Q Q ζ ζ θ b Esfera 1 1 2 1 1 r sen r 1 Fo C exp ζ ζ ζ θ 0 θ 1 1 3 0 0 cos sen 3 1 Q Q 1 ζ ζ ζ ζ θ