Notas de Aula de Transferência de Calor - Prof. L.A. Sphaier

Notas de Aula de Transferência de Calor Prof L A Sphaier Laboratório de Mecânica Teórica e Aplicada LMTA Laboratório de Termociências LATERMO Departamento de Engenharia Mecânica Universidade Federal Fluminense Tel 2126295577 email lasphaieriduffbr online wwwsphaiercom Versão 0316 Fevereiro de 2014 Sumário Observações iv I Introdução 1 1 Introdução à Transmissão de Calor 2 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 14 II Condução 24 3 Equação geral da condução de calor 25 4 Condução unidimensional em regime permanente 40 5 Resistências térmicas 54 6 Transferência de calor em aletas 67 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 81 8 Condução transiente parâmetros concentrados melhorados avançado 92 9 Problemas em mais de uma variável introdução ao método de separação de variáveis avançado 93 10 Condução unidimensional transiente avançado 95 11 Condução bidimensional permanente avançado 97 12 Formulações híbridas com parâmetros concentrados melhorados avançado 99 III Convecção 100 13 Introdução à transferência de calor por convecção 101 i SUMÁRIO ii 14 Derivação das equações de transporte avançado 115 15 Interpretação das equações de transporte 128 16 Equações de camada limite laminar 138 17 Análise de escalas em camada limite laminar 155 18 Soluções integrais para camada limite laminar avançado 162 19 Camda limite solução por similaridade avançado 173 20 Efeitos da turbulência 187 21 Camada limite efeito do gradiente de pressão avançado 190 22 Escoamento laminar em dutos e canais 191 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 205 24 Transferência de calor no escoamento turbulento em dutos e canais avançado231 25 Transferência de calor no escoamento em desenvolvimento avançado 232 26 Escoamentos com perfis de velocidade e condições de aquecimento diferentes avançado 235 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 242 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 250 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 257 30 Introdução a trocadores de calor 262 31 Convecção natural equações de camada limite 276 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 286 33 Convecção natural em placa plana vertical solução integral avançado 293 34 Convecção natural laminar solução por similaridade 294 35 Correlações em convecção natural externa 299 36 Convecção natural interna avançado 303 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier SUMÁRIO iii IV Radiação 304 37 Introdução à transferência de calor por radiação 305 38 Propriedades radiativas de superfícies 320 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 335 40 Fatores de forma entre superfícies difusas avançado 343 41 Transferência de calor entre superfícies difusas e cinzentas avançado 348 Apêndices 353 A Exercícios Suplementares 354 B Tensor de tensões 359 C Respostas para exercícios 360 Referências Bibliográficas 388 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Observações 1 As seções e capítulos rotulados como avançado contêm material destinado aos cursos de pósgraduação mestrado e doutorado e não são cobrados na gradua cão iv Parte I Notas de Aula 1 Introdução à Transmissão de Calor Versão 036 51212 11 Conceitos iniciais 111 Comparação entre termodinâmica e transmissão de calor Em Termodinâmica aprendese que energia é transferida entre um sistema e sua vizi nhança na forma de calor e trabalho Todavia trabalhase com estados de equilíbrio normalmente calculase a energia trocada entre um estado inicial e final desconside rando a existência de gradientes de temperatura Com isto não é possível obterse in formações sobre a velocidade ou o tempo percorrido durante a transferência de energia Ou seja a termodinâmica por si só é capaz de fornecer uma visão macroscópica ou glo bal contento portanto um nível menor de informação sobre o processo em questão Na termodinâmica não preocupase com os mecanismos que proporcionam a transferência de energiacalor Já em Transferência de Calor1 não consideramse apenas estados de equilíbrio po dendo haver gradientes de temperatura Utilizase uma abordagem mais elaborada para o mecanismo de transmissão de energia sendo portanto possível obter um maior nível de informação como por exemplo a velocidade e o tempo associados à transfe rência de energia quantificase a taxa com que a transferência de calor ocorre Podese então dizer que a o estudo da transferência de calor permite uma análise microscópica ou local fornecendo portanto informações mais detalhadas sobre o processo conside rado No entanto o conteúdo de termodinâmica é base para o estudo da transmissão de calor sendo portanto imprescindível um bom entendimento deste 112 Diferentes escalas Ao calcular ou medir a densidade2 de um gás considerando o volume de uma esfera de raio r centrada em um ponto fixo diferentes resultados serão obtidos dependendo do tamanho de r chamado de raio de amostragem como está ilustrado na figura 11 1ou Transmissão de Calor 2neste texto o termo densidade também é utilizado com o significado de massa específica 2 1 Introdução à Transmissão de Calor 3 Aumentando r continuamente desde zero existirá uma faixa inicial de r onde apenas uma molécula deste gás estará incluída no volume considerado Nesta faixa a densi dade tende a cair após a molécula ter sido incluída no volume até que o raio r en contre outras moléculas No momento em que outras moléculas são incluídas no raio de amostragem a densidade dá um salto devido a massa adicional incluída no volume considerado Seguindo este raciocínio percebese que a medida que variase o raio a densidade medida ou calculada oscila notavelmente Todavia após um número signi ficativo de moléculas serem incluídos no raio de amostragem o valor da densidade fica estável constante Se r continua sendo aumentado após certo valor o valor da den sidade começará a variar novamente Entretanto esta variação devese ao fato do valor do raio ser suficientemente grande para começar a incorporar variações macroscópicas na média Figura 11 Variação da densidade com o raio de amostragem Cada uma destas regiões distinguidas pelos valores de r podem ser classificadas em diferentes escalas de acordo com o que é observado na densidade medidacalculada Macroescala macroscópica pode ocorrer uma variação devido à distribuição espacial em nível macroscópico Microescala microscópica a densidade permanece constante Molecular Ocorrem flutuações moleculares devido à distribuição das moléculas Ainda devese mencionar uma escala conhecida com nanoescala Ela pode ser in terpretada como uma escala de interface entre o limite do contínuo e a escala molecu lar Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 4 Apesar da análise da variação da densidade anteriormente apresentada ter sido feita para um gás o mesmo pode ser feito para líquidos e sólidos Em gases as moléculas estão bastante espaçadas e existe vácuo entre estas por isso fica mais fácil de racio cinar inicialmente com este estado Em sólidos e líquidos o espaçamento molecular é mínimo entretanto lembrando que a distribuição de massa em átomos é bastante não uniforme a massa é concentrada perto dos núcleos fica claro que ao medir ou calcular a densidade da forma anterior um resultado similar será obtido 113 Perguntas e respostas Abaixo são respondidas de maneira sucinta três perguntas relevantes à introdução do tema transmissão de calor O que é calor Calor é a energia em trânsito devido à uma diferença de temperatura Basta que haja uma diferença de temperatura para que haja transferência de calor Como calor é transmitido Novamente basta que haja uma diferença de temperatura um gradiente de temperatura para que haja transmissão Há três modos de transmissão de calor Condução Convecção e Radiação Na realidade os três mo dos ocorrem de forma combinada simultânea3 Difusão está ligada à transmissão de energia por contato A difusão adicionada ao movimento do meio resulta na convecção sem movimento temse condução apenas A radiação ocorre indepen dente do meio material Qual a relevância do estudo de Transmissão de Calor A grande maioria dos proces sos industriais dependem do estudo do tema Em especial podese mencionar pro cessos que envolvam geração e conversão de energia O conhecimento de trans missão de calor é de extrema importância para o projeto e operação de motores turbinas condensadores evaporadores caldeiras recuperadores regeneradores e uma diversidade de equipamentos Além destas aplicações o estudo deste tema é importantíssimo para problemas relacionados ao meio ambiente à área biomé dica em alimentos em culinária entre diversas outras áreas 114 Modos de Transferência de Calor Como engenheiros é importante entender os mecanismos físicos por trás dos modos de transmissão de calor para que se possa quantificar corretamente as taxas de transferên cia de energia Abaixo listamse os três diferentes modos e são incluídas características que diferenciam cada um Condução Transferência de energia por difusão no nível molecular devido ape nas à agitação molecular 3Na verdade a radiação ocorre em paralelo com a condução ou convecção uma vez que convecção é uma combinação da condução com o transporte adicional devido ao movimento macroscópico do meio Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 5 Convecção Existe um movimento do meio como um todo como ocorre em um fluido em movimento além do nível molecular perceptível macroscopicamente4 Este modo inclui a difusão de calor com taxas adicionais de transferência energé tica devido ao movimento do meio Enquanto não houver movimento do fluido só ocorre transferência de calor por condução Radiação É um fenômeno de natureza eletromagnética ondas eletromagnéticas similar à luz Neste modo o calor não necessita de um meio matéria para ser transmitido se propagando no vácuo na verdade a radiação se propaga melhor no vácuo do que em um meio Qualquer substância com temperatura finita T 0 Kelvin emite radiação térmica Devese ressaltar que alguns autores apenas consideram dois modos de transmissão de calor a condução e a radiação A justificativa para tal é que a convecção envolve o mesmo mecanismo que a condução difusão térmica porém permite que haja movi mento no meio Neste texto os três modos acima serão considerados a fim de facilitar o aprendizado dos conteúdos 115 Quantificação Para começar a quantificar a transferência de calor definemse as seguintes quantida des seguidas de suas unidades Q Calor trocado ou energia transferida J Q Taxa de transferência de calor ou vazão de calor W q00 Fluxo de calor Wm2 O calor total trocado entre dois instantes ti e t f pode ser relacionado com a taxa de transferência de calor através de Q t f ti Zt f ti Q dt 11 A taxa de transferência de calor que passa por uma determinada superfície de área As pode ser calculada fazendo Qn Z As q00 n dAs 12 onde q00 n representa o fluxo de calor normal a cada ponto da superfície considerada Aqui vale a pena enfatizar a notação utilizada O ponto como em Q significa uma quantidade por unidade de tempo ou seja é uma medida de taxa de variação As duas linhas em q00 indicam uma quantidade por unidade de área De maneira similar 4Em inglês utilizase o termo bulk motion referindose a um movimento com características macroscópi cas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 6 uma única linha indicaria uma quantidade por unidade de comprimento ou altura ou profundidade e três linhas indicariam uma quantidade por unidade de volume Seguindo esta regra de notação fica claro que q00 é uma quantidade por unidade de tempo e por unidade de área Em geral fluxos são unidades que têm esta característica são taxas de variação temporal ou vazões por unidade de área 12 Transferência de Calor por Condução Este modo de transferência de calor está ligado à atividade molecular Em condução ou difusão térmica ocorre movimento apenas na escala molecular cinética molecular A energia é transferida no meio considerado através da interação entre as moléculas mo vimento aleatório e este fenômeno é chamado de difusão Portanto não há movimento nos níveis micro e macroscópicos ou seja só há movimento no nível molecular A pro priedade termofísica que mede a capacidade que um material tem de conduzir calor é a condutividade térmica A figura 12 mostra diferentes valores de condutividade térmica encontrados para diferentes materiais Vale ressaltar também que à medida que a temperatura de um gás é aumentada a interação molecular também aumenta e isto faz com que o meio consiga transferir energia por difusão com maior intensidade A tabela 11 apresenta a condutividade tér mica para diferentes gases mostrando como esta aumenta a medida que a temperatura é aumentada Tabela 11 Condutividade térmica de gases mWmK 100 K 200 K 300 K 400 K 500 K 600 K Metano 99026 21802 34479 50076 68524 88889 Etano 34561 10488 21126 35953 53783 73350 Propano 24171 89969 18492 30902 46277 64467 Butano 85006 16749 28204 42867 60737 Amônia 19670 24988 37130 53052 68551 Argônio 63522 12427 17683 22332 26527 30372 Hélio 73632 11790 15590 19029 22223 25233 Hidrogênio 68059 13227 18563 23394 28040 32799 Nitrogênio 99841 18623 25828 32181 38123 43901 Oxigênio 92232 18367 26635 34673 42738 50729 Água 18571 26148 35559 46230 Dióxido de Carbono 16747 25110 33465 41533 Monóxido de Carbono 10021 19199 26545 32833 38431 43562 Situações similares podem ser observadas em líquidos sendo que nestes casos as moléculas estão bem mais próximas e portanto há maior interação Por isso líquidos apresentam normalmente maiores condutividades térmicas quando comparados a ga ses A tabela 12 apresenta condutividades térmicas para diferentes líquidos saturados Como podese observar a condutividade térmica em líquidos tem uma tendência de Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 7 Figura 12 Faixas de condutividade térmica para diferentes materiais diminuir com a temperatura Tabela 12 Condutividade térmica de líquidos saturados mWmK 200 K 300 K 400 K 500 K 600 K água 61028 68364 64405 49546 amônia 80314 48025 21600 butano 14919 10394 70526 hexano 15497 12548 96301 70105 heptano 15382 13074 10632 81714 Em sólidos algo semelhante ocorre todavia as moléculas estão amarradas umas às outras podendo vibrar Esta vibração no nível molecular é difundida de molécula para molécula Na teoria molecular a difusão de calor se dá por ondas induzidas pelo movimento molecular Em materiais metálicos ou bons condutores em geral existe uma difusão adicional devido à presença de elétrons livres os mesmos que aumentam Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 8 a condutividade elétrica Já em materiais isolantes ou maus condutores em geral não há elétrons livres e portanto o transporte térmico é só devido às vibrações moleculares movimento de ondas vibratórias A tabela 13 apresenta condutividades térmicas para diferentes sólidos metálicos Tabela 13 Condutividade térmica de sólidos metálicos WmK 200 K 400 K 600 K 800 K 1000 K alumínio 237 240 231 218 ouro 323 311 298 284 270 ferro 94 695 547 433 323 cobre 413 393 379 366 352 chumbo 367 340 314 níquel 107 802 656 676 718 platina 726 718 732 756 787 prata 430 425 412 396 379 titânio 245 204 194 197 207 A tabela 14 apresenta condutividades térmicas de materiais sólidos5 não metálicos medidas à 300 K com exceção de neve e gelo onde as medidas são à 273 K Com parando as condutividades desta tabela com as dos sólidos metálicos observase cla ramente uma diferença nos valores Vale observar também que em materiais não são isotrópicos como madeira carvalho na tabela apresentam diferentes propriedades em diferentes direções Tabela 14 Condutividade térmica de sólidos nãometálicos WmK material condutividade algodão 006 areia 027 asfalto 0062 borracha macia 013 borracha rígida 016 carvalho radial 019 carvalho transversal 017 concreto 14 gelo 188 granito 279 neve 0049 papel 0180 teflon 035 vidro 14 A figura 13 ilustra o efeito da variação da temperatura sobre a condutividade tér 5Alguns materiais desta tabela podem não ser considerados como sólidos todavia sem haver deformação do material para a transmissão de calor estes podem ser considerados sólidos Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 9 mica de diferentes materiais Como podese observar em gases a condutividade tér mica aumenta com a temperatura Figura 13 Efeito da variação da temperatura sobre a condutividade térmica de diferen tes materiais Os dados das tabelas aqui apresentadas foram retirados de Bejan e Krauss 1 com exceção da última que foram retirados de Incropera e De Witt 2 Vale observar aqui que com exceção das últimas tabela para sólidos a condutividade térmica é apresen tada em miliWatts por metro por Kelvin As figuras foram retiradas de Özisik 3 e de Batchelor 4 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 10 121 Lei de Fourier 1822 Em experimentos Fourier6 observou a seguinte proporcionalidade entre o gradiente de temperatura e o fluxo de calor q00 T L 13 Onde a constante de proporcionalidade k é a anteriormente mencionada condutividade térmica Como o gradiente de temperatura pode variar com x a Lei de Fourier é então escrita na forma diferencial ou seja localmente q00 x k dT dx 14 Naturalmente para distribuições lineares de T x podese escrever q00 x k T2 T1 L 15 onde L x2 x1 Neste casos considerando k constante o fluxo de calor não varia com x 13 Transferência de Calor por Convecção Neste modo de transmissão de calor além do mecanismo de difusão molecular a ener gia também é transferida pelo movimento macroscópicomicroscópico na escala do contínuo A transferência de calor por convecção é classificada de acordo com o mecanismo motriz do escoamento podendo ser forçada ou livre Em convecção forçada o movi mento é gerado por algum agente externo Em convecção livre ou natural o próprio campo de temperaturas gera diferenças em densidades que levam ao movimento do meio Na realidade sempre irá existir uma mistura das duas convecção mista 131 Lei de Resfriamento de Newton Independente do tipo de convecção podese utilizar a relação conhecida como a Lei de Resfriamento de Newton7 para quantificar as trocas térmicas por convecção q00 sf h Ts Tf 16 onde h é chamado de coeficiente de transferência de calor por convecção Wm2K O transporte térmico por convecção é um mecanismo mais complicado que a con dução de calor devido ao movimento adicional do meio A simplicidade da Lei de 6em homenagem ao pesquisador Jean Baptiste Joseph Fourier 7em homenagem ao pesquisador Isaac Newton Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 11 Resfriamento de Newton não esconde isto pois toda a complexidade associada a con vecção está embutida na determinação do coeficiente h Devese ressaltar também que a temperatura Tf é uma temperatura associada ao fluido Como o campo de temperatura no fluido na realidade varia desde a temperatura do sólido na interface sólidofluido até outro valor longe da parede diferentes métodos para se escolher Tf existem Esta escolha irá depender do tipo de escoamento A tabela 15 apresenta valores típicos para o coeficiente de transferência de calor por convecção Tipo de escoamento h Wm2C Convecção Natural com T 25C placa vertical de 25 cm imersa em ar 5 placa vertical de 25 cm imersa em óleo de motor 37 placa vertical de 25 cm imersa em água 440 Convecção Forçada Ar a 25C e 10 ms sobre uma placa plana de 10 cm 40 Ar em escoamento cruzado em torno de um cilindro diâmetro 1 cm 85 Óleo em escoamento cruzado em torno de um cilindro diâmetro 1 cm 1800 Água vazão de 1 kgs dentro de um tubo com 25 cm de diâmetro 10500 Ebulição de água a uma atmosfera Ebulição em piscina normal 3000 Ebulição em piscina no fluxo de calor crítico 35000 Ebulição em filme 300 Condensação de vapor dágua a uma atmosfera Condensação em filme em tubos horizontais 900025000 Condensação em filme em superfícies verticais 400011000 Condensação em gotas 60000120000 Tabela 15 Valores de h para diferentes situações 14 Transferência de Calor por Radiação Abaixo são listadas algumas características do modo de transferência de calor por radi ação Calor na forma de radiação térmica é emitido por qualquer corpo que esteja a uma temperatura maior que zero Kelvin Todos materiais emitem todavia neste curso apenas sólidos serão considerados A energia é transportada na forma de ondas eletromagnéticas fótons da mesma maneira que a luz Não é necessária a presença de um meio para a sua propagação na verdade a radiação térmica se propaga melhor no vácuo Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 12 141 Lei de StefanBoltzmann O fluxo de calor associado à radiação emitida por um Corpo Negro8 emissor perfeito pode é calculado pela Lei de StefanBoltzmann9 q00 ecn æT 4 s 17 onde æ é a constante de StefanBolztmann æ 56697108 Wm2K4 Para um corpo real a radiação emitida é escrita em termos da radiação máxima emitida à mesma tem peratura ou seja q00 e q00 ecn æT 4 s 18 onde é a propriedade radiativa conhecida como emissividade Se uma superfície à Ts está totalmente envolta por uma vizinhança à Tviz a radiação incidente desta vizinhança é igual a radiação de corpo negro à Tviz ou seja q00 i æT 4 viz 19 todavia apenas parte da radiação incidente sobre a superfície é absorvida de acordo com a absortividade da superfície Æ q00 abs Æ q00 i ÆæT 4 viz 110 Contabilizando a energia que é perdida e absorvida pela superfície podese calcular o fluxo líquido de calor ganho pela superfície q00 vizs q00 abs q00 e æ ÆT 4 viz T 4 s 111 Para casos mais simples a Lei de Kirchoff 10 resulta em Æ q00 vizs æ T 4 viz T 4 s 112 a relação acima pode ser reescrita na forma da lei de resfriamento de Newton com um coeficiente de transmissão de calor por radiação hr q00 vizs hr Tviz Ts 113 onde hr é então dada por hr æTviz Ts T 2 viz T 2 s 114 8o termo Corpo Negro será introduzido em detalhes nas notas de aula da parte de Radiação Térmica 9em homenagem aos pesquisadores Jozef Stefan e Ludwig Eduard Boltzmann 10em homenagem ao pesquisador Gustav Robert Kirchoff Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 1 Introdução à Transmissão de Calor 13 Para casos com Tviz Ts ø Ts podese aproximar Tviz º Ts o coeficiente pode ser simplificado para hr º 4æT 3 s 115 Exercícios 11 Em no máximo uma página escreva sobre a importância do estudo de Transmis são de Calor citando exemplos desde de processos industriais até coisas simples do dia a dia que envolvem mecanismos de Transmissão de Calor Resposta 12 Faça um resumo do conteúdo do apresentado nestas notas de aula respondendo as questões o que é calor como ele é transmitido e qual as diferenças e semelhanças entre Termodinâmica e Transmissão de Calor Resposta 13 Explique a relação do modos de transferência de calor e processo de difusão tér mica Resposta 14 Em um meio com grandes deformações quais modos de transmissão de calor po dem ocorrer justifique Resposta 15 É necessário que um corpo esteja em repouso para que ocorra transferência de calor apenas por condução justifique Resposta 16 Explique porque materiais metálicos possuem condutividade térmica em geral maior que materias não metálicos Quais as diferenças e semelhanças encontradas em metais sólidos e líquidos Resposta 17 É correto afirmar que a condutividade térmica em gases à pressão constante em geral aumenta com a temperatura Por quê O mesmo ocorreria a volume constante Por quê Compare o comportamento de gases com líquidos Resposta 18 Podese afirmar que a condição de contorno com o coeficiente de transferência de calor por convecção muito pequeno tende a condição de isolamento térmico Justifique E com h muito grande Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 2 Energia e as Leis da Termodinâmica Versão 039 100913 21 Lei Zero da Termodinâmica A lei zero da termodinâmica que recebeu esta numeração pois foi postulada após a primeira e segunda leis diz que se os corpos A e B estiverem em equilíbrio térmico e os corpos B e C também estiverem em equilíbrio térmico então A e C também estarão em equilíbrio térmico 22 Energia em diferentes formas A energia total ie em todas as possíveis formas associada à um dado volume pode ser escrita dividida nas seguintes parcelas Etot U K Eoutras 21 onde U corresponde a energia interna térmica e K e correspondem às energias ciné ticas e potenciais mecânicas Como as energias de maior interesse em ciências mecâ nica são as térmicas e mecânicas as demais formas de energia são agrupadas no termo Eoutras Este termo conteria por exemplo as seguintes formas Eoutras Equi Enuc Eelet 22 Definese então a energia termomecânica como as parcelas térmicas e mecânicas E Etot Eoutras U K 23 Desta forma uma variação na energia E estará relacionada com variações nas suas par celas E Etot Eoutras U K 24 14 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 15 e também a taxa de variação de E será então dada por dE dt dEtot dt dEoutras dt 25 23 Geração e energia termomecânica O último termo da equação 25 representa a conversão de energia proveniente de outras formas em energia termomecânica Como o foco principal em transmissão de calor não são estas demais formas de energia comumente chamase o último termo de energia gerada EgV dEoutras dt 26 onde o sinal negativo indica que para haver um aumento das parcelas térmica e mecâ nicas deve haver uma redução nas outras formas de energia O subscrito V é incluído para indicar que a geração de energia na forma acima devese a transformações energé ticas dentro do volume considerado Isto permite que a equação 25 seja escrita como dE dt dEtot dt EgV 27 24 Variação da energia total Para que as formas de energia anteriormente descritas sejam não nulas é necessário associálas a um dado volume finito de matéria Uma vez que isto seja feito observase que para haver variação da energia total Etot é necessário que haja alguma interação com agentes externos a este volume escolhido O volume considerado pode ser escolhido de diferentes formas mas independente desta escolha a taxa de variação da energia total associada a este volume é dada por dEtot dt Etote Etots 28 onde Etote e Etots representam as taxas de transferência de energia em todas as pos síveis formas entrando e saindo do volume considerado Então a taxa variação da energia total é igual à taxa líquida de energia que entra no volume 25 Balanço de energia Utilizando as equações 25 e 28 um balanço geral de energia pode ser escrito como dE dt Etote Etots EgV 29 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 16 fornecendo uma expressão para avaliarse a taxa de variação da energia termomecânica As interações Etote e Etots são fenômenos superficiais pois representam a interação do volume considerado com os agentes externos e este contato naturalmente se dá na fronteira do volume considerado Os demais termos na equação de balanço são volu métricos pois ocorrem dentro do volume considerado Separando Etote e Etots em uma parcela relativa a energia térmica e mecânica e outra relacionada à outras formas de energia temse Etote Ee Eoutrase 210a Etots Es Eoutrass 210b podedefinir um termo de geração de energia ie conversão de outras formas de energia em térmica e mecânica que inclui efeitos volumétricos e superficiais Eg EgV Eoutrase Eoutrass dEoutras dt Eoutrase Eoutrass 211 Consequentemente o balanço geral de energia pode ser reescrito na forma dE dt Ee Es Eg 212 26 Sistema e volume de controle Um sistema1 é definido como sendo um conjunto de matéria fixa e definida Ou seja em um sistema considerase sempre o mesmo conjunto de matéria Desta forma a massa de um sistema não pode variar µdm dt sist 0 213 Um volume de controle abreviado vc é definido como um volume arbitrário através do qual matéria pode se movimentar Portanto na fronteira de um volume de controle denominada superfície de controle pode haver passagem de massa o que permite que a massa de um volume de controle varie de acordo com µdm dt vc me ms 214 onde me e ms representam as vazões em massa entrando e saindo do volume de con trole No estudo de termodinâmica os termos sistema aberto e sistema fechado são comu mente utilizados sendo diretamente associados com volumes de controle e sistemas respectivamente Todavia neste texto os termos sistema e volume de controle serão 1Outro termo frequentemente utilizado para se referir a um sistema é volume material ou corpo material Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 17 utilizados 27 Regimes permanente e transiente O balanço de energia descrito pela equação 212 envolve a derivada no tempo dEdt Quando esta derivada é nula o balanço representa a transferência de energia em regime permanente ou estacionário Para os casos onde a derivada é nãonula o regime é dito transiente O mesmo se aplica para a derivada dmdt na equação 214 Ou seja para regime permanente podese escrever me ms 0 215 Ee Es Eg 0 216 28 Primeira Lei da Termodinâmica A Primeira Lei da Termodinâmica quantifica as transferências de energia na forma de calor e trabalho Devido a diferença fundamental entre sistemas e volumes de controle diferentes formulações são obtidas para cada caso 281 Primeira Lei para sistemas Para sistemas não há massa cruzando a superfície do volume considerado Portanto as interações de energia na fronteira do sistema entrando e saindo são escritas na forma de taxas de transferência de calor e taxas de realização de trabalho Ee Qe We Es Qs Ws 217 e desta forma a taxa líquida de entrada de energia no sistema é dada por Ee Es Qe Qs We Ws 218 Definindo a taxa líquida de calor fornecida ao sistema e a taxa líquida de realização de trabalho sobre o sistema pelas expressões abaixo Q Qe Qs W We Ws 219 o balanço de energia é então escrito na seguinte forma µdE dt sist Q W Eg 220 A definição de taxa de realização de trabalho é diferentes do que encontrado em alguns livros de termodinâmica pois nestes textos assumese a convenção que o tra Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 18 balho é positivo quando realizado pelo sistema Na definição anterior naturalmente assumese que o trabalho é positivo quando realizado sobre ou sistema ou seja o traba lho positivo corresponde a uma energia fornecida ao sistema Não há definição correta ou errada para a taxa de trabalho o importante é adotar uma forma e ser consistente com a escolha feita 282 Primeira Lei para volumes de controle Para volumes de controle existe a possibilidade de massa cruzar as superfícies do vo lume em questão Portanto a taxa de transferência de energia nas fronteiras de um volume de controle não será devida apenas à calor e trabalho Contabilizando as par celas de energia transferida devido a transferência de massa na superfície de controle escrevese Ee Qe We Ue Ke e Ege 221a Es Qs Ws Us Ks s Egs 221b desta forma o balanço de energia para volumes de controle é escrito na seguinte forma µdE dt vc Q W U K Eg 222 onde as taxas líquidas de transferência de energia interna cinética e potencial devido à transferência de massa na superfície de controle são dadas por U Ue Us K Ke Ks e s 223 e o termo Eg agora contabiliza a variação na vazão de outras formas de energia devido ao fluxo de massa Eg dEoutras dt Eoutrase Eoutrass 224 Os termos U K e representam as taxas liquidas de transferência de energia para dentro do volume de controle associadas à transferência de massa através do volume de controle me e ms Taxas de transferência associadas ao movimento de matéria através da superfície do volume de controle são denominadas taxas advectivas ou seja U K e representam taxas de advecção de energia2 líquidas para dentro do volume de controle 2Comumente chamadas de energia advectada Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 19 29 Forças conservativas e nãoconservativas Qualquer força f pode ser separada em um parcela conservativa e outra nãoconservativa f f c f nc 225 Da mesma maneira a taxa de realização de trabalho pode ser escrita em termos de parcelas conservativas e nãoconservativas W Wc Wnc 226 representando a taxa de realização de trabalho das forças conservativas e a taxa de realização de trabalho das forças nãoconservativas respectivamente Neste momento devese recapitular alguns princípios de conservação de energia mecânica Um destes é que a variação da energia potencial é igual ao oposto ou seja com o sinal trocado do trabalho das forças conservativas3 d dt Wc 227 Isto mostra que ao considerar a variação da energia de um corpo sob ação de traba lhos de forças devese tomar cuidado ao contabilizar as interações de forças conserva tivas e variações de energia potencial Considerando um sistema isotérmico isobárico e adiabático o balanço de ener gia reduzse apenas ao simples balanço de energia mecânica Estando de acordo com a equação 227 o balanço de energia mecânica diz que o trabalho das forças não conservativas é igual à variação da energia mecânica total ou seja dK dt d dt Wnc 228 Apesar da equação não envolver as interações térmicas ela mostra que a taxa de tra balho utilizada na equação 220 deve apenas conter o trabalho das forças nãoconser vativas visto que o trabalho das forças conservativas já é contabilizado na variação da energia potencial de acordo com a equação 227 Ou seja o princípio de conservação da energia termomecânica para sistemas deve ser escrito na forma µdE dt sist µdU dt dK dt d dt sist Q Wnc Eg 229 ou na seguinte forma µdU dt dK dt sist Q Wnc Wc Eg 230 3considerando que as forças conservativas são relacionadas ao tipo de energia potencial considerada por exemplo força conservativa gravitacional e energia potência gravitacional Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 20 e o mesmo racioncínio deve ser extendido para volumes de controle 210 Relação entre quantidades globais e locais A relação entre quantidades globais e locais está ligada a propriedades intensivas e extensivas as quais são descritas abaixo 2101 Propriedades extensivas e intensivas Propriedades extensivas são quantidades que dependem da quantidade de matéria ou seja que variam com a quantidade de massa considerada Exemplos de grandezas ex tensivas são energia quantidade de movimento e inclusive a própria massa Propriedades intensivas são quantidades que independem da quantidade de maté ria Exemplos são temperatura velocidade e massa específica Para toda propriedade extensiva existirá uma propriedade intensiva como foi o caso da massa específica an teriormente citada Estas propriedades recebem o nome de propriedades específicas Um exemplo tradicional de propriedades intensivas derivadas de propriedades ex tensivas é energia nas diferentes formas Como as propriedades podem variar espa cialmente a relação entre as formas intensivas e extensivas é estabelecida para uma quantidade de massa diferencial dU u dm dK eK dm d e dm 231 onde a própria massa para uma quantidade diferencial é escrita em função da massa específica associada ao volume diferencial considerado dm Ω dV 232 Duas outras propriedades termodinâmicas que aparecem em formas intensivas e extensivas são a entalpia4 e entropia dI i dm dS s dm 233 4Em transferência de calor o símbolo utilizado para entalpia é I ao invés de H utilizado em termodinâ mica Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 21 2102 Relações integrais volumétricas A relação entre quantidades diferenciais locais e quantidades no volume todo globais são dadas por relações integrais envolvendo o volume V considerado U Z V u dm Z V u Ω dV 234a K Z V eK dm Z V eK Ω dV 234b Z V e dm Z V e Ω dV 234c I Z V i dm Z V i Ω dV 234d S Z V s dm Z V s Ω dV 234e A geração de energia convertida de outras formas de energia é também um termo volumétrico sendo definido em termos da geração local por unidade de volume g 000 Eg Z V g 000 dV 235 Outras quantidades que aparecem em formas locais e globais são forças e assim como o trabalho destas forças A relação entre a força resultante atuando sobre um volume V assim como a taxa de realização de trabalho sobre o volume são dadas por f v Z V df v Z V f 000 v dV 236 Wv Z V d Wv Z V vdf v Z V vf 000 v dV 237 onde f 000 v representa a força por unidade de volume atuando sobre cada elemento dife rencial dV e v representa a velocidade de cada um destes elementos Os subscritos v utilizados nas equações anteriores se referem a forças e trabalhos volumétricos Forças volumétricas também conhecidas como forças de corpo ou forças de massa são forças de ação a distância Naturalmente a taxa de trabalho Wv representa o trabalho realizado por estas forças 2103 Relações integrais superficiais As quantidades associadas a interações na fronteira do volume considerado também existirão em formas globais e locais Globalmente estas quantidades representam a taxa de transferência líquida total através da fronteira do sistema Localmente considerase a taxa de transferência associada a uma área diferencial da fronteira do volume consi derado A taxa de transferência de massa ou vazão mássica global é relacionada com Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 22 a local através de m me ms Z S d m Z S m00 dA 238 onde o termo m00 representa a vazão em massa por unidade de área para dentro do volume V A taxa de transferência de calor global líquida para dentro de V é relacionada com a taxa local através de Q Qe Qs Z S d Q Z S Q00 dA 239 onde Q00 representa a taxa de transferência de calor por unidade de área5 para dentro de V 211 Segunda Lei da Termodinâmica A segunda lei da termodinâmica para um sistema pode ser escrita na seguinte forma µdS dt sist Z Ssist 1 T d Q 240 onde a temperatura deve ser obrigatoriamente dada em unidades absolutas Kelvin ou Rankine 212 Balanço de energia em uma superfície Uma superfície é uma região que possui área mas não possui volume Logo esta não possui massa e portanto não pode haver taxa de variação de grandezas associadas a quantidade de matéria de uma superfície Conseqüentemente o balanço de energia em uma superfície é simplesmente obtido da equação 212 zerando os termos de taxa de variação volumétricas 0 Ee Es Eg 241 onde o termo de geração Eg naturalmente não incluiria a parcela volumétrica Eg Eoutrase Eoutrass 242 Ou seja como era de se esperar a taxa de energia que entra em uma superfície deve se igualar a taxa que sai Se não há massa cruzando a superfície a Primeira Lei da 5Naturalmente este termo representa o componente do fluxo de calor definido em outras notas de aula para dentro do volume considerado Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 2 Energia e as Leis da Termodinâmica 23 Termodinâmica para esta superfície é dada por Qe Qs We Ws Eg 0 243 Se massa pode cruzar esta superfície o balanço de massa é dado por 0 me ms 244 e a Primeira Lei da Termodinâmica é dada por Qe We Ue Ke e Eg Qs Ws Us Ks s 245 Exercícios 21 Partindo de um enunciado geral de conservação de energia encontre a variação da energia interna U de um sistema fechado sem geração interna de energia onde a única troca de energia com o exterior é uma taxa transferência de calor fornecida constante Q0 Resposta 22 Partindo de um enunciado geral de conservação de energia encontre a variação da energia interna U de um sistema fechado sem geração interna de energia onde o sistema perde calor para as redondezas a uma taxa igual a sua energia interna Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Parte II Notas de Aula 3 Equação geral da condução de calor Versão 0311 130513 31 Balanço de energia Para a derivação da equação da condução de calor partese de um balanço de ener gia Devido ao modo de transferência de calor considerado o meio por onde o calor se propaga não pode exibir movimento relativo entre pontos interiores Desta maneira podese tanto utilizar a abordagem de sistema ou de volume de controle1 Como discu tido nas notas de aula 2 a taxa de variação da energia termomecânica para um sistema pode ser escrita na forma dE dt dU dt dK dt d dt Q Wnc Eg 31 ou utilizando a forma alternativa dU dt dK dt Q Wnc Wc Eg 32 onde Eg só inclui efeitos volumétricos pois não há massa cruzando a superfície do sis tema Para sistemas estáticos naturalmente a variação da energia cinética e potencial as sim como a taxa de trabalho de qualquer força são sempre nulos pois não há movimento algum Para estes casos é fácil verificar que o balanço de energia escrito anteriormente reduzse a dU dt Q Eg 33 A equação anterior foi derivada para casos estáticos Todavia devido ao fato da condu ção de calor estar relacionada à meios sem movimento relativo os volumes considera dos se não estiverem parados estarão em movimento de corpo rígido Devido a este tipo de movimento podese mostrar mesmo para os casos fora de repouso a equação 1este preferencialmente estando fixo ao meio de forma que não haja massa cruzando as fronteiras do volume de controle 25 3 Equação geral da condução de calor 26 de balanço 33 é novamente obtida A seguir apresentase esta demonstração para casos em movimento de translação 311 Sistemas com movimento de translação Utilizando um balanço de forças para um volume em movimento de corpo rígido ou seja sem taxas de deformações é escrito na forma da segunda lei de Newton m dv dt f c f nc 34 Tomando o produto escalar de 34 com a velocidade v m v µdv dt vf c vf nc 35 a qual pode ser reescrita na forma m d dt vv 2 vf c vf nc 36 Os termos na equação anterior são respectivamente a taxa de variação da energia cinética e as taxa de realização de trabalho sobre o volume considerado das forças de conservativas e nãoconservativas respectivamente m d dt vv 2 dK dt 37a vf c Wc 37b vf nc Wnc 37c Isto mostra que a taxa de trabalho das forças atuando sobre o sistema é igual à taxa de variação da energia cinética dK dt Wc Wnc 38 Finalmente subtraindo 38 de 32 chegase a expressão obtida para o meio em re pouso dU dt Q Eg 33 Para casos com rotação uma análise similar pode ser feita levando novamente à equação 33 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 27 32 Relação entre quantidades locais e globais Os termos volumétricos calculados para um sistema com volume V são dados por U Z V dU Z V u dm Z V u Ω dV 39 Eg Z V g 000 dV 310 Os termos de superfície são escritos em termos da superfície do sistema S e do vetor fluxo de calor Q Z S d Q Z S q00 n dA Z S q00 ˆndA 311 A figura 31 ilustra as quantidades locais e globais que aparecem nas equações ante riores Figura 31 Volume de controle para derivação da equação da condução 321 Equação integral da energia Partindo do balanço de energia dado pela equação 33 e substituindo os termos pelas integrais da seção anterior obtémse d dt Z V u Ω dV Z S q00 ˆndA Z V g 000 dV 312 A equação obtida representa uma formulação integral para a transferência de calor por condução Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 28 33 Equação diferencial da condução de calor Partindo da formulação integral obtida anteriormente e reconhecendo que não há vari ação no volume do sistema podese escrever Z V t u ΩdV Z S q00 ˆndA Z V g 000 dV 313 O próximo passo é combinar as integrais Para tal será necessário transformar a integral de superfície em uma integral no volume 331 Transformação da integrais de superfície O teorema da divergência ou teorema de Gauss2 para um vetor f qualquer em um volume V delimitado por uma superfície S orientada por um vetor normal ˆn é escrito como Z S f ˆn dA Z V rf dV 314 Desta forma podese escrever o termo da taxa de transferência de calor em termos do volume do sistema Z S q00 ˆn dA Z V r q00 dV 315 332 Equação em termos do fluxo de calor e energia interna Aplicando o teorema da divergência na equação de balanço energético obtémse Z V t u ΩdV Z V r q00 dV Z V g 000 dV 316 a qual pode ser rearrumada fornecendo Z V µ t u Ωr q00 g 000 dV 0 317 Para que a equação acima seja válida para um volume arbitrário um corpo qual quer com qualquer tamanho ou geometria é necessário que o integrando seja zero levando a t u Ω r q00 g 000 318 Aplicando a regra da derivada do produto no lado esquerdo obtémse Ω u t u Ω t r q00 g 000 319 2em homenagem ao pesquisador Johann Carl Friedrich Gauss Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 29 Para meios sem movimento relativo sem deformação a conservação da massa re quer que Ω t 0 320 fazendo com que a conservação de energia seja escrita na seguinte forma Ω u t r q00 g 000 321 333 Relação entre energia interna e temperatura Introduzindo o calor específico para substâncias incompressíveis e gases ideais uma variação infinitesimal na energia interna pode ser escrita em termos de uma variação de temperatura du cv dT c dT então u t c T t 322 isto faz com que a equação para a transferência de energia possa ser escrita em termos da temperatura Ω c T t r q00 g 000 323 Naturalmente para materiais incompressíveis líquidos e sólidos o calor específico a pressão constante e a volume constante podem ser igualados e portando um único símbolo c é utilizado cp cv c Ω c T t r q00 g 000 324 334 Lei de Fourier A equação obtida anteriormente ainda não permite que a distribuição de temperatura seja calculada uma vez que não se tem uma relação entre o fluxo de calor e a distribuição de temperatura A Lei de Fourier baseada nas observações experimentais de Jean Baptiste Joseph Fourier publicadas em 1822 relaciona o fluxo de calor com o gradiente de temperatura de um meio através do coeficiente de proporcionalidade k denominado condutividade térmica q00 k gradT k rT 325 A equação acima é válida para materiais isotrópicos ou seja materiais cujas pro priedades independem da direção Para casos mais gerais como meios anisotrópicos a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 30 condutividade térmica até então um escalar é substituída por um tensor de segunda ordem de condutividade térmica 335 Equação geral da condução de calor Após substituir as relações para o fluxo de calor e energia interna chegase a seguinte equação Ω c T t rk rT g 000 326 Quando a condutividade térmica for constante a equação pode ser simplificada Ω c T t k r2T g 000 327 e reescrita na seguinte forma 1 Æ T t r2T g 000 k 328 Onde Æ é a difusividade térmica definida por Æ kΩ cp 336 Sistemas de coordenadas cartesiano cilíndrico e esférico Em cada sistema de coordenadas a equação da condução de calor é escrita de forma diferente como mostrado abaixo Coordenadas cartesianas Ω c T t x µ k T x y µ k T y z µ k T z g 000 329 Coordenadas polarescilíndricas Ω c T t 1 r r µ r k T r 1 r 2 µ µ k T µ z µ k T z g 000 330 Coordenadas polaresesféricas Ω c T t 1 r 2 r µ r 2 k T r 1 r 2 sen µ senk T 1 r 2 sen2 µ µ k T µ g 000 331 A equação da condução de calor representa o mecanismo de transporte térmico den tro de qualquer corpo Todavia para poder calcular a distribuição de temperatura no corpo assim como qualquer outra quantidade relacionada é necessário especificar con dições de contorno na superfície do corpo e uma condição inicial A especificação da Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 31 condição inicial é feita sem a menor dificuldade bastando conhecer a distribuição ini cial de temperatura no domínio analisado ie V As condições de contorno podem requerer um pouco mais de esforço 34 Condições de contorno 341 Condições de contorno reais Ao especificar condições de contorno na superfície da região analisada devese des crever os fenômenos que ocorrem na superfície Do lado do meio onde há condução apenas um fluxo de calor normal a superfície deixa ou chega o meio Do outro lado na prática pode haver uma mistura de condução ou convecção e radiação Diferentes situações são descritas abaixo com diferentes tipos de regiões em contato com o meio que troca calor por condução Vácuo Se o meio onde há condução está em contato com uma região onde há vácuo o calor trocado na superfície só pode ser por radiação e portando escrevese q00 n q00 rad æT 4 s T 4 viz 332 onde a segunda igualdade corresponde à um caso idealizado onde a vizinhança pode ser tratada como um corpo negro Fluido em escoamento Lei de Resfriamento de Newton Se a região adjacente ao meio analisado for um fluido opaco só há transferência de calor por convecção deixando a superfície Portanto escrevese q00 n q00 conv h Ts Tf 333 onde Ts corresponde a temperatura da superfície sólida e Tf à temperatura do fluido O parâmetro e h é denominado o coeficiente de transferência de calor por convecção e expressão acima é denominada a Lei de Resfriamento de Newton No caso mais geral ambos h e Tf podem variar com a posição no contorno e com o tempo Para casos onde a convecção é dominante radiação desprezível a equação acima pode também ser aplicada Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 32 Meio opaco parado em relação ao meio original Se do outro lado da superfície do meio analisado há um outro opaco meio parado em relação ao original só pode haver condução Desta forma escrevese q00 n q00 condB 334 onde q00 condB representa o fluxo de calor por condução na direção normal da superfí cie para dentro do meio externo ao meio original denominado B Utilizando a Lei de Fourier a equação anterior pode ser reescrita na forma k rT ˆn kB rTB ˆn 335 onde ˆn é orientado para fora do meio original para dentro de B e kB e TB são a con dutividade térmica e temperatura do meio B Para completar este tipo de condição de contorno é necessário uma outra equação Dentro desta classe existem duas possibilidades A primeira envolve contato térmico perfeito entre as regiões Isto ocorreria quando pelo menos uma das regiões for um fluido ou entre dois sólidos perfeitamente encaixados superfícies paralelas e per feitamente polidas Todavia no contato entre duas superfícies sólidas em geral não haverá contato térmico perfeito devido às irregularidades nas superfícies Havendo contato perfeito existirá continuidade de temperatura e T TB na interface entre os dois meios Quando o contato térmico for imperfeito haverá uma discontinui dade de temperatura na interface e um coeficiente de transferência de calor através do contato hc é utilizado Para os dois casos na interface escrevese T TB para contato perfeito 336 q00 n hc T TB para contato imperfeito 337 Vale a pena ressaltar que este caso pode ser aplicado em situações onde a condução é dominante em relação a radiação Fluido transparente em movimento Neste caso pode haver transferência de calor por radiação e convecção O fato do fluido ser perfeitamente transparente implica que este não participa na radiação de forma que a convecção e radiação ocorrem de maneira independente Desta forma o fluxo de calor que deixa a superfície do meio original pode ser escrito na forma q00 n q00 rad q00 conv æT 4 s T 4 viz h Ts Tf 338 onde novamente a segunda igualdade corresponde à um caso idealizado onde a vizi nhança pode ser tratada como um corpo negro Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 33 Meio transparente parado em relação ao meio original Neste caso pode haver transferência de calor por radiação e condução onde a hipótese de um meio totalmente transparente implica que estes processos ocorram de maneira independente Assim sendo o fluxo por condução que deixa o meio original onde hipoteticamente só há condução é dado por q00 n q00 rad q00 condB 339 e como em um caso anterior ambos os casos com contato térmico perfeito e imperfeito podem ocorrer 342 Condições de contorno lineares Para facilitar o cálculo da transferência de calor assim como para ter um bom entendi mento inicial sobre o assunto é comum utilizar versões lineares de condições de con torno Estas condições de contorno lineares aparecem em três tipos Dirichlet primeiro tipo Neumman segundo tipo e Robin terceiro tipo descritas abaixo Condição de Dirichlet A condição de Dirichlet3 é a mais simples e como uma condição inicial consiste em especificar a temperatura no contorno T xt Ts para x 2 S 340 Onde x é o vetor posição Naturalmente a temperatura no contorno do corpo deve ser conhecida podendo esta também variar com o tempo e posição no contorno Na prática a condição de contorno de Dirichlet é atingida para troca térmica por convecção com h 1 como ocorre em situações onde o fluido está mudando de fase eg ebulição A condição de Dirichlet também é chamada de condição com temperatura prescrita pois a temperatura deve ser conhecida e especificada Condição de Neumman A condição de Neumman4 implica que o fluxo de calor fornecido q00 0 no contorno deve ser conhecido q00 ˆn q00 0 para x 2 S 341 lembrando que o mesmo pode variar com a posição e tempo 3em homenagem ao matemático alemão Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet 4em homenagem ao matemático alemão Carl Gottfried Neumann Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 34 Condição de Robin A condição de Robin5 aplicase a casos onde a superfície do corpo troca calo com um fluido e também é formulada especificando o fluxo de calor no contorno Entretanto o fluxo no contorno é escrito em função de uma diferença de temperatura q00 ˆn h T Tf para x 2 S 342 onde Tf é a temperatura do fluido e h é o coeficiente de transferência de calor por convecção 35 Adimensionalização da equação da condução A adimensionalização de um problema é uma forma de reduzir o número de parâme tros no qual sua solução depende a um mínimo Nesta seção demonstrase como se normalmente adimensionaliza a equação da condução A forma cartesiana é utilizada e considerase uma região delimitada por 0 x L 0 y H 0 z W 343 Desta forma é natural que as coordenadas espaciais adimensionais sejam definidas de modo a ficar entre uma faixa normalizada ou seja entre zero e um ª x L y H z W 344 garantindo que 0 ª 1 0 1 0 1 345 A temperatura é normalmente adimensionalizada baseandose em valores máximo e mínimo característicos ao problema em questão Desta forma de uma maneira geral podese escrever T Tmin Tmax Tmin 346 Ao substituir as relações 344 e 346 na equação 329 considerando o caso com propriedades constantes obtémse Ω c t k L2 2 ª2 k H2 2 2 k W 2 2 2 g 000 Tmax Tmin 347 É comum também que uma comprimento característico de difusão seja escolhido S e 5em homenagem ao matemático francês Victor Gustave Robin Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 35 baseado neste comprimento o tempo seja adimensionalizado na forma ø t Æ S2 348 onde Æ kΩ c é a difusividade térmica Com a definição deste tempo adimensional a equação 347 pode ser reescrita na forma ø K 2 x 2 ª2 K 2 y 2 2 K 2 z 2 2 G 349 onde Kx Ky e Kz são razões de aspecto e G é a geração de calor adimensionalizada defi nidos por Kx L S Ky H S Kz W S G g 000 S2 k Tmax Tmin 350 onde fica claro que se S for escolhido como um dos comprimentos L H ou W um dos parâmetros de razão de aspecto deixam de ser necessários pois a razão resulta em um Por exemplo para um problema unidimensional sem dependência em y ou z o com primento de difusão característico seria a própria dimensão L levando aos seguintes parâmetros e variáveis adimensionais ª x L T Tmin Tmax Tmin ø t Æ L2 G g 000 L2 k Tmax Tmin 351 resultando na seguinte equação adimensionalizada ø 2 ª2 G 352 A forma escolhida para adimensionalizar a variável temporal eq 348 é comum em problemas de difusão pois a escala resultante do produto S2Æ que naturalmente tem unidade de tempo é uma escala característica para o valor do tempo em problemas de difusão Em outras palavras quando ø 1 esperase que o problema esteja próximo do regime permanente como se a duração do regime transiente fosse approximada mente de t S2Æ A forma ø t ÆS2 tem a mesma forma do adimensional conhecido como número de número de Fourier Fo de modo que alguns autores utilizam Fo no lugar de ø nas equações anteriores Todavia neste texto é dado preferência a variável ø para descrever um valor de tempo adimensional variável Em outras situações o tempo de processo é conhecido Ao considerar um processo iniciado em um tempo inicial t0 e terminado em um tempo final t f o tempo pode ser adimensionalizado da forma ø t t0 t f t0 353 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 36 Com esta adimensionalização a equação da condução resultante é 1 Fo ø K 2 x 2 ª2 K 2 y 2 2 K 2 z 2 2 G 354 onde o parâmetro Fo é o próprio número de Fourier é definido como Fo t f t0Æ S2 355 Deve ser observado que na equação 354 o valor da variável ø similar às variáveis espaciais também fica no intervalo 0 ø 1 Exercícios 31 Partindo das expressões para o gradiente e divergente escreva a equação geral da condução nos diferentes sistemas de coordenadas cartesiano polarcilíndrico e polar esférico Resposta 32 Derive a equação geral da condução considerando um corpo rígido em movi mento arbitrário com translação e rotação Resposta 33 Para valores do coeficiente de transferência de calor por convecção h muito grande podese afirmar que a condição de contorno tende a condição de tem peratura prescrita O que ocorreria para valores muito pequenos de h Justifique as respostas Resposta 34 Em materiais isotrópicos podese afirmar que o vetor fluxo de calor ocorre no mesmo sentido e direção do gradiente de temperatura O mesmo ocorreria em materiais anisotrópicos Justifique as respostas Resposta 35 Indique as respectivas unidades no SI 1 vazão ou taxa de transferência de calor 2 fluxo de calor 3 divergente do fluxo de calor 4 taxa de transferência de calor 5 condutividade térmica 6 difusividade térmica 7 calor específico Resposta 36 Em relação ao contato térmico imperfeito entre duas superfícies sólidas é pode se afirmar que há diferença entre a temperatura observada nas duas superfícies Há diferença entre o fluxo de calor observado nas duas superfícies Justifique as respostas Resposta 37 Lembrando que o mecanismo de condução de calor é regido pela seguinte equação geral Ω c T t rk rT g 000 Discuta o significado da equação acima fornecendo uma interpretação para cada termo Mencione leis e hipóteses simplificadoras que resultam na forma apresen tada acima Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 37 38 Simplifique a equação da condução para casos em regime permanente sem gera ção interna de energia considerando também que a condutividade térmica pode ser tratada como constante e discuta o balanço energético resultante Resposta 39 Considere a condução de calor sem geração de energia em uma viga de perfil retangular L W feita de um material isotrópico A viga é longa de tal forma que a transferência de calor pode ser considerada apenas nas direções x e y Sabese que as superfícies laterais da viga x 0 e x L são mantidas respectivamente a temperaturas T0 e TL que há um fluxo de calor q00 0 fornecido à superfície inferior y 0 e que a superfície superior troca calor por convecção com um fluido h e Tf conhecidos Forneça a formulação matemática para o problema considerando que no instante inicial a distribuição de temperatura é T f x y Resposta 310 Na análise da condução de calor em uma barra longa onde as extremidades po dem ser tratadas como adiabáticas a transferência de calor na direção z pode ser desprezada e o problema é reduzido a uma formulação bidimensional Responda as seguintes questões a Forneça a formulação matemática em regime permanente para casos com condutividade térmica uniforme sem geração de energia interna Considere que há isolamento térmico em x L e um fluxo de calor uniforme q00 0 em x 0 Considere também que a temperatura é mantida constante T0 em y 0 e que a superfície y W troca calor com um fluido à temperatura constante Tf O coeficiente de transferência de calor por convecção h também é constante b Para as mesmas condições dadas no item anterior qual será a distribuição de temperatura T x y para casos com q00 0 0 e h 0 Resposta 311 Considere a condução de calor em regime permanente com propriedades constan tes em um cilindro sólido de comprimento L cuja seção transversal é meia circun ferência de raio R Considere que há isolamento térmico em z H e que um fluxo de calor uniforme q00 0 é fornecido em z 0 Considere também que a temperatura é mantida constante TR em r R e que a superfície plana restante y 0 troca calor com um fluido à temperatura constante Tf O coeficiente de transferência de calor por convecção h também é constante a Partindo da equação geral da condução obtenha a equação diferencial para a variação de temperatura nos pontos internos do corpo considerado utili zando o sistema de coordenadas cartesiano b Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polarcilíndrico c Utilizando o sistema cartesiano complete a formulação matemática do pro blema fornecendo as condições de contorno indicando as regiões em que Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 38 cada equação é válida inclusive para a equação para os pontos internos ob tida no ítem 1 d Repita o item anterior para o sistema de coordenadas polarcilíndrico Resposta 312 Considere a condução de calor sem geração de energia em uma esfera de raio R e condutividade térmica k constante flutuando em um reservatório dágua que encontrase à temperatura Tl A densidade da esfera é tal que exatamente metade dela fica imersa na água enquanto a outra metade está exposta ao ar ambiente temperatura Tg e recebe radiação solar à uma taxa uniforme Qrad Sabendo que os coeficientes de transferência de calor por convecção com a água e o ar são dados por hl e hg e que nenhuma radiação incide sobre a parte da esfera imersa na água forneça a formulação matemática para o problema em regime permanente e sem geração de energia Resposta 313 Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em um tronco de cone de altura H possuindo condutividade térmica constante k A base do cone tem diâmetro D e encontrase sob uma superfície cuja a tempera tura é mantida à Tb porém existe contato térmico imperfeito com o coeficiente hc sendo conhecido O topo do tronco de cone têm diâmetro d e está isolado ter micamente A superfície curva é mantida à temperatura constante TR Forneça a formulação matemática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado Resposta 314 Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em um corpo composto de um oitavo de esfera de raio R possuindo condutividade térmica constante A base do corpo encontrase sobre uma superfície cuja a tem peratura é mantida em um valor Tb porém existe contato térmico imperfeito com o coeficiente hc sendo conhecido As duas superfícies verticais planas são aqueci das recebendo cada uma uma potência de Q0 A superfície esférica troca calor com o ar ambiente por convecção Tar e har conhecidos Forneça a formulação ma temática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado Resposta 315 Considere a condução de calor com geração de energia em regime permanente em uma esfera oca com raios internos e externos dados respectivamente por Ri e Re O corpo possui condutividade térmica constante A superfície interna da esfera recebe calor uniformemente a uma vazão conhecida Qi A superfície externa troca calor com um fluido a temperatura Tf e coeficiente convectivo h ambos cons tantes Sabendo que a geração de energia varia com µ e forneça a formulação matemática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropri ado Em seguida simplifique o problema para o caso sem geração de energia indicando onde ocorre a maior temperatura Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 3 Equação geral da condução de calor 39 316 Considere a condução de calor sem geração de energia em regime permanente em um sólido de revolução composto basicamente de dois cilindros maciços concên tricos com diâmetros diferentes A parte inferior tem diâmetro maior D e altura L enquanto a porção superior tem diâmetro d e altura l totalizando uma altura total de L l Na base deste corpo uma vazão uniforme de calor Q0 é aplicada enquanto as superfícies restantes são resfriadas por convecção com um escoa meneto à temperatura Tf e coeficiente h Forneça a formulação matemática para o problema escolhendo o sistema de coordenadas mais apropriado Em seguida indique onde ocorrerá a maior temperatura e a menor temperatura deste corpo Qual o efeito do comprimento l L sobre a temperatura superficial deste corpo aumenta ou diminui Justifique as respostas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 4 Condução unidimensional em regime permanente Versão 0310 090913 41 Introdução A equação da condução de calor na forma geral vetorial independente do sistema de coordenadas é dada por Ω c T t rk rT g 000 41 Utilizando coordenadas cartesianas a equação toma a forma Ω c T t x µ k T x y µ k T y z µ k T z g 000 42a Já em coordenadas polarescilíndricas temse Ω c T t 1 r r µ r k T r 1 r 2 µ µ k T µ z µ k T z g 000 42b e em coordenadas polaresesféricas chegase a Ω c T t 1 r 2 r µ r 2 k T r 1 r 2 sen µ senk T 1 r 2 sen2 µ µ k T µ g 000 42c 411 Hipóteses simplificadoras Hipóteses fundamentais para condução unidimensional em regime permanente Regime Permanente não há variação temporal t 0 e portanto não pode haver acúmulo de energia no sistema Condução unidimensional 1D A transferência de calor ocorre predominante mente em uma direção preferencial de modo que a taxa de transferência de calor 40 4 Condução unidimensional em regime permanente 41 nas demais direções pode ser desprezada Com isto só pode haver variação de temperatura nesta direção preferencial Hipóteses adicionais Condutividade térmica constante por mais que a condutividade térmica de um material possa variar com a temperatura assumese que um valor médio por tanto constante pode ser utilizado para facilitar a análise Esta hipótese permite que as equações diferenciais obtidas para os diferentes sistemas de coordenadas permaneçam lineares e possam ser resolvidas da forma aqui apresentada Geração interna de energia uniforme Para os casos aqui considerados a geração de energia não varia espacialmente sendo portanto uma constante Ou seja g 000 g 000 0 412 Equações resultantes Coordenadas cartesianas d dx µ k dT dx g 000 0 0 43a Coordenadas polarescilíndricas 1 r d dr µ r k dT dr g 000 0 0 43b Coordenadas polaresesféricas 1 r 2 d dr µ r 2 k dT dr g 000 0 0 43c 42 Condições de contorno As soluções anteriores foram calculadas assumindose a existência de temperaturas co nhecidas nas duas superfícies que limitam a camada de material onde a transferência de calor está sendo analisada Todavia outras condições de contorno podem ser prescritas e um estudo das diferentes condições de contorno encontrase a seguir 421 Condição de contorno de Dirichlet 1o tipo Como condições de contorno de Dirichlet envolvem apenas a especificação da tempe ratura no contorno a dificuldade é mínima especialmente em casos unidimensionais Para coordenadas cartesianas a temperatura T x no contorno de um corpo delimitado por x1 x x2 é dada por T x1 T1 T x2 T2 44 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 42 e para coordenadas polares cilíndricas ou esféricas T r no contorno em um corpo delimitado por r1 r r2 é dada por T r1 T1 T r2 T2 45 Todavia em sistemas de coordenadas com curvatura cilíndrico e esférico casos envol vendo r 0 devem ser tratados separadamente como é discutido na Seção 44 422 Fluxo de calor em uma superfície Para condições de contorno de Neumann e Robin segundo e terceiro tipo é necessário especificar do fluxo de calor na direção normal em uma superfície Portanto discutese agora o cálculo do fluxo de calor em superfícies para problemas unidimensionais O vetor fluxo de calor nos sistemas de coordenadas cartesiano polarcilíndrico e polaresférico é respectivamente dado por q00 q00 x ex q00 y e y q00 z ez k T x ex k T y e y k T z ez 46a q00 q00 r er q00 µ eµ q00 z ez k T r er k r T µ eµ k T z ez 46b q00 q00 r er q00 e q00 µ eµ k T r er k r T e k r sen T µ eµ 46c onde os vetores unitários nas direções radiais dos sistemas cilíndricos e esféricos não correspondem a mesma direção A expressão abaixo resulta no fluxo de calor para fora de um elemento de superfície q00 ˆn q00 n q00 saindo 47 pois o vetor normal aponta para fora Para calcular o fluxo de calor para dentro de uma superfície devese inverter o sentido direção do vetor normal o que corresponde a uma mudança de sinal q00 entrando q00 ˆn q00 ˆn q00 n 48 Na direção x e nas direções radiais dos sistemas de coordenadas cilíndrico e esférico o vetor normal é dado por ˆnx nx ex ˆnr nr er 49 onde como o vetor normal é unitário os valores de nx e nr só podem ser 1 ou 1 Desta forma o fluxo de calor na direção x para dentro de uma superfície orientada por ˆn é Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 43 dado por q00 entrandox q00 ˆnx q00nx ex q00 x nx k T x nx 410a De maneira similar na direção radial nos sistemas cilíndrico e esférico temse q00 entrandor q00 ˆnr q00nr er q00 r nr k T r nr 410b Para um corpo cujo o volume é descrito por x1 x x2 os fluxos entrando nas posi ções x x1 e x x2 é dado por q00 entrandoxx1 µ k T x nx xx1 µ k T x 1 xx1 µ k T x xx1 411a q00 entrandoxx2 µ k T x nx xx2 µ k T x 1 xx2 µ k T x xx2 411b De maneira análoga nos sistemas polares para um corpo cujo o volume é descrito por r1 r r2 têmse q00 entrandorr1 µ k T r nr rr1 µ k T r 1 rr1 µ k T r rr1 412a q00 entrandorr2 µ k T r nr rr2 µ k T r 1 rr2 µ k T r rr2 412b Neste momento vale a pena ressaltar que os componentes do fluxo de calor nas dire ções x sistema cartesiano e r sistemas polares representam o fluxo de calor na direção e sentido do eixo considerado Ou seja se q00 x for positivo isto indica que a transferência de calor ocorre no sentido de x caso este seja negativo a transferência de calor se dá no sentido oposto Naturalmente o mesmo vale para q00 r nos sistemas polares 423 Condição de contorno de Neumann 2o tipo A condição de contorno de Neumann corresponde a especificar o fluxo de calor na su perfície do corpo Para problemas unidimensionais isto equivale a especificar o fluxo de calor em duas posições x x1 e x x2 para o sistema cartesiano ou r r1 e r r2 para os sistemas polares Conhecendo o fluxo de calor entrando em um corpo delimitado por x1 x x2 no sistema cartesiano as condições de contorno são escritas na seguinte forma µ k dT dx xx1 q00 entrando1 µ k dT dx xx2 q00 entrando2 413a Nos sistemas cilíndrico e esférico uma situação análoga para um corpo delimitado Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 44 por r1 r r2 é escrita na seguinte forma µ k dT dr rr1 q00 entrando1 µ k dT dr rr2 q00 entrando2 413b Um ponto que devese atentar em relação a condições de contorno de Neumann é que o balanço de energia deve ser sempre satisfeito Para regimes transientes isto não tornase um grande problema pois a energia interna do sistema e portanto a tempera tura pode variar com o tempo Todavia em regime permanente o balanço energético requer que a taxa de transferência de calor líquida para dentro do sistema mais a taxa de geração interna se iguale a zero Se o balanço energético não for satisfeito isto significa que o problema não pode estar em regime permanente Para problemas unidimensionais o calor entrando em um lado menos o calor saindo do outro mais a energia gerada tem que resultar em zero Se a taxa de geração de energia for nula a taxa de ganho de calor em uma superfície tem que ser igual a taxa de perda de calor na outra superfície Ou seja para g 000 0 A1 q00 entrando1 A2 q00 entrando2 A2 q00 saindo2 A1 q00 saindo1 414 onde as áreas A1 e A2 representam as áreas perpendiculares ao fluxo de calor nas fron teiras do corpo x1 e x2 para o sistema cartesiano e r1 e r2 para os sistemas polares Para uma parede plana a área é constante resultando em q00 entrando1 q00 saindo2 415 Para um parede cilíndrica em regime em permanente sem geração de energia devese respeitar r1 q00 entrando1 r2 q00 saindo2 416 enquanto para uma parede esférica nas mesmas condições devese respeitar r 2 1 q00 entrando1 r 2 2 q00 saindo2 417 424 Condição de contorno de Robin 3o tipo Condições de contorno de Robin também envolvem a especificação de fluxos de calor no contorno porém estes dependem da temperatura através da Lei de Resfriamento de Newton Como o nome diz a lei é de resfriamento lembrando que esta fornece então o calor perdido por uma superfície de acordo com a fórmula q00 saindo h T Tf 418 onde a temperatura T é a temperatura na superfície e Tf é a temperatura do fluido O Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 45 fator h é o coeficiente de transferência de calor por convecção o qual é sempre positivo Observe portanto que para um fluido mais quente que a superfície o valor de q00 saindo tornase negativo indicando que a superfície está recebendo calor do fluido Assim sendo para um corpo delimitado por x1 x x2 no sistema cartesiano tro cando calor com fluidos 1 e 2 de ambos os lados as condições de contorno são escritas na seguinte forma µ k dT dx xx1 q00 entrando1 q00 saindo1 h1T x1Tf 1 419a µ k dT dx xx2 q00 entrando2 q00 saindo2 h2T x2Tf 2 419b Nos sistemas cilíndrico e esférico uma situação análoga para um corpo delimitado por r1 r r2 é escrita na seguinte forma µ k dT dr rr1 q00 entrando1 q00 saindo1 h1T r1Tf 1 420a µ k dT dr rr2 q00 entrando2 q00 saindo2 h2T r2Tf 2 420b 43 Condução 1D permanente em paredes planas e curvas 431 Parede plana Paredes planas são encontradas uma variedade de aplicações O diagrama para este tipo de situação com condições de Dirichlet é mostrado na figura 41 Figura 41 Representação de condução em uma parede plana com condições de con torno de Dirichlet A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente com k Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 46 constante no sistema de coordenadas cartesiano tem a seguinte solução geral T x g 000 0 2k x2 C1 x C2 421a q00 x k dT dx g 000 0 x kC1 421b Condições de Dirichlet Com condições de contorno de Dirichlet dadas por T 0 T0 e T L TL 422a a solução para a distribuição de temperatura resulta em T x g 000 0 2k x2 µ g 000 0 L 2k TL T0 L x T0 422b e o fluxo de calor é dado por q00 x k dT dx g 000 0 x µ g 000 0 L 2 k TL T0 L 422c 432 Parede curva cilindro oco Paredes curvas podem ser encontradas em tubulações e reservatórios esféricos ou com parte esférica O diagrama para este tipo de situação com condições de Dirichlet é mostrado na figura 42 Figura 42 Representação de condução em uma parede curva com condições de con torno de Dirichlet A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente com k Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 47 constante no sistema de coordenadas cilíndrico tem a seguinte solução geral T r g 000 0 4k r 2 C1 logrC2 423a q00 r k dT dr g 000 0 r 2 k r C1 423b Condições de Dirichlet Com condições de contorno de Dirichlet dadas por T Ri Ti e T Re Te 424a a solução para a distribuição de temperatura resulta em T r g 000 0 4k r 2 Te Ti g 000 0 R2 e R2 i 4k logr logReRi Ti logReTe logRi logReRi g 000 0 R2 i logReR2 e logRi 4k logReRi 424b e o fluxo de calor é dado por q00 r g 000 0 2 r k Te Ti g 000 0 R2 e R2 i 4k 1 r logReRi 424c 433 Parede curva esfera oca A equação da condução unidimensional de calor em regime permanente com k cons tante no sistema de coordenadas esférico tem a seguinte solução geral T r g 000 0 6k r 2 C1 r C2 425a q00 r k dT dr g 000 0 r 3 k r 2 C1 425b Condições de Dirichlet Com condições de contorno de Dirichlet dadas por T Ri Ti e T Re Te 426a a solução para a distribuição de temperatura resulta em T r g 000 0 6k r 2 µ Te Ti Re Ri g 000 0 Re Ri 6k Re Ri r Re Te Ri Ti Re Ri g 000 0 R2 i Re Ri R2 e 6k 426b Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 48 e o fluxo de calor é dado por q00 r g 000 0 3 r k µ Te Ti Re Ri g 000 0 Re Ri 6k Re Ri r 2 426c 44 Condução 1D permanente em corpos maciços As soluções para os casos de condução de calor em corpos maciços estão associadas a casos onde o fluxo de calor pela origem é nulo 441 Cilindro maciço Analisando o caso do cilindro maciço como o módulo de logr tende a infinito para r 0 é necessário que a constante C1 na equação 423a seja nula para que uma solução realística seja obtida Então a solução para o problema de condução de calor é reescrita na seguinte forma T r g 000 0 4k r 2 C2 para 0 r R 427a e o fluxo de calor é dado por q00 r g 000 0 2 r 427b onde devese ressaltar que o fluxo não depende da constante C2 e portanto da condição de contorno aplicada em r R Condição de contorno de Dirichlet em r R Quando a temperatura na superfície cilíndrica é dada pela condição de contorno de Dirichlet T R TR 428a a distribuição de temperatura é expressa na forma T r g 000 0 4k r 2 R2TR 428b A expressão acima fornece um perfil parabólico de temperatura em r Entretanto se a geração de energia for nula percebese que a solução constante é obtida T r TR 428c e o fluxo de calor resultante é nulo De fato isto já era esperado uma vez que não há energia gerada nem acumulada e todo o contorno do corpo é mantido a mesma Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 49 temperatura TR 442 Esfera maciça Para o caso de uma esfera maciça como r 1 tende a infinito para r 0 a constante C1 na equação 425a deve ser igual a zero Desta forma a solução é reduzida a T r g 000 0 6k r 2 C2 para 0 r R 429a e o fluxo de calor é dado por q00 r g 000 0 3 r 429b onde novamente devese ressaltar que o fluxo não depende da constante C2 e portanto da condição de contorno aplicada em r R Condição de contorno de Dirichlet em r R Se a temperatura na superfície esférica for dada pela condição de contorno de Dirichlet T R TR 430a a distribuição de temperatura é expressa na forma T r g 000 0 6k r 2 R2TR 430b A expressão acima fornece um perfil parabólico de temperatura em r Entretanto se a geração de energia for nula percebese que a solução constante é obtida T r TR 430c e o fluxo de calor resultante é nulo De fato isto já era esperado uma vez que não há energia gerada nem acumulada e todo o contorno do corpo é mantido a mesma temperatura TR 443 Análogo em coordenadas cartesianas parede isolada em um lado Para uma parede plana isolada em x 0 a constante C1 na solução dada pela equa ção 421a é nula resultando em T x g 000 0 2k x2 C2 para 0 x L 431a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 50 e o fluxo de calor é dado por q00 x g 000 0 x 431b onde igual observado em corpos esféricos e cilíndricos maciços devese ressaltar que o fluxo não depende da constante C2 e portanto da condição de contorno aplicada em x L Condição de contorno de Dirichlet em x L Quando a temperatura na superfície x L é dada pela condição de contorno de Dirichlet T L TL 432a a distribuição de temperatura é expressa na forma T x g 000 0 2k x2 L2TL 432b A expressão acima fornece um perfil parabólico de temperatura em x Entretanto se a geração de energia for nula percebese que a solução constante é obtida T x TL 432c e o fluxo de calor resultante é nulo De fato isto já era esperado uma vez que não há energia gerada nem acumulada e todo o contorno do corpo é mantido à mesma temperatura TL Exercícios 41 Calcule a distribuição de temperatura T x e o fluxo de calor q00 x para o problema de condução unidimensional permanente em uma parede plana com proprieda des e geração de energia constantes para as nove possíveis combinações de con dições de contorno como descrito abaixo a T 0 T0 T L TL b T 0 T0 k T 0L q00 L c T 0 T0 k T 0L h T LTf d k T 00 q00 0 T L TL e k T 00 q00 0 k T 0L q00 L f k T 00 q00 0 k T 0L h T LTf g k T 00 h T 0Tf T L TL Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 51 h k T 00 h T 0Tf k T 0L q00 L i k T 00 h0 T 0Tf 0 k T 0L hL T LTf L Explique o que ocorre de diferente no caso 41e Resposta 42 Calcule a distribuição de temperatura T r e o fluxo de calor para o problema de condução unidimensional permanente sem geração para os quatro casos de pa redes curvas a parde cilíndrica com temperatura conhecida no lado interno e conveção no externo b parede cilíndrica com um fluxo de calor conhecido no lado externo e convecção no lado interno c parede esférica com temperatura co nhecida no lado interno e um fluxo de calor prescrito no lado externo d parede esférica isolada de um lado e com convecção no outro Resposta 43 Resolva a equação de condução de calor unidimensional permanente sem geração de energia para um cilindro com raios interno e externos Ri e Re As tempera turas nas superfícies interna e externa são mantidas a Ti e Te respectivamente Considere propriedades constantes Calcule também os fluxos de calor e a taxa de transferência de calor nas superfícies interna e externa Considere que o cilindro tem comprimento L Resposta 44 Resolva a equação da condução de calor unidimensional permanente em uma es fera oca com raios interno e externos Ri e Re considerando propriedades cons tantes e geração de energia uniforme As temperaturas nas superfícies interna e externa são mantidas a Ti e Te Forneça a distribuição de temperatura o fluxo de calor e a taxa de transferência de calor na direção radial Resposta 45 Repita o problema anterior para uma parede cilíndrica ou seja um cilindro oco e um parede esférica esfera oca Resposta 46 Encontre a distribuição de temperatura T r em um cilindro oco sem geração de energia recebendo calor uniformemente à taxa Qe em sua superfície externa r re Considere também que a superfície interna r ri troca calor com um fluido à temperatura Tf com coeficiente convectivo h Mostre que a taxa de transferência de calor para o fluido na superfície interna é Qe e calcule o valor da temperatura nesta superfície T Ri Resposta 47 Encontre a distribuição de temperatura T r em uma esfera e em um cilindro longo ambos maciços com raios re com propriedades constantes imersos em um fluido a temperatura Tf Calcule também a taxa de transferência de calor nas superfícies destes corpos Analise os casos sem geração de energia e com geração uniforme Resposta 48 Considere a condução de calor em regime permanente em uma parede plana de espessura L área transversal A e propriedades constantes Há geração de calor uniforme g 000 0 na parede Dado que a superfície à esquerda x 0 encontrase Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 52 à temperatura T0 e que a superfície à direita x L troca calor com um fluido coeficiente convectivo h à T1 a Calcule a temperatura o fluxo de calor ao longo da espessura da parede as sim como a taxa de transferência de calor b Simplifique as expressões obtidas no item anterior para casos sem geração de energia c Analise dois casos simplificados sem geração de energia h 1 e h 0 Qual seria a distribuição de temperatura nestes casos Resposta 49 Repita o problema anterior com diferentes condições de contorno Considere que a superfície à esquerda encontrase isolada termicamente e que a superfície à di reita troca calor com um fluido coeficiente convectivo h à Tf a Refaça os itens do problema anterior para os dados considerados neste pro blema b Indique para casos com geração finita de energia qual a condição no valor de h para que exista um regime permanente Resposta 410 Considere o problema de condução unidimensional permanente sem geração de energia em uma parede plana de espessura L e área transversal A Ao lado es querdo da parede uma vazão de calor Q0 constante é aplicada e ao lado direito a parede troca calor com um fluido a temperatura Tf a Partindo de um balanço de energia para a parede toda 0 x L calcule a temperatura da parede em x L b Utilizando um balanço de energia em um pedaço de parede de espessura x calcule o fluxo de calor em uma posição qualquer q00 xx c Utilizando a Lei de Fourier obtenha a distribuição de temperatura na parede T x a partir do fluxo de calor Resposta 411 O processo de fermentação é uma reação bioquímica exotérmica que transforma açucares em álcool Considere uma solução de açúcar de condutividade térmica k que fermenta em um reservatório cilíndrico paredes muito finas de altura H e diâmetro D cheio até o topo O reservatório está em uma câmara à temperatura Tf e o coeficiente de transferência de calor por convecção através de suas laterais é h Considere que a base e o topo do reservatório estão isolados termicamente de modo que o problema apenas dependa da coordenada radial r Sabendo que em regime permanente a temperatura do centro do reservatório r 0 é T0 calcule Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 4 Condução unidimensional em regime permanente 53 a A taxa de geração volumétrica g 000 a qual pode ser assumida uniforme b A temperatura da superfície do reservatório T D2 Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 5 Resistências térmicas Versão 039 090913 51 Condução 1D permanente sem geração de energia 511 Parede plana Em uma parede plana utilizamse coordenadas cartesianas e desta forma a equação da condução de calor utilizando as hipóteses consideradas é reduzida à forma abaixo d dx µ k dT dx g 000 0 0 para x1 x x2 51 Cuja solução é dada por T x g 000 0 2k x2 c1 x c2 52 Onde as constantes necessitam ser determinadas a partir das condições de contorno Considerando o caso sem geração de energia a distribuição de temperatura tornase linear T x c1 x c2 53 Quando as temperaturas nas superfícies da esquerda x1 e da direita x2 são conhe cidas condição de contorno de Dirichlet valendo T x1 T1 e T x2 T2 54 as constantes são determinadas e a distribuição de temperatura é dada por T x T2 T1 x x1 x2 x1 T1 55 54 5 Resistências térmicas 55 Na ausência de geração interna de energia o fluxo de calor na direção x é constante q00 x k dT dx k T1 T2 x2 x1 56 Desta forma para obter a taxa de transferência de calor nesta direção basta integrar na superfície perpendicular ao fluxo Qx Z Ax q00 x dA q00 x Ax 57 a qual fornece o resultado anterior porque devido a hipótese de transmissão unidi mensional de calor o fluxo não pode variar na área superficial Ax como é exibido na integração abaixo Z Ax q00 x dA Zz2 z1 Zy2 y1 q00 x dy dz y2 y1z2 z1 q00 x q00 x Ax 58 Substituindo a expressão para o fluxo de calor obtémse Qx y2 y1z2 z1k T1 T2 x2 x1 59 Reconhecendo que x2x1 y2y1 e z2z1 são comprimento L largura W e altura H respectivamente escrevese Qx W H k T1 T2 L 510 512 Parede cilíndrica cilindro oco Em uma parede cilíndrica utilizamse coordenadas polarescilíndricas e desta forma a equação da condução de calor utilizando as hipóteses consideradas é reduzida à forma abaixo 1 r d dr µ k r dT dr g 000 0 0 para r1 r r2 511 Cuja solução é dada por T r g 000 0 4k r 2 c1 logr c2 512 onde as constantes são determinadas a partir das condições de contorno Considerando o caso sem geração interna de energia a distribuição de temperatura tornase logarít mica T r c1 logr c2 513 Diferente do caso da parede plana para o cilindro dois casos devem ser analisados Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 56 O primeiro é o de um cilindro oco ou casca cilíndrica representado por corpos com r1 6 0 O caso com r1 0 corresponde a cilindros maciços onde fisicamente não existe uma superfície em r1 Para cilindros ocos existem duas superfícies em r r1 e r r2 Quando as tempera turas nestas superfícies são conhecidas condição de contorno de Dirichlet valendo T r1 T1 e T r2 T2 514 a distribuição de temperatura resultante é dada por T r T1 T2 logrr2 logr1r2 T2 515 De acordo com o resultado anterior observase que o fluxo de calor na direção r é inversamente proporcional ao raio q00 r k dT dr k r T1 T2 logr2r1 516 Assim para obter a taxa de transferência de calor nesta direção basta integrar na super fície perpendicular ao fluxo Qr Z Ar q00 r dA q00 r Ar 517 que fornece o resultado anterior porque devido a hipótese de transmissão unidimensi onal de calor o fluxo não poder variar na área superficial Ar como é exibido na inte gração abaixo Z Ar q00 r dA Zz2 z1 Z2º 0 q00 r r dµdz 2ºr z2 z1 q00 r q00 r Ar 518 Logo podese perceber que por mais que a área Ar cresça com o raio que para qualquer superfície em qualquer raio r a taxa de transferência de calor Qr permanece constante Substituindo a expressão para o fluxo de calor obtémse Qr 2ºz2 z1k T1 T2 logr2r1 519 Reconhecendo que z2 z1 é a altura H do cilindro escrevese Qr 2ºH k T1 T2 logr2r1 520 513 Parede esférica esfera oca Em uma parede esférica utilizamse coordenadas polaresesféricas e desta forma a equação da condução de calor utilizando as hipóteses consideradas é reduzida à forma Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 57 abaixo 1 r 2 d dr µ k r 2 dT dr g 000 0 0 para r1 r r2 521 Cuja solução é dada por T r g 000 0 6k r 2 c1 r c2 522 Como ocorre em cilindros em esferas também existem dois casos esferas ocas e maci ças Esferas ocas tem r1 6 0 e portanto possuem uma superfície interna enquanto em esferas maciças r1 0 e portanto o corpo não possui uma superfície interna Para esferas ocas ou paredes esféricas quando as temperaturas nas superfícies in terna r1 e externa r2 forem conhecidas condição de contorno de Dirichlet dadas por T r1 T1 e T r2 T2 523 a distribuição de temperatura é dada por T r T2 T1 r r1 r2 r1 r2 r T1 524 De acordo com a solução obtida o fluxo de calor na direção r é inversamente pro porcional ao quadrado do raio q00 r k dT dr k T1 T2 r2 r1 r1 r2 r 2 k r 2 T1 T2 1r11r2 525 Para obter a taxa de transferência de calor nesta direção basta integrar na superfície perpendicular ao fluxo Qr Z Ar q00 r dA q00 r Ar 526 que fornece o resultado anterior porque devido a hipótese de transmissão unidimensi onal de calor o fluxo não poder variar na área superficial Ar como é exibido na inte gração abaixo Z Ar q00 r dA Z2º 0 Zº 0 q00 r r 2 senddµ 4ºr 2 q00 r q00 r Ar 527 Logo podese perceber que por mais que a área Ar cresça com o quadrado do raio que para qualquer superfície em qualquer raio r a taxa de transferência de calor Qr permanece constante Substituindo a expressão para o fluxo de calor obtémse Qr 4º k T1 T2 1r11r2 4ºr1 r2 k T1 T2 r2 r1 528 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 58 52 Definição de Resistência Térmica O conceito de resistência térmica tornase bastante útil em casos de condução de calor unidimensional em regime permanente ou estacionária sem geração interna de ener gia Isto se deve ao fato de sob estas condições em qualquer superfície perpendicular à direção da transferência de calor a taxa de transferência de calor é sempre a mesma isto é facilmente verificado fazendo um balanço energético A resistência térmica é definida como R Tn Qn T A1 T A2 Q12 T1 T2 Q12 529 onde a seta indica o sentido da taxa transferência de calor Para coordenadas cartesianas com a direção de transferência de calor sendo dada por x R Tx Qx T x1T x2 Qx 530 Para coordenadas cilíndricas ou esféricas com a direção de transferência de calor sendo dada por r R Tr Qr T r1T r2 Qr 531 521 Resistência térmica de condução Parede plana Como calculado anteriormente a taxa de transferência de calor de x1 para x2 em uma parede plana é dada por Q12 Qx W H k T1 T2 L Ax k T1 T2 L 532 Utilizando a definição de resistência térmica obtémse para a parede plana Rcond L k W H L k Ax 533 Parede cilíndrica Como calculado anteriormente a taxa de transferência de calor de r1 para r2 em uma parede cilíndrica é dada por Q12 Qr 2ºH k T1 T2 logr2r1 Ar k 1 r T1 T2 logr2r1 534 onde Ar 2ºr H Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 59 Utilizando a definição de resistência térmica obtémse para a parede cilíndrica Rcond logr2r1 2ºk H r logr2r1 k Ar 535 Parede esférica Como calculado anteriormente a taxa de transferência de calor de r1 para r2 em uma parede esférica é dada por Q12 Qr 4º k T1 T2 1r11r2 Ar k 1 r 2 T1 T2 1r11r2 4ºr1 r2 k T1 T2 r2 r1 536 onde Ar 4ºr 2 Utilizando a definição de resistência térmica obtémse para a parede esférica Rcond 1 4ºk µ 1 r1 1 r2 r2 r1 4ºr2 r1 k r 2 k Ar µ 1 r1 1 r2 537 522 Resistência térmica de convecção Lembrando que o conceito de resistência térmica é definido por R T A1 T A2 Q12 T1 T2 Q12 538 e lembrando também que para calcular a taxa de transferência de calor por convecção entre um fluido e uma superfície sólida podese utilizar a lei de resfriamento de Newton escrevese q00 12 h T1 T2 539 Onde T1 e T2 são as temperaturas da superfície sólida e do fluido porém não necessari amente nesta ordem Considerando uma superfície trocando calor com um fluido à sua direita obtémse q00 sf h Ts Tf 540 e considerando uma superfície com um fluido à sua esquerda escrevese q00 f s h Tf Ts 541 Considerando que h Tf e Ts são constantes na superfície sólida a taxa de transfe rência de calor é dada por Qsf hAs Ts Tf ou Q f s hAs Tf Ts 542 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 60 onde As é a área da superfície sólida Para ambos os casos a resistência térmica de transferência de calor por convecção é dada por Rconv Ts Tf Qsf 1 hAs 543 Rconv Tf Ts Q f s 1 hAs 544 Em uma parede plana a resistência térmica de convecção é dada por Rconv 1 hAx 1 W H h 545 Todavia ao calcular resistências térmicas convectivas devese estar atento ao fato de em paredes curvas cilíndricas e esféricas a área superficial variar com o raio Em superfí cies cilíndricas e esféricas a resistência térmica por convecção é dada respectivamente por Rconv 1 hAr 1 2ºr H h 546 Rconv 1 hAr 1 4ºr 2 h 547 523 Resistência térmica de radiação Utilizando uma linearização para a transferência líquida radiativa entre duas superfí cies o fluxo de calor é aproximado por q00 rad hr Ts1 Ts2 548 Considerando que hr Ts1 e Ts2 são constantes para paredes planas podese escrever a taxa de transferência de calor entre estas superfícies como Qrad12 hr As Ts1 Ts2 549 onde As é a área da superfície 1 ou 2 As1 As2 W H Todavia para paredes curvas as áreas não são iguais e pode haver dúvida em relação a área de qual superfície será utilizada no cálculo Este assunto será coberto em mais detalhes durante o estudo de trocas radiativas entre superfícies Por agora podese considerar aproximadamente para radiação que a menor das áreas é utilizada na expressão para calcular a taxa de transferência de calor Desta forma a expressão para a resistência térmica para transferência de calor por radiação é dada por Rrad Ts1 Ts2 Q12 1 hr As 550 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 61 524 Resistência térmica de contato Na interface entre dois meios sólidos pode haver contato térmico perfeito ou imper feito No caso de contato térmico perfeito existe continuidade de temperatura e fluxo de calor ou seja T c T c e q00 c q00 c 551 Onde os sinais negativo e positivo indicam o valor de quantidades à esquerda e à direita do ponto de contato respectivamente Na presença de contato térmico imperfeito na interface haverá uma descontinuidade de temperaturas ou seja T c 6 T c 552 porém o fluxo de calor necessita ser contínuo pois um balanço energético na interface resulta em fluxos iguais de ambos os lados Para quantificar o fluxo de calor em uma imperfeição de contato utilizase um coeficiente de transferência de calor através do contato imperfeito hc q00 c q00 c q00 c hc T c T c 553 onde o fluxo é calculado no sentido de para A expressão acima deve valer também para contato térmico perfeito e nestes casos o coeficiente hc é infinito para garantir que as temperaturas T c e T c sejam iguais hc 1 T c T c 554 Havendo uma expressão para calcularse o fluxo de calor através do contato imper feito a taxa de transferência de calor assumindo que hc T c e T c sejam constantes na interface é dada por Qc Qcc hc AcT c T c 555 onde Ac é a área de contato Baseado na expressão anterior escrevese uma resistência térmica devido ao contanto imperfeito resistência térmica de contato R T c T c Qc 1 hc Ac 556 53 Aplicação de resistências térmicas Como motivação para o uso de resistências térmicas considere o exemplo de uma pa rede plana trocando calor com um escoamento fluido 1 à esquerda e outro fluido Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 62 2 à direita A definição de resistência térmica fornece Tx Qx R ou Qx Tx R 557 Em termos das diferenças de temperaturas envolvidas podese escrever Tf 1 T1 R1conv T1 T2 Rcond T2 Tf 2 R2conv Qx 558 Escrevendo a taxa de transferência de calor utilizando uma resistência térmica total ou equivalente obtémse Tf 1 Tf 2 Rtot Qx 559 Então eliminando T1 e T2 das equações anteriores podese mostrar que Qx Tf 1 Tf 2 R1conv Rcond R2conv 560 ou seja Rtot R1 conv Rcond R2 conv 561 Desta forma tanto a taxa de transferência de calor e as temperaturas internas T1 e T2 podem ser facilmente determinadas No exemplo anterior mostrouse que a resis tência total ou equivalente pôde ser determinada somando as resistências individuais Isto sempre ocorre para este tipo de arranjo denominado em série 54 Cálculo de resistência equivalente ou total No exemplo da Seção 53 exibiuse uma aplicação de resistências térmicas para um ar ranjo em série Como será visto agora para problemas de transferência de calor por condução unidimensional permanente sem geração de energia a utilização de resistên cias térmicas tornase bastante prática O primeiro passo é imaginar o problema em questão como um circuito térmico aná logo à um circuito elétrico Neste circuito a taxa de transferência de calor equivale à corrente elétrica enquanto as diferenças de temperatura equivalem às diferenças de potencial elétrico Desta forma entre cada par de diferentes temperaturas podese des tacar uma resistência térmica através da qual o calor é transmitido Naturalmente isto só pode ser feito com tamanha simplicidade em condução unidimensional ou em pro blemas que possam ser aproximados como sendo unidimensionais Circuitos térmicos em série aparecem sempre que entre dois pontos ou seja duas temperaturas só existir um caminho pelo qual o calor pode se propagar A figura 51 apresenta um exemplo de um circuito em série Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 63 Figura 51 Circuito térmico representação de resistências em série Quando houver mais de uma rota para a propagação de calor circuitos em paralelo ocorrem como mostra o exemplo da figura 52 Nestes casos em cada uma das resis Figura 52 Circuito térmico representação de resistências em paralelo tências em paralelo passará uma parcela do calor total que é trocado entre T1 e T2 Naturalmente em arranjos mais elaborados uma combinação de subcircuitos em série e em paralelo podem formar um circuito maior De qualquer forma em qualquer tipo de circuito térmico é possível calcularse a taxa de transferência de calor entre duas temperaturas calculandose a resistência equivalente entre estas temperaturas 541 Resistências em série Para resistências em série a resistência equivalente é calculada simplesmente somando se as resistências individuais Req nX i1 Ri 562 Resistências térmicas em série são comumente encontradas em paredes compósitas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 64 opacas1 formadas por diferentes camadas Nestes casos a resistência equivalente da parede é calculada somando as resistências de todas as camadas 542 Resistências em paralelo Para resistências em paralelo a resistência equivalente é calculada simplesmente calcu lando o inverso da soma das resistências individuais invertidas Req nX i1 Ri1 1 563 Diferentes tipos de configuração podem dar origem a resistências em paralelo Em meios translúcidos ou transparentes o calor pode se propagar devido ao contato mo lecular ou seja por condução ou convecção e também por radiação Nestas confi gurações existem dois caminhos paralelos por onde o calor se propaga um por radia ção e outro por convecção ou condução dependendo se há movimento além do nível molecular no meio A resistência equivalente pode então ser calculada utilizando a equação 563 Outras configurações onde resistências térmicas em paralelo podem ser encontradas são paredes compósitas onde diferentes materiais são utilizados em cada camada Desta forma o calor pode propagarse por condução através de diferentes meios mais de um caminho em cada camada Assim nas camadas compostas por diferentes materi ais circuitos em paralelo são encontrados portanto calculase a resistência equivalente destas camadas utilizando a equação 563 Exercícios 51 Considere a condução de calor em regime permanente em uma parede plana de espessura L área transversal A e propriedades constantes Dado que a superfície à esquerda x 0 encontrase à temperatura T0 e que a superfície à direita x L troca calor com um fluido coeficiente convectivo h à T1 calcule a resistência térmica entre as temperaturas T0 e T1 Resposta 52 Qual é a vantagem de se utilizar resistências térmicas Para que tipo de problemas estas podem efetivamente serem utilizadas Resposta 53 Mostre para um circuito com três resistências térmicas uma parede trocando ca lor com convecção nos dois lados que a resistência total ou equivalente é igual a soma das resistências de cada porção fluido 1 parede e fluido 2 Resposta 54 Mostre que a resistência térmica total é igual a soma das resistências individuais para o caso com resistências térmicas em série Resposta 1No caso de paredes transparentes pode haver transferência de calor por dois caminhos um por condução e outro por radiação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 65 55 Mostre que a resistência térmica total é igual ao inverso da soma dos inversos das resistências individuais para o caso com resistências térmicas em paralelo Resposta 56 Análise a condução de calor em uma garrafa térmica desprezando efeitos de cur vatura da garrafa Considere que as temperaturas do fluido dentro da garrafa um líquido qualquer e fora da garrafa ar são conhecidas e constantes e que a parede da garrafa é composta por duas camadas sólidas propriedades conheci das separadas por um espaço com vácuo Calcule a taxa de transferência de calor Resposta 57 A transferência de calor em uma garrafa térmica pode ser analisada considerando a condução de calor unidimensional em regime permanente sem geração interna de energia através de duas paredes cilíndricas concêntricas cilindros ocos de espessuras LA e LB separadas por uma distância As condutividades térmicas das duas paredes são constantes dadas por kA e kB a altura da garrafa é H e o diâmetro interno da garrafa é Di Sabese que na superfície interna da garrafa ou seja a superfície interna da parede interna localizada em r Di2 a temperatura é Ti assim como na superfície externa ou seja a superfície externa da parede externa localizada em r Di2LA LB a temperatura é Te a Assumindo que no espaço entre as duas paredes cilíndricas há transferência de calor por convecção apenas h constante obtenha uma expressão para a taxa de transferência de calor entre o conteúdo da garrafa e o ambiente externo em função das temperaturas Ti e Te b Para casos onde as espessuras das paredes e o espaçamento entre estas seja muito menor que o diâmetro Di uma aproximação para paredes planas pode ser feita Considerando esta hipótese e assumindo agora que no espaço entre as paredes existe transferência de calor por convecção e radiação hc e hr constantes repita o cálculo feito no item anterior Resposta 58 O problema da determinação da espessura de isolamento a ser utilizada em corpos cilíndricos tubulações fiação elétrica etc pode ser analisado considerando a camada isolante como um cilindro oco onde há condução 1D permanente sem geração de energia Os raios interno e externo da camada isolante são ri e re o comprimento é L e a condutividade térmica é k a Sabendo que a temperatura em ri é conhecida T ri Ti e que a superfície externa r re troca calor por convecção com um fluido temperatura Tf e coeficiente convectivo h calcule a taxa de transferência de calor Qr através do camada isolante Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 5 Resistências térmicas 66 b Sabendo que Rcond cresce com re e que Rconv diminui com re existirá um ponto re rcr a partir do qual um aumento de re aumenta a resistência total Rtot e antes do qual a Rtot diminui com re crescente Determine o valor de rcr Resposta 59 Considere uma parede plana compósita formada por duas camadas sólidas com resistências térmicas RA e RB Calor é gerado a uma taxa constante Eg na interface entre as duas paredes de forma que cada camada recebe uma parcela desta ener gia Considerando que a temperatura das superfícies externas são TA e TB e que a temperatura da interface é Ti pedese a Calcule a temperatura da interface em função das temperaturas TA TB das resistências térmicas e de Eg b Calcule a vazão de calor que atravessa cada camada em função de TA TB das resistências térmicas e de Eg c Verifique para TA TB que as vazões de calor acima calculadas independem de TA ou de TB Resposta 510 Considere o problema de condução unidimensional permanente sem geração de energia em uma parede plana de espessura L e área transversal A Ao lado es querdo da parede uma vazão de calor Q0 constante é aplicada e ao lado direito a parede troca calor com um fluido a temperatura Tf Resolva o problema dado partindo da equação da condução unidimensional permanente chegando assim à distribuição de temperatura T x Forneça a resistência térmica para um pedaço da parede de espessura x Mostre que a distribuição de temperatura T x pode ser obtida utilizando esta resistência térmica sem a necessidade de resolverse a equação diferencial como feito anteriormente Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 6 Transferência de calor em aletas Versão 0311 140513 61 Introdução Aletas são superfícies estendidas para intensificar a transferência de calor A figura 61 apresenta um exemplo de uma superfície aletada utilizada para resfriamento de CPUs Figura 61 Superfície aletada par utilização em resfriamento de CPUs Aletas podem ser encontradas em diversas aplicações onde necessitase de inten sificação térmica A figura 62 apresenta uma foto de um cilindro de motor de moto aletado para resfriamento pelo ar ambiente Aletas também podem ser encontradas em uma variedade de formas geométricas A figura 63 apresenta alguns tipos de diferentes de geometrias encontradas em aletas 62 Equação para condução de calor em aletas 621 Aletas axiais Aletas axiais têm uma base plana e se estendem em uma direção um eixo ou direção axial perpendicular à base O balanço energético considerando a direção x como eixo é feito considerando o volume de controle da figura 64 O balanço transiente para este 67 6 Transferência de calor em aletas 68 Figura 62 Cilindro de motor de moto aletado Figura 63 Aletas com diferentes geometrias de placa ab radial c e de pino d volume de controle pode ser escrito na forma dU dt Qx Qxx Qsaiconv 61 A taxa de transferência de calor em xx pode ser escrita em função da mesma taxa em x utilizando uma expansão em Série de Taylor Qxx Qx Qx x x 2 Qx x2 x2 2 3 Qx x3 x3 3 4 Qx x4 x4 4 62 Considerando que x é pequeno os termos de ordem maior e igual a 2 são desprezados e podese escrever Qxx º Qx Qx x x 63 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 69 Figura 64 Elemento de uma aleta volume de controle Substituindo as grandezas envolvidas na equação anterior u t ΩV Qx x x Qsaiconv 64 u t ΩAx x Qx x x Qsaiconv 65 u t ΩAx x x Ax q00 x x As q00 saiconv 66 onde Ax é a área plana paralela à base da aleta perpendicular à direção x Utilizando a Lei de Fourier e a Lei de Resfriamento de Newton u t ΩAx x x µ Ax k T x x As h T Tf 67 u t ΩAx x x µ Ax k T x x Px x h T Tf 68 Simplificando chegase à seguinte expressão Ω c T t Ax x µ k Ax T x Px h T Tf 69 Para aletas de seção transversal ou perpendicular constante Ax e Px são constantes e a equação é simplificada para Ω c T t x µ k T x Px h Ax T Tf 610 Outra simplificação normalmente feita em aletas é de regime permanente onde o termo transiente T t tornase nulo 622 Aletas radiais Aletas radiais têm geometria circular tendo a forma de uma seção de disco as quais podem ser colocadas em tubulações dutos circulares ou em torno sólidos com que possuam geometrias circulares A figura 65 apresenta exemplo de tubos com aletas radiais Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 70 Figura 65 Tubos aletados O balanço de energia para aletas radiais é escrito na seguinte forma dU dt Qr Qrr Qsaiconv 611 Substituindo as grandezas anteriores u t ΩAr r Qr r r Qsaiconv 612 u t ΩAr r r Ar q00 r r As q00 saiconv 613 onde Ar é a área curva paralela à base da aleta perpendicular a direção r Utilizando a Lei de Fourier e a Lei de Resfriamento de Newton u t ΩAr r r µ Ar k T r r As h T Tf 614 u t ΩAr r r µ Ar k T r r Pr r h T Tf 615 Simplificando chegase à seguinte expressão Ω c T t Ar r µ k Ar T r Pr h T Tf 616 mostrando que em aletas circulares também chegase à mesma equação que na Subse ção 621 Substituindo a relação para as áreas Ω c T t 2ºr H r µ k 2ºr H T r 4ºr h T Tf 617 Ω c T t 1 r r µ k r T r 2h H T Tf 618 Novamente devese ressaltar que outra simplificação normalmente feita em aletas é de regime permanente onde o termo transiente T t tornase nulo Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 71 63 Soluções aletas axiais com base isotérmica Como aletas são projetadas para trabalhar em regime permanente a análise é feita sem o termo transiente fazendo com que a equação 69 seja simplificada para d dx µ k Ax dT dx Px h T Tf 0 619 As condições de contorno são de temperatura fixa na base base isotérmica e con vecção na extremidade T 0 Tb k dT dx ØØØØ xL hT LTf 620 Para condutividade térmica constante a equação é simplificada d dx µ Ax dT dx Px h k T Tf 0 621 e para casos com área transversal Ax e perímetro Px constantes a equação é escrita em forma mais simples ainda d2T dx2 Px h Ax k T Tf 0 622 Normalmente introduzse o parâmetro m para simplificar a análise m2 Px h Ax k 623 levando à seguinte equação d2T dx2 m2 T Tf 0 624 Para facilitar a análise do problema introduzse a definição da temperatura adimen sional T Tf Tb Tf 625 permitindo que a equação e as condições de contorno sejam reescritas nas seguintes formas d2 dx2 m2 0 0 x L 626 0 1 627 d dx ØØØØ xL h k L 628 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 72 A solução da equação diferencial ordinária 626 pode ser escrita em diferentes for mas x c1 expm x c2 expm x 629 x c3 senhm x c4 coshm x 630 x c5 senhm L x c6 coshm L x 631 Para alternar entre as formas acima basta utilizar relações de funções trigonométricas hiperbólicas Utilizando as condições de contorno dadas pelas equações 627 e 628 as cons tantes são calculadas utilizando qualquer uma das formas acima e solução pode ser reescrita na forma compacta abaixo x h senhm L x k m coshm L x h senhm L k m coshm L 632 A taxa de transferência de calor proporcionada pela aleta pode ser obtida calculando a transferência de calor através da base da aleta visto que existe regime permanente e não há geração de energia Desta forma Qaleta é dado por Qaleta µ k Ax dT dx x0 k Ab Tb Tf µd dx x0 633 Utilizando o perfil de temperatura dado pela equação 632 obtémse Qaleta Ab Tb Tf k m h coshm L k m senhm L h senhm L k m coshm L 634 A solução acima apresentada é focada no caso com base isotérmica Uma solução similar pode ser obtida se uma condição de fluxo de calor constante na base for imposta Neste caso a condição de contorno na base mudaria para k dT dx ØØØØ x0 q00 b 635 onde q00 b é o fluxo de calor na base sendo dado nesta situação Para este caso a adi mensionalização da temperatura definida pela equação 625 não poderia ser feita pois a temperatura da base não é conhecida Para fazer a solução com base com fluxo de calor prescrito basta utilizar uma variável auxiliar dimensional µx T xTf 631 Simplificações para a condição de contorno na extremidade Nesta seção apresentamse outras alternativas para a condição de contorno na extremi dade da aleta que acabam simplificando a expressão para a distribuição de temperatura x Todas as soluções apresentadas são para áreas Ax e perímetros Px constantes Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 73 Extremidade adiabática Se for considerado que a área de transferência de calor na extremidade da aleta é bem menor que a área total superficial da aleta o que é comum para diferentes configura ções podese assumir que a perda de calor na extremidade é desprezível simplificando a condição de contorno em x L para d dx ØØØØ xL 0 636 Esta simplificação faz com que a distribuição de temperatura na aleta seja escrita na seguinte forma x coshm L x coshm L 637 o que também pode ser observado tomando a solução 632 e fazendo com que h 0 Desta forma a taxa de transferência de calor na aleta é dada por Qaleta Ab k m Tb Tf senhm L coshm L Ab k m Tb Tf tanhm L 638 Extremidade com temperatura igual a do fluido Se a aleta for suficientemente comprida é possível assumir que a extremidade dela encontrase à mesma temperatura do fluido Neste caso a condição de contorno em x L é escrita como L 0 639 Utilizando as condições de contorno 627 e 639 a distribuição de temperatura resul tante é dada por x senhm L x senhm L 640 e taxa de transferência de calor na aleta é dada por Qaleta Ab k m Tb Tf coshm L senhm L Ab k m Tb Tf cothm L 641 Aleta infinita Para aletas longas temse a opção de aproximar a solução pela solução com L 1 ou seja em uma aleta infinita A condição de contorno neste caso é que a temperatura permaneça finita com L tendendo a infinito pois se a temperatura cresce infinitamente uma solução fisicamente impossível é obtida para o problema da aleta Esta condição Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 74 de contorno é então dada por lim L1L 1 642 Isto requer que a constante c1 na equação 629 seja nula Utilizando a condição de contorno na base 627 a distribuição de temperatura é dada por x expm x 643 e consequentemente a taxa de transferência de calor na aleta é dada por Qaleta Ab k m Tb Tf 644 64 Eficiência e efetividade de aletas A efetividade de uma aleta é definida como aleta Qaleta Qbasesem aleta 645 onde a taxa de transferência de calor pela base da aleta na ausência da aleta é dada por Qbasesem aleta Ab h Tb Tf 646 A eficiência de uma aleta é definida como aleta Qaleta Qaletamax 647 E a taxa máxima de transferência de calor pela aleta é obtida assumindo que a aleta inteira e portanto sua superfície encontrase à mesma temperatura da base Tb Desta forma a taxa de transferência máxima é dada por Qaletamax Aaleta h Tb Tf 648 onde Aaleta é a área da aleta em contato com o fluido ie não contabilizando a base Observando as equações 646 e 648 notase que Qaletamax Aaleta Ab Qbasesem aleta 649 e desta forma que existe a seguinte relação entre a efetividade e eficiência de aletas Ab Aaleta 650 Os valores anteriormente definidos para efetivitividade e eficiência de aletas podem Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 75 ser calculados para as diferentes combinações de condições de contorno na extremi dade da aleta Todavia para a base da aleta foram apresentadas apenas a solucões com temperatura constante base isotérmica Como mencionado anteriormente soluções similares podem ser obtidas para a condição com a base com fluxo constante Podese adiantar que ao alternar a condição da base de temperatura constante para fluxo cons tante desde que a condição da extremidade não seja alterada as expressões obtidas para eficiência e efetividade são exatamente a mesma Isto pode ser facilmente verifi cado como exercício Exercícios 61 Desenvolva a solução da equação para transferência de calor em uma aleta com área e perímetro da seção transversal Ax e Px constantes em termos da tempe ratura adimensional T Tf Tb Tf As condições de contorno são tem peratura constante Tb na base x 0 e convecção h e Tf na extremidade oposta x L Obtenha a distribuição de temperatura e o fluxo de calor em função de x Calcule também a taxa total de transferência de calor proporcionada pela aleta Resposta 62 Mostre que as três formas de solução da equação para condução de calor em aletas com exponenciais e as duas formas de senos e cossenos hiperbólicos satisfazem a equação diferencial Resposta 63 Calcule a efetividade de uma aleta plana para os quatro diferentes casos de con dição de contorno na extremidade Resposta 64 Calcule a eficiência de uma aleta plana para os quatro diferentes casos de condição de contorno na extremidade Resposta 65 Em relação a aletas podese afirmar que quando elas têm eficiência igual a 100 a temperatura da ponta é igual a do fluido Justifique a resposta Resposta 66 Considere a condução de calor em regime permanente em uma aleta cilíndrica de seção transversal circular diâmetro D A temperatura da base da aleta é Tb e a superfície restante da mesma está imersa em um fluido coeficiente h constante à temperatura Tf Assumindo que os dados fornecidos incluindo as propriedades termofísicas são constantes pedese a Partindo de um balanço energético obtenha a equação diferencial para a con dução de calor na aleta b Obtenha a solução para a distribuição de temperatura na aleta considerando que as perdas de calor na extremidade x L possam ser desprezadas c Calcule a eficiência e a efetividade desta aleta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 76 d Calcule o comprimento L necessário para que a queda de temperatura ao longo da aleta da base até a ponta seja de 50 de Tb Tf Resposta 67 Alguns fabricantes de panela utilizam cabos metálicos aumentando assim o chance de pessoas se queimarem Analisando o problema do ponto de vista de um enge nheiro mecânico decidese calcular o comprimento de segurança a partir do qual é possível manusear a panela pelo cabo sem risco Percebese então que o cabo se comporta como uma aleta cilíndrica tendo a seção transversal com área Ax e perímetro Px onde a temperatura da base ponto de contato com a panela é Tb O restante de cabo troca calor por convecção com o ar coeficiente h conhecido o que está à temperatura Tar Obtenha a solução para a distribuição de temperatura no cabo considerando que a extremidade x L encontrase à temperatura do ar Calcule também o valor da distância mínima a partir da qual a temperatura do cabo estará abaixo de um valor seguro Tmax Resposta 68 Considere a condução de calor em regime permanente em uma aleta plana de per fil W e comprimento L A aleta é suficientemente longa na direção y W e suficientemente fina na direção z ø L de tal forma que a temperatura possa ser considerada dependente apenas de x A temperatura da base da aleta é Tb e a superfície restante da mesma está imersa em um fluido à temperatura Tf As sumindo que o coeficiente de transferência de calor por convecção para as laterais da aleta vale h mostre que a solução para a distribuição de temperatura na aleta considerando que na extremidade x L o coeficiente convectivo é hL é dado por T Tf Tb Tf k m coshm L xhL senhm L x k m coshm LhL senhm L fornecendo o valor da constante m Resposta 69 A partir da expressão para a temperatura do problema anterior obtenha as solu ções simplificadas com fluxo de calor por condução nulo na extremidade e com temperatura na extremidade prescrita T Tf Resposta 610 Considere a transferência de calor em aletas de pino forma de cilindro circular de diâmetro d e comprimento L utilizadas em um condensador de geladeira igual as da geladeira do quiosque do Cláudio As aletas são fixadas à serpentina do condensador estando em contato com esta em vários pontos Como nos pontos de contato com a serpentina a temperatura Tb é mantida constante devido a mu dança de fase do fluido refrigerante que circula na serpentina o problema pode ser analisado em apenas um segmento de comprimento l tocando a serpentina em apenas dois pontos x 0 e x l Sabendo que a temperatura do ar em con tato com as aletas é Tf e que o coeficiente de transferência de calor por convecção vale h obtenha a solução para a distribuição de temperatura no segmento de aleta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 77 0 x l Em seguida calcule o número de aletas de comprimento L cada uma composta por n segmentos de comprimento l necessário para remover calor do condensador à taxa Q0 Resposta 611 Considere a transferência de calor em regime permanente em um cilindro circular de diâmetro D e comprimento L com propriedades termofísicas constantes sendo D ø L A base do cilindro x 0 encontrase isolada termicamente e o restante do cilindro está imerso em um fluido à temperatura Tf O coeficiente de transferência de calor por convecção para as laterais do cilindro é h e para a ponta x L é hL Sabese também que há geração de energia volumétrica constante g 000 Assumindo que os gradientes nas direções perpendiculares à x podem ser considerados pe quenos pedese a Partindo de um balanço de energia em um elemento de espessura dx obte nha a equação diferencial para determinar a distribuição de temperatura T x ao longo do cilindro assim como as devidas condições de contorno b Calcule a distribuição de temperatura T x c Forneça a distribuição de temperatura para hL 0 Resposta 612 Considere a transferência de calor em regime permanente em uma aleta cilíndrica de seção transversal circular A aleta tem propriedades constantes e está envolta por um fluido com temperatura Tf o coeficiente de transferência de calor por con vecção com este fluido é h As perdas de calor na ponta da aleta são desprezíveis e o fluxo de calor na base da aleta é dado por q00 0 a Partindo de um balanço de energia em um elemento de espessura dx obte nha a equação diferencial para determinar a distribuição de temperatura T x ao longo da aleta assim como as devidas condições de contorno b Calcule a distribuição de temperatura T x esboçando o resultado c Calcule a temperatura na ponta e na base da aleta d Calcule o comprimento mínimo L que garanta que a temperatura da base da aleta permaneça menor que um valor de temperatura igual Tmax Resposta 613 Considere um elemento combustível de uma indústria de energia nuclear O ele mento é um cilindro circular de altura H e base de diâmetro D No reator este ele mento encontrase imerso em água à temperatura Ta onde o coeficiente de trans ferência de calor por convecção é h A modelagem do problema pode ser feita similar a em uma aleta em regime permanente com geração de energia constante onde ambas extremidades trocam calor por convecção Assumindo propriedades constantes responda aos itens abaixo Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 78 a Partindo de um balanço de energia em um elemento de espessura dx ob tenha a equação diferencial para determinar a distribuição de temperatura T x ao longo deste elemento combustível assim como as devidas condições de contorno em x 0 e x H b Utilizando a simetria em relação ao centro do cilindro simplifique as condi ções de contorno considerando apenas 0 x H2 c Calcule a distribuição de temperatura T x esboçando o resultado d Calcule as temperaturas máximas e mínimas do cilindro indicando a posição x onde estas ocorrem Resposta 614 Considere uma sistema de resfriamento para uma processador de computador utilizando aletas A potência gerada no processador é toda transferida para as aletas de modo que cada uma destas recebe uma vazão de calor igual a Qb em sua base Considerando que cada aleta tenha comprimento L e área transversal retan gular de dimensão W H e assumindo que as perdas na ponta da aleta possam ser desprezadas responda aos itens abaixo a Partindo de um balanço de energia em um elemento de espessura x ob tenha a equação diferencial para determinar a distribuição de temperatura T x ao longo desta aleta assim como as devidas condições de contorno A temperatura ambiente é Tf b Calcule a distribuição de temperatura T x esboçando o resultado c Calcule a temperatura da base e da ponta desta aleta d Indique qual seria o valor da temperatura da base se esta aleta tivesse efici ência 100 Resposta 615 Considere uma aleta de seção transversal retangular W A base desta aleta está soldada em uma parede de altura H e largura W A presença da solda in troduz um contato térmico imperfeito com coeficiente de transferência de calor hc A parede têm espessura Lp e condutividade térmica kp enquanto a aleta tem condutividade térmica ka e comprimento La Um vazão de calor de Q0 watts é fornecida à parede através do lado oposto ao que a aleta foi instalada Um fluido à temperatura Tf resfria a aleta e o lado da parede em que a aleta está soldada oposto ao que o fluxo é aplicado com um coeficiente de transferência de calor por conveção uniforme h Podese considerar que as perdas de calor na ponta da aleta são desprezíveis ponta isolada e que a condução de calor na parede ocorre de maneira unidimensional Calcule as temperaturas da superfície da parede que recebe calor T0 da superfície da parede exposta ao fluido T1 da base da aleta Tb e da ponta da aleta TL Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 79 Dica separe o problema em duas partes um problema de aleta com temperatura na base conhecida Tb e um problema de resistência térmica em uma parede com posta isotérmica onde o calor é fornecido e com duas temperaturas no outro lado T1 e T2 Resposta 616 Considere o problema de condução de calor em uma barra cilíndrica de compri mento L e diâmetro D Metade da barra está isolada termicamente e nesta mesma metade há geração de energia a uma taxa constante g 000 podendo ser analisada como um problema de condução unidimensional A outra metade está imersa em um fluido à temperatura T1 se comportando como uma aleta o coeficiente de transferência de calor por convecção é h A barra é longa de modo que podese considerar que a ponta da aleta está à mesma temperatura do fluido Obtenha a distribuição de temperatura para barra inteira ie para as duas regiões esbo çando um gráfico do resultado Assuma que todas as propriedades termofísicas da barra são conhecidas Resposta 617 Considere um cilindro circular de diâmetro d comprimento L e condutividade térmica k As temperaturas das extremidades são fixas dadas por T0 em x 0 e TL em x L A superfície curva do cilindro troca calor por convecção com um fluido à temperatura Tf e coeficiente convectivo h Sabese que L d de modo que um modelo onde a temperatura apenas dependa de x pode ser utilizado similar a uma aleta a Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura em função de x b Obtenha a solução para o caso com h 0 e forneça uma interpretação para o resultado c Esboce a distribuição de temperatura no cilindro considerando que T0 80ºC TL 40ºC e Tf 0ºC para diferentes valores de h desde zero Resposta 618 Considere uma placa plana de espessura comprimento L e largura W A placa é fina de modo que um modelo de aleta com a temperatura dependendo apenas de x com 0 x L pode ser utilizado As temperaturas das extremidades da placa são fixas dadas por T0 em x 0 e TL em x L A superfície superior troca calor por convecção com um fluido à temperatura TA e a superfície inferior troca calor com um fluido à temperatura TB ambas com coeficiente convectivo h As demais superfícies na outra direção perpendicular à x podem ser consideradas isoladas a Obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura em função de x b Obtenha a solução para o caso com h 0 e forneça uma interpretação para o resultado c Obtenha a solução para o caso onde as duas extremidades encontramse iso ladas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 6 Transferência de calor em aletas 80 Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados Versão 0310 090913 Este capítulo destinase a apresentar formulações globais também chamadas de for mulações com parâmetros concentrados 71 Formulação global para condução de calor Considere um corpo de massa m volume V delimitado por uma superfície S cuja área é As como mostrado na figura 71 Se este corpo executa movimento de corpo rígido Figura 71 Esquema considerado para o balanço global de energia não há deformação e um sistema de coordenadas fixo no corpo é adotado a taxa de variação da energia interna U deste corpo é dada por dU dt Q Eg 71 Como visto nos capítulos anteriores para trabalhar com uma descrição local isto é que forneça informação detalhada sobre a variação espacial das propriedades é neces 81 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 82 sário escrever os termos do balanço de energia em função de integrais volumétricas e de áreas Todavia ao trabalhar com parâmetros concentrados uma simplificação permite que uma análises mais simples seja feita A simplificação fundamental por trás deste tipo de análise é que os gradientes envolvidos no problema sejam pequenos de modo que as variações espaciais das propriedades possam ser consideradas desprezíveis Em outras palavras isto corresponde afirmar que a seguinte aproximação seja válida T t º Tst 72 onde T corresponde à temperatura média espacial do meio e Ts a temperatura média de sua superfície Esta aproximação é conhecida como aproximação clássica em parâ metros concentrados e reflete casos em que a distribuição de temperatura em V possa ser considerada uniforme Levando a aproximação mais adiante como gradientes são desprezíveis podese escrever T xt º Tsxt º T t 73 Dada a aproximação clássica por parâmetros concentrados a geração de energia assim como todas as propriedades devem também ser uniformes no volume V e as expressões para os termos de efeitos volumétricos são escritas na seguinte forma U Z V u dm Z V u Ω dV Ω uV 74a Eg Z V g 000 dV g 000V 74b Como a massa do sistema ΩV é constante uma variação em U é escrita como dU du ΩV ΩVdu 75 e como para substâncias incompressíveis du c dT a equação 71 é reescrita na forma abaixo ΩVc dT dt Q Eg 76 Os termos de superfície são escritos em termos da superfície do sistema S e do vetor fluxo de calor Q Z As q00 n dAs Z As q00 ˆndAs 77 Todavia com a hipótese de uma distribuição de temperatura uniforme no volume não há possibilidade nem necessidade de expressar o fluxo de calor em termos de um gradiente de temperatura Ainda como o balanço energético é feito no volume do corpo a integral anterior só depende das condições de contorno Ou seja a compo Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 83 nente de fluxo q00 n dever ser especificada diretamente através de condições de contorno de Neumann ou indiretamente através de uma condições de contorno de Robin Vale a pena ressaltar que para hipótese de uma distribuição uniforme de temperatura no contorno não há muita praticidade em utilizar uma condição de contorno de Dirich let visto que isto implica na temperatura do corpo ser conhecida pois esta deve ser igualada à temperatura do contorno 711 Condição de contorno de Neumann Para um fluxo de calor conhecido na superfície do corpo a condição de contorno é de Neumann e basta utilizar a expressão anterior para obter Q Caso q00 n seja uniforme na superfície do corpo escrevese Q As q00 n 78 Assim a equação da condução de calor por parâmetros concentrados pode ser es crita na seguinte forma Ω c dT dt As V q00 n g 000 79 712 Condição de contorno de Robin Se em toda a superfície há troca de calor por convecção com um fluido à temperatura Tf temse uma condição de Robin q00 n hTs Tf hT Tf 710 onde T Ts devido à hipótese de temperatura uniforme no corpo Se Tf e h são uniformes na superfície do corpo a taxa de transferência de calor Q fornecida ao corpo é dada por Q As h T Tf 711 Assim a equação da condução de calor por parâmetros concentrados pode ser es crita na seguinte forma Ω c dT dt As V h T Tf g 000 712 de acordo com o fenômeno que ocorre na superfície do corpo Devese lembrar também que g 000 Eg V é uniforme no volume do sistema Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 84 72 Solução para as equações transientes Para resolver as equações 79 e 712 primeiro reconhecese que estas podem ser es critas nas seguintes formas respectivamente dT dt t 713a d dt t Øt 713b onde os símbolos introduzidos são dados por t 1 Ω c µ As V q00 n g 000 713c T Tf t hAs Ω c V Øt g 000 Ω c 713d A solução da equação 713a é obtida por simples integração T t Zt t0 ødø T t0 714a Para constante a solução é linear no tempo T t t t0 T t0 1 Ω c µ g 000 As V q00 n t t0 T t0 714b Devese observar que a temperatura pode tanto cair quanto subir de acordo com o sinal de Observe também que para g 000V As q00 n não há variação de temperatura e a solução é a constante T t0 A solução da equação para o caso com condição de contorno de Robin 713b pode ser obtida por variação de parâmetros como descrito em 7 t t0 exp µ Zt t0 ødø Zt t0 exp µ Zt ø d Øødø 715a onde e ø são variáveis auxiliares de integração Para constante a solução é simplifi cada t t0 expt t0 Zt t0 expt øØødø 715b E para Ø constante simplificase mais ainda t t0 expt t0 Ø 1expt t0 715c Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 85 Substituindo e Ø obtémse T tTf T t0Tf expt t0 g 000 Ω c 1expt t0 715d mostrando então que se não houver geração de energia a solução é dada por uma ex ponencial negativa T tTf T t0Tf expt t0 exp µ hAs Ω c V t t0 715e Para casos em que haja condições de contorno de segundo e terceiro tipo distribuídas no contorno a forma geral da equação 713b continua valendo e portanto a solução será a mesma bastando apenas reescrever os coeficientes Øt e t 73 Utilização da temperatura em regime permanente Observando a equação 715d para o caso com condição de contorno de Robin notase que no limite quando t 1 a solução é reduzida para um valor constante T t Tf g 000 Ω c Tf g 000V hAs 716 No entanto ao examinar a solução para o caso com condição de contorno de Neu mann eq 714b verificase que no limite t 1 só haverá solução finita para os casos quando q00 n g 000 V As 717 correspondendo aos casos onde a energia gerada é removida na quantidade exata Ou seja para este tipo de condição na superfície de corpo só há solução para tempos longos se a condição anterior for atendida Tomando as equações 79 e 712 para o caso em regime permanente dT dt 0 obtêmse respectivamente 0 As V q00 n g 000 718a 0 As V h T Tf g 000 718b que se forem resolvidas fornecem As V q00 n g 000 719a T Tf g 000V hAs 719b Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 86 que é o mesmo resultado obtido pegando as soluções transientes com t 1 mostrando que o regime permanente é atingido quando existente para valores grandes de t Deve se novamente lembrar de acordo com a penúltima equação que a relação entre q00 n e g 000 deve ser respeitada exatamente para que exista uma solução em regime permanente para o caso com condição de contorno de Neumann 74 Formulação global a partir da local avançado Partindo da forma geral da equação da condução de calor Ω c T t rk rT g 000 720 e integrando a equação no volume do corpo obtémse Z V Ω c T t dV Z V rk rT dV Z V g 000 dV 721 Utilizando então o teorema da divergência transformase a segunda integral em uma integral na superfície do corpo Z V Ω c T t dV Z S k rT ˆn dA Z V g 000 dV 722 e o fluxo de calor pode ser introduzido utilizando a Lei de Fourier Z V Ω c T t dV Z S q00 ˆn dA Z V g 000 dV 723 que também pode ser escrita em termos do fluxo na direção normal para fora do corpo Z V Ω c T t dV Z S q00 n dA Z V g 000 dV 724 Para propriedades uniformes Ω e c fazse Ω c Z V T t dV Z S q00 n dA Z V g 000 dV 725 e como o volume é independente do tempo chegase à equação Ω c d dt Z V T dV Z S q00 n dA Z V g 000 dV 726 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 87 Definindo agora quantidades médias no volume do corpo e na área superficial T T t 1 V Z V T dV 727a g gt 1 V Z V g 000 dV 727b q00 n q00 nt 1 As Z S q00 n dA 727c a equação 726 pode ser reescrita Ω c d T dt q00 n As V g 728 O resultado é similar a equação 79 considerando que T T g g 000 e q00 n q00 n To davia na derivação por balanços fazse a hipótese de distribuições uniformes Como médias volumétricas e superficiais não modificam quantidades espacialmente unifor mes as igualdades anteriores são válidas mostrando que as equações são equivalentes Para o caso com condição de contorno de Robin em toda a superfície o fluxo médio na direção normal é dado por q00 n 1 As Z S hT Tf dAs 729 que pode ser simplificada para h e Tf uniformes em S q00 n h Ts Tf 730 onde a temperatura média na superfície é dada por Ts 1 As Z S T dAs 731 Desta forma para um corpo trocando calor segundo a Lei de Resfriamento de New ton em toda a sua superfície a equação da condução em termos de potenciais médios é escrita na seguinte forma Ω c d T dt hAs V Ts Tf g 732 Observe agora que as únicas aproximações feitas aqui foram a de considerar as quan tidades Ω c h e Tf espacialmente uniformes Apesar destas simplificações estarem de acordo com casos de distribuições uniformes de temperatura podem haver inúmeros casos em que estas quantidades são uniformes sem necessariamente haver uma distri buição uniforme de temperatura Para casos assim a equação 732 é exata e todos os procedimentos feitos até agora nesta seção não envolvem aproximação alguma Comparando as equações 732 e 712 notase que a diferença entre elas está es sencialmente no fato da temperatura média no contorno não ser igual a temperatura Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 88 média no volume Entretanto ao considerar a aproximação clássica por parâmetros concentrados eq 72 a evolução da temperatura média do corpo em V pode então ser diretamente obtida da solução de Ω c d T dt hAs V T Tf g 733 Todavia em casos onde esta hipótese não é valida T t necessita ser calculada resol vendo a equação da condução com dependência espacial 326 para T e em seguida calculando a média através da integração espacial descrita pela equação 727a 75 Limite de utilização da aproximação clássica O limite de validade da aproximação clássica eq 72 é definido pela inequação abaixo Bi h L k 1 10 734 onde L é um comprimento característico no corpo Para um corpo arbitrário uma esti mava para L pode ser obtida de L V As 735 O parâmetro definido pela equação 734 é o número de Biot1 pronunciase biô que representa uma razão entre a transferência de calor por convecção na superfície de um corpo e a transferência de calor por condução dentro deste corpo Exercícios 71 A análise por parâmetros concentrados pode ser utilizada para problemas que têm condições de contorno de primeiro tipo Justifique a resposta Resposta 72 Um importante problema prático em transferência de calor é o de refrigeração de cerveja Com isto em mente obtenha uma expressão para o tempo necessá rio para resfriar uma lata de cerveja cilindro de diâmetro D e altura H sem que o conteúdo desta congele inicialmente à temperatura ambiente Tamb 25C em um congelador com ar à temperatura Tf 15C Considere que a lata é posicio nada verticalmente estando portanto em contato com a base do congelador que também encontrase à temperatura Tf O coeficiente de transferência de calor por convecção entre a superfície da lata e o ar do congelador é h Considere que a transferência de calor entre a lata e a base do congelador pode ser contabilizada 1em homenagem ao físico astrônomo e matemático francês Jean Baptiste Biot Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 89 utilizando um coeficiente de transferência de calor hc devido ao contato térmico imperfeito Assuma que todas as propriedades possam ser tratadas como constan tes e que trocas de calor por radiação térmica possam ser desprezadas Considere que o ponto de fusão ou solidificação da cerveja é similar ao da água 0 C Res posta 73 Considere a condução transiente nas três situações a parede plana de espes sura D isolada em um lado e trocando calor com um fluido no outro b cilindro longo de diâmetro D imerso em um fluido c esfera de diâmetro D imersa em um fluido Para os três casos o fluido encontrase à temperatura Tf e o coefici ente convectivo é h Considere em todos os casos temse o mesmo material o qual tem massa específica Ω Utilizando uma análise transiente simplificada com parâmetros concentrados pedese a Obtenha uma equação diferencial geral que governe a transferência de calor transiente para as três geometrias b Sabendo que T 0 T0 obtenha a variação de T com o tempo indicando as expressões para as três situações dadas c Esboce o gráfico T t para as três situações d Indique qual o valor máximo de h para os três casos que permita a utilização da formulação transiente simplificada Resposta 74 Considere a transferência de calor em um processador de computador dimensões L L onde ø L e massa m a partir do instante que o mesmo é ligado Inici almente o processador está à temperatura ambiente T0 No momento que este é ligado uma corrente elétrica i com voltagem V provoca aquecimento a uma taxa Eg V i A base do processador é fixada à placa mãe temperatura Tb constante com uma resistência de contato hc A parte de cima do processador é resfriada com o ar à temperatura ambiente e coeficiente convectivo h O restante da super fície do processador pode ser tratada como isolada a Obtenha uma equação diferencial geral que governe a transferência de calor no processador b Calcule a temperatura em regime permanente Tp c Obtenha o tempo t90 necessário para que a diferença de temperatura T t T0 atinja 90 da diferença máxima atingida em regime permanente d Esboce o gráfico T t indicando os valores Tp T0 t90 e T t90 para Tb T0 Resposta 75 Elementos combustíveis utilizados em centrais nucleares são compostos por feixes de cilindros com material radioativo gerando energia térmica Mesmo após a sua Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 90 vida útil estes elementos continuam gerando energia porém precisam ser ade quadamente armazenados para evitar contaminação radioativa Considerando um cilindro de um elemento combustível como longo de tal forma que efeitos das extremidades em z possam ser desprezados a transferência de calor pode ser considerada apenas na direção r sendo portanto regida pelas seguintes equações 1 Æ T t 1 r r µ r T r g 000 k para 0 r R t 0 k T r hTf T para r R t 0 T T0 para 0 r R t 0 Todavia de modo a obter uma resposta rápida para o problema propõese uma análise por parâmetros concentrados Assim pedese a Obtenha a equação para a transferência de calor transiente por parâmetros concentrados Utilize o balanço de energia ou a metodologia integral b Considerando que g 000 é constante obtenha a variação de temperatura com t c Indique qual é a temperatura em regime permanente Tp e qual é o valor mínimo de h para que esta seja mantida abaixo da temperatura de segurança Tmax d Partindo das equações apresentadas chegue às equações obtidas utilizando o balanço energético do primeiro subítem utilizando integração espacial Resposta 76 Partindo da temperatura inicial ambiente T0 desejase aquecer uma massa de água m em uma panela em um fogão Despreze a capacidade térmica m c da panela e responda às questões a Sabendo que a chama fornece calor a uma taxa constante Q0 calcule o tempo necessário para que a temperatura da água atinja um valor Tc abaixo da tem peratura de ebulição Considere que o coeficiente de transferência de calor por conveção com o ambiente é h e que a área de troca de calor associada é As b Considerando que o fornecimento de calor é desligado após Tc ser atingida calcule por quanto tempo contato a partir deste instante a temperatura da água permanece acima de T0 Tc2 Resposta 77 Um bloco cúbico de gelo de lado 10 cm inicialmente a 10C é colocado em con tato com ar a temperatura ambiente T 25C Sabendo que o coeficiente de trans ferência de calor com o ambiente é h 20 Wm2C e assumindo que apenas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 7 Condução transiente análise por parâmetros concentrados 91 cinco das seis superfícies do bloco de gelo trocam calor com o ar a base está iso lada termicamente pedese a Utilizando uma análise por parâmetros concentrados calcule o tempo neces sário para que o bloco chegue a 0C antes de começar a fusão Considere que o calor específico do gelo é c º 2 kJkgC b Calcule o tempo necessário a partir do instante anteriormente calculado para que o bloco todo vire líquido O calor de fusão do gelo é 13103 kJkg Despreze o efeito do escoamento durante a mudança de fase ou seja assuma que não há variação na forma c Calcule o tempo necessário após a total fusão do gelo para que a água atinja a temperatura de 10C Considere que o calor específico da água líquida é c º 4 kJkgC d Faça um esboço da evolução da temperatura média com o tempo e Discuta se este os três tempos anteriormente calculados serão maiores ou menores se for considerado que o gelo muda de forma e se espalha escoa ao derreter Assuma que tanto o gelo quanto a água líquida possuam massa específica igual a 103 kgm3 Resposta 78 O processo de fermentação é uma reação bioquímica exotérmica que transforma açucares em álcool Considere uma solução de açúcar de massa m 5 kg des preze a perda de massa devido à fermentação que fermenta em um reservatório cilíndrico de altura H 03 m e diâmetro D 03 m cheio até o topo O reservató rio está em uma câmara à temperatura Tf 18ºC e o coeficiente de transferência de calor por convecção através de suas laterais é h 10 Wm2ºC Considere que a base e o topo do reservatório estão isolados termicamente e suponha que os gradientes de temperatura são desprezíveis a Sabendo que em regime permanente a temperatura do reservatório é Tp 20ºC calcule a taxa de geração de energia térmica Eg oriunda da fermentação assuma que Eg é constante b Sabendo que a temperatura inicial é 18ºC e que após 5000 segundos a tem peratura atinge o valor de 19ºC calcule o calor específico c da solução que é fermentada despreze a capacidade térmica das paredes do reservatório Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Parte III Notas de Aula 13 Introdução à transferência de calor por convecção Versão 036 090913 131 Condução convecção livre e convecção forçada Os modos de transferência de calor por condução e convecção têm em comum o fato de ambos necessitarem de um meio para sua propagação por dependerem da transferência direta de energia entre moléculas Todavia existe uma diferença fundamental entre a transmissão de calor por condução e convecção Condução ou difusão térmica só há movimento na escala molecular ou seja só há difusão de energia Convecção existe movimento além da escala molecular Existe taxa de defor mação eg escoamento no meio considerado A convecção pode ser imaginada como a condução de calor adicionada do movimento do meio consequentemente resultando em taxas maiores de transferência de calor A transferência de calor por convecção também pode ser subdividida em dois tipos de acordo com a origem do movimento do meio Convecção Forçada o movimento é gerado por algum agente externo Convecção Natural ou Livre o movimento é gerado pelos gradientes de tempe ratura onde naturalmente esperase encontrar taxas de transferência de calor maiores em con vecção forçada Na prática na maioria das vezes haverá um mecanismo combinado de convecção forçada e natural o que complicaria bastante a análise do problema Todavia em muitas situações é possível destacar um mecanismo dominante e o problema pode ser tratado apenas como sendo de convecção forçada ou convecção natural 101 13 Introdução à transferência de calor por convecção 102 132 O problema convectivo interação fluidosólido O objetivo fundamental do estudo do transporte de calor e momentum entre um fluido e um corpo sólido com movimento relativo entre estes é conseguir determinar a taxa de transferência de calor entre estes assim como a força exercida pelo fluido sobre o corpo sólido ou pelo sólido sobre o fluido1 Para calcular a força resultante atuando entre2 a superfície de um sólido S assim como o calor trocado entre o sólido e o fluido escrevese f s Z S df s e Q Z S d Q 131 onde df s e d Q representam a força e a taxa de transferência de calor entre o fluido e o sólido que ocorre em um pedaço infinitesimal de superfície de contato dAs Utilizando o fluxo de calor e a força por unidade de área existentes em dAs escrevese df s f 00 s dAs e d Q q00 n dAs 132 A força por unidade de área f 00 s e o fluxo de calor através de uma porção da superfí cie S de área dAs e normal ˆn podem ser escritos em função do tensor de tensões T tensor simétrico e o vetor fluxo de calor q00 utilizando o vetor normal à superfície infinitesi mal f 00 s T ˆn T T ˆn e q00 n q00 ˆn 133 onde o tensor de tensões é escrito em termos de componentes normais æs e tangenciais øs ou cisalhantes T 2 664 æxx øxy øxz øyx æyy øyz øzx øzy æzz 3 775 2 664 æxx øyx øzx øxy æyy øzy øxz øyz æzz 3 775 T T 134 onde a igualdade acima reflete a simetria deste tensor O vetor fluxo de calor também é escrito em termos de componentes q00 q00 x q00 y q00 z 135 onde o os subscritos x y e z referemse a componentes no sistema de coordenadas cartesianas Todavia o vetor q00 e o tensor T podem ser escritos para qualquer sistema de coordenadas Apesar de uma discussão detalhada sobre o tensor de tensões não ter sido apresen 1De modo mais geral o objetivo é determinar a transferência de calor em interfaces podendo estas ser entre dois fluidos como por exemplo em um sistema gáslíquido 2Utilizase entre o fluido e o sólido porque esta depende apenas da escolha do sinal da normal lem brando que a força que o fluido exerce sobre o sólido é exatamente igual ao valor negativo da força que o sólido exerce sobre o fluido de acordo com a lei de ação e reação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 103 tada3 o importante aqui é reconhecer tanto para a taxa de transferência de calor d Q quanto para a força df s que uma alteração no sinal da normal ou seja se esta for consi derada em sentido oposto gera uma alteração nos sinais de d Q e df s Para o problema em questão considerase que o que vetor normal ˆn seja orientado em relação à super fície sólida portanto apontando para fora desta ou seja para dentro do fluido Esta escolha faz com que a força calculada seja exercida pelo fluido sobre o sólido e o calor seja transferido do sólido para o fluido Naturalmente a escolha de uma normal com sinal trocado inverteria os sentidos da força e da taxa de transferência de calor Utilizando as definições anteriores a força e a taxa de transferência de calor associa das ao elemento de área dAs e normal ˆn podem ser escritas na seguinte forma df s f 00 s dAs T ˆn dAs e d Q q00 n dAs q00 ˆn dAs 136 Desta forma a força resultante e a taxa líquida total de transferência de calor são cal culadas fornecendo f s Z S T ˆn dAs e Q Z S q00 ˆn dAs 137 Tanto o tensor de tensões quanto o vetor fluxo de calor são relacionados com os campos de velocidades e de temperatura através de relações constitutivas Por exemplo a Lei de Fourier 4 relaciona campo de temperatura com o fluxo de calor por condução Para materiais isotrópicos materiais onde as propriedades independem da direção como é geralmente ocorre em fluidos esta é escrita de um coeficiente de proporcionalidade escalar q00 k rT 138 onde este coeficiente k é a condutividade térmica do fluido Para materiais anisotrópicos as propriedades dependem da direção e a condutividade térmica assume um caráter tensorial sendo dada por um tensor de condutividade térmica Todavia estes casos não serão vistos neste texto Outra relação constitutiva é a Lei da Viscosidade de Newton que relaciona o campo de velocidades com o tensor de tensões para fluidos newtonianos Para escoamentos incompressíveis5 esta lei é dada por T p I µ rv rvT 139 3Mais informações podem ser encontradas no apêndice B 4em homenagem ao pesquisador Jean Baptiste Joseph Fourier 5escoamentos onde variações de pressão não causam variações na massa específica Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 104 onde p é a pressão µ é a viscosidade dinâmica e I é o tensor identidade I 2 664 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 775 1310 e rv é o tensor gradiente de velocidades apresentado abaixo em coordenadas cartesia nas rv 2 664 vx x vy x vz x vx y vy y vz y vx z vy z vz z 3 775 1311 Portanto fica claro que para calcular a taxa de transferência de calor assim como a força exercida entre um sólido e um fluido é necessário conhecer as variações espaciais de velocidade v e temperatura T no fluido Em outras palavras é necessário conhe cer os campos de velocidade e temperatura Esta informação pode ser obtida de duas maneiras a primeira seria da solução direta das equações de transporte o que normal mente é complicado e com exceção de alguns poucos casos é feito analiticamente com isto a solução é normalmente feita computacionalmente utilizando métodos numéri cos especiais Outra saída é a de obter informações sobre os campos de velocidades e temperatura através de medidas experimentais6 133 Conceito de camada limite As equações para calcular a força e a taxa de transferência de calor 131 envolvem integrais que devem ser calculadas na interface entre o sólido e o fluido ou seja no contato entre os dois meios Sabese que em um escoamento sobre uma superfície só lida impermeável a velocidade é nula Este fato está ligado à impermeabilidade da superfície sólida ou seja o fluido não pode penetrar no sólido assim como à condi ção de nãodeslizamento do fluido sobre a parede O nãodeslizamento comprovado experimentalmente é devido aos efeitos da viscosidade e sempre ocorre independente da magnitude da viscosidade Com isto existe uma região próxima a superfície sólida onde a velocidade irá variar de zero até um valor nãonulo distante da superfície Esta região é conhecida como camada limite e é a região que sente de fato a presença da superfície sólida Neste caso tratase de uma camada limite dinâmica ou de velocidade comumente chamada de camada limite hidrodinâmica independente do tipo de fluido Se for considerado que a superfície sólida e o fluido estão a temperaturas distintas Ts e T1 haverá também uma região no escoamento onde a temperatura variará desde Ts em contanto com a superfície até um valor T1 distante desta Esta região é chamada de camada limite térmica 6Entretanto há vezes em que a taxa de transferência de calor eou atrito podem ser diretamente medidos Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 105 As camadas limites dinâmica e térmica são importantes para a determinação da força e da taxa de transferência de calor entre um sólido e um fluido porque são nestas re giões que são concentrados os gradientes de temperatura e velocidade Observando as expressões para calcular Q e f é possível observar a dependência destas quantidades nos gradientes de velocidade e temperatura A força que um fluido newtoniano exerce sobre um sólido para um escoamento incompressível pode ser calculada substituindo a equação constitutiva 139 na equa ção 137 f s Z S p ˆn dAs Z S µ rvrvT ˆn dAs 1312 onde o primeiro termo é a força normal que comprime a superfície sólida Esta continua existindo na ausência do movimento força devido à pressão hidrostática A segunda integral contém tanto forças normais como tangenciais7 Sabese que as forças cisa lhantes irão causar perda de carga e conseqüentemente requerer maiores potências de bombeamento Portanto é comum analisar separadamente o componente da força res ponsável pelos efeitos de atrito Para tal decompõese a força f s em um componente normal à superfície e outro tangente a superfície f s fn f t 1313a ou em termos da força por unidade de área f 00 s f 00 n f 00 t 1313b Como o fluido em contato com a superfície sólida encontrase parado devido a con dição de nãodeslizamento na parede e a condição de impermeabilidade só há trans ferência de calor por condução e podese utilizar a lei de Fourier para calcular o fluxo de calor Desta forma a taxa de transferência de calor do sólido para o fluido pode ser escrita como Q Z S k rT ˆn dAs 1314 1331 Superfície plana Entre as diferentes possibilidades geométricas de superfícies a mais simples é a super fície plana aonde o vetor normal é invariável Esta seção demonstras as simplificações resultantes para este caso simplificado Considerase por exemplo uma superfície onde o vetor normal é dado por ˆn 010 1315 7ou cisalhantes como mencionado anteriormente Esta componente da força que representa o atrito no fluido Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 106 Escrevendo o vetor velocidade em termos dos componentes v vxvyvz 1316 a taxa total de transferência de calor pode ser calculada por Q Z S k T y dAs 1317 a componente normal da força é dada por fsy Z S p dAs 2 Z S µ vy y dAs 1318a e as componentes tangenciais são dadas por fsx Z S µ µvy x vx y dAs 1318b fsz Z S µ µvy z vz y dAs 1318c Entretanto devese lembrar que na superfície sólida vx e vz além de vy devido à condição de impermeabilidade são nulas Como isto é verdade para a superfície inteira a variação destes componente em qualquer direção no plano da superfície também é zero ou seja vy x vy z 0 em y 0 1319 Desta forma as componentes da força tangencial sobre a superfície sólida são dadas por fsx Z S µ vx y dAs e fsz Z S µ vz y dAs 1320 Para analisar o comportamento local do atrito e transferência de calor basta escrever as componentes de força e a taxa de transferência de calor por unidade de área f 00 sx µ µ vx y y0 f 00 sz µ µ vz y y0 q00 n µ k T y y0 1321 onde estes são avaliados em y 0 pois esta é a posição da superfície sólida Natural mente estas grandezas representam as tensões cisalhantes e o fluxo de calor na direção normal à superfície Neste ponto observando as expressões anteriores é importante mencionar a seme lhança entre as tensões cisalhantes e o fluxo de calor normal a superfície todas sendo proporcionais a um gradiente de um potencial componentes de velocidade para as ten sões e temperatura para o fluxo de calor Levando esta comparação mais adiante é Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 107 possível interpretar as tensões cisalhantes como fluxos de quantidade de movimento 1332 Escoamento unidirecional sobre superfície plana Considere agora mais uma particularidade Além da superfície sólida ser plana o es coamento incide que sobre a mesma é unidirecional na direção x Isto faz com que não haja componente de velocidade na direção z Deste modo só há componente de força cisalhante na direção x Considerando que as dimensões da superfície plana são W di reção z por L direção x a força cisalhante atuando sobre a superfície assim como a taxa de transferência de calor da superfície para o fluido são dadas por ft fsx ZW 0 ZL 0 µ vx y dx dz W ZL 0 µ vx y dx 1322a Q ZW 0 ZL 0 k T y dx dz W ZL 0 k T y dx 1322b Localmente a força por unidade de área e o fluxo de calor são dados por f 00 t f 00 sx µ µ vx y y0 e q00 n µ k T y y0 1323 Comparando as expressões acima notase uma similaridade na forma Isto está associ ado ao fato da tensão cisalhante f 00 sx poder ser interpretada como um fluxo difusivo de quantidade de movimento linear De acordo com as expressões anteriores mesmo para esta situação bastante simpli ficada é necessário então saber a variação de T e vx com y para calcular a força de atrito e taxa de transferência de calor 134 Coeficientes h e C f As seções anteriores demonstraram a dificuldade envolvida no cálculo do atrito e da transferência de calor pois é necessário conhecer a distribuição de temperatura e ve locidade no fluido adjacente à superfície sólida para obter os resultados desejados Para amenizar esta dificuldade uma metodologia simplificada é normalmente utili zada Esta é baseada em coeficientes de transferência convectiva e será apresentada para coeficientes locais e globais ou médios 1341 Coeficientes locais Para a transferência de calor por convecção utilizando a Lei de Resfriamento de Newton o fluxo de calor local ie em um dado ponto na superfície sólida da superfície sólida para o fluido pode ser calculado por q00 sf q00 n h Ts Te 1324 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 108 onde Ts é a temperatura da superfície e Te é uma medida da temperatura do escoa mento8 O parâmetro h é chamado de coeficiente de transferência de calor por convecção Deste modo uma vez que o este coeficiente convectivo for conhecido basta utilizar as temperaturas para determinar o fluxo de calor Devese observar que este fluxo de calor é da superfície sólida para o fluido pois q00 n é positivo h 0 quando Ts Te lembrando que o a direção do fluxo calor é sempre da maior para menor temperatura Para uma superfície plana verificase que o mesmo fluxo de calor pode ser calculado pela equação 1321 Desta forma o coeficiente convectivo h é definido por h k T y y0 Ts Te 1325 Para o cálculo do atrito na superfície sólida a magnitude da força é escrita em termos do coeficiente de fricção ou coeficiente de arrasto C f f 00 t 1 2 ΩU 2 e C f 1326 onde f 00 t é a magnitude da força na direção tangencial atuando sobre o sólido por uni dade de área e Ue é uma medida da velocidade do escoamento Esta velocidade é normalmente dada por um valor característico da velocidade do escoamento9 Para uma superfície plana com escoamento incidente unidirecional a força cisa lhante f 00 t pode ser calculada pela equação 1323 Assim sendo uma definição para o coeficiente de fricção C f é escrita C f f 00 t ΩU 2e 2 µ vx y y0 ΩU 2e 2 1327 A definição anterior acaba sendo utilizada de maneira geral pois o coeficiente de fricção é normalmente utilizado na direção do escoamento fazendo com que apenas um dos componentes de velocidade esteja presente Finalmente devese ressaltar que as definições aqui feitas são de coeficientes locais visto que h e C f podem variar com a posição na superfície sólida 1342 Atrito e taxa de transferência de calor A força de atrito ou arrasto viscoso sobre uma área superficial plana As e a taxa de transferência de calor desta área para o fluido em contato com ela são calculadas através 8Esta temperatura pode ser o valor da temperatura longe da superfície sólida em uma região onde não há mais transferência de calor ou um valor médio de temperatura do fluido 9podendo ser a velocidade longe da superfície sólida ou ume medida da velocidade média do escoamento Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 109 da integração sobre As ft Z As f 00 t dAs e Q Z As q00 n dAs 1328 Utilizando as equações 1324 e 1326 as expressões anteriores são rescritas na forma ft 1 2 Z As C f ΩU 2 e dAs e Q Z As h Ts TedAs 1329 Observase então que se Ω assim como Ue e Ts Te forem constantes as expressões abaixo são simplificadas para ft 1 2 ΩU 2 e Z As C f dAs e Q Ts Te Z As h dAs 1330 1343 Coeficientes médios ou globais Observando as expressões 1330 criase uma motivação para a definição de coeficien tes de atrito e de transferência de calor por convecção médios na área superficial As C f 1 As Z S C f dAs e h 1 As Z S h dAs 1331 Na situação com Ω Ue e Ts Te constantes a força de arrasto ft e a taxa de transfe rência de calor Q são dadas por ft 1 2 ΩU 2 e C f As e Q hAs Ts Te 1332 No caso de escoamento unidirecional sobre uma área plana os coeficientes médios são escritos em termos do comprimento na direção do escoamento C f 0L 1 L ZL 0 C f dx e h0L 1 L ZL 0 h dx 1333 Onde a notação 0L indica a média desde x 0 até x L Em escoamentos deste tipo a força ft e a taxa de transferência de calor Q são dadas por ft0L 1 2 ΩU 2 e C f 0L LW e Q0L h0L LW Ts Te 1334 onde W é o comprimento da superfície perpendicular a direção do escoamento perpen dicular ao comprimento L e a notação 0L reflete o fato de ft e Q serem contabilizados na área entre x 0 e x L É comum também definir coeficientes médios entre o início da superfície plana x 0 e uma posição x arbitrária As expressões são as mesmas que as anteriores porém no Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 110 lugar de L escrevese x C f 0x 1 x Zx 0 C f dx0 e h0x 1 x Zx 0 h dx0 1335 onde x0 é apenas uma variável de integração Para estes casos ft e Q são escritos como ft0x 1 2 ΩU 2 e C f 0x x W e Q0x h0x x W Ts Te 1336 representando a força ft atuando sobre a porção da superfície plana entre x 0 e um x qualquer e a taxa de transferência de calor da superfície para o fluido na mesma porção 135 Escoamentos externos e internos Escoamentos em geral podem ser classificados como externos ou internos No primeiro caso o fluido movimentase em relação a um sólido ao redor deste Desta forma longe da superfície sólida só há fluido Já em escoamentos internos o movimento do fluido se dá de maneira confinada entre superfícies sólidas como é o caso do escoamento em dutos canais e cavidades Neste tipo de escoamento não faz sentido imaginar posições longe das superfícies sólidas uma vez que o fluido está sempre confinado entre estas Como podese esperar estas duas situações resultarão em padrões diferentes de escoa mento e assim sendo diferentes comportamentos para os coeficientes convectivos h e C f Por isso o cálculo destes coeficientes também é feito de maneira diferentes para os dois casos Uma primeira diferença que devese mencionar é são as diferentes definições para h e C f para os dois tipos de escoamento Em escoamentos externos valores para a tem peratura e a velocidade característica do escoamento podem ser tomadas como valores longe da superfície sólida ou seja em uma região não afetada pela presença do sólido Longe do sólido estas quantidades são representadas por Te T1 e Ue U1 1337 e as definições locais para h e C f para escoamentos externos são escritas na forma h k T y y0 Ts T1 e C f µ vx y y0 ΩU 212 1338 que pode ser utilizada de maneira geral para qualquer tipo de superfície se vx for to mada como a componente de velocidade na direção do escoamento e y como a coorde nada perpendicular a superfície sólida Em escoamentos confinados em geral não há como selecionar valores distantes do sólido U1 e T1 Para estes casos é comum utilizar valores médios para a temperatura e velocidade características do escoamento O caso de escoamento interno mais encon Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 111 trado na prática é o de escoamentos em dutos tubulações e canais Para estes casos a velocidade característica é normalmente tomada como a velocidade média na seção transversal do escoamento Um Para a temperatura também uma média é utilizada todavia a média é calculada em termos da energia média transportada que em geral não é o mesmo valor da temperatura média na seção transversal10 Chamando este valor de Tm temse que Te Tm e Ue Um 1339 e as definições locais para h e C f para escoamentos internos em dutos e canais são escri tas na forma h k T y y0 Ts Tm e C f µ vx y y0 ΩU 2m2 1340 onde devese mencionar também uma diferença na terminologia Para o escoamento em dutos e canais o coeficiente C f acima definido é denominado fator de atrito11 1351 Exemplo escoamento externo cálculo de Q por partes Em muitas situações no escoamento sobre uma superfície sólida podese encontrar di ferentes expressões para h e C f ou diferentes valores para a temperatura da superfície Um exemplo onde isto é constantemente aplicado é no caso da transição do escoamento de laminar para turbulento sobre uma superfície Neste caso nas diferentes regiões la minar turbulenta e até na de transição podese ter diferentes expressões para h e C f Nestas situações basta dividir a superfície em regiões e calcular a força e a taxa de trans ferência de calor por partes as somando no final para obter os totais Considere o caso do escoamento sobre uma placa plana de dimensões L direção do escoamento e W iniciandose como laminar e mais a frente tornadose turbulento A taxa de transferência de calor total entre a placa e o fluido é calculada por Q0L W Zxc 0 hlam Ts T1dx0 W ZL xc htur Ts T1dx0 1341 Onde xc representa o valor crítico para qual o escoamento deixa de ser laminar Natural mente escrevendo desta forma o coeficiente htur inclui também a região de transição Para Ts T1 constante simplificase a expressão anterior Q0L W µZxc 0 hlam dx0 ZL xc htur dx0 Ts T1 1342 10Isto será visto em detalhes nas notas de escoamento interno 11A definição apresentada representa o fator de atrito de Fanning tendo a mesma forma do coeficiente de arrasto não deve ser confundida com o fator de atrito de Darcy ou Moody Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 112 Utilizando então o conceito de h médio escrevese Q0L W hlam 0xc xc htur xcL L xc Ts T1 1343 Considere agora o caso de escoamento sobre uma placa de dimensões L direção do escoamento e W onde para x a a temperatura da superfície é Ta e para x a a temperatura é TL A taxa de transferência de calor total entre a placa e o fluido é calculada por Q0L W µ Ta T1 Za 0 h dx0 TL T1 ZL a h dx0 1344 Utilizando então o conceito de h médio escrevese Q0L W Ta T1 h0a a TL T1 haL L a 1345 136 Coeficientes adimensionais Nas seções anteriores dois coeficientes foram introduzidos C f e h Enquanto o coefici ente de fricção ou fator de atrito para escoamentos em dutos já encontrase em forma adimensional o coeficiente de transferência de calor por convecção h possui dimen são tendo unidades no SI de Wm2K Como a utilização de formas adimensionais facilita a análise coeficientes de transferência de calor adimensionais são introduzidos O número de Nusselt 12 local é definido em termos do h local na seguinte forma Nu h x k x T y y0 Ts Te 1346 Esta definição onde x é a distância percorrida sobre a superfície desde o início do esco amento é utilizada em escoamentos externos e alguns casos de escoamentos internos Em escoamentos em dutos e canais uma outra definição é também utilizada sendo ba seada no diâmetro hidráulico Nu h DH k DH T y y0 Ts Tm 1347 onde Te Tm foi substituído de acordo com a definição da temperatura do escoamento para dutos e canais Outro parâmetro que é utilizado como coeficiente de transferência de calor por con vecção adimensional é o número de Stanton sendo sua definição local dada por St h Ω cp Ue k T y y0 Ω cp UeTs Te ÆT y y0 UeTs Te 1348 12em homenagem ao pesquisador alemão Wilhelm Nusselt A notação Nux também é utilizado para desig nar o número de Nusselt local ou NuDH para o caso com Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 113 onde o parâmetro Æ é a difusividade térmica definida por Æ kΩ cp Como também existe uma definição média para o coeficiente convectivo h números de Nusselt e Stanton médios são definidos Nu h L k St h Ω cp Ue 1349 onde L representa um comprimento característico No caso do escoamento em dutos se a definição do Nusselt utilizada for em termos do diâmetro hidráulico o valor de L será o próprio DH Para o caso de escoamento unidirecional sobre uma superfície plana os coeficientes adimensionais médios são escritos utilizando a notação abaixo Nu0L h0L L k St0L h0L Ω cp Ue 1350 ou de maneira alternativa para um comprimento arbitrário x Nu0x h0x x k St0x h0x Ω cp Ue 1351 Exercícios 131 Considere o escoamento sobre uma superfície plana de dimensões L na direção de u e W A temperatura da superfície é Ts e do fluido é Tf Supondo que o número de Nusselt local seja conhecido calcule o fluxo de calor local q00 sf x e a taxa de transferência de calor Qsf na placa inteira Resposta 132 Considere o mesmo escoamento do problema anterior Sabendo que o valor crítico de Reynolds para a transição do escoamento é 5 105 qual o valor limite para a viscosidade cinemática que mantenha o escoamento laminar na placa inteira Resposta 133 No escoamento de um fluido à temperatura Tf em torno de uma placa isotérmica temperatura Ts de dimensões L W o número de Nusselt médio é dado por Nu0x 2c Re12 x Pr13 Calcule a taxa de transferência de calor entre a placa toda e o fluido Resposta 134 Repita o exercício anterior porém considere agora que o número de Nusselt local seja conhecido dado por Nu c Re12 x Pr13 Resposta 135 Considere o escoamento de um fluido incidindo à temperatura Tf sobre uma placa de circuitos eletrônicos de dimensões L W e espessura desprezível Consi dere que a placa gera calor a uma taxa Q0 a qual é uniformemente distribuída so bre esta Calcule a temperatura máxima da placa supondo que o escoamento é pa ralelo a dimensão L e que o número de Nusselt local é dado por Nux c Re12 x Pr13 e que as propriedades não variam com a temperatura Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 13 Introdução à transferência de calor por convecção 114 136 Considere o escoamento unidirecional sobre uma placa plana cuja a primeira me tade na direção do escoamento encontrase à temperatura TA e o restante à tem peratura TB O fluido incide na placa à temperatura T1 Considerando que a viscosidade do fluido cai com a temperatura discuta se é melhor ter TA TB ou TB TA para que o escoamento mantenhase laminar na placa inteira Resposta 137 Considere o mesmo escoamento da questão anterior e que a placa tenha com primento L na direção do escoamento e largura W na direção perpendicular ao escoamento Supondo que o escoamento é laminar na placa inteira e que o número de Nusselt local é dado por Nux c Re12 x Pr13 c constante e que a dependência das propriedades com a temperatura é conhecida calcule a taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 14 Derivação das equações de transporte avançado Versão 036 300909 Estas notas de aula tem o objetivo de demonstrar como as equações de transporte na forma diferencial de massa momentum e energia são obtidas para um material qualquer 141 Definições iniciais Antes de proceder à dedução das equações apresentamse algumas ferramentas que serão utilizadas para a finalidade proposta 1411 Teorema da divergência Gauss Teorema da divergência forma tradicional para um vetor g Z V rg dV Z S g ˆn dA 141 Para um escalar Z V rdV Z S ˆn dA 142 e para um tensor de segunda ordem Z V rA dV Z S ˆnA dA 143 1412 Derivada material A derivada material consiste no cálculo da taxa de variação de uma quantidade no tempo associada à um elemento material ou seja acompanhando um elemento ao se movimentar pelo escoamento Esta é dada por D Dt t vr 144 115 14 Derivação das equações de transporte avançado 116 Onde o primeiro termo derivada parcial no tempo corresponde a taxa de variação local de uma propriedade em uma dada posição e o segundo termo corresponde ao componente convectivo ou advectivo da taxa de variação devido à presença de mo vimento no fluido A derivada material é também conhecida como derivada lagrangiana ou derivada substantiva 1413 Teorema de transporte Teorema de transporte de Reynolds d dt Z Vt dV Z Vt t dV Z St v ˆn dA 145 O qual também pode ser escrito em termos de uma quantidade por unidade de massa fazendo Ω ou seja qualquer propriedade intensiva d dt Z Vt Ω dV Z Vt t ΩdV Z St Ω v ˆn dA 146 Utilizando o teorema da divergência o teorema de transporte pode ser reescrito como d dt Z Vt dV Z Vt t dV Z Vt rvdV Z Vt µ t rv dV Z Vt µ t rv vr dV 147 Utilizando a definição de derivada material escrevese d dt Z Vt dV Z Vt µD Dt rv dV 148 142 Conservação da massa A conservação da massa postula que para um volume material1 de massa m a massa não pode variar dm dt 0 149 A massa m é dada pela integral da massa específica no volume de fluido m Z Vt Ω dV 1410 1volume material e sistema têm a mesma conotação como descrito nas notas de aula número 2 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 117 Para calcular a derivada da massa utilizase o teorema de transporte fornecendo d dt Z Vt Ω dV Z Vt Ω t dV Z St Ω v ˆn dA 1411 Resultando na seguinte forma integral para a conservação da massa Z Vt Ω t dV Z St Ω v ˆn dA 0 1412 Utilizando o teorema da divergência escrevese a equação anterior na seguinte forma Z Vt µΩ t Ω rv vrΩ dV 0 1413 Então observase que para um volume arbitrário a única forma de garantir a conserva ção da massa é igualando o integrando anterior à zero Ω t Ω rv vrΩ 0 1414 Resultando na tradicional forma diferencial para a conservação da massa também cha mada de equação da continuidade DΩ Dt Ω rv 0 1415 143 Balanço de quantidade de movimento linear O balanço de quantidade de movimento ou momentum linear equivale à aplicação da segunda lei de Newton a um volume material ou seja a taxa de variação do momentum linear p é igual à resultante das forças atuando sobre o volume material dp dt f 1416 O momentum linear é dado pela integral do momentum incluindo cada porção de massa infinitesimal que compõe o volume material p Z Vt v dm Z Vt Ω v dV 1417 Desta forma para calcular a taxa de variação do momentum de um corpo fluido utiliza se o teorema de transporte que fornece d dt Z Vt Ω v dV Z Vt t Ω vdV Z St Ω v v ˆn dA 1418 A resultante das forças que atuam sobre o volume material pode ser decomposta em uma parte volumétrica forças de ação à distância distribuída pelo volume Vt e uma Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 118 parte superficial forças de contato distribuída pela superfície St f f v f s 1419 Estas componentes são calculadas integrando a força por unidade de volume f 000 v no volume Vt e a força por unidade de área f 00 s na superfície St f v Z Vt f 000 v dV 1420 f s Z St f 00 s dA 1421 E equação de balanço de quantidade de movimento linear ou equação de movi mento na forma integral é então dada por Z Vt t Ω vdV Z St Ω v v ˆn dA Z Vt f 000 v dV Z St f 00 s dA 1422 1431 Força atuando sobre o volume de um elemento de fluido Comumente forças por atuando sobre o volume de um corpo na forma de forças de ação à distância são escritas em termos de força por unidade de massa de fluido Desta forma chegase à f 000 v Ω b 1423 1424 onde b de body force é a força por unidade de massa atuando sobre cada elemento infinitesimal do corpo fluido b bxt com x 2 Vt 1432 Força atuando sobre a superfície de um elemento de fluido A força atuando sobre uma porção infinitesimal de uma superfície de um elemento de fluido depende da orientação da superfície descrita pelo vetor normal a esta ˆn e é escrita utilizando o tensor de tensões2 f 00 s T T ˆn 1425 Onde ambos o tensor de tensões e o vetor normal podem variar com a posição na su perfície 2alguns autores utilizam uma diferente convenção para os componentes do tensor de tensões resultando em f 00 s T ˆn Todavia neste texto a notação apresentada é utilizada Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 119 1433 Equação diferencial de movimento eq de Cauchy Substituindo as expressões para as forças atuando sobre elementos infinitesimais de volume e superfície do fluido na equação integral de movimento chegase à Z Vt t Ω vdV Z St Ω v v ˆndA Z Vt Ω b dV Z St T T ˆn dA 1426 Utilizando o teorema da divergência para o termo da quantidade de movimento Z St Ω v v ˆndA Z Vt rΩ v vdV 1427 E para o termo envolvendo a integral da força de superfície Z St T T ˆn dA Z Vt rT dV 1428 e finalmente substituindo na equação integral 1426 obtémse Z Vt t Ω vdV Z Vt rΩ v vdV Z Vt Ω b dV Z Vt rT dV 1429 Rearrumando a equação acima encontrase Z Vt µ t Ω v rΩ v v Ω b rT dV 0 1430 onde fica evidente que para um volume arbitrário o integrando deve ser nulo ou seja t Ω v rΩ v v Ω b rT 1431 As derivadas no lado esquerdo desta equação podem ser expandidas resultando em t Ω v Ω v t v Ω t 1432 rΩ v v vrΩv Ω rvv Ω rvv 1433 Tomando a conservação da massa multiplicada pela velocidade Ω t v Ω rvv vrΩv 0 1434 O termo do lado esquerdo da equação 1431 pode então ser escrito na forma t Ω v rΩ v v Ω v t Ω rvv 1435 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 120 O último termo no lado direito pode ser escrito nas diferentes formas Ω rvv Ω vrvT Ω vrv 1436 Com as considerações anteriores chegase à equação de movimento para um fluido na forma diferencial conhecida como a equação de movimento de Cauchy3 Ω µv t vrv Ω b rT 1437 Finalmente utilizando a definição de derivada material encontrase Ω Dv Dt Ω b rT 1438 144 Balanço de energia Iniciandose com um balanço geral de energia para um sistema ou seja um volume material recorrese às equações 229 e 230 modificadas para que a taxa de trabalho seja positiva quando realizada sobre o volume material de fluido µdE dt sist µdU dt dK dt d dt sist Q Wnc Eg 1439 µdU dt dK dt sist Q Wnc Wc Eg 1440 lembrando que ambas as formas podem ser utilizadas e levarão ao mesmo resultado Adotando a segunda forma como ponto de partida a taxa de trabalho realizado por todas as forças deve ser considerado Como há dois tipos de forças atuando sobre o fluido volumétricas e de superfície a taxa de realização de trabalho sobre o fluido W é decomposta no trabalho de forças volumétricas ou de corpo e o trabalho das forças atuando na superfície do volume considerado W Wv Ws 1441 E consequentemente a equação de balanço de energia para um volume material é dada por µdU dt dK dt sist Q Wv Ws Eg 1442 1441 Taxa de transferência de calor A taxa de transferência de calor para dentro do corpo é escrita em termos do vetor fluxo de calor onde o sinal negativo explicita que o sentido da transferência é para dentro do 3em homenagem ao pesquisador francês AugustinLouis Cauchy Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 121 corpo Q Z St q00 ˆn dA 1443 Como considerase um corpo de fluido material temse sempre o mesmo conjunto de partículas e então todas as trocas térmicas ocorrem por contato com outros meios ou partículas externas ao corpo que não cruzam a superfície deste naturalmente desprezando se a transferência de calor por radiação no fluido Desta maneira só pode haver trans ferência de calor na superfície do corpo por condução Utilizando a lei de Fourier para a condução de calor podese escrever o vetor fluxo de calor q00 k rT 1444 Onde a condutividade térmica k é um escalar pois o fluido é considerado um meio isotrópico Caso contrário um tensor de condutividade térmica tensor simétrico de segunda ordem deve ser utilizado no lugar Q Z St k rT ˆn dA 1445 Utilizando o teorema da divergência Q Z Vt r k rT dV 1446 1442 Energia específica e geração interna de energia Energia é uma quantidade extensiva sendo proporcional à massa do corpo fluido e portanto é calculada em termos da energia específica e integrandoa na massa do corpo E Z Vt e Ω dV 1447 Desta forma as energias interna e cinética extensivas são dadas por U Z Vt ei Ω dV K Z Vt eK Ω dV 1448 onde a energia cinética específica é escrita como eK 1 2 vv 1449 e para simplificar o desenvolvimento a energia e será considerada como a soma das parcelas interna e cinética e ei eK 1450 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 122 O termo Eg representa a taxa de geração interna de energia distribuída no volume do corpo fluido sendo escrita na seguinte forma Eg Z Vt g 000 dV 1451 onde g 000 é taxa de energia gerada internamente ou seja convertida de outras formas de energia por unidade de volume 1443 Taxa de realização de trabalho As taxas de trabalho das forças de volumétrica e de superfície são calculados integrando no volume considerado Wv Z Vt vf 000 v dV e Ws Z St vf 00 s dA 1452 em termos da força de corpo por unidade de massa b a taxa de trabalho Wv é dada por Wv Z Vt vb Ω dV 1453 Como a força superficial pode ser escrita em termos do tensor de tensões o trabalho Ws pode ser expresso na forma Ws Z St v T T ˆn dA 1454 1444 Equação da energia na forma integral Dando continuidade aos pontos mencionados anteriormente a equação na energia na forma integral é escrita como d dt Z Vt e Ω dV Z St q00 ˆn dA Z Vt vf 000 v dV Z St vf 00 s dA Z Vt g 000 dV 1455 Utilizando o teorema de transporte de Reynolds obtémse Z Vt t e ΩdV Z St e Ω v ˆndA Z St q00 ˆn dA Z Vt vf 000 v dV Z St vf 00 s dA Z Vt g 000 dV 1456 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 123 e substituindo o fluxo de calor e as forças de corpo e de superfície chegase a Z Vt t e ΩdV Z St e Ω v ˆndA Z St k rT ˆn dA Z Vt Ω vb dV Z St v T T ˆn dA Z Vt g 000 dV 1457 1445 Formulação diferencial da equação da energia Utilizando o teorema da divergência Z Vt t e ΩdV Z Vt re Ω vdV Z Vt rk rT dV Z Vt Ω vb dV Z Vt r T v dV Z Vt g 000 dV 1458 Combinando todas as integrais Z Vt µ t e Ω re Ω v rk rT Ω vb r T v g 000 dV 0 1459 chegase a conclusão que para um volume arbitrário Vt o integrando deve ser nulo ou seja t e Ω re Ω v rk rT Ω vb r T v g 000 1460 Expandindo as derivadas do lado esquerdo t e Ω Ω e t e Ω t 1461 re Ω v e Ω rv e vrΩ Ω vre 1462 observase que o lado esquerdo pode ser reescrito como t e Ω re Ω v Ω µe t vre e µΩ t rΩ v 1463 que utilizando a equação da continuidade e a definição de derivada material transforma se em t e Ω re Ω v Ω µe t vre Ω De Dt 1464 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 124 fazendo com que a equação da energia seja escrita na forma Ω De Dt rk rT Ω vb r T v g 000 1465 Introduzindo a expressão para energia e escrita em termos da energia interna e a cinética a derivada material é expandida na forma De Dt Dei Dt DeK Dt Dei Dt 1 2 D Dt vv Dei Dt v Dv Dt 1466 e o termo do trabalho das forças de superfície pode também ser expandido r T v vrT T Trv 1467 com estas substituições a equação é reescrita como Ω µDei Dt v Dv Dt rk rT Ω vb vrT T Trv g 000 1468 onde podese observar que se subtrairse o produto escalar da equação do movimento 1437 com a velocidade Ω v Dv Dt Ω vb vrT 1469 simplificase o balanço energético chegandose a seguinte forma Ω Dei Dt rk rT T Trv g 000 1470 1446 Formulação em termos da entalpia Introduzindo a definição de entalpia i ei p Ω 1471 temse di dei 1 Ω dp p Ω2 dΩ 1472 e a derivada material da energia interna é escrita como Dei Dt Di Dt 1 Ω Dp Dt p Ω2 DΩ Dt 1473 ou utilizando a equação da continuidade Dei Dt Di Dt 1 Ω Dp Dt p Ω rv 1474 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 125 Chegase a seguinte forma para equação da energia Ω Di Dt rk rT T Trv Dp Dt p rv g 000 1475 1447 Formulação em termos da temperatura Relações entre entropia entalpia e energia interna T ds di 1 Ω dp e T ds dei p Ω2 dΩ 1476 Escrevendo a entropia específica como função das propriedades termodinâmicas p e T ou seja s sTp concluise que ds µ s T p dT µ s p T dp 1477 Utilizando as relações de Maxwell 8 encontrase µ s p T µ1Ω T p 1 Ω2 µ Ω T p 1478 expressando o calor específico a pressão constante na forma cp µ i T p T µ s T p 1479 e introduzindo o coeficiente de expansão térmica definido como Ø 1 Ω µ Ω T p 1480 uma variação infinitesimal de entropia pode ser expressa como ds µ s T p dT µ s p T dp cp T dT 1 Ω2 µ Ω T p dp cp T dT Ø Ω dp 1481 Então uma variação infinitesimal na entalpia pode então ser escrita como di 1 Ω dp T ds 1 Ω dp cp dT ØT Ω dp cp dT 1 ØT 1 Ω dp 1482 Deste modo a derivada material da entalpia específica é escrita como Di Dt cp DT Dt 1 ØT 1 Ω Dp Dt 1483 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 126 e a equação da energia é reescrita na seguinte forma Ω cp DT Dt rk rT T rv p rv ØT Dp Dt g 000 1484 Para escoamentos incompressíveis4 a equação anterior pode ser simplificada pois Ø 0 e o divergente do campo de velocidades é nulo Nestes casos Ω cp DT Dt rk rT T Trv g 000 1485 Mais adiante para um fluido em repouso velocidades nulas a equação da energia toma a forma da equação da condução de calor para materiais isotrópicos Ω cp T t rk rT g 000 1486 145 Derivação das equações com volume de controle fixo INCLUIR Fica mais fácil de entender Exercícios 141 Considere o seguinte balanço de energia µdE dt sist Q W Eg a Discuta o significado de cada termo mostrando que a equação anterior pode ser escrita na forma abaixo identificando as quantidades associadas Z Vt t e ΩdV Z St e Ω v ˆndA Z St q00 ˆn dA Z Vt vf 000 v dV Z St vf 00 s dA Z Vt g 000 dV b Discuta os passos utilizados para desenvolver o balanço acima em cada pas 4Para estes casos os calores específicos cp e cv são iguais e comumente escrevese apenas c onde c cp cv Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 14 Derivação das equações de transporte avançado 127 sagem abaixo t e Ω re Ω v rk rT vf 000 v r vT g 000 Ω De Dt rk rT vf 000 v r vT g 000 Ω Dei Dt rk rT T rv g 000 Ω Di Dt rk rT T rv DP Dt P rv g 000 Ω cp DT Dt rk rT T rv P rv ØT DP Dt g 000 Ω cp DT Dt rk rT T rv Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 15 Interpretação das equações de transporte fluidos newtonianos em escoamento incompressível Versão 037 090913 Este capítulo tem a finalidade de apresentar as equações de transporte1 em uma forma simplificada a ser adotada na maior parte destas notas de aula Estas simplifi cações correspondem a fluidos newtonianos e escoamentos incompressíveis Para uma situação mais geral onde estas hipóteses não são consideradas consulte as notas de au las anteriores 151 Equações de transporte para um material qualquer Como mostrado nas notas de aula número as equações que regem o transporte de massa momentum linear e energia para um material qualquer em movimento são des critas abaixo Equação da continuidade princípio de conservação da massa DΩ Dt Ω rv 0 151 Equação diferencial de movimento Equação de Cauchy Ω Dv Dt Ω b rT 152 Equação da energia em três formulações diferentes energia interna entalpia e 1As equações de transporte são as equações que regem os fenômenos de transporte de massa momentum e energia 128 15 Interpretação das equações de transporte 129 temperatura Ω Dei Dt rk rT T Trv g 000 153 Ω Di Dt rk rT T Trv Dp Dt p rv g 000 154 Ω cp DT Dt rk rT T Trv p rv ØT Dp Dt g 000 155 152 Relação entre tensão e a taxa de deformação Para um fluido newtoniano o tensor de tensões é escrito na seguinte forma T p I 2µ µ E 1 3 rvI 156 onde E é o tensor taxa de deformação dado por E 1 2 rv rvT 157 Esta relação implica que a tensão em um fluido é varia linearmente com a taxa de de formação Esta hipótese é conhecida como a Lei da Viscosidade de Newton 153 Equação de movimento para fluidos newtonianos Substituindo a expressão para o tensor de tensões na equação de Cauchy chegase a Ω Dv Dt Ω b rp 2r µ µ E 1 3 rvI 158 Utilizando a definição de E chegase à seguinte forma para a equação de movimento Ω Dv Dt Ω b rp r µ µ rv rvT 2 3 rvI 159 Esta equação em conjunto com a equação de conservação da massa formam um sis tema de equações conhecido como as equações de NavierStokes2 Para viscosidade espacialmente uniforme Ω Dv Dt Ω b rp µr µ rv rvT 2 3 rvI 1510 Utilizando identidades vetoriais e simplificando obtémse Ω Dv Dt Ω b rp µ µ r2v 1 3 rrv 1511 2em homenagem aos pesquisadores ClaudeLouis Navier e George Gabriel Stokes Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 130 Para escoamentos incompressíveis a equação da continuidade é utilizada na simpli ficação da equação anterior fornecendo Ω Dv Dt Ω b rp µr2v 1512 Uma interpretação do balanço de quantidade de movimento linear acima pode ser feita escrevendo Ωtaxa de variação de momentum linear æ Ω forças de corpo æ Ω forças de pressão æ Ω forças de atrito æ 1513 Alternativamente reconhecendo que o termo do lado esquerdo da equação também pode ser visto como forças de inércia podese interpretar a equação anterior como um balanço de forças3 Ω forças de inércia æ Ω forças de corpo æ Ω forças de pressão æ Ω forças de atrito æ 1514 Os termos incluídos nas forças de inércia ou variação de momentum linear podem ser expandidos utilizando a definição de derivada material Dv Dt v t vrv 1515 e a equação resultante acima é interpretada como Ω aceleração de uma partícula fluida æ Ω aceleração local æ Ω aceleração advectiva æ 1516 onde a aceleração local corresponde a parcela da aceleração medida em uma posição fixa no escoamento e a aceleração advectiva corresponde a parcela devia ao movimento do fluido como um todo 154 Equação da energia Substituindo a expressão para o tensor de tensões para um fluido newtoniano na equa ção da energia obtémse Ω cp DT Dt rk rT 2µ µ E 1 3 rvI rv ØT Dp Dt g 000 1517 Utilizando a definição de E Ω cp DT Dt rk rT µ µ rv rvT 2 3 rvI rv ØT Dp Dt g 000 1518 3as forças de atrito são também chamadas de forças viscosas ou de fricção enquanto as forças de corpo são também chamadas de forças de ação à distância Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 131 Definese a taxa aquecimento por dissipação viscosa como sendo µ µ µ rv rvT 2 3 rvI rv 1519 E desta forma a equação da energia é escrita de maneira mais compacta Ω cp DT Dt rk rT µ ØT Dp Dt g 000 1520 Para escoamentos incompressíveis4 Ø 0 e equação é reescrita na seguinte forma Ω cp DT Dt rk rT µ g 000 1521 e o termo é simplificado para rv rvT rv 1522 Apesar da importância de escoamentos compressíveis escoamentos incompressíveis ocorrem com bastante freqüência e são mais fácil de analisar do ponto de vista matemá tico portanto neste texto introdutório a transferência de calor a maior parte dos escoa mentos serão considerados incompressíveis Escoamentos compressíveis serão tratados posteriormente em um capítulo separado Na ausência de geração interna de energia oriunda da conversão de outras formas de energia em energia térmica escrevese Ω cp DT Dt rk rT µ 1523 Uma interpretação para a equação da energia na forma acima5 pode ser feita escre vendo 8 taxa de variação da energia interna de uma partícula em movimento 9 8 taxa de transferência de calor por condução 9 8 taxa de aquecimento por atrito 9 1524 O termo do lado esquerdo da equação pode ser expandido utilizando a expressão para a derivada material Ω cp DT Dt Ω cp T t Ω cp vrT 1525 4Para estes casos os calores específicos cp e cv são iguais e comumente escrevese apenas c onde c cp cv 5na forma acima a taxa de variação da energia interna equivale à taxa de variação de entalpia que pode ser representada em termos da taxa de variação da temperatura Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 132 e esta equação pode ser interpretada como 8 taxa de variação da energia interna de uma partícula em movimento 9 8 taxa de variação local da energia interna 9 8 taxa de variação advectiva da energia interna 9 1526 O segundo termo deste balanço é também chamado de taxa de transferência de calor por advecção Com isto uma interpretação mais detalhada para equação da energia 1524 é feita 8 taxa de variação local da energia interna 9 8 taxa de transferência de calor por advecção 9 8 taxa de transferência de calor por condução 9 8 taxa de aquecimento por atrito 9 1527 Todavia se o termo de transferência advectiva for escrito do outro lado da equação obtémse 8 taxa de variação local da energia interna 9 8 taxa de transferência de calor por advecção 9 8 taxa de transferência de calor por condução 9 8 taxa de aquecimento por atrito 9 1528 O sinal negativo foi apenas introduzido na equação 1527 de modo que os termos ficassem positivos no lado direito da equação 1528 mesmo assim o sinal não mudaria o tipo de efeito que cada termo representa Na forma da equação 1528 verificase que a variação local da energia interna é devido a uma soma de efeitos de transferência de calor por advecção condução e ao aquecimento por atrito O mecanismo combinado de transferência de calor por condu ção e advecção é chamdado de transferência de calor por conveção Neste ponto devese ressaltar que diversos autores utilizam o termo convecção ao invés de advecção e vice versa sem fazer distinção entre os dois Neste texto será feita uma distinção clara entre os dois como definido acima Um forma muito comum para equação da energia é utilizada quando a condutivi dade térmica pode ser considerada constante DT Dt Ær2T µ Ω cp 1529 onde Æ é e difusividade térmica do fluido Æ kΩ cp Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 133 155 Interpretação do transporte por advecção e difusão Outra forma interessante de interpretar os termos das equações de transporte e em rela ção aos mecanismos de transporte de adveção e difusão Reescrevendo as equações de movimento e da energia na forma abaixo Ω v t Ω vrv µr2v Ω b rp 1530 Ω cp T t Ω cp vrT k r2T µ 1531 podese observar uma similaride nos termos à esquerda e no primeiro termo à direita das equaçoes Esta similaridade ocorre porque os mecanismos de transporte envol vidos também são similares Os demais termos funcionam como termos de geração que contribuem para um aumento da quantidade transportada devido a outros efeitos Lembrando que difusão de calor e condução são sinônimos podese então escrever uma interpretação para a equação de movimento na forma acima considerando os mecanis mos de transporte por difusão e advecção como 8 taxa de variação local de momentum 9 8 taxa de transferência de momentum por advecção 9 8 taxa de transferência de momentum por difusão 9 Ω forças de corpo æ Ω forças de pressão æ 1532 ficando similar à interpretação da equação da energia Desta forma comumente refere se aos termos de transferência por advecção como termos advectivos e de modo similar aos termos de transferência por difusão seja de calor ou momentum como termos difusi vos 156 Casos especiais de escoamentos Esta seção apresenta simplificações que podem ser feitas em algumas circunstâncias levando a casos especiais de escoamentos 1561 Escoamentos em regime permanente Para escoamentos em regime permanente não há variação temporal e portando os ter mos relativos à taxa de variação local seja da energia interna ou da aceleração anulam se de modo que as equações de movimento e energia são simplificadas para Ω vrv µr2v Ω b rp 1533 Ω cp vrT k r2T µ 1534 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 134 1562 Escoamento plano Outro caso simplificado de escoamentos ocorre em situações onde não há dependência em uma das direções coordenadas Em um escoamento plano as linhas de corrente são curvas planas6 em planos paralelos e onde a mesma condição de escoamento ou seja o mesmo campo de velocidade é observada em todos estes planos paralelos Este tipo de escoamento é comumente descrito utilizando coordenadas cartesianas onde não há dependência no campo de velocidade em uma das coordenadas Deste modo o escoa mento plano é um escoamento bidimensional pois o vetor velocidade depende apenas de duas variáveis independentes espaciais duas direções 1563 Escoamento axisimétrico Outro tipo de escoamento bidimensional é o escoamento axisimétrico Neste caso o escoamento é simétrico em relação a um eixo de modo que em um plano perpendicular a este eixo a velocidade só depende da distância deste eixo 1564 Escoamento unidimensional Um caso especial de escoamentos planos e axisimétricos ocorre quando só há depen dência da velocidade em uma coordenada espacial Este tipo de situação ocorre comum mente no estudo de escoamentos em dutos e canais para uma distância suficientemente grande da entrada do duto ou canal 1565 Escoamento uniforme Talvez a situação mais simples de escoamento ocorre quando não há dependência al guma na velocidade nas coordenadas espacias Nestes casos o fluido se desloca em movimento de corpo rígido e neste texto é chamado de escoamento uniforme7 Talvez este casos nem deveria ser chamado de escoamento pois não há deformação no fluido Entretanto ele pode ser utilizado para aproximar certas situações físicas e é bastante didático para ilustrar certas situações de transferência de calor 157 Equações nos sistemas de coordenadas comuns Para escrever as equações de transporte em um dado sistema de coordenadas basta escrever os operadores gradiente e divergente utilizando as fórmulas apropriadas En tretanto além de fazer isto é comum introduzir uma notação tradicional para escrever 6curvas contidas inteiramente num mesmo plano 7O termo escoamento em pistão também é encontrado na literatura ou até o termo em inglês plugflow é constantemente utilizado em textos em português Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 135 os componentes do vetor velocidade v uvw 1535 Devese também estar atento ao fato de para sistemas de coordenadas cujos vetores base variam com as coordenadas eg sistemas polares cilíndrico e esférico que termos adicionais irão aparecer devido as derivadas dos vetores base No sistema cartesiano as equações apresentadas para a simplificação em regime per manente escoamento incompressível e propriedades constantes são escritas na forma Ω µ u u x v u y w u z p x µ µ2u x2 2u y2 2u z2 Ω bx 1536a Ω µ u v x v v y w v z p y µ µ2v x2 2v y2 2v z2 Ω by 1536b Ω µ u w x v w y w w z p z µ µ2w x2 2w y2 2w z2 Ω bz 1536c Ω cp µ u T x v T y w T z k µ2T x2 2T y2 2T z2 µ 1536d enquanto no sistema de coordenadas polarcilíndrico as mesmas equações dadas por Ω vr vr r vµ r vr µ vz vr z v2 µ r p r µ µ1 r r µ r vr r 1 r 2 2vr µ2 2vr z2 vr r 2 2 r 2 vµ µ Ω br 1537a Ω µ vr vµ r vµ r vµ µ vz vµ z vr vµ r 1 r p µ µ µ1 r r µ r vµ r 1 r 2 2vµ µ2 2vµ z2 2 r 2 vr µ vµ r 2 Ω bµ 1537b Ω µ vr vz r vµ r vz µ vz vz z p z µ µ1 r r µ r vz r 1 r 2 2vz µ2 2vz z2 Ω bz 1537c Ω cp µ vr T r vµ r T µ vz T z k µ1 r r µ r T r 1 r 2 2T µ2 2T z2 µ 1537d onde devese ressaltar que no sistema cilíndrico o vetor velocidade é escrito em termos dos componentes v vr vµvz 1538 Exercícios 151 Escreva as equações de transporte massa momentum e energia para um fluido newtoniano em escoamento incompressível nos três sistemas de coordenadas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 136 Resposta 152 Considere as seguintes equações que regem o movimento e a transferência de ca lor em um fluido em escoamento plano u t u u x v u y 1 Ω p x µ2u x2 2u y2 v t u v x v v y 1 Ω p y µ2v x2 2v y2 u x v y 0 T t u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 µ Ω c a Discuta o significado de cada uma das equações acima fornecendo uma in terpretação para cada termo b Discorra sobre as leis equações constitutivas e hipóteses simplificadoras que resultam na forma apresentada acima c Cite casos em que o aquecimento por dissipação viscosa é importante e sim plifique as equações para casos onde este pode ser desprezível d Simplifique a equação para casos em regime permanente sem dissipação vis cosa de energia e Obtenha uma formulação simplificada para casos onde o escoamento é uni direcional Resposta 153 Considere as seguintes equações que regem o movimento e a transferência de ca lor em um escoamento escoamento axisimétrico coordenadas cilíndricas com x sendo a direção axial u t u u x v u r 1 Ω p x µ2u x2 1 r r µ r u r v t u v x v v r 1 Ω p r µ2v x2 1 r r µ r v r v r 2 u x 1 r r r v 0 T t u T x v T r Æ µ2T x2 1 r r µ r T r a Discuta o significado de cada uma das equações acima fornecendo uma in terpretação para cada termo b Discuta se o escoamento é compressível ou incompressível se o fluido é new toniano ou não newtoniano se o regime é permanente ou transiente e se a dissipação viscosa é considerada Justifique as respostas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 15 Interpretação das equações de transporte 137 c Simplifique a equação para casos em regime permanente sem dissipação vis cosa de energia d Obtenha uma formulação simplificada para casos onde o escoamento é uni direcional v 0 Resposta 154 Mostre que uma condição necessária para que exista um escoamento uniforme so bre uma superfície plana impermeável é que este seja sempre paralelo à superfície dica imagine o escoamento de um fluido ideal sem atrito Resposta 155 Obtenha uma expressão para o termo de aquecimento por dissipação viscosa no sistema cartesiano para escoamentos incompressíveis newtonianos e com de pendência em x e y apenas Resposta 156 Obtenha uma expressão para o termo de aquecimento por dissipação viscosa no sistema polarcilíndrico para escoamentos incompressíveis newtonianos e com dependência radial e axial apenas Resposta 157 Escreva a equação da energia em termos da temperatura para o escoamento axi simétrico em regime permanente de gases ideais sem geração de energia ou aque cimento viscoso Resposta 158 Repita o problema anterior considerando que não há movimento no fluido inter pretando os termos na equação Existe transferência de calor por convecção neste caso Resposta 159 Desprezando o aquecimento por atrito a taxa de variação da energia interna será maior em uma situação onde o vetor velocidade aponta no mesmo sentido do gradiente de temperatura ou em sentido contrário Resposta 1510 Verifique para um fluido newtoniano e escoamento incompressível que o sinal do termo de aquecimento por forças viscosas é sempre positivo Resposta 1511 Considere o escoamento entre duas placas paralelas 1 y 1 e 0 x 1 Dado que em um determinado instante a distribuição de temperatura no escoamento é dada por T x21 e que a distribuição de velocidades é dada por u 1y2 e v 0 calcule as contribuições advectiva e difusiva as taxas líquidas de transferência de calor por advecção e condução para a taxa de variação da temperatura no tempo T t Indique em que regiões deste escoamento só um dos efeitos advecção ou difusão está presente Resposta 1512 Para o problema anterior calcule o vetor fluxo de calor por advecção Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 16 Equações de camada limite laminar Versão 039 140513 Estas notas de aula tem a finalidade de começar a introduzir as noções da transferên cia de calor no escoamento externo Para tal iniciase o estudo de camada limite Apesar do estudo de camadas limites possuírem mais aplicações em escoamentos externos as idéias aqui introduzidas servirão também para o estudo de escoamentos internos 161 Formulação simplificada para fluidos newtonianos As equações de NavierStokes para um fluido newtoniano incompressível em um es coamento plano velocidade dada por componentes nas direções x e y apenas v ex u v e y v e v ez 0 em regime permanente t 0 desconsiderando os efeitos de forças de corpo1 b 0 e com propriedades constantes são reescritas na forma u u x v u y 1 Ω p x µ2u x2 2u y2 161a u v x v v y 1 Ω p y µ2v x2 2v y2 161b e a equação da continuidade é dada por u x v y 0 161c Com as simplificações supracitadas a equação da energia é escrita na forma u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 c 161d onde o termo de aquecimento por dissipação viscosa também é simplificado Vale a pena ressaltar que as fórmulas anteriores formam um sistema de quatro equações e quatro incógnitas u v p e T 1lembrando que os termos de pressão podem absorver as forças de corpo dado que estas sejam forças de campo 138 16 Equações de camada limite laminar 139 1611 Formulação em termos da função corrente Em escoamentos bidimensionais incompressíveis é comum escrever as velocidades em termos da função corrente u y e v x 162a pois desta forma a equação da continuidade 161c é automaticamente satisfeita u x v y x µ y y µ x 2 xy 2 yx 0 162b Em termos da função corrente as equações de momentum2 linear e energia são rees critas na forma y 2 xy x 2 y2 1 Ω p x µ 3 x2 y 3 y3 163a y 2 x2 x 2 y x 1 Ω p y µ3 x3 3 y2 x 163b 163c y T x x T y Æ µ2T x2 2T y2 c 163d Devese observar que a vantagem de utilizar a função corrente é que eliminase uma equação Entretanto aumentase a ordem das equações 162 Definição de camada limite dinâmica e térmica A camada limite dinâmica3 consiste na região de um escoamento próxima a uma fron teira sólida onde a velocidade varia desde zero na superfície sólida até a velocidade do escoamento externo Seguindo esta idéia definese a espessura de camada limite dinâmica como sendo a distância contada a partir da superfície sólida até onde a velocidade se iguala a velocidade fora da camada limite A figura 161 apresenta um gráfico da ca mada limite que se desenvolve sobre uma placa plana Em azul são mostrados o perfil de velocidade em diferentes posições x no escoamento Para o escoamento sobre uma superfície paralela ao eixo x a camada limite dinâmica consiste na região delimitada por y 0 contato do fluido com a superfície onde ux0 0 e vx0 0 164 correspondendo respectivamente à condição de nãodeslizamento na superfície sólida e à condição de impermeabilidade da mesma superfície A outra fronteira da camada 2ou quantidade de movimento 3também chamada de camada limite hidrodinâmica ou de velocidade ou até cinética Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 140 0 2 4 6 8 10 x 2 4 6 8 y Figura 161 Camada limite dinâmica limite seria teoricamente definida como ux u1 165 Todavia a variação da velocidade na camada limite é assintótica fazendo com que as equações acima representem de fato lim y1ux y u1 166 Para obter uma tamanho finito significativo para a camada limite na prática definese a espessura da seguinte forma ux 099u1 167 ou seja é a distância desde a superfície sólida até onde a velocidade na camada limite vale 99 da velocidade longe da superfície sólida4 Na figura 161 o ponto que cor responde a espessura da camada definida pela equação 167 é mostrado em vermelho para as diferentes posições cujo o perfil de velocidades foi desenhado Naturalmente a linha tracejada corresponde à variação de com x A camada limite térmica é definida de maneira similar à camada dinâmica sendo a região onde a temperatura varia desde a temperatura da parede até a temperatura do escoamento externo à camada limite Seguindo o mesmo raciocínio utilizado para a camada dinâmica definese uma espessura de camada limite térmica como sendo T xT Ts 099T1 Ts 168 4A região fora da camada limite é muitas vezes chamada de escoamento externo à camada limite Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 141 0 2 4 6 8 10 x 2 4 6 8 y Figura 162 Camada limite térmica com Ts T1 onde Ts é o valor da temperatura na parede que para um caso mais geral também pode depender de x É importante observar no caso da camada limite térmica que como a temperatura na parede não necessariamente é nula é preciso utilizar a diferença de temperatura T Ts na definição acima A figura 162 apresenta um esboço da camada limite térmica e perfis de temperatura em três diferentes posições no escoamento Nova mente o ponto vermelho marca a posição onde y T de acordo com a equação 168 A camada limite pode ser imaginada como sendo a região do escoamento que sente a presença da fronteira sólida Naturalmente devese esperar que as espessuras de ca mada limite variem com a posição x devido ao crescimento da região afetada pela pre sença a superfície sólida a medida que o escoamento progride na direção x Portanto x e T T x 169 163 Derivação das equações de camada limite 1631 Hipótese de camada limite esbelta A hipótese tradicionalmente utilizada consiste em assumir que a região compreendida pela camada limite é esbelta Ou seja as espessuras das camadas limites dinâmica e térmica são pequenas comparadas à dimensão característica na direção do escoamento ø L e T ø L 1610 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 142 o que implica em 1 2 1 L2 e 1 2 T 1 L2 1611 Esta hipótese foi proposta pelo cientista alemão Ludwig Prandtl em 1904 Prantdt por muitos é considerado o pai da aerodinâmica moderna 1632 Análise de escalas As escalas ou ordens de magnitude das quantidades envolvidas nas equações de trans porte são determinadas reconhecendo quais são os valores característicos para cada va riável na região das camadas limites Por exemplo na camada limite dinâmica região delimitada por 0 y e 0 x L a velocidade varia desde zero até u1 Desta forma nesta região as escalas de x y u e os respectivos diferenciais são dadas por u ª u1 x ª L y ª 1612a du ª u1 dx ª L dy ª 1612b onde a notação ª indica a escala ou ordem de magnitude da grandeza Por exemplo nas equações acima lêse que a escala de u é u1 ou que u é da ordem de u1 Já na camada limite térmica região delimitada por 0 y T e 0 x L a tempe ratura varia desde Ts até T1 Definindo T Ts T1 podese então escrever para esta região x ª L y ª T T ª T 1613a dx ª L dy ª T dT ª T 1613b Com base nos valores acima a escala de alguns termos nas equações de movimento são diretamente obtidas u u x ª u2 1 L 2u x2 ª u1 L2 2u y2 ª u1 2 1614 As escalas das derivadas na equação da continuidade são dadas por u x ª u1 L e v y ª v 1615 onde a escala do componente de velocidade v ainda é desconhecida Todavia dentro da camada limite dinâmica a equação da continuidade exige que exista um balanço entre duas derivadas u x ª v y 1616 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 143 levando à seguinte conclusão dv ª v ª u1 L 1617 Com o resultado acima as escalas dos demais termos podem ser determinadas v u y ª u1 L u1 u2 1 L 1618a u v x ª u1 µ u1 L 1 L u2 1 L L 1618b v v y ª µ u1 L 2 1 u2 1 L L 1618c 2v x2 ª u1 L 1 L2 1618d 2v y2 ª u1 L 1 2 u1 1 L 1618e Nas equações de momentum dentro da camada limite dinâmica deve sempre haver um balanço de forças de inércia e forças viscosas5 portanto nenhum destes efeitos pode ser desprezado Entretanto entre os termos de inércia um componente pode ter mais importância que outro e o mesmo pode ocorrer entre os termos viscosos Comparando agora a escala dos termos de inércia da equação de movimento para a direção x observase que estes têm o mesmo valor u u x ª v u y ª u2 1 L 1619 mostrando que ambos os termos têm a mesma importância na equação No entanto ao comparar os termos viscosos percebese que a difusão na direção y terá maior impor tância que na direção x pois 2u x2 ª u1 L2 e 2u y2 ª u1 2 1620 e seguindo a hipótese de camada limite esbelta 1610 concluise que dentro da camada limite dinâmica 2u x2 ø 2u y2 e 2v x2 ø 2v y2 1621 ou de uma maneira mais geral que 2 x2 ø 2 y2 1622 5Fora da camada limite onde os efeitos viscosos são irrelevantes existe um balanço entre as forças de inércia e pressão Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 144 Usando o mesmo argumento verificase que na camada limite térmica as escalas das segundas derivadas são dadas por 2T x2 ª T L2 e 2T y2 ª T 2 T 1623 mostrando que dentro da camada limite térmica a difusão de calor na direção y é mais importante que na direção x ou seja 2T x2 ø 2T y2 1624 Os argumentos anteriores permitem que os termos difusivos nas equações de movi mento e da energia sejam reescritos utilizando as aproximações abaixo 2T x2 2T y2 º 2T y2 2u x2 2u y2 º 2u y2 e 2v x2 2v y2 º 2v y2 1625 Desta forma as equações originais são simplificadas produzindo u u x v u y 1 Ω p x 2u y2 1626a u v x v v y 1 Ω p y 2v y2 1626b u T x v T y Æ2T y2 c 1626c Como na camada limite dinâmica deve sempre existir um balanço entre as forças de inércia e viscosas os termos relativos à força de pressão podem no máximo ter a mesma ordem de magnitude que os demais termos nas equações Desta forma as escalas dos termos envolvendo o gradiente de pressão devem respeitar os balanços p x ª Ω u u x ª Ω v u y ª µ 2u y2 1627a p y ª Ω u v x ª Ω v v y ª µ 2v y2 1627b e assim as escalas dos termos envolvendo a pressão são dadas por p x ª Ω u2 1 L ª µ u1 2 1628a p y ª Ω u2 1 L L ª µ u1 2 L 1628b Considerando agora que a pressão é uma função de x e y um diferencial de pressão Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 145 dp é dado por dp p x dx p y dy 1629a Dividindo a equação anterior por dx obtémse dp dx p x p y dy dx 1629b e então analisando a ordem de magnitude dos termos à direita chegase ao seguinte resultado p x ª Ω u2 1 L e p y dy dx ª Ω u2 1 L 2 L2 1629c Observando o resultado anterior percebese que a contribuição da direção y para o gradiente de pressão é bem menor que a da direção x Com isto concluise que dentro da camada limite dinâmica a pressão pode ser tratada como uma função de x apenas ou seja dp dx º p x 1630 Isto significa que a pressão não pode variar em y dentro da camada limite fazendo com que para cada posição x o valor de p seja igual ao valor da pressão imediatamente fora da camada limite ou seja em y Chamando a pressão do escoamento externo à camada limite de p1x y definese a pressão na borda da camada limite dinâmica como px p1xx 1631 Conseqüentemente o gradiente de pressão dentro da camada limite dinâmica é dado por6 p x º d dx p1x dp dx 1632 Assim finalmente as equações de camada limite são escritas como u u x v u y 1 Ω dp dx 2u y2 1633a u x v y 0 1633b u T x v T y Æ 2T y2 c 1633c 6Para simplificar a notação vários autores escrevem o gradiente de pressão na borda da camada limite apenas como dp1dx Todavia isto não é feito neste texto para evitar ambigüidade Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 146 Onde devese observar que em relação as equações originais reduzse o número de incógnitas de quatro para três u v e T pois a pressão é conhecida do escoamento externo à camada limite Logicamente reduzse também o número de equações não havendo necessidade da utilização da equação de movimento para a direção y Ainda outra importante observação do ponto de vista matemático é que nas equações de ca mada limite as derivadas em x são de primeira ordem implicando que não há necessi dade de especificar mais de uma condição de contorno para cada variável dependente nesta direção Em outras palavras o sistema de equações de camada limite é parabólico enquanto as equações de NavierStokes bidimensionais em regime permanente formam um sistema elíptico Utilizando a análise de escalas é possível também simplificar o termo de aqueci mento por dissipação viscosa resultando em 2 µu x 2 µu y 2 2 u y v x µv x 2 2 µv y 2 º µu y 2 1634 fazendo com que a equação da energia possa ser escrita na forma u T x v T y Æ 2T y2 c µu y 2 1635 1633 Formulação de camada limite em termos da função corrente Em termos da variável de função de corrente definida pelas equações 162a as equações de momentum e energia para a camada limite são reescritas na forma y 2 yx x 2 y2 1 Ω dp dx 3 y3 1636a y T x x T y Æ2T y2 c µ2 y2 2 1636b onde o sistema é reduzido de três para duas equações Todavia esta transformação faz com que a ordem das equações seja aumentada para três a maior derivada é de terceira ordem Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 147 164 Escoamento externo à camada limite O escoamento fora da camada limite é dado pelas equações 161a 161b e 161c eliminando os efeitos viscosos u1 u1 x v1 u1 y 1 Ω p1 x 1637a u1 v1 x v1 v1 y 1 Ω p1 y 1637b u1 x v1 y 0 1637c as quais são denominadas Equações de Euler7 constituindo um sistema bem mais sim ples que o dado por 161a 161b e 161c A solução para este tipo de sistema válido para escoamentos de fluidos ideais sem atrito ainda pode ser bastante simplificada se o escoamento for irrotacional Nesta condição qualquer solução do tipo v r de nominada escoamento potencial resolve as equações de movimento Nestes casos as velocidades são escritas em termos do potencial de velocidade u1 x e v1 y 1638 Substituindo estas velocidades na equação da continuidade obtémse 2 x2 2 y2 0 1639 de modo que basta resolver a equação acima Equação de Laplace8 com as devidas condi ções de contorno para calcular as velocidades u1 e v1 Uma vez que estas velocidades sejam calculadas o campo de pressão pode ser determinado das equações de movi mento p1 x Ω µ u1 u1 x v1 u1 y 1640a p1 y Ω µ u1 v1 x v1 v1 y 1640b A argumentação acima mostra como a pressão depende do campo e velocidades e portanto dos parâmetros do escoamento externo à camada limite dinâmica como a geometria do problema Uma vez que a pressão seja calculado utilizando as equações anteriores ela pode ser utilizada para resolver as equações de camada limite utilizando a relação 1631 7em homenagem ao pesquisador suíço Leonhard Paul Euler pronunciase óiler 8em homenagem ao pesquisador francês PierreSimon Laplace Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 148 1641 Simplificação para escoamento unidirecional Quando o escoamento externo for unidirecional as equações são ainda mais simplifi cadas Neste caso a componente vertical da velocidade é nula9 v1 0 o que pela equação da continuidade leva à u1 x 0 1641 ou seja para que exista tal escoamento com as simplificações consideradas no início destas notas de aula u1 não pode variar com x ou seja u1 deve ser constante Estas simplificações fazem com que as equações 1640a e 1640b resultem em p1 x 0 1642a p1 y 0 1642b ou seja não há gradiente de pressão Isto faz com que a equação de balanço de forças de camada limite seja reescrita como u u x v u y 2u y2 1643 Aqui vale a pena ressaltar também a similaridade da equação de camada limite sim plificada com a equação de camada limite para o transporte de energia principalmente quando consideramse casos em que o aquecimento pela dissipação viscosa é desprezí vel u T x v T y Æ2T y2 1644 165 Normalização 1651 Adimensionalização das variáveis dependentes Definindo as seguintes variáveis adimensionais u u Ue v v Ue e T T Ts Te Ts 1645 onde Te e Ue são valores caraterísticos constantes para a temperatura e velocidade do escoamento Substituindo as variáveis acima nas equações dimensionais obtêmse as 9tanto faz considerar a componente vertical ou horizontal de velocidade desde que uma seja nula Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 149 seguintes equações u u x v u y 1 ΩU 2e dp dx Ue 2u y2 1646a u x v y 0 1646b u T x v T y Æ Ue 2T y2 1 Ue T c U 2 e µu y 2 1646c e as seguintes condições de contorno ux0 T x0 0 1647a ux1 T x1 1 1647b vx0 0 1647c u0 y T 0 y 1 para y 0 1647d onde deve ser observado que a superfície está à temperatura constante Ts 1652 Adimensionalização das variáveis independentes Definindo as seguintes variáveis adimensionais x x L e y y L 1648 obtêmse as seguintes equações u u x v u y 1 ΩU 2e dp dx Ue L 2u y2 1649a u x v y 0 1649b u T x v T y Æ Ue L 2T y2 Ue L U 2 e c T µu y 2 1649c e as seguintes condições de contorno ux0 T x0 0 1650a ux1 T x1 1 1650b vx0 0 1650c u0 y T 0 y 1 para y 0 1650d Introduzindo as definições dos números de Reynolds10 e Péclet11 baseados em um 10em homenagem ao pesquisador irlandês Osborne Reynolds 11em homenagem ao pesquisador francês Jean Claude Eugène Péclet pronunciase peclê Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 150 comprimento L e velocidade característica Ue ReL Ue L 1651 PeL Ue L Æ 1652 e a definição do Número de Brinkman Br µU 2 e k T 1653 as equações adimensionais são então escritas na forma u u x v u y dp dx Re1 L 2u y2 1654a u T x v T y Pe1 L µ2T y2 Br µu y 2 1654b onde a pressão adimensional é definida como p p ΩU 2e 1655 Neste momento devese ressaltar que a razão entre os números de Péclet e Reynolds é o parâmetro conhecido como Número de Prandtl PeL ReL Æ Pr 1656 onde devese observar que este parâmetro é função apenas do fluido em questão não dependendo do escoamento Ainda devese também ressaltar que a razão entre Br e Pr fornece um adimensional conhecido como Número de Eckert12 Br Pr ƵU 2 e k T U 2 e cp T Ec 1657 todavia este é utilizado em casos de escoamentos compressíveis e não deve ser empre gado na adimensionalização do termo de aquecimento viscoso na equação da energia Observando a forma das equações e condições de contorno percebese que as solu ções u e v dependerão das seguintes variáveis e parâmetros u ux yReLdp dx 1658a v vx yReLdp dx 1658b Observando a forma da equação da energia e condições de contorno concluise que 12em homenagem ao cientista alemão Ernst R G Eckert Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 151 a seguinte dependência para T ocorrerá T T x yReLPeLBruv 1659 Utilizando a dependência de u e v T T x yReLPeLBrdp dx 1660 e introduzindo o número de Prandtl chegase a T T x yReLPrBrdp dx 1661 No escoamento externo ao invés de trabalhar com números de Reynolds e Péclet baseados em comprimentos característicos constantes é comum utilizar definições em termos da posição percorrida pelo escoamento x Rex Ue x 1662a Pex Ue x Æ 1662b A relação entre estas formas e as anteriores é dada por Rex x L ReL x ReL 1663a Pex x L PeL x PeL 1663b e a razão entre Pex e Rex continua sendo o número de Prandtl Pex Rex Æ Pr 1664 Desta forma a dependência funcional de u v e T também pode ser escrita como u ux yRexdp dx 1665a v vx yRexdp dx 1665b T T x yRexPrBrdp dx 1665c Para escoamentos onde não houver gradiente de pressão fora da camada limite dp dx 0 as dependências funcionais são simplificadas u ux yRex 1666a v vx yRex 1666b T T x yRexPrBr 1666c Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 152 se também for constatado que o aquecimento por dissipação viscosa for desprezível a dependência funcional de T é reduzida para T T x yRexPr 1667 Se além destas simplificações ocorrer o caso de um fluido com Pr 1 ou seja Rex Pex as equações anteriores são novamente simplificadas fornecendo u ux yRex ux yPex 1668a v vx yRex vx yPex 1668b T T x yRex T x yPex 1668c O fato mais relevante quando todas estas simplificações coincidem é que a forma funcional para T e u será idêntica Isto pode ser concluído observando a forma das equações de camada limite de momentum e energia com as dadas simplificações Ou seja para dp dx 0 Br ø 1 e Pr 1 têmse u u x v u y Re1 L 2u y2 1669a u T x v T y Re1 L 2T y2 1669b com exatamente as mesmas condições de contorno para T e u Desta forma sob esta condições concluise que T x yRex ux yRex 1670 1653 Coeficientes convectivos formas adimensionais Substituindo as variáveis adimensionais nas definições do coeficiente de transferência de calor 1325 e do coeficiente de fricção 1327 obtêmse h k T y y0 Ts Te k µT y y0 k L µT y y0 1671a C f µuy y0 ΩU 2e 2 2 Ue µu y y0 2 Ue L µu y y0 1671b Com isso os números de Nusselt e Stanton locais são escritos na seguinte forma Nu h x k x µT y y0 x L µT y y0 1672a St h Ω cUe Æ Ue µT y y0 Æ Ue L µT y y0 1672b Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 153 Introduzindo os números de Reynolds e Péclet podese escrever C f 2 Ue x x L µu y y0 2Re1 x x µu y y0 2Re1 L µu y y0 1673a Nu x µT y y0 1673b St Æ Ue x x L µT y y0 Pe1 x x µT y y0 Pe1 L µT y y0 1673c Como os números acima dependem das derivadas adimensionais de u e T em rela ção à coordenada y avaliada em uma posição fixa y 0 podese concluir que haverá a seguinte dependência C f C f xRexdp dx 1674a Nu NuxRexPrBrdp dx 1674b St StxRexPrBrdp dx 1674c Para escoamentos com aquecimento viscoso desprezível e com dp dx 0 as de pendências anteriores são simplificadas C f C f xRex 1675a Nu NuxRexPr 1675b St StxRexPr 1675c Agora se além de dp dx 0 acontecer Pr 1 caíse no caso onde o perfil de velocidade u e o perfil de temperatura T são idênticos Desta forma T y u y e portanto utilizando as equações 1673a e 1673c concluise que C f 2St 1676 Esta relação é conhecida como a Analogia de Reynolds onde há semelhança total entre o escoamento e o perfil de temperatura sobre uma placa plana De maneira análoga comparando as equações 1673a e 1673b concluise que para este caso particular C f 2Re1 x Nu 1677 Exercícios 161 Partindo das equações em coordenadas cilíndricas para um escoamento axisimé trico isto é sem dependência em µ obtenha as equações de camada limite em regime permanente para este sistema de coordenadas Resposta 162 Discuta as vantagens de utilizar a formulação obtida com as simplificações de Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 16 Equações de camada limite laminar 154 camada limite Discuta o significado do termo dpdx e mostre que para o escoa mento sobre uma placa plana velocidade incidente paralela à placa dpdx 0 Resposta 163 Obtenha as equações de camada limite sobre uma placa plana considerando o termo de aquecimento por atrito Resposta 164 Obtenha as equações de camada limite sobre uma placa plana considerando o escoamento transiente Resposta 165 Obtenha uma forma normalizada ou seja adimensional para as equações de NavierStokes em regime permanente antes da simplificação para as equações de camada limite Resposta 166 Considere um escoamento uniforme u U constante sobre uma placa plana Longe da placa a temperatura do escoamento é T1 Para x 0 a placa está aquecida a temperatura Ts uniforme Assumindo que uma aproximação para o perfil de temperatura T c0 c1 c2 2 possa ser utilizada com yT onde T T x é a espessura da camada limite térmica responda aos itens a calcule o valor dos coeficientes c0 c1 e c2 b obtenha uma expressão para o número de Nusselt local Nu h xk em função da espessura de camada limite térmica c integre a equação da energia na direção y de 0 a Y onde Y T L e obtenha uma expressão para calcular T x para 0 x L Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 17 Análise de escalas em camada limite laminar escoamento sobre placa plana Versão 037 090913 171 Introdução As equações de camada limite para o escoamento unidirecional incompressível com propriedades constantes e sem dissipação viscosa sobre uma placa plana são dadas por u u x v u y 2u y2 171 u x v y 0 172 u T x v T y Æ2T y2 173 As quantidades de maior interesse prático são o coeficiente de fricção C f µuy y0 ΩU 212 174 e o coeficiente de transferência de calor por convecção h k T y y0 Ts T1 175 onde as velocidade e temperatura característica do escoamento fora da camada limite foram substituídas por U1 e T1 por se tratar de um problema de escoamento externo 172 Escalas envolvidas Para obter informações qualitativas sobre o problema considerado iniciase uma análise de escalas das equações envolvidas A escala ou ordem de magnitude das quantidades 155 17 Análise de escalas em camada limite laminar 156 que aparecem nas equações de camada limite de velocidade são dadas por1 u ª U x ª L y ª 176 du ª U dx ª L dy ª 177 Baseandose no resultado acima chegase a uma expressão para a variação do coefici ente de fricção C f ª µ U ΩU 2 U U L L Re1 L L 178 De maneira similar analisase a ordem de magnitude dos termos na equação da camada limite térmica dT ª T dx ª L dy ª T 179 as escalas acima permitem que uma expressão para a variação de h seja obtida h ª k T T T k T k L L T 1710 Portanto uma vez que as escalas das espessuras das camadas limites dinâmica e tér mica sejam obtidas informações sobre o coeficiente de arrasto e coeficiente convectivo poderão ser obtidas Resumindo o resultado acima C f ª Re1 L L 1711 h ª k L L T 1712 Naturalmente é conveniente expressar o resultado para o coeficiente convectivo em uma forma adimensional Portanto utilizase o número de Nusselt NuL h L k ª L T 1713 173 Espessura da camada limite dinâmica Na camada limite dinâmica existe sempre um balanço de efeitos de inércia ou forças de inércia e efeitos viscosos ou forças viscosas ou de atrito inércia ª atrito 1714 1onde U é utilizado ao invés de U1 para simplificar a notacão Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 17 Análise de escalas em camada limite laminar 157 Em relação aos termos da equação de momentum temse µ Ω u u x ª µ µ 2u y2 ou µ Ω v u y ª µ µ 2u y2 1715 onde a escala para a velocidade v é obtida da equação da continuidade fornecendo u x ª v y U L ª v v ª U L 1716 e por isso ambos os termos de inércia na equação de momentum tem a mesma escala Substituindo os valores para as escalas dos termos na equação 1715 obtémse Ω U 2 L ª µ U 2 1717 que é resolvido para L L ª µ µ ΩU L 12 Re12 L 1718 Com a espessura de camada limite variando desta forma a variação do coeficiente de atrito resulta em C f ª Re1 L L ª Re12 L 1719 174 Espessura da camada limite térmica Na camada limite térmica há sempre um balanço dos efeitos advectivos transferência de energia por advecção e difusivos transferência de energia por condução advecção ª difusão 1720 Em relação aos termos da equação da energia temse µ u T x ª µ Æ 2T y2 ou µ v T y ª µ Æ 2T y2 1721 Substituindo então as escalas dos termos na camada limite térmica chegase a u T L ª Æ T 2 T ou v T T ª Æ T 2 T 1722 Note porém que as escalas das velocidades u e v não foram substituídas Isto é feito pois a escala destes componentes depende da camada limite dinâmica e como ainda não foi estabelecido uma relação desta camada com a camada limite térmica ainda não é possível determinar estas escalas Nas seções seguintes analisamse duas situações Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 17 Análise de escalas em camada limite laminar 158 onde diferentes valores para estas escalas são obtidos 1741 Camada limite térmica mais espessa T Se a camada limite térmica for muito mais espessa que a dinâmica a escala para a velo cidade u dentro da camada limite térmica é naturalmente U A escala para a velocidade v novamente é obtida utilizando a equação da continuidade u ª U e v ª U L 1723 O mesmo resultado obtido na análise da espessura da camada limite dinâmica foi obtido para v Todavia devese ter em mente o seguinte a escala U para a velocidade u corresponde à uma variação 0 u U em uma distância 0 y então a escala para v deve ser tomada dentro desta mesma distância Por isso fazse a análise da equação da continuidade na região 0 y onde a escala para dy é naturalmente Os resultados anteriores levam a U T L ª Æ T 2 T ou U L T T ª Æ T 2 T 1724 Como T o termo advectivo que balanceia os efeitos difusivos é o de maior escala U T L Desta forma obtémse a seguinte variação para a espessura de camada limite térmica 2 T L2 ª Æ U L Æ U L Pr1 Re1 L 1725 T L ª Pr12 Re12 L 1726 Utilizando este resultado o número de Nusselt tem a seguinte escala NuL ª L T ª Pr12 Re12 L 1727 Calculando a razão entre as espessuras de camada limite dinâmica e térmica chega se a T ª Pr12 1728 e devido a hipótese considerada T concluise que a análise aqui feita é valida para os casos com Pr Æ ø 1 1729 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 17 Análise de escalas em camada limite laminar 159 1742 Camada limite térmica mais esbelta T ø Quando a camada limite térmica é bem mais fina que a dinâmica a escala para a ve locidade u naturalmente necessita ser menor que U Como a análise feita considera a ordem de magnitude dos termos utilizase uma simples proporção para obter a escala da velocidade u dentro da camada limite térmica u ª U T 1730 isto equivale considerar uma variação linear para u o que é bem razoável dentro te uma análise de escalas Para determinar a escala para a velocidade v utilizase o raciocínio anterior A escala U T corresponde a variação de u no intervalo 0 y T portanto o mesmo intervalo deve ser utilizado para determinar v da equação da continuidade Ou seja u x ª v y u L ª v T v ª u T L 1731 Assim as escalas para as velocidades u e v dentro da camada limite térmica são dadas por u ª U T e v ª U T T L 1732 Substituindo estes resultados na equação 1721 U T T L ª Æ T 2 T ou U T T L T T ª Æ T 2 T 1733 observase que ambos os termos advectivos tem a mesma escala Dos balanços acima calculase então a escala da espessura da camada limite térmica 3 T L3 ª L Æ LU L Æ LU ª Re12 L Pr1 Re1 L Re32 L Pr1 1734 T L ª Pr13 Re12 L 1735 Com a variação obtida acima o número de Nusselt resultante é dado por NuL ª L T ª Pr13 Re12 L 1736 Calculando a razão entre as espessuras de camada limite dinâmica e térmica encontra se T ª Pr13 1737 e devido a hipótese considerada T ø concluise que a análise aqui feita é valida Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 17 Análise de escalas em camada limite laminar 160 para os casos com Pr Æ 1 1738 Exercícios 171 Considere o escoamento uniforme ou seja u U com U constante sobre uma su perfície plana de dimensões L na direção de u e W A temperatura da superfície é Ts e do fluido distante da superfície é Tf Utilizando análise de escalas deter mine a escala da espessura de camada limite térmica e a escala para o Número de Nusselt Resposta 172 Considere o escoamento laminar sobre uma placa plana adiabática havendo aque cimento por atrito Sabese que longe da placa o perfil de velocidades é dado por u U1 constante Utilizando análise de escalas para um fluido com Pr 1 faça um balanço dos termos de advecção com os termos de aquecimento viscoso e obtenha a escala para a variação de temperatura T Ts T1 Resposta 173 Para o problema anterior não é possível que T seja menor que entretanto é razoável esperar que º T Por quê O que ocorreria se o número de Prandtl fosse muito pequeno Resposta 174 Um bloco sólido se move à velocidade constante U sendo arrastado sobre uma superfície plana lisa Após passar pela posição x 0 a superfície tornase rugosa havendo portanto aquecimento por atrito Isto faz com que haja um fluxo de calor dado por q00 U 2 onde é uma constante nesta região Assumindo que o bloco é suficientemente alto na direção y podese analisar o problema como o de camada limite com escoamento uniforme à velocidade U Sabendo que a temperatura do bloco longe da superfície plana é T1 responda aos seguintes itens a Obtenha a escala para a variação da temperatura no sólido T T1 b Calcule a escala para o espessura do sólido que é aquecida devido ao atrito c Obtenha a escala para o número de Nusselt Resposta 175 Considere o escoamento formado no espaço entre duas placas paralelas infinitas com a superior y H estando à velocidade U e a inferior y 0 parada Para x 0 o fluido e a placa inferior encontramse a temperatura T1 enquanto para x 0 a placa inferior encontrase a Ts A placa superior é mantida a temperatura T1 para qualquer valor de x Sabendo que a equação da energia para camada limite térmica é dada por u T x v T y Æ2T y2 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 17 Análise de escalas em camada limite laminar 161 e que até a posição onde T H uma análise de camada limite térmica pode ser feita responda aos itens abaixo a Utilizando análise de escalas obtenha a escala para a espessura de camada limite térmica em relação ao comprimento aquecido L ou seja T L b Calcule a escala para o comprimento L onde a placa superior começa a trocar calor com o fluido Resposta 176 Considere o escoamento laminar em regime permanente em torno de uma placa plana isotérmica temperatura Ts de comprimento L O escoamento incide sobre a placa paralelo à esta com velocidade U1 e temperatura T1 Sabendo que o coeficiente de fricção e o número de Nusselt locais são dados pela seguintes ex pressões C f c1 Re12 x Nu c1 f PrRe12 x onde f Pr é uma função de Prandtl Rex U1 x e que todas as propriedades do fluido são conhecidas responda aos itens abaixo a Utilizando as correlações acima calcule a taxa de transferência de calor en tre a placa duas superfícies e o fluido assim como a força necessária para manter a placa em repouso b Utilizando análise de escalas obtenha a escala para f Pr para os limites com Pr 1 e Pr ø 1 e pondere sobre o valor da escala da constante c1 c Explique o que é a Analogia de Reynolds mostrando quando esta é satisfeita pelas correlações fornecidas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 19 Camada limite laminar sobre placa plana solução por similaridade avançado Versão 035 090913 191 Introdução As equações de camada limite laminar são dadas por u u x v u y 1 Ω dp dx 2u y2 191 u x v y 0 192 u T x v T y Æ2T y2 µ Ω c 193 Lembrando que dpdx é o gradiente de pressão do escoamento externo na borda da camada limite como definido pela equação Para escoamento sobre placa plana desprezando a dissipação viscosa encontrase u u x v u y 2u y2 194 u T x v T y Æ2T y2 195 Novamente devese ressaltar que as grandezas de interesse prático a ser determina das são o coeficiente de atrito C f e o número de Nusselt ou alternativamente o número de Stanton C f f 00 t ΩU 212 µuyy0 ΩU 212 2uyy0 U 21 196 Nu h x k x k T yy0 k Ts T1 x T yy0 Ts T1 197 St h Ω cU1 k T yy0 Ω cU1Ts T1 ÆT yy0 U1Ts T1 198 173 19 Camda limite solução por similaridade avançado 174 Onde uma definição local em termos da posição na superfície x é utilizada para o Nus selt 192 Similaridade na camada limite dinâmica A idéia por trás da solução por similaridade é que o perfil de velocidade ux y é similar em diferentes posições x Ou seja há um perfil equivalente em cada posição x este estando simplesmente em uma outra escala devido à variação da espessura da camada limite Podese imaginar que o mesmo perfil é gradualmente esticado em y à medida que cresce com x Raciocinando desta maneira definese uma variável adimensional que normaliza y y x 199 Esta variável é chamada de variável de similaridade Desta forma a similaridade do perfil de velocidade como descrito acima pode ser escrita da seguinte maneira u ux y U1 1910 onde fica claro que ambos e variam entre zero e um E equação anterior é a repre sentação matemática da hipótese de similariade que diz ser possível escrever o perfil de velocidade em função de uma única variável de similaridade definida anteriormente Para obter a variação de com a posição x na placa utilizase o resultado obtido da análise de escalas nas equações de camada limite x ª Re12 x 1911 Desta forma a variável é escrita como y x Re12 x y x r U1 x y s U1 x 1912 A hipótese de similaridade é verificada através da introdução da variável de simi laridade nas equações de camada limite transformando o problema então em um sistema de equações diferenciais ordinárias como descrito a seguir Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 175 193 Transformação da equação de momentum Para que um perfil de velocidade na forma apresentada na equação 1910 seja obtido a função corrente é escrita na seguinte forma f U1 r x U1 1913 Assim as componentes do vetor velocidade são calculadas fornecendo u y y U1 df d 1914 v x µ x x 1 2 s U1 x µ df d f 1915 e as derivadas das mesmas são dadas por u x U1 2x d2 f d2 1916 u y U1 s U1 x d2 f d2 1917 2u y2 U 2 1 x d3 f d3 1918 lembrando que as derivadas da variável em relação a x e y são dadas por x y 2x s U1 x 2x e y s U1 x y 1919 Substituindo u v e suas derivadas de volta na equação de camada limite chegase a 2 d3 f d3 f d2 f d2 0 1920 As condições de contorno para as equações de camada limite sobre placa plana são dadas por ux0 vx0 0 e ux1 U1 1921 Em termos da função f estas condições são reescritas na seguinte forma f 00 f 0 0 e lim 1 f 0 1 1922 onde f 0 representa a derivada em relação à f 0 df d 1923 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 176 194 Solução da equação transformada e cálculo de C f A equação 1920 juntamente com as condições de contorno 1922 é resolvida nume ricamente fornecendo f e deste modo o campo de velocidades é calculado Uma vez que u é conhecido o coeficiente de atrito local é calculado através de C f 2uyy0 U 21 2 r U1 x d2 f d2 ØØØØ 0 2Re12 x f 000 1924 Onde a derivada d2 f d2 é obtida da solução das equações 19201922 A solução numérica destas equações fornece o seguinte resultado para a derivada f 00 na parede f 000 03321 1925 E desta maneira obtémse o valor para o coeficiente de arrasto local C f 2Re12 x f 000 0664Re12 x 1926 O coeficiente médio é obtido integrando o valor local lembrando que isto é possível para C f e St mas não para Nu C f 0x 1 x Zx 0 C f x0dx0 1 x Zx 0 2 f 000 µRex x 12 x12dx0 1927 Reconhecendo que Rexx é constante obtémse C f 0x 2 f 000 Rex x12 Zx 0 x12 dx0 4 f 000 Rex x12 x12 1928 que fornece o seguinte valor após a substituição de f 000 C f 0x 4 f 000Re12 x 1328Re12 x 1929 Observase portanto que o coeficiente médio é o dobro do valor local C f 0x 2C f 1930 Retornando agora aos resultados obtidos da análise de escalas verificase que a es cala obtida para o coeficiente de arrasto C f ª Re12 está de acordo com os resultado calculados com solução por similaridade Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 177 195 Similaridade na camada limite térmica A similaridade da camada limite térmica é observada no perfil de temperatura adimen sional definido anteriormente e agora chamado de µ T T x yTs T1 Ts µ 1931 desta forma µ valerá zero na parede 0 e um fora da camada limite térmica A equação acima também representa a hipótese de similaridade na camada limite térmica a qual supões que o perfil de temperatura adimensional possa ser escrito como função de uma única variável de similaridade A variável µ é então introduzida na de camada limite térmica notando que T T1 Tsµ Ts e dT T1 Tsdµ 1932 resultando em u µ x v µ y Æ2µ y2 1933 196 Transformação da equação da energia Como o perfil de temperatura adimensional µ é escrito como função da variável as derivadas que aparecem na equação da energia são calculadas por µ x dµ d x 1934 µ y dµ d y 1935 2µ y2 d2µ d2 µ y 2 dµ d 2 y2 1936 Substituindo estas de volta na equação juntamente com as expressões para u e v em função de f obtémse d2µ d2 Pr 2 f dµ d 0 1937 A qual está sujeita as seguintes condições de contorno para µ µ0 0 e µ1 1 1938 Esta equação pode ser resolvida uma vez que a função f for obtida da solução por similaridade da camada limite dinâmica Isto pode ser feito pois considerase o caso de convecção forçada onde a variação de temperatura não influencia o escoamento Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 178 197 Cálculo de Nusselt Uma vez que µ seja conhecida o número de Nusselt pode ser calculado Nu h x k x T yy0 Ts T1 x µµ y y0 x s U1 x dµ d ØØØØ 0 1939 resultando em Nu Re12 x µ00 1940 O Nusselt médio é definido em termos do coeficiente h médio Nu0x h0x x k 1941 o qual é obtido integrando o valor local h0x 1 x Zx 0 hx0dx0 1 x Zx 0 k x Re12 x µ00dx0 1 x Zx 0 k x x12 µRex x 12 µ00dx0 1942 reconhecendo que Rexx é constante h0x k x µRex x 12 µ00 Zx 0 x12 dx0 k x µRex x 12 µ002x12 1943 O resultado mostra que o coeficiente médio é o dobro do local h0x 2 k x Re12 x µ00 2h 1944 e naturalmente o mesmo vale para o número de Nusselt Nu0x 2Re12 x µ00 2Nu 1945 Neste ponto é importante lembrar que o Nusselt médio não é a média do Nusselt local Ele é definido em termos do h médio o qual é obtido a partir da média do h local 1971 Integração da equação da energia Apesar da equação da energia depender da distribuição de velocidade através da fun ção f uma vez que esta distribuição for conhecida a equação pode ser integrada Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 179 diretamente fornecendo assim o perfil de temperatura µ µ0 µ00exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ 1946 µ Z 0 µ00exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ d µ0 1947 Utilizando a condição de contorno µ0 0 µ µ00 Z 0 exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ d 1948 Utilizando também o fato de µ1 1 1 µ00 Z1 0 exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ d 1949 e resolvendo para µ00 µ00 µZ1 0 exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ d 1 1950 Então uma vez que a distribuição de velocidades for conhecida calculase o gradi ente anterior e obtémse o coeficiente de transferência de calor por convecção Nu h x k Re12 x µ00 Re12 x µZ1 0 exp µ Pr 2 Z 0 f ØdØ d 1 1951 Utilizando a solução obtida para f e calculando a integral acima para diferentes valores de Prandtl chegase à uma correlação que aproxima a solução razoavelmente bem para o intervalo 05 Pr 15 µ00 º 0332Pr13 1952 Desta forma os números de Nusselt local e médio são dados por Nu 0332Re12 x Pr13 1953 Nu0x 0664Re12 x Pr13 1954 1972 Análise de casos limites avançado Apesar de uma solução para o caso de um Prandtl qualquer não poder ser obtida de forma analítica analisamse dois casos limites onde isto é possível Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 180 Limite com Pr ø 1 Diferenciando a equação da energia 1937 d3µ d3 Pr 2 f 0 dµ d Pr 2 f d2µ d2 0 1955 e utilizando a equação inicial Pr 2 f d2µ d2 µdµ d 1 1956 substituída na equação diferenciada obtémse d3µ d3 Pr 2 f 0 dµ d µd2µ d2 2 µdµ d 1 0 1957 Rearrumando d3µ d3 µdµ d 1 µd2µ d2 2 µdµ d 2 Pr 2 f 0 1958 d3µ d3 µdµ d µd2µ d2 2µdµ d 2 Pr 2 f 0 1959 Chegase a d d µµ00 µ0 Pr 2 f 0 1960 Utilizando agora a hipótese de pequeno número de Prandtl a camada limite tér mica será muito maior que a camada limite de velocidades T permitindo que a seguinte aproximação seja feita f 0 º 1 1961 ou seja a velocidade dentro da camada limite térmica é praticamente igual a do escoa mento externo Isto faz com que a equação de camada limite térmica seja simplificada d d µµ00 µ0 Pr 2 1962 Integrando obtémse µ00 µ0 Pr 2 C1 1963 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 181 e a equação anterior é resolvida definindo uma função µ0 1964 0 Pr 2 C1 1965 d µ Pr 2 C1 d 1966 Z d Zµ Pr 2 C1 d 1967 log Pr 4 2 C1 C2 1968 eC2 eC1 e Pr 4 2 C3 eC1 ePr2 1969 chegando então ao seguinte resultado para µ0 µ0 C3 eC1 e Pr 4 2 1970 Como µ0 0 para 1 C1 0 µ0 C3 e Pr 4 2 1971 e fica claro que C3 µ00 µ0 µ00e Pr 4 2 1972 Integrando chegase a µ µ00 Z 0 e Pr 4 Ø2 dØ µ0 1973 Observando a definição da função erro erfz 2 pº Zz 0 et2 dt com erf1 1 1974 notase que a mudança de variável t Ø 2 Pr12 e dt 1 2 Pr12 dØ 1975 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 182 permite que escrevase erf Pr12 pº Z2Pr12 0 e Pr 4 Ø2 dØ 1976 erf 2 Pr12 Pr12 pº Z 0 e Pr 4 Ø2 dØ 1977 Z 0 e Pr 4 Ø2 dØ pº Pr12 erf 2 Pr12 1978 e assim a equação para o perfil de temperatura é escrita em termos da função erro µ µ00 pº Pr12 erf 2 Pr12 1979 Utilizando o fato de µ1 1 concluise que µ00 Pr12 pº 1980 e desta forma o número de Nusselt é dado por Nu Re12 x dµ d ØØØØ 0 1 pº Pr12 Re12 x 1981 Numericamente o valor de µ00 é dado por µ00 0564Pr12 1982 fazendo com que os números de Nusselt local e médio sejam dados por Nu 0564Re12 x Pr12 1983 Nu0x 1128Re12 x Pr12 1984 onde vale ressaltar que estes resultados limites na prática funciona bem para casos com Pr 005 Devese também atentar ao fato de que as soluções acima não incluem condução axial no fluido devido à aproximação de camada limite Como fluidos com Pr pequeno em geral têm alta capacidade de difusão térmica também se faz necessário que Pex 100 para que a relação anterior seja utilizada Observando os resultados para este limite de Prandtl percebese que os valores novamente estão de acordo com a variação para Nusselt obtida da análise de escalas Nu ª Pe12 Limite com Pr 1 Para Pr 1 a espessura de camada limite térmica é muito menor que a dinâmica e desta forma podese considerar que o perfil de velocidade é linear dentro da camada limite Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 183 térmica Sabese que o perfil de velocidade é dado por u f 0 1985 Como a hipótese de linearidade requer que f 00 seja constante dentro da camada li mite térmica é necessário que f 00 f 000 1986 Integrando duas vezes e aplicando as condições de contorno obtémse f 2 2 f 000 1987 A substituição na equação 1937 leva à d2µ d2 Pr 2 4 f 000 dµ d 0 1988 e esta equação pode ser diretamente integrada como mostrado anteriormente Utili zando então o resultado 1950 o gradiente de temperatura na é dado por µ00 µZ1 0 exp µ Pr 4 f 000 Z 0 Ø2 dØ d 1 µZ1 0 exp µ Pr 12 f 0003 d 1 1989 Para este caso simplificado a integração é feita analiticamente Z1 0 ea y3dy 1 a13 µ4 3 1990 onde é a função Gama definida por x Z1 0 t x1etdt 1991 valendo a pena ressaltar que para valores inteiros n n 1992 Substituindo o valor da integração µ00 µZ1 0 exp µ Pr 12 f 0003 d 1 µ Pr 12 f 000 13 µ4 3 1 1993 que resulta em µ00 µ f 000 12 13 µ4 3 1 Pr13 1994 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 184 Numericamente como f 000 03321 obtémse µ00 0339Pr13 1995 E os números de Nusselt local e médio são dados por Nu 0339Pr13 Re12 x 1996 Nu0x 0678Pr13 Re12 x 1997 Onde devese mencionar que este limite se aproxima bem ao valor da solução exata para Pr 10 Comparando estes resultados com os das equações 1953 e 1954 percebese que os valores são bem próximos Mais adiante comparando estes resultados com os valo res obtidos da análise de escala Nu ª Pr13Re12 observase grande coerência nos resulta dos 198 Resumo de Resultados Para finalizar estas notas de aula apresentase um resumo dos resultados e correlações apresentadas Devese lembrar que os valores são válidos para o escoamento laminar sobre uma placa plana O coeficiente de fricção ou arrasto local e médio é dado pelas equações C f 0664Re12 x C f 0x 1328Re12 x Vale a pena ressaltar que todos os resultados apresentados nestas notas de aula são feitos para o escoamento laminar Portanto todos as relações obtidas para o cálculo do coeficiente de fricção e o número de Nusselt ou para coeficiente de transferência de calor por convecção são válidas para o escoamento laminar onde devese respeitar Rex 5105 1998 Ainda para a transferência de calor além do limite imposto no número de Reynolds equação 1998 devese lembrar que as soluções foram obtidas para uma placa com temperatura constante na parede pois outras condições de aquecimento irão produ zir diferentes resultados Os valores obtidos para o número de Nusselt são resumidos abaixo indicando a faixa de validade para cada relação Para fluidos com Prandtl pequeno eg metais líquidos têmse Nu 0564Re12 x Pr12 Nu0x 1128Re12 x Pr12 para Pr 005 e Pex 100 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 185 Para a faixa intermediária de Prandtl utilizamse Nu 0332Re12 x Pr13 Nu0x 0664Re12 x Pr13 para 05 Pr 15 Para fluidos com altos valores de Prandtl óleos muito viscosos têmse Nu 0339Re12 x Pr13 Nu0x 0678Re12 x Pr13 para Pr 10 Devido a semelhança nas equações para a última faixa de valores de Prandtl muitas vezes a faixa intermediária é utilizada para fluidos com altos Prandtl Neste ponto vale a pena lembrar também da primeira correlação obtida para escoa mentos laminares paralelos a uma placa plana istotérmica sem aquecimento por dissipa ção viscosa para o caso especial com Pr 1 chamada de analogia de Reynolds equações e Para estas situações chegase a Nu 1 2 C f Rex 1 2 0664Re12 x Rex 0332Re12 x 1999 que está de acordo com a faixa intermediária para Prandtl dada pela equação 1953 Devese novamente lembrar que todos estes resultados são válidos para escoamento laminar e por isso o limite de Rex 1998 deve ser verificado 1981 Cálculo de propriedades Para calcular os parâmetros adimensionais será necessário obter valores para as pro priedades termofísicas do fluido em questão Estas propriedades normalmente variam com a temperatura e por isso valores adequados de temperatura devem ser escolhidos Como o fluido na camada limite encontrase entre a temperatura da superfície sólida Ts e a temperatura longe da parede T1 do escoamento fora da camada limite um valor médio de temperatura é adotado para o cálculo das propriedades termofísicas Esta média é chamada de temperatura de filme sendo definida por Tf Ts T1 2 19100 Todas as propriedades envolvidas nos cálculos das relações apresentadas nestas no tas de aula devem ser avaliadas à temperatura de filme acima definida Exercícios 191 Considere o escoamento uniforme com velocidade U sobre uma superfície plana de dimensões L na direção de u e W A temperatura da superfície é Ts e do fluido distante da superfície é Tf A partir da variável de similaridade y x12p UÆ Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 19 Camda limite solução por similaridade avançado 186 chegue a uma equação diferencial ordinária para a temperatura adimensional µ T TsTf Ts na camada limite térmica Expresse o valor do número de Nusselt local Nux h xk em função do perfil de temperatura adimensional µ Resposta 192 Utilizando o valor de Nusselt obtido no item anterior calcule o fluxo de calor local q00 sf x e a taxa de transferência de calor Qsf na placa inteira Resposta 193 Considere o escoamento escoamento uniforme sobre uma placa plana de dimen sões L na direção de u por W A placa é impermeável e há fornecimento uni forme de calor ao longo desta q00 constante e conhecido Sabendo que as proprie dades do fluido são constantes conhecidas k Ω cp e a temperatura deste distante da placa é T1 pedese a Utilizando a temperatura adimensional de µ T T1x12p UÆ q00k e a variável de similaridade y x12p UÆ expresse o Nusselt local Nu h xk em função de µ b Utilizando as mesmas variáveis obtenha uma equação diferencial ordinária para a temperatura adimensional µ e as devidas condições de contorno c calcule a variação de Ts com x em função do coeficiente convectivo local hx e dos demais dados fornecidos esboçando o resultado Resposta 194 Desenvolva uma solução por similaridade para o escoamento laminar sobre uma placa plana com fornecimento de calor uniforme na superfície Resposta 195 Considere as camadas limites térmica e dinâmica que se formam em torno de uma placa arrastada em um fluido com Pr 1 à velocidade U1 A placa é adiabática de modo que o aquecimento é provocado somente pelo atrito com o fluido o qual longe da placa encontrase à temperatura T1 Utilizando a variável de similari dade yx Re12 x e a adimensionalização para a temperatura µ 2cp T T1U 2 1 mostre que a equação da energia é transformada para µ00 1 2 Pr f µ0 2Pr f 00 2 0 indicando também as condições de contorno para µ em 0 e 1 Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 20 Efeitos da turbulência Versão 032 240410 201 Flutuações nas propriedades O escoamento turbulento é caracterizado por instabilidades as quais podem ser perce bidas na forma de flutuações no tempo Estas flutuações são observadas em velocidade pressão temperatura e em outras quantidades relacionadas Tomando um escoamento bidimensional os componentes de velocidade pressão e temperatura podem ser escri tos como u u u0 201 v v v0 202 p p p0 203 T T T 0 204 onde u v e p são quantidades médias no tempo e u0 v0 p0 e T 0 representam flutuações em torno da média Para escoamentos laminares em regime permanente as flutuações são nulas Entretanto para escoamentos turbulentos permanentes estas flutuações são notáveis e naturalmente dependem do tempo por mais que o regime de escoamento seja efetivamente permanente isto é a média em em um intervalo de tempo pequeno porém representativo não varia com o tempo 202 Camada limite turbulenta Substituindo as relações 201 nas equações de camada limite sem dissipação viscosa e utilizando um processo de média destas chegase às equações de camada limite 187 20 Efeitos da turbulência 188 turbulenta Ω µ u u x v u y p x y µ µ u y Ω u0 v0 205 Ω cp µ u T x v T y y µ k T y Ω cp T 0 v0 206 u x v y 0 207 Baseado nos termos de transporte difusivo nas equações de momentum e energia podese considerar que a tensão cisalhante total e fluxo de calor total são dados por øtot µ u y Ω u0 v0 208 q00 tot k T y Ω cp T 0 v0 209 a quais levam à interpretação que existe uma taxa de transferência de momentum e calor devido à mistura turbulenta Neste contexto definemse difusividades turbilhonares1 para transferência de momentum e calor M u y u0 v0 2010 T T y T 0 v0 2011 de tal forma que a tensão cisalhante e o fluxo de calor totais são dados por øtot Ω M u y 2012 q00 tot Ω cp Æ T T y 2013 e as equações de camada limite são escritas na forma u u x v u y 1 Ω p x y µ M u y 2014 u T x v T y y µ Æ T T y 2015 Vale ressaltar que diferente de Æ e que dependem apenas do fluido as difusi vidades turbulentas dependem fortemente do escoamento Estas taxas adicionais de transferência de momentum e calor fazem com que as espessuras de camada limite se jam maiores no escoamento turbulento Todavia isto não faz com que os coeficientes de fricção e de transferência sejam menores no escoamento turbulento pois a mistura tur bulenta intensifica as taxas de transferência de calor e momentum aumentando assim 1do inglês eddy diffusivities Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 20 Efeitos da turbulência 189 os coeficientes convectivos Devese mencionar também o fato de os perfis de velo cidade u e temperatura T turbulentos serem mais achatados que os laminares apre sentando maiores gradientes de temperatura e velocidade no contato com a superfície sólida INCLUIR Figura 201 Flutuações de propriedades no escoamento turbulento INCLUIR Figura 202 Perfil de velocidade na camada limite turbulenta Exercícios 201 Problema 1 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 22 Escoamento laminar em dutos e canais Versão 039 121213 221 Introdução Estas notas de aula são focadas no estudo do escoamento laminar que ocorre no inte rior de dutos e canais Considerase o escoamento de um fluido newtoniano incom pressível em regime permanente desprezando os efeitos de variações de propriedades físicas da dissipação viscosa e de forças de corpo 2211 Escoamentos planos e axisimétricos Em canais formados por placas paralelas o escoamento é plano e portanto assume uma forma bidimensional com componentes de velocidade em apenas duas direções x e y apenas Desta forma as equações regentes são reduzidas à seguinte forma u x v y 0 221a u u x v u y 1 Ω p x µ2u x2 2u y2 221b u v x v v y 1 Ω p y µ2v x2 2v y2 221c Para este caso considerase que o espaçamento entre as placas é dado por H Em tubos1 ou dutos circulares na ausência de efeitos angulares o escoamento é axi simétrico e existem componentes de velocidade na direção axial u e na direção radial v Não há componente de velocidade na direção angular devido a simetria axial Para 1tubos são comummente utilizados para descrever de seção transversal circular 191 22 Escoamento laminar em dutos e canais 192 este caso as equações regentes são reescritas na forma u x 1 r r r v 0 222a u u x v u r 1 Ω p x µ2u x2 1 r r µ r u r 222b u v x v v r 1 Ω p r µ2v x2 1 r r µ r v r v r 2 222c onde considerase também que o diâmetro do duto é dado por D Neste ponto devese também mencionar que neste texto em escoamentos em dutos a variável x será sempre utilizada para descrever a direção do escoamento Desta forma trabalhase com um sistema de coordenadas polarcilíndrico na forma xrµ 222 Velocidade média e vazão em massa A velocidade média na seção transversal de um duto é dada por u 1 Ax Z Ax u dA 223 onde Ax é a área perpendicular ao escoamento Para escoamentos incompressíveis a vazão em massa é dada por m Z Ax Ω u dA Ω uA 224 2221 Desenvolvimento dinâmico Ao considerar o escoamento a partir do início de um duto ou canal percebese que ca madas limites se formarão devido à condição de não deslizamento nas paredes internas do duto ou canal Nesta região inicial do escoamento a camada limite irá se desenvol ver aumentando de tamanho a medida que se afasta da entrada do duto Nesta região do escoamento as escalas características para as variáveis x r y u e v são x ª L r ª y ª u ª u v ª u L 225 onde naturalmente a variável r é utilizada para dutos circulares e y para canais de placas paralelas Apesar das escalas de r e y serem baseadas nas espessuras de camada limite para um comprimento L suficientemente distante da entrada do escoamento ou seja L D ou L H as camadas limites se misturam2 e portanto não há mais sentido em utilizar uma espessura de camada limite Nesta região não há mais desenvolvimento ou crescimento das camadas limites e a escala para a variáveis y e r são respectiva 2para canais de placas há claramente uma distinção entre as camadas nas duas placas Para dutos circulares uma única camada se forma mas a mesma se misturaquando a espessura desta se aproxima do raio do duto Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 193 mente o espaçamento H entre as placas e o diâmetro do duto de modo que x ª L r ª D u ª u v ª u D L para dutos circulares 226 x ª L y ª H u ª u v ª u H L para placas paralelas 227 Comparando agora as escalas das velocidades u e v percebese que à medida que o comprimento na direção do escoamento L aumenta v é cada vez menor enquanto u permanece com a mesma escala Baseado nisto é razoável se esperar que a partir de um certo comprimento L ie a partir de uma certa distância da entrada do escoamento que v º 0 228 Utilizando está hipótese na equação da continuidade observase que3 u x 0 229 ou seja para uma distância suficientemente grande da entrada do escoamento v 0 e u uy ou u ur 2210 O escoamento que ocorre a partir deste ponto é dito desenvolvido Todavia como será visto mais a frente existe também o desenvolvimento da parte térmica do escoamento Por isso dizse que a condição descrita pelas equações 2210 referese ao escoamento desenvolvido do ponto de vista dinâmico ou dinamicamente desenvolvido Devese ressaltar que muitos autores usam o termo hidrodinamicamente desenvolvido entretanto neste texto para não associar a idéia de água ao desenvolvimento do escoamento utilizase a pri meira terminologia A distância a partir da qual o escoamento é desenvolvido é chamada de comprimento de entrada xe Logo v 0 e u uy para x xe placas paralelas 2211a v 0 e u ur para x xe dutos circulares 2211b Novamente como haverá um comprimento similar na parte térmica do escoamento a grandeza xe recebe o nome de comprimento de entrada dinâmica Para concluir esta seção deve mencionar uma diferença de escala entre o escoamento externo e o escoamento interno desenvolvido Enquanto no escoamento externo sobre uma superfície o comprimento característico é a distância superficial percorrida pelo escoamento L no escoamento interno desenvolvido do ponto de vista dinâmico fica 3devese mencionar que diferente do utilizado neste texto diversos autores definem o desenvolvimento do escoamento baseado em ux 0 e como conseqüência disto chegam a v 0 Apesar desta diferença não podese afirmar que nenhuma das definições está errada pois estas são apenas pontos de vista diferente da mesma situação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 194 claro que o comprimento característico associado é o diâmetro do duto D ou o espaça mento H em canais de placas paralelas 223 Escoamento dinamicamente desenvolvido 2231 Comprimento de entrada dinâmica A região de entrada dinâmica corresponde à porção inicial do escoamento em um duto delimitada por 0 x xe 2212 Onde xe é o comprimento de entrada dinâmica que também pode ser imaginado como a distância em que a espessura de camada limite se iguala à metade do espaçamento fazendo com que a partir deste ponto não exista mais o conceito espessura de camada limite xe D 2 para dutos circulares 2213 xe H 2 para placas paralelas 2214 Todavia similar à espessura de camada limite o comportamento é assintótico de modo que o comprimento de entrada é definito como a distância xe da entrada na qual a velocidade no centro do escoamento ie em y 0 ou r 0 atinja 99 do valor máximo o qual é atingido na região desenvolvida Em outras palavras uxe0 099umax 2215 Ainda a fim de facilitar a determinação do comprimento de entrada definese um valor adimensional para este x e xeDh Re 2216 onde Dh é o diâmetro hidráulico do duto definido como Dh 4Ax Px 2217 e Px é o perímetro associado a área de escoamento Ax que toca a superfície sólida também chamado de perímetro molhado Para os dois casos de escoamentos mencionado anteriormente em dutos circulares e canais de placas paralelas o diâmetro hidráulico Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 195 resulta em Dh D para dutos circulares 2H para canais de placas paralelas 2218 O número de Reynolds que aparece na equação 2216 é definido também em função do diâmetro hidráulico Re u Dh 2219 Neste ponto devese ressaltar que a menos que seja especificado o número de Rey nolds será sempre baseado no diâmetro hidráulico e na velocidade média no duto De maneira semelhante os números de Péclet e Nusselt que aparecerão na análise da trans ferência de calor no escoamento em dutos e canais também serão baseados no diâmetro hidráulico Utilizando o comprimento de entrada adimensional diferentes relações existem para determinar o tamanho da região que o escoamento está em desenvolvimento Para o es coamento em um canal de placas paralelas o comprimento de entrada é dado por 10 x e º 001 2220 onde a hipótese de camada limite é utilizada para resolução das equações de movi mento Esta hipótese falha em regiões muito próximas da entrada ou para valores bai xos de Reynolds Para estes casos a expressão obtida por Chen 14 pode ser utilizada x e 0011 0315 Re100175Re 2221 lembrando que em todas as relações o número de Reynolds é definido em função do diâmetro hidráulico De acordo com os dados numéricos de Hornbeck 15 para altos valores de Reynolds porém ainda laminar as equações podem ser resolvidas com a hipótese de camada limite e o comprimento de entrada resultante fornece x e 00565 2222 enquanto para casos de valores mais baixos de Reynolds Re 400 Chen 14 propôs a seguinte correlação para determinar o comprimento de entrada dinâmica x e 0056 060 Re1 0035Re 2223 As relações para o comprimento de entrada mostram que para baixos Reynolds se relações que não prevêem a difusão axial de momentum eqs 2220 e 2222 forem utilizadas valores menores que os reais serão obtidos Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 196 2232 Estimativas para o comprimento de entrada avançado Na tentativa de determinar o tamanho xe se o resultado da solução por similaridade na camada limite sobre placa plana for utilizado obtémse x e º 00025 2224 Todavia o valor real para o comprimento de entrada dado pela equação 2220 é quatro vezes maior do que o obtido pela análise acima Isto ocorre porque na solução por simi laridade para o escoamento sobre placa plana a velocidade fora da camada limite Uc não varia com x Todavia no escoamento interno a velocidade Uc necessita aumentar para satisfazer a conservação da massa Para obter uma melhor aproximação para o resultado 2224 utilizase a análise in tegral das equações de camada limite considerando a aceleração do escoamento fora da camada limite A variação de Uc está relacionada ao gradiente de pressão no esco amento fora da camada limite dinâmica o qual pode ser obtido utilizando a equação de Bernoulli ao longo de uma linha de corrente no centro do escoamento desprezando variações de elevação Ω U 2 c 2 pc constante 2225 Diferenciando a equação anterior obtémse uma expressão para o gradiente de pres são externo na camada limite dpc dx ΩUc dUc dx 2226 Utilizando as equações de camada limite e conservação da massa integradas em y com as condições de contorno substituídas escrevese d dx ZY 0 u2 dy Uc d dx ZY 0 u dy 1 Ω dpc dx Y µu y 0 2227 substituindo a equação 2226 d dx ZY 0 u2 dy Uc d dx ZY 0 u dy Uc dUc dx Y µu y 0 2228 Reconhecendo que Uc d dx ZY 0 u dy d dx µ Uc ZY 0 u dy dUc dx ZY 0 u dy 2229 Uc Y ZY 0 Uc dy 2230 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 197 chegase ao seguinte resultado d dx ZY 0 u2 dy d dx µ Uc ZY 0 u dy dUc dx ZY 0 u dy dUc dx ZY 0 Uc dy µu y 0 2231 o qual é simplificado para a seguinte forma dUc dx ZY 0 Uc udx d dx ZY 0 u Uc udx µu y 0 2232 onde Y pode ser substituído por pois para Y as integrais são nulas dUc dx Z 0 Uc udx d dx Z 0 u Uc udx µu y 0 2233 Então utilizando a conservação da massa para o escoamento no canal Z 0 Ω u dy ZD2 ΩUc dy ZD2 0 ΩU0 dy ΩU0 D 2 2234 onde U0 é a velocidade na entrada do canal Assumindo um perfil parabólico para a velocidade na camada limite u Uc 2 y y 2 2235 obtémse D2 3 µ 1 U0 Uc 2236 Finalmente resultando em x e º 00065 2237 Observando o resultado obtido notase que o valor aproximase da solução 2220 todavia ainda há uma discrepância Esta diferença é atribuída ao comportamento assin tótico não capturado pela análise integral assim como o erro envolvido em assumir um perfil parabólico para a velocidade dentro da camada limite dinâmica 224 Perfil de velocidade de HagenPoiseuille O escoamento dinamicamente desenvolvido em geometrias simples entre placa pla nas ou em dutos circulares é reconhecido como escoamento de HagenPoiseuille devido ao fato das soluções para estes tipos de escoamento terem sido obtidas independente mente por Hagen4 em 1839 e Poiseuille5 em 1840 4o físico e engenheiro alemão Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen 5o médico e fisiologista francês Jean Louis Marie Poiseuille Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 198 2241 Dutos circulares Utilizando a conseqüência de desenvolvimento dinâmico dadas pelas equações 2210 as equações de transporte de momentum são simplificadas produzindo 0 1 Ω p x 1 r d dr µ r du dr 2238a 0 1 Ω p r 2238b Desta forma fica claro que a pressão só pode ser uma função de x ou seja px dpdx Assim o escoamento de HagenPoiseuille em um duto circular é descrito pela seguinte equação 1 Ω dp dx 1 r d dr µ r du dr constante 2239 cuja solução é ur 1 µ dp dx µr 2 4 c1 logr c2 2240 Utilizando as condições de contorno uD2 0 u0 1 2241 onde a segunda condição corresponde ao fato da velocidade ser finita no centro do duto6 as constantes são calculadas fornecendo c1 0 c2 D22 4 2242 e a solução é finalmente escrita na forma ur 1 4µ dp dx µµD 2 2 r 2 D2 16µ dp dx µ 1 r D2 2 2243 A velocidade média na seção transversal é então calculada u u 1 Ax Z Ax u dA 1 ºD22 ZD2 0 ur2ºr dr 2 D22 ZD2 0 urr dr 1 2µ dp dx ZD2 0 µ 1 r D2 2 r dr 2244 6podese alternativamente utilizar a condição de contorno de derivada nula no centro do duto u00 0 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 199 onde a integral envolvida fornece ZD2 0 µ 1 r D2 2 r dr µD 2 2 Z1 0 1 2 d µD 2 2 µ2 2 4 4 1 0 D2 16 2245 Desta forma a velocidade média resulta em u D2 32µ dp dx D22 8µ dp dx 2246 e o perfil de velocidade pode ser escrito em termos da média ur 2 u µ 1 r D2 2 2247 Finalmente a vazão volumétrica pode ser calculada facilmente a partir da veloci dade média V Ax u ºD24 8µ dp dx 2248 2242 Canais de placas paralelas Utilizando a conseqüência de desenvolvimento dinâmico dadas pelas equações 2210 as equações de transporte de momentum são simplificadas produzindo 0 1 Ω p x d2u dy2 2249a 0 1 Ω p y 2249b Desta forma fica claro que a pressão só pode ser uma função de x ou seja px dpdx Assim o escoamento de HagenPoiseuille entre placas planas é descrito pela seguinte equação 1 Ω dp dx d2u dy2 constante 2250 Onde os dois lados tem que ser igual à uma constante pois p px e u uy A solução da equação anterior é dada por uy 1 µ dp dx µ y2 2 c1 y c2 2251 Utilizando as condições de contorno uH2 uH2 0 2252 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 200 ou u00 0 devido à simetria do problema as constantes são calculadas fornecendo c1 0 c2 H22 2 2253 A solução é então dada por uy 1 2µ dp dx µµ H 2 2 y2 H2 8µ dp dx µ 1 y H2 2 2254 Calculando a velocidade média na seção transversal u 1 Ax Z Ax u dA 1 H2 ZH2 0 uydy H 4µ dp dx ZH2 0 µ 1 y H2 2 dy 2255 onde a integral em questão é calculada abaixo ZH2 0 µ 1 y H2 2 dy H 2 Z1 0 1 2 d H 2 µ 3 3 1 0 H 3 2256 obtémse u H2 12µ dp dx 2257 Logo o perfil de velocidade é pode ser escrito na seguinte forma uy 3 2 u µ 1 y H2 2 2258 e vazão volumétrica pode ser calculada facilmente a partir da velocidade média V Ax u W H3 12µ dp dx 2259 225 Perda de carga e fator de atrito Como visto anteriormente no dinamicamente desenvolvido o gradiente de pressão é uma constante logo dp dx pL p0 L p0 pL L p L 2260 onde p é a perda de carga ou queda de pressão ao longo de uma distância L percor rida pelo escoamento ou seja um comprimento L de duto Observando as equações 2248 e 2259 a perda de carga pode ser relacionada di Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 201 retamente com a vazão volumétrica fornecendo p 8µ VL ºD24 para dutos circulares 2261a p 12µ VL W H3 para canais de placas paralelas 2261b As equações acima obtidas são comumente conhecidas como Lei de HagenPoiseuille ou equação de HagenPoiseuile Elas mostram que para manter uma mesma vazão volumé trica se o diâmetro for reduzido de D para D7 a perda de carga aumentará de p para p4 em dutos circulares Da mesma maneira em canais de placas paralelas uma re dução no espaçamento de H para H gera um aumento na perda de carga de p para p3 Fazendo um balanço de forças para o escoamento desenvolvido escrevese øw As p Ax øw Px L p Ax 2262 E a perda de carga pode então ser calculada por p øw Px L Ax 2263 Neste momento definese o fator de atrito de Fanning8 que nada mais é que um parâ metro adimensional tendo a mesma definição do coeficiente de fricção no escoamento externo C f øw Ω u22 2264 e assim a perda de carga é reescrita na forma p C f Px L Ax Ω u2 2 2265 Utilizando as relações para área e perímetro para placas paralelas a perda de carga é dada por p C f 2W L W H Ω u2 2 C f 2L H Ω u2 2 2266 enquanto para dutos circulares obtémse p C f ºD L ºD24 Ω u2 2 C f 4L D Ω u2 2 2267 Utilizando então o diâmetro hidráulico escrevese a relação para a perda de carga em 7onde é naturalmente um número menor que 1 8em homenagem a J T Fanning 18371911 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 202 uma forma geral p C f 4L Dh Ω u2 2 2268 Apesar do fator de atrito de Fanning ter a conveniência de ser definido igual ao coeficiente de fricção existe uma outra definição para o fator de atrito que é utilizada com mais freqüência que a de Fanning o fator de atrito de Darcy9 também conhecido como fator de atrito de DarcyWeisbach ou algumas vezes por fator de atrito de Moody10 definido por f Dh L p Ω u22 2269 de modo que a expressão para a perda de carga seja dada na forma p f L Dh Ω u2 2 2270 Esta equação é conhecida como a equação de DarcyWeisbach11 para calcular a perda de carga Comparando as duas definição para o fator de atrito fica claro que f 4C f 2271 Multiplicando a definição do fator de atrito 2269 pelo número de Reynolds base ado no diâmetro hidráulico obtémse f Re Dh L p Ω u22 Re Dh L p Ω u22 Ω u Dh µ 2D2 h L p µ u 2272 Desta forma para o escoamento entre placas paralelas temse u H2 12µ dp dx H2 12µ p L D2 h 48µ p L 2273 fazendo com que os fatores de atrito resultem em f Re 96 2274a C f Re 24 2274b Similarmente para dutos circulares a velocidade média é escrita na forma u D2 32µ dp dx D2 32µ p L D2 h 32µ p L 2275 9em homenagem ao engenheiro francês Henry Darcy 10Por ser o valor utilizado no diagrama de Moody 11em homenagem também ao matemático e engenheiro alemão Julius Weisbach Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 203 fazendo com que os fatores de atrito resultem em f Re 64 2276a C f Re 16 2276b Lembrando que estes resultados valem para o escoamento laminar dinamicamente de senvolvido em canais de placas paralelas e dutos circulares O produto do fator de atrito pelo número de Reynolds Re é conhecido também como o número de Poiseuille Po Como existem duas possíveis definições para o fator de atrito duas formas podem ser escritas para o número de Poiseuille Fanning Po C f Re 2277 Darcy Po f Re 2278 226 Transição para turbulência O valor de Reynolds para qual o escoamento encontrase em transição de laminar para turbulento está na faixa 2300 Re 104 2279 Todavia para dutos circulares adotase conservativamente o limite para o escoamento laminar como sendo Re 2100 2280 Para dutos de placas paralelas o valor limite a partir do qual o escoamento deixa de ser laminar encontrase na faixa 2200 Re 3400 2281 onde o valor exato depende da configuração de entrada 227 Escoamento em dutos de geometria arbitrária avan çado Para dutos com seções transversais de geometria arbitrária a hipótese de desenvolvi mento dinâmico permite que se escreva u x 0 e v w 0 2282 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 22 Escoamento laminar em dutos e canais 204 em coordenadas cartesianas ou cilíndricas O resultado das simplificações acima é que as equações de momentum são reduzidas a uma única equação para o componente u dp dx µr2u constante 2283 onde a conclusão que dp dx é uma constante vem do fato de u não depender de x e p depender apenas de x A equação anterior é conhecida como equação de Poisson e deve ser resolvida aplicando a condição de contorno de velocidade nula no contorno da seção transversal Uma vez que o perfil de velocidade uyz ou urµ for obtido o fator de atrito pode ser calculado Para o a região de entrada as conclusões 2282 não podem ser utilizadas e as equações de NavierStokes devem ser resolvidas sem as simplificações para desenvol vimento dinâmico Uma vez que estas sejam resolvidas fatores de atrito podem ser calculados porém agora estes dependerão da coordenada longitudinal ou axial x Exercícios 221 Considere o escoamento em regime permanente em um tubo circular de compri mento L e diâmetro D Assumindo um escoamento uniforme uxr U calcule o gradiente de pressão px e a vazão em massa no tubo Resposta 222 Considere o escoamento uniforme com velocidade U em regime permanente em um canal de placas paralelas espaçadas de uma distância H Calcule a velocidade v mostrando que o escoamento é desenvolvido do ponto de vista dinâmico Res posta 223 Calcule o perfil de velocidade e a velocidade média para o escoamento laminar incompressível em regime permanente na região desenvolvida no espaço anelar um disco formado por dois tubos circulares concêntricos de diâmetros d e D Resposta 224 avançado Recalcule o comprimento de entrada utilizando a análise integral com um perfil de velocidade cúbico Resposta 225 avançado Obtenha a solução para o perfil de velocidades para o escoamento desenvolvido em um duto retangular de seção transversal W H Dica utilize o método de separação de variáveis Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais Versão 0311 090913 231 Introdução Estas notas de aula são focadas no estudo da transferência de calor no escoamento lami nar que ocorre no interior de dutos e canais Considerase o escoamento de um fluido newtoniano incompressível em regime permanente desprezando os efeitos de varia ções de propriedades físicas da dissipação viscosa e de forças de corpo 232 Definições preliminares 2321 Balanço de energia O balanço de energia para um volume de controle de espessura dx na direção do esco amento é escrito na forma d I q00Px dx 231 onde d I é a taxa líquida de transferência de entalpia1 por advecção entalpia advectada para o volume de controle ou simplesmente vazão de entalpia O fluxo q00 é o fluxo líquido de calor fornecido ao volume de controle através da parede do duto Rearru mando escrevese d I dx q00Px 232 Introduzindo a entalpia específica e a vazão em massa m dim dx Ω uAx dim dx q00Px 233 1ou seja a taxa de transferência de energia interna mais o trabalho de escoamento 205 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 206 e novamente rearrumando temse Ω u dim dx q00Px Ax 234 A entalpia específica im não é exatamente a média da entalpia na área transversal ao escoamento mas uma média que leva em consideração o perfil de velocidade im é chamada de entalpia média de mistura Neste ponto devese ressaltar que nos balanços de energia feitos nesta seção não foram considerados os efeitos de condução de calor na direção axial na direção do escoamento Um pouco mais a frente será apresentada a justificativa para tal hipótese e os casos em que esta pode ser considerada 2322 Temperatura média de mistura A entalpia média de mistura é associada à vazão em massa m e relacionada à entalpia específica local por im m Z Ax i d m Z Ax i Ω u dA 235 Conseqüentemente podese escrever im 1 m Z Ax i d m 1 Ω uAx Z Ax i Ω u dA 1 uAx Z Ax i u dA 236 Como uma variação na entalpia pode ser expressa em função de uma variação de temperatura para gases ideais ou substâncias incompressíveis uma variação em im está associada a uma variação em uma temperatura Tm dim cp dTm 237 Desta forma a equação 234 é escrita como m cp dTm dx q00Px 238 ou alternativamente Ω u cp dTm dx q00Px Ax 239 Como a entalpia é função da temperatura a definição para a temperatura média de mistura é dada por Tm 1 m Z Ax Ω u T dA 2310 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 207 que para o escoamento incompressível resulta em Tm 1 uAx Z Ax u T dA 2311 A temperatura média de mistura é uma temperatura associada à energia térmica média que é transportada através de uma seção transversal ao escoamento 2323 Coeficiente de transferência de calor por convecção Como no escoamento interno não faz sentido em pensar em uma temperatura em uma região não afetada pela presença da transferência de calor T1 o fluxo de calor por convecção utilizando a Lei de Resfriamento de Newton é escrito em termos da tempe ratura média de mistura q00 q00 sf h Ts Tm 2312 e desta forma o coeficiente de transferência de calor por convecção é definido como h q00 sf Ts Tm q00 Ts Tm 2313 Utilizando a Lei de Fourier para o fluido em contato com a superfície sólida por este estar parado obtémse h k T r rD2 Ts Tm 2314 ou alternativamente trabalhando com coordenadas cartesianas h k T y yH2 Ts Tm ou h k T y yH2 Ts Tm 2315 sendo que a primeira forma é adotada por conveniência Antes e entrar nos desenvolvimentos discutidos nas seguintes seções devese res saltar que a seguinte convenção é adotada q00 q00 sf 2316 ou seja o fluxo de calor q00 referese ao fluxo de calor na transversal indo do sólido para o fluido na interface entre a superfície sólida e o fluido Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 208 233 Equação da energia em dutos e canais 2331 Escoamentos planos e axisimétricos Em canais formados por placas paralelas o escoamento é plano e portanto assume uma forma bidimensional com componentes de velocidade em apenas duas direções como visto na seção 2211 Desta forma as equações regentes são reduzidas à seguinte forma u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 2317 Onde novamente considerase que o espaçamento entre as placas é dado por H Em tubos ou dutos circulares o escoamento é axisimétrico e existem componentes de velocidade na direção axial u e na direção radial v fazendo com que a equação da energia seja reduzida à forma u T x v T r Æ µ2T x2 1 r r µ r T r 2318 onde o diâmetro do duto é dado por D 2332 Análise de escalas Desejase agora analisar as escalas para o problema de transferência de calor em dutos com o intuito de investigar a possibilidade de como acontece para o perfil de veloci dade haver uma forma de desenvolvimento térmico Partese da mesma hipótese feita anteriormente considerando um escoamento em uma distância L suficientemente longe da entrada Enquanto próximo à entrada do escoamento a escala para r seria T devido ao desenvolvimento da camada limite térmica à distância L da entrada a escala para r é D Assim sendo as escalas de x r e u são x ª L r ª D u ªU0 2319 onde vale ressaltar que neste seção coordenadas cilíndricas são utilizadas todavia as conclusões são as mesmas que ao utilizar coordenadas cartesianas Ainda como o perfil de temperatura depende do perfil de velocidade naturalmente enquanto não houver desenvolvimento dinâmico não haverá possibilidade de se ter um possível desenvolvimento térmico Logo outra hipótese a se considerar é a se estar na região dinamicamente desenvolvida Sob esta hipótese a equação da energia 2318 é escrita na forma 1 Æ ur T x 1 r r µ r T r 2T x2 2320 Reconhecese que a equação anterior é um balanço de taxas de transferência de calor Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 209 por advecção e condução advecção ª condução 2321 e que os dois termos de transferência por condução podem ser divididos em 1 r r µ r T r condução transversal ou radial 2322 2T x2 condução longitudinal ou axial 2323 As escalas para as derivadas na equação 2320 são T x ª T L 2324 1 r r µ r T r ª T D2 2325 2T x2 ª T L2 2326 Todavia para uma melhor interpretação das escalas envolvidas utilizase o resultado do balanço global com a temperatura de mistura 239 dTm dx q00Px Ω u cp Ax ª q00 ΩU0 cp D 2327 Desta forma as derivadas em x podem ser reescritas como T x ª dTm dx ª q00 ΩU0 cp D 2328 2T x2 ª 1 L dTm dx ª q00 ΩU0 cp D L 2329 ou de um modo geral T L ª q00 ΩU0 cp D 2330 Substituindo as escalas na equação da energia U0 Æ µ q00 cp ΩU0 D ª µT D2 1 L µ q00 cp ΩU0 D 2331 Onde dos efeitos acima a condução transversal deve estar sempre presente pois esta é principal direção de transporte estudada em convecção interna visto que há sempre o transporte térmico da parede sólida interna para o fluido Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 210 Utilizando a escala para o fluxo de calor da Lei de Resfriamento de Newton q00 ª h T 2332 a equação anterior é reescrita U0 Æ µ h T cp ΩU0 D ª µT D2 1 L µ h T cp ΩU0 D 2333 Simplificando µh D k ª 1 Æ U0 L µh D k 2334 Utilizando as equações 23302332 chegase a uma escala para L L ª ΩU0 cp D h 2335 desta forma o balanço de energia com as escalas é simplificado µh D k ª 1 µ Æ U0 D 2 µh D k 2 2336 Introduzindo agora as definições de Nusselt e Peclet baseadas no diâmetro D2 Nu h D k e Pe U0 D Æ 2337 o balanço de escalas é reduzido a Nu ª 1 Pe2 Nu2 2338 Diante do resultado obtido e lembrando que os efeitos de condução transversal de vem sempre estar presente3 concluise que para altos valores de Peclet os efeitos de condução longitudinal ou axial podem ser desprezados Ainda concluise também que o número de Nusselt deve ser de ordem 1 pois há sempre um balanço entre advec ção e condução Nu h D k ª 1 2339 2Como dito anteriormente Reynolds Nusselt e Péclet serão sempre baseados no diâmetro hidráulico que para este caso é o próprio diâmetro do tubo 3assim como os de advecção pois afinal sem estes não haveria um problema de transferência de calor por convecção Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 211 2333 Comprimento de entrada térmica De maneira similar ao que acontece para o a transferência de momentum após uma distância xeT da entrada do duto ser percorrida pelo escoamento este pode atingir o desenvolvimento do ponto de vista térmico onde o escoamento passa a ser chamado de termicamente desenvolvido O comprimento xeT é chamado de comprimento de entrada térmica Também análogo ao visto para o transporte de quantidade de movimento para posições x xeT o escoamento é dito em desenvolvimento térmico É interessante observar que a escala para o comprimento de entrada térmica pode ser obtida da escala de L na seção anterior xeT ª L ª ΩU0 cp D h 2340 que pode ser rearrumada utilizando a escala de h fornecendo xeT ª ΩU0 cp D2 k ª U0 D2 Æ ª D Pe 2341 2334 Forma adimensional para equação da energia A equação da energia nas formas 2317 e 2318 é agora adimensionalizada Toda via diferente da adimensionalização utilizada na seção 165 as variáveis x y e r são adimensionalizadas da seguinte forma x x L y y H2 r r D2 2342 onde L é escolhido como a escala para o tamanho da região termicamente desenvolvida L Dh Pe 2343 onde o diâmetro hidráulico é utilizado a fim de deixar a adimensionalização geral para qualquer tipo de duto Devese atentar ao fato de que como Dh é diferente para canais de placas e dutos circulares L também assumirá diferentes valores L D2 u Æ para dutos circulares 2344 L 4 H2 u Æ para canais de placas paralelas 2345 As velocidades podem ser adimensionalizadas utilizando a velocidade média u e a temperatura pode ser adimensionalizada utilizando a temperatura de entrada T0 e uma diferença de temperatura conhecida u u u v v u T T T0 T 2346 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 212 Introduzindo as variáveis adimensionais na equações 2317 e 2318 obtémse u T x 4Pev T y Pe2 2T x2 16 2T y2 2347 u T x 2Pev T r Pe2 2T x2 4 r r µ r T r 2348 Observando as equações adimensionalizadas é possível perceber que os termos de di fusão axial contém Pe2 os multiplicando Isto mostra novamente que para valores grandes de Pe é plausível considerar que a difusão axial de calor é desprezível em rela ção à transversal como sugerido na análise de escalas Mais adiante independente do valor de Péclet para os casos dinamicamente desenvolvidos v 0 e as equações são simplificadas para u T x Pe2 2T x2 16 2T y2 2349 u T x Pe2 2T x2 4 r r µ r T r 2350 Finalmente devese ressaltar que adimensionalização utilizada para a direção axial fornece x x Dh Pe x Dh RePr 2351 que está directamente relacionada ao número de Graetz4 Gz Dh RePr x 1 x 2352 Como quanto maior x mais próximo o escoamento encontrase da região termicamente desenvolvida quanto menor o valor do número de Graetz mais próximo da região ter micamente desenvolvida estará o escoamento 234 Variação da temperatura de mistura Partindo do balanço de energia soluções para dois casos diferentes são apresentadas primeiro considerando que calor é fornecido uniformemente ao fluido e o segundo que a temperatura da parede do duto é uniforme 4em homenagem ao físico alemão Leo Graetz Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 213 2341 Fluxo uniforme Para fluxo uniforme a equação 239 pode ser diretamente integrada fornecendo Tmx Tm0 q00Px Ax Ω u cp x Tm0 q00Px m cp x 2353 onde Tm0 é a temperatura de mistura na entrada do duto Se a temperatura de entrada for uniforme T 0r T0 então Tm0 1 uAx Z Ax u T0 dA T0 uAx Z Ax u dA T0 lembrando que u 1 Ax Z Ax u dA 2354 Uma vez calulada a temperatura de mistura a temperatura da parede temperatura do fluido na parede Ts pode ser calculada de Tsx Tmx q00 h 2355 onde é necessário conhecer o coeficiente h o qual também pode variar com x Naturalmente para este caso o calor total trocado para um comprimento x é calcu lado simplesmente por Q0x Px Zx 0 q00 dx q00Px x 2356 2342 Temperatura uniforme Para a temperatura uniforme a equação 239 é escrita na forma abaixo utilizando a Lei de Resfriamento de Newton dTm dx Px Ax Ω u cp h Tm Ts 2357 Definindo a variável Tm Ts obtémse d dx Px Ax Ω u cp h 2358 Cuja solução é dada por 0 exp µ Px Ax Ω u cp Zx 0 h dx 2359 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 214 ou em termos de Tm Tmx Ts Tm0Ts exp µ Px Ax Ω u cp Zx 0 h dx 2360 introduzindo coeficiente h médio Tmx Ts Tm0Ts exp µ Px h0x Ax Ω u cp x 2361 O calor total trocado para um comprimento x pode ser obtido fazendo um balanço global entre a entrada x 0 e saída x arbitrário Q0x m imxim0 m cp TmxTm0 2362 que pode ser reescrita na forma Q0x m cp TmxTs Tm0Ts 2363 A fim de determinar uma relação entre o coeficiente médio h e as diferenças de temperatura escrevese TmxTs Tm0Ts exp µ Px h0x Ax Ω u cp x exp µ Px h0x m cp x 2364 que resulta em h0x Px x m cp log µTmxTs Tm0Ts 2365 Utilizando a equação anterior para escrever a taxa de capacidade térmica m cp h0x Px x logTmxTsTm0Ts 2366 a taxa de transferência de calor pode ser reescrita como Q0x h0x Px x TmxTs Tm0Ts logTmxTsTm0Ts h0x Px x Ts Tmx Ts Tm0 logTs TmxTs Tm0 2367 Reconhecendo a forma da expressão acima e que o termo envolvendo as diferenças de temperatura tem de fato unidade de temperatura definese a diferença de temperatura média logarítmica Tlm Ts Tmx Ts Tm0 logTs TmxTs Tm0 2368 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 215 Desta forma a transferência de calor para um comprimento x pode ser calculada utilizando o coeficiente de transferência de calor por convecção médio por Q0x h0x Tlm Px x 2369 235 Escoamento termicamente desenvolvido 2351 Determinação da condição de desenvolvimento avançado O conceito de desenvolvimento térmico está associado ao balanço de efeitos condutivos e convectivos para uma distância longe da entrada Portanto para chegar a uma defini ção para o desenvolvimento térmico partese dos resultados obtidos na seção anterior A conclusão que Nu é de ordem 1 significa que as resistências térmicas por condução e convecção devem se balancear Introduzindo a definição de h neste balanço obtémse Nu ª 1 h D k D T rrD2 Ts Tm ª 1 2370 Utilizando a variável adimensional r D2 2371 concluise que T 1 Ts Tm ª 1 2372 que significa que a variação do gradiente de temperatura na parede sólida deve ser proporcional a variação de temperatura Ts Tm T 1 ª TsxTmx 2373 Logo a razão entre estes efeitos não pode ser função de x o que permite que escrevase T 1 TsxTmx f11 2374 onde f11 é naturalmente uma constante Generalizando o raciocínio a razão abaixo só pode ser uma função de T TsxTmx f1 2375 e como nem Tm nem Ts são funções de µ T x TsxTmx f1 2376 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 216 Então integrando em relação à obtémse T x TsxTmx f2 f3x 2377 E como em 1 a condição de contorno é T Ts Tsx f21 f3xTsxTmx 2378 levando a concluir que f3x Tsx TsxTmx f21 2379 Substituindo na expressão 2377 chegase a T xTsx TsxTmx f2 f21 2380 Definese então a temperatura adimensional µ µ TsxT x TsxTmx T xTsx TmxTsx 2381 ficando claro da relação 2380 que µ independe de x pois µ f21 f2 2382 2352 Definição de desenvolvimento térmico Da definição de µ e dos resultados obtidos anteriormente escrevese então uma definição de desenvolvimento térmico µ x x µTsxT xr TsxTmx 0 2383 ou seja na região termicamente desenvolvida x xeT a variável adimensional µ inde pende de x ie µ µr Devese observar que a condição de desenvolvimento térmico é uma indicação se há ou não há tal desenvolvimento Ou seja a equação 2383 não é uma condição para que exista o desenvolvimento e sim uma conseqüência deste Para que o escoamento atinja o desenvolvimento térmico é necessário que o desenvolvimento dinâmico seja estabelecido e que haja uma condição de contorno uniforme na parede do duto ou canal Duas condições de uniformes são as de temperatura constante na parede e fluxo de calor constante na parede Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 217 2353 Comportamento de h na região desenvolvida Calculando a derivada de µ em relação a r avaliada na superfície sólida obtémse r µTsxT xr TsxTmx ØØØØ rD2 T rrD2 TsxTmx h k 2384 O que mostra que para h ser constante basta o outro lado da equação ser também De fato o resultado necessita ser uma constante pois como µ é independente de x na região termicamente desenvolvida sua derivada também será independente de x e na turalmente independente de r pois esta é avaliada em um posição fixa r D2 Isto mostra que no escoamento termicamente desenvolvido h é constante Note porém que a mesma conclusão não poderia ser tirada na região em desenvolvimento térmico pró ximo à entrada x xeT pois ali não garantese que µ seja função de r apenas 2354 Cálculo do comprimento de entrada térmica Da mesma maneira que no desenvolvimento dinâmico o desenvolvimento térmico se dá de maneira assintótica de forma que não é conveniente definir o comprimento de entrada térmica como o ponto em que µ apresenta zero dependência em x Este ponto deve ser definido como a posição em que a dependência de µ em x atinge um mínimo préestabelecido Todavia na prática a definição mais comum utilizada é baseada no Número de Nusselt ao invés de em µ Como h e consequentemente Nu tornamse constantes na região desenvolvida a definição de xeT é baseada no ponto em que Nu fica constante Porém Nu progride de maneira assintótica para um valor constante e desta forma o comprimento de entrada é definido na prática como o ponto em que Nu atinge 105 do valor termicamente desenvolvido5 Da mesma forma que no desenvolvimento dinâmico para o desenvolvimento tér mico definese também um comprimento de entrada adimensional x eT xeT Dh Pe 2385 seguindo a mesma forma da adimensionalização da coordenada axial adotada anterior mente O valor de x eT depende da geometria do duto e da condição de aquecimento po rém este também depende da forma que o desenvolvimento ocorre Para casos onde o escoamento está dinâmicamente desenvolvido em toda a região de desenvolvimento térmico as equação da energia em coordenadas cilíndricas 2318 e coordenadas cartesi anas 2317 admitem soluções analíticas e o comprimento se entrada pode ser calculado sem muita complicação6 Com as considerações feitas no parágrafo anterior na ausência de difusão axial para 5devese lembrar que na região em desenvolvimento Nu é maior que na região desenvolvida 6Nestes casos o problema de convecção é comumente conhecido como Problema de Graetz Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 218 dutos circulares o comprimento de entrada adimensional pode ser calculado por 16 x eT 00335 para paredes isotérmicas 2386 x eT 00430 para paredes com fluxo constante 2387 De maneira análoga para a mesma situação considerada anteriormente em canais de placas paralelas o comprimento de entrada adimensional pode ser calculado por 16 x eT 000797 para paredes isotérmicas 2388 x eT 001154 para paredes com fluxo constante 2389 2355 Relações para o escoamento termicamente desenvolvido Utilizando a definição de µ no escoamento termicamente desenvolvido têmse µr TsxT xr TsxTmx 2390 T xr Tsx TsxTmxµr 2391 Em conseqüência as seguintes relações podem ser escritas µr TsxT xr q00xh 2392 dµ dr r µTsxT xr TsxTmx T r TsxTmx 2393 T r dµ dr TsxTmx 2394 Vale também incluir aqui a definição de Nusselt em termos de µ e Nu h D k D µdµ dr rD2 2 µdµ d 1 2395 Ainda com a relação dada pela equação 2391 a definição da temperatura de mistura é reduzida a Tm 1 uAx Z Ax u T dA 1 uAx Z Ax u Ts Ts TmµdA 2396 que pode ser simplificada para produzir Tm Ts uAx Z Ax u dA Ts Tm uAx Z Ax u µ dA Ts Ts Tm uAx Z Ax u µ dA 2397 Tm Ts Ts Tm uAx Z Ax u µ dA 2398 1 uAx Z Ax u µ dA 1 2399 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 219 Para o escoamento em um duto circular a expressão anterior é dada por 2 u Z1 0 u µd 1 23100 236 Soluções para o região termicamente desenvolvida Apresentamse nesta seção as soluções para o escoamento termicamente desenvolvido em dutos de seção transversal circular Todas as soluções feitas consideram casos sem difusão axial 2361 Escoamento laminar com fluxo constante na parede A primeira condição de transferência de calor na parede analisada é aquela aonde o fluxo na parede é constante ou seja q00 h TsxTmx constante 23101 para esta condição como h é constante temse dTs dx dTm dx 23102 ainda observando a definição de µ chegase a conclusão que x µTsxT xr q00h 0 23103 reduzindose a T x dTs dx 23104 Utilizando o balanço de global de energia envolvendo Tm eq 239 percebese que dTm dx q00Px Ω cp uAx 4 q00 cp Ω u D constante 23105 Combinando as equações 23104 23102 23105 e 23101 chegase a T x dTs dx dTm dx 4 q00 cp Ω u D 4h Ts Tm cp Ω u D constante 23106 Desta forma a equação para o escoamento dinamicamente desenvolvido 2320 utili zando a definição da temperatura adimensional 2390 é escrita na forma ur Æ 4h TsxTmx cp Ω u D 1 r r µ r µ r TsxTmx 23107 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 220 que é simplificada para fornecer ur u D22 h D k 1 r r µ r µ r 23108 Introduzindo o número de Nusselt e a variável adimensional u u Nu 1 µ µ 23109 e escrevendo u em função de u 2 u 1 2 23110 a equação da energia é então reduzida a 2Nu 1 2 1 µ µ 23111 As condições de contorno em relação à variável são dadas por µ1 0 µ0 1 23112 Fazendo com que a solução da equação 23111 seja dada por µ Nu 8 4 42 3 23113 Utilizando a integral dada pela relação 23100 2 Z1 0 u u µd 4 Z1 0 12µd Nu 2 Z1 0 124 42 3d 1 23114 Obtémse Nu 2 µZ1 0 124 42 3d 1 2 µ11 24 1 48 11 23115 Nu 48 11 º 4364 23116 2362 Escoamento laminar com temperatura constante na parede A segunda condição de transferência de calor na superfície sólida envolve a tempera tura da mesma sendo mantida constante Desta forma o fluxo de calor necessita variar para manter Ts constante q00 h Ts Tmx q00x 23117 onde h é constante devido a condição de desenvolvimento térmico Utilizando a equa Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 221 ção 239 escrevese dTm dx 4 q00 cp Ω u D 4h Ts Tmx cp Ω u D 23118 A equação anterior pode ser reescrita em termos de Nusselt e Péclet dTm dx 4Æh Ts Tmx k u D 4 D Nu Pe Ts Tmx 23119 cuja solução é obtida utilizando a variável x Ts Tmx 23120 d dx 4 D Nu Pe 23121 x x0 exp µ 4 D Nu Pe x x0 23122 Devese ressaltar que x0 necessita ser um ponto na região termicamente desenvolvida pois h é assumido constante na solução Escrevendo em termos de Tm Ts Tmx Ts Tmx0 exp µ 4 D Nu Pe x x0 23123 Utilizando a definição de µ para Ts constante T rx Ts Ts Tmxµr 23124 concluise que T r dµ dr Ts Tmx dµ dr 23125 T x dTm dx µr 23126 Todavia as derivadas de Tm podem ser escritas em relação a dTm dx d dx 4 D Nu Pe 23127 Substituindo as relações anteriores na equação da energia para escoamento dinami camente desenvolvido 2320 1 Æ ur 4 D Nu Pe µr 1 r d dr µ r dµ dr 23128 rearrumando ur u Nu D22 µr 1 r d dr µ r dµ dr 23129 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 222 introduzindo a variável e simplificando Nu ur u µ 1 d d µ dµ d 23130 Finalmente substituindo o perfil de velocidade da solução de HagenPoiseuille obtém se 2Nu 1 2 µ 1 d d µ dµ d 23131 A equação anterior deve ser resolvida utilizando a seguinte condição de contorno µ1 0 23132 Todavia a solução ficará em função de Nu Para determinar o valor de Nu utilizase a expressão integral envolvendo a definição de Tm a equação 23100 O Resultado obtido para o número de Nusselt é Nu 366 23133 237 Escoamento termicamente desenvolvido em dutos de seção transversal arbitrária avançado Para escoamento com desenvolvimento dinâmico a equação da energia em coordena das cartesianas resulta em u T x Æ µ2T x2 2T y2 2T z2 23134 A condição de desenvolvimento térmico continua sendo dada em função de µ En tretanto agora esta variável pode depender das duas coordenadas no plano da seção transversal y e z µ T x yzTs TmxTs 23135 onde a condição de desenvolvimento térmico considera que µ x 0 µ µyz 23136 As derivadas de T podem ser calculadas em função de µ utilizando a relação acima fornecendo por exemplo T x µ µdTm dx Ts x Ts x 23137 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 223 Considerando o caso com temperatura constante na parede temse T x µ dTm dx 23138 As derivadas segundas resultam em 2T x2 µ d2Tm dx2 23139 2T y2 Tm Ts 2µ y2 23140 2T z2 Tm Ts 2µ z2 23141 Para fazer o balanço de energia devese considerar que o fluxo de calor e natu ralmente o coeficiente h podem variar no perímetro da seção transversal Portanto definemse valores médios q00 1 Px Z Px q00 ds 23142 h 1 Px Z Px h ds 23143 Nu 1 Px Z Px Nuds 23144 Então fazendo um balanço de energia em termos do diâmetro hidráulico dTm dx q00 cp Ω uAx hPx Ts Tm cp Ω uAx Nu Pe 4 Dh Ts Tm 23145 Desta forma as derivadas de T em relação à variável axial x são dadas por T x µ Nu Pe 4 Dh Tm Ts 23146 Substituindo na equação da energia 23134 considerando o caso sem difusão axial µ 4 D2 h u Nu µ2µ y2 2µ z2 23147 onde u é o perfil de a velocidade adimensional u u u 23148 o qual deve ser obtido resolvendose a equação de Poisson para velocidade dp dx µ2u y2 2u z2 23149 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 224 lembrando que o gradiente de pressão é constante A equação 23147 é resolvida junto com a expressão para a definição de tempera tura média de mistura 1 1 Ax Z Ax u µ dA 23150 permitindo que tanto o Nusselt quanto o perfil de temperatura sejam obtidos Exercícios 231 Considere as seguintes equações que regem o movimento e a transferência de ca lor em um fluido em escoamento axisimétrico em coordenadas cilíndricas u u x v u r 1 Ω p x µ2u x2 1 r r µ r u r u v x v v r 1 Ω p r µ2v x2 1 r r µ r v r v r 2 u x 1 r r r v 0 u T x v T r Æ µ2T x2 1 r r µ r T r a Simplifique as equações acima para o escoamento dinamicamente desenvol vido em regime permanente em um tubo circular de comprimento L e diâ metro D com fluxo constante de calor na parede b Assumindo um escoamento uniforme uxr U calcule a temperatura de mistura em função de T xr c Assumindo que a temperatura de entrada é Ti uniforme utilize um balanço energético e calcule a variação da temperatura de mistura com x e a tempe ratura média de saída em x L d Calcule o número de Nusselt e o coeficiente de transferência de calor por convecção na região termicamente desenvolvida e O coeficiente de transferência de calor na região em desenvolvimento será maior ou menor que na região termicamente desenvolvida Justifique a res posta As simplificações consideradas em um item valem para o seguinte As proprieda des do fluido são constantes conhecidas Resposta 232 Considere o escoamento em regime permanente em um tubo circular de compri mento L e diâmetro D A temperatura de entrada é Te e um fluxo de calor cons tante é fornecido ao fluido na parede do tubo Considere a aproximação de um escoamento uniforme com velocidade u U As propriedades do fluido são cons tantes conhecidas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 225 a Utilizando um balanço global de energia calcule a temperatura média de mistura na saída b Calcule a velocidade média e a temperatura de mistura em função de T xr c Assuma que o escoamento é termicamente desenvolvido e mostre como o problema pode ser simplificado d Calcule a variação da temperatura de mistura Tmx com x na região termi camente desenvolvida e Calcule o valor do número de Nusselt e do coeficiente de transferência de calor por convecção na região termicamente desenvolvida Resposta 233 Considere o escoamento laminar incompressível em regime permanente em um duto formado por duas placas paralelas espaçadas de uma distância H despre zando os efeitos da dissipação viscosa O perfil de temperatura na entrada do tubo é constante T 0 y T0 e calor é fornecido uniformemente em toda a superfície sólida resultando em um fluxo de calor constante Assumindo que o escoamento é dinamicamente desenvolvido e que a vazão em massa m e as propriedades do fluido são conhecidas a Calcule a variação da temperatura média de mistura com a distância da en trada do duto Tmx b Calcule a variação da temperatura na superfície sólida Tsx em função do coeficiente de transferência de calor por convecção hx c Para a região termicamente desenvolvida utilizando a temperatura adimensio nal µ T TsTm Ts simplifique a equação da energia e obtenha o perfil de temperatura T x y em em função no número de Nusselt Nu h Dhk d Obtenha o valor do número de Nusselt na região desenvolvida e indique qual seria o comportamento do mesmo na região de entrada térmica Resposta 234 Considere o escoamento uniforme em regime permanente em um canal de pla cas paralelas espaçadas de uma distância D desprezando os efeitos da dissipação viscosa O perfil de temperatura na entrada do tubo é constante T 0 y T0 e calor é fornecido uniformemente em toda a superfície sólida Assumindo que as propriedades do fluido são conhecidas a Calcule a variação da temperatura média de mistura com a distância da en trada do duto Tmx b Para a região termicamente desenvolvida utilizando a temperatura adimensio nal µ T TsTm Ts simplifique a equação da energia e obtenha o perfil de temperatura T x y em em função no número de Nusselt Nu h Dhk Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 226 c Obtenha o valor do número de Nusselt na região desenvolvida e indique qual seria o comportamento do mesmo na região de entrada térmica Resposta 235 Considere o escoamento uniforme em um canal de placas paralelas isotérmicas Ts constante separadas por uma distância H Sabendo que as propriedades do fluido são conhecidas e assumindo que o escoamento é termicamente desenvolvido a Obtenha uma equação para determinar a variação da temperatura média de mistura com x para o caso com difusão axial b Utilizando a temperatura adimensional µ T TsTm Ts simplifique a equação da energia obtendo uma equação diferencial adimensional para µ com yH2 juntamente com as condições de contorno necessárias c Calcule o número de Nusselt Nu h 2Hk e o perfil de temperatura µ Resposta 236 Considere o escoamento dinamicamente desenvolvido em regime permanente em um duto circular de diâmetro D desprezando os efeitos de aquecimento por dis sipação viscosa O perfil de temperatura na entrada do tubo é constante T 0r T0 e calor é fornecido uniformemente em toda a superfície sólida Assumindo que as propriedades do fluido são conhecidas a Calcule a variação da temperatura na superfície sólida Tsx em função do coeficiente de transferência de calor por convecção hx e da temperatura de mistura Tmx b Calcule a variação da temperatura média de mistura com a distância da en trada do duto Tmx e esboce as variações de Tm Ts e h com x c Para a região termicamente desenvolvida utilizando a temperatura adimensi onal µ T TsTm Ts e a variável rD2 simplifique a equação da energia Resposta 237 Considere o escoamento uniforme velocidade U em um canal de placas paralelas separadas por uma distância H Calor é fornecido a uma taxa variável com x de modo que o fluxo de calor nas duas placas é q00 q00 0 expx As placas têm dimensões L na direção do escoamento por W perpendicular a este Sabendo que as propriedades do fluido são constantes e conhecidas a Utilizando um balanço de energia obtenha a equação diferencial para deter minar a temperatura média de mistura Tmx em função dos dados acima b Sabendo que a temperatura de entrada é Ti uniforme calcule a variação da temperatura média de mistura com x Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 227 c Discuta qual seria o valor da temperatura de saída para um canal longo L 1 d Repita os dois itens anteriores para o caso sem difusão axial Resposta 238 Considere o escoamento uniforme em um canal de placas paralelas separadas por uma distância H A placa inferior encontrase à temperatura constante T0 e um fluxo de calor constante q00 H é fornecido ao fluido na placa superior As placas têm dimensões L na direção do escoamento por W perpendicular a este Sabendo que as propriedades do fluido são constantes e conhecidas a Utilizando um balanço de energia obtenha a equação diferencial para deter minar a temperatura média de mistura Tmx em função dos dados acima b Sabendo que a temperatura de entrada é Ti uniforme calcule a variação da temperatura média de mistura com x c Discuta qual seria o valor da temperatura de saída para um canal longo L 1 considerando que q00 H 0 Resposta 239 Considere o escoamento uniforme em um tubo de seção circular de diâmetro D Um fluxo de calor uniforme q00 0 é fornecido ao escoamento a Utilizando um balanço de energia obtenha uma equação diferencial para calcular a temperatura média de mistura do escoamento Tmx b Calcule a variação da temperatura média de mistura com a posição x dado que na entrada do escoamento a temperatura é uniforme igual a T0 c Introduzindo a temperatura adimensional µ T TsTm Ts simplifique a equação da energia u T x v T r Æ 1 r r µ r T r para a região termicamente desenvolvida d Calcule o número de Nusselt Nu h Dk na região termicamente desenvol vida Resposta 2310 Mostre que para o escoamento laminar dinamicamente desenvolvido a equação da energia é dada em forma adimensional por µ ø u µ ª Pe1 L µ2µ ª2 2µ 2 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 228 onde u u u ª xL yL µ T Tmin Tmax Tmin e PeL u L Æ Indi que as simplificações consideradas assim como a adimensionalização utilizadada para a variável t onde o adimensional associado é ø Resposta 2311 Considere o escoamento que ocorre entre duas placas paralelas sem gradiente de pressão onde a inferior y 0 tem velocidade u U e a superior y H encontra se parada Há fornecimento de calor uniformemente distribuído na placa superior enquanto a placa inferior é isolada termicamente a Calcule a velocidade média na seção transversal u e o perfil de velocidade u em função de u que se desenvolve entre as placas em função da variável adimensional yH b Introduzindo as variáveis adimensionais µ T TsTmTs e simplifique a equação da energia para a região termicamente desenvolvida fornencendo uma EDO e condições de contorno para calcularse µ em função do nú mero de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico c Calcule o número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Nu h Dh k e a distribuição de temperatura adimensional µ na região termicamente desenvolvida Resposta 2312 Considere o escoamento uniforme u U constante em um duto formado por duas placas planas paralelas separadas por uma distância H O duto está imerso em um segundo fluido à temperatura T1 de modo que o calor trocado entre este fluido e à parede externa do duto é q00 h1 T1 Ts As paredes são finas de modo que não há variação ao longo da espessura das mesmas ou seja Ts Tsx Analise o problema na região termicamente desenvolvida Calcule o perfil de tem peratura adimensional µ T T1Tm T1 em função de 2 yH do número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Nu h Dhk e do número de Biot Bi h1 Hk onde k é a condutividade térmica do fluido que escoa entre as pla cas Obtenha também uma expressão para Nu em função de Bi Dica atenção para o fato de que nem Ts nem q00 são constantes porém T1 é constante Resposta 2313 Considere o escoamento uniforme u U constante em um duto formado por duas placas planas paralelas separadas por uma distância H e isotérmicas tem peratura Ts Há geração de energia no escoamento a uma taxa constante g 000 em Wm3 Para esta situação mesmo que as paredes do duto sejam isotérmicas o fluxo de calor q00 h Ts Tm tornase constante para uma região longe da entrada do duto pois o escoamento entra em um regime onde todo o calor gerado nele é perdido para as paredes do duto Calcule o perfil de temperatura adimensional µ T TsTm Ts em função de 2 yH e do número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Nu h Dhk assim como o valor de Nu para uma região longe da entrada do duto Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 229 2314 Considere o escoamento uniforme u U constante em um duto circular de di âmetro D Calor é fornecido ao fluido através da parede do duto a uma taxa uniforme e há aquecimento no escoamento a uma taxa constante g 000 Wm3 Analise o problema apenas na região termicamente desenvolvida a Calcule o perfil de temperatura adimensional µ T TsTm Ts em função de 2rD do número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Nu h Dk e dos demais parâmetros fornecidos b Obtenha a expressão para o número de Nusselt Nu Resposta 2315 Considere o escoamento no espaço anular formado por dois cilíndricos concên tricos de diâmetros 2d e d O escoamento é uniforme havendo componente de velocidade na direção axial apenas u U constante Sabendo que no diâme tro externo o duto encontrase isolado termicamente e que no diâmetro interno há fornecimento de calor a uma taxa constante calcule o perfil de temperatura adimensional µ T TsTm Ts e o número de Nusselt baseado no diâmetro interno Nu h dk Expresse o resultado de µ em função de rd e Nu Resposta 2316 Considere o escoamento uniforme velocidade u U constante entre placas pa ralelas paralelas separadas por uma distância H A placa superior encontrase à temperatura constante TH enquanto o fluxo de calor constante q00 0 é aplicado na placa inferior Analisando o problema longe da entrada do duto região termica mente desenvolvida responda às questões a Obtenha o fluxo de calor na placa superior indicando a direção do mesmo b Calcule a distribuição de temperatura local no escoamento T x y com y 0 posicionado na placa inferior c Calcule a temperatura média de mistura Tmx assim como a temperatura da placa inferior T0x em função dos dados fornecidos d Calcule o número de Nusselt na placa superior Nu hH Dh k e na placa inferior Nu h0 Dh k em termos do diâmetro hidráulico Dh Resposta 2317 Considere o escoamento uniforme velocidade u U constante entre placas para lelas paralelas isotérmicas ambas à temperatura Ts separadas por uma distância H com difusão axial de calor Analisando o problema longe da entrada do duto região termicamente desenvolvida responda às questões a Integrando a equação da energia em regime permanente na área da seção transversal mostre que a seguinte equação diferencial para determinar Tmx Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 23 Introdução à transferência de calor no escoamento laminar em dutos e canais 230 é obtida Dh dTm dx 4 Nu Pe Ts Tm D2 h Pe d2Tm dx2 onde Nu h Dhk Pe U DhÆ e Dh é o diâmetro hidráulico b Resolva a equação anterior e calcule as constantes de integração sabendo que a temperatura no início da região desenvolvida é conhecida T xeT Ti c Calcule a distribuição de temperatura adimensional µ T TsTm Ts em função de e do número de Nusselt d Calcule o valor do número de Nusselt Resposta 2318 Considere o escoamento uniforme u U constante e termicamente desenvol vido em um tubo circular diâmetro D com parede isotérmica temperatura Ts A distribuição local de temperatura é dada por T xr 212T0 Tsex Ts onde 2rD x e r são as coordenadas axial e radial respectivamente e T0 e são constantes Partindo da expressão acima responda a Calcule a temperatura média de mistura Tmx b Calcule o fluxo de calor entre a parede do duto e o fluido q00x indicando o sentido do mesmo c Calcule um valor numérico para o número de Nusselt Nu h Dk Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 27 Grupos adimensionais em convecção forçada Versão 035 090913 271 Números de Prandtl Reynolds e Péclet O número de Reynolds é provavelmente o adimensional mais conhecido o qual é introduzido em cursos introdutórios de mecânica dos fluidos Sua definição é dada por ReL ΩU L µ U L 271 onde U é uma velocidade característica e o subscrito L indica que a definição é baseada no comprimento característico L O número de Prandtl é um adimensional simples por depender apenas de proprie dades do fluido Pr Æ 272 onde é a viscosidade cinemática também conhecida como a difusividade molecular cinética ou de momentum linear e Æ é a difusividade térmica do fluido dadas por µ Ω e Æ k Ω cp 273 Desta forma observase que o número de Prandtl é uma razão entre difusividades e que naturalmente fluidos com altos Pr difundem momentum melhor que calor en quanto fluidos com baixos Pr difundem calor melhor que momentum Exemplos destes dois casos são respectivamente óleos e metais líquidos Para o ar os valores de Prandtl ficam torno de 1 enquanto para água encontramse valores da ordem de 10 O número de Péclet Pe é similar ao Reynolds sendo que agora a difusividade tér mica é utilizada PeL U L Æ 274 242 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 243 onde naturalmente L indica que a definição é baseada em um comprimento caracterís tico L Utilizando a definição de Prandtl é fácil observar que o Péclet é igual ao produto de dois outros adimensionais PeL ReL Pr 275 Os números de Reynolds e Péclet podem ser interpretados como as seguintes razões Re forças de inércia forças viscosas aceleração advectiva difusão de momentum advecção de momentum difusão de momentum 276 Pe advecção de calor condução de calor advecção de calor difusão de calor 277 de onde fica claro que ambos os parâmetros relacionam taxas de transporte por conve ção com taxas de transporte por difusão Re Pe taxa de transporte advectivo taxa de transporte difusivo 278 272 Coeficientes de transferência de calor adimensionais O coeficiente de transferência de calor na forma adimensional pode aparecer de diferen tes formas Em convecção forçada os números de Nusselt e Stanton são empregados sendo o primeiro mais comum de se encontrar O número de Nusselt é baseado no co eficiente convectivo h um comprimento característico L e a condutividade térmica do fluido Nu NuL h L k 279 Já o número de Stanton St é definido em termos do coeficiente h e o fluxo de capaci dade térmica do fluido Ω cp U St h Ω cp U 2710 onde U é uma velocidade característica do escoamento 273 Números de Brinkman e Eckert O número de Brinkman é associado com o aqueciemento provocado por dissipação viscosa Br µU 2 e k T 2711 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 244 Ele pode ser interpretado como a razão entre a taxa de aquecimento por efeitos viscosos e a taxa de transferência de calor por condução O número de Eckert é definido por Ec U 2 e cp T 2712 onde Ue representa uma medida característica da velocidade do escoamento 274 Número de Mach O número de Mach1 é definido como a velocidade do escoamento relativa à velocidade do som ou velocidade sônica no fluido considerado M Ue Usom 2713 A velocidade do som é uma propriedade termodinâmica sendo dada por U 2 som k µp Ω T 2714 onde k é a razão de calores específicos cpcv Para um gás ideal obtémse Usom p k R Te 2715 onde a temperatura utilizada é a característica do escoamento Desta forma o número de Mach para gases ideais é dado por M Ue p k R Te 2716 275 Parâmetros no escoamento externo No escoamento externo a velocidade característica é naturalmente o valor da velocidade fora da camada limite U1 e o comprimento característico está relacionado à distância sobre a superfície sólida percorrida pelo escoamento Como a distância percorrida pelo escoamento varia em diferentes posições na superfície sólida os números de Reynolds e Péclet também variam e por isso são comumente definidos em termos de uma posição arbitrária x percorrida pelo escoamento Rex U1 x e Pex U1 x Æ 2717 1em homenagem ao físico austríaco Ernst Mach Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 245 Naturalmente para uma posição fixa x L normalmente escrevese ReL U1 L e PeL U1 L Æ 2718 Finalmente podese observar que a razão entres os dois adimensionais fornece o número de Prandtl Pex Rex PeL ReL Pr 2719 No escoamento em camada limite surgem interpretações alternativas para o número de Reynolds e Péclet Tomando o resultado da análise de escalas para determinar a espessura de camada limite cinética equação 1718 podese escrever ReL ª µL 2 2720 Ainda recorrendo ao resultado da escala da espessura de camada limite térmica equa ção 1726 para Pr ø 1 escrevese PeL ª µ L T 2 2721 e a partir destes resultados chegase a uma outra interpretação para estes parâmetros adimensionais Re 1 quadrado da espessura de camada limite cinética adimensional 2722 Pe 1 quadrado da espessura de camada limite térmica adimensional 2723 2751 Coeficientes convectivos No escoamento externo o comprimento característico L está associado à um tamanho característico da superfície sólida comumente sendo um comprimento na direção do escoamento Ainda como o coeficiente convectivo h pode variar com a posição na su perfície sólida há também uma definição para o Nusselt baseada na posição x sobre a superfície Nu Nux h x k 2724 sendo esta aplicada em escoamentos externos sobre superfícies sólidas com a distância x sendo normalmente contada a partir do início do escoamento sobre a superfície Enquanto a definição de Nusselt envolvendo uma posição arbitrária x é bastante uti lizada no escoamento externo o mesmo não precisa ser feito para o número de Stanton Todavia no escoamento externo dado que a velocidade característica é U1 a defini ção de Stanton é escrita em termos desta Assim sendo para o escoamento externo a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 246 seguinte definição é utilizada St h Ω cp U1 2725 Vale a pena observar também que a razão entre estes dois adimensionais fornece o número de Péclet Pex Nu St xk Ω cp U11 Ω cp U1 x k U1 x Æ 2726 Observando as relações para os números de Nusselt e Stanton verificase que exis tem interpretações físicas associadas a estes parâmetros O número de Stanton pode ser interpretado da seguinte maneira St ª h T Ω cp U1 T ª fluxo de calor que cruza a superfície sólida fluxo de calor transportado pelo escoamento 2727 lembrando que ambos os fluxos são convectivos e que o fluxo de calor que cruza a superfície sólida é normal à esta Já para o número de Nusselt a definição para o escoamento externo com x ou L paralelo ao escoamento leva à seguinte interpretação Nu ª L T h T k T T 2728 ou seja Nu ª L T fluxo de calor por convecção fluxo de calor por condução 2729 onde ambos os fluxo são normais à superfície sólida Todavia lembrando que no es coamento em camada limite os fluxos convectivos e condutivos são da mesma ordem concluise que Nu ª L T ª 1 espessura da camada limite térmica adimensional 2730 o que está de acordo com a relação obtida na equação 1713 2752 Coeficientes adimensionais locais e médios Devido a existência de coeficientes h locais e médios definemse também baseados nes tes coeficientes adimensionais de transferência de calor por convecção ie Nu e St lo cais e médios Os coeficientes locais foram anteriormente apresentados onde h podia variar ao longo da superfície sólida Para coeficientes médios ao invés de calcularse a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 247 média de Nu e St fazemse novas definições em termos de h0x Nu0x h0x x k e St0x h0x Ω cp U1 2731 Naturalmente para Ω cp U1 independente de x podese afirmar que St0x 1 x Zx 0 Stdx0 2732 no entanto o mesmo não é verdadeiro para Nusselt mesmo com k constante Nu0x 6 1 x Zx 0 Nudx0 2733 Ou seja podese calcular St0x calculando a média do valor local porém não podese calcular Nu0x da mesma maneira 276 Parâmetros no escoamento em dutos e canais No escoamento em dutos e canais a velocidade característica do escoamento é a média na seção transversal e o comprimento característico é o diâmetros hidráulico Com isto os números de Reynolds e Péclet são escritos na forma Re u Dh Pe u Dh Æ 2734 Naturalmente a razão destes continua fornecendo o número de Prandtl Pr PeRe 2761 Número de Graetz O número de Graetz é utilizado em conveção forçada no escoamento laminar em dutos Gz Dh L Pe 2735 onde o número de Péclet é baseado no diâmetro hidráulico da tubulação O número de Graetz pode ser utilizado como uma mediada do grau de desenvolvimento térmico de um escoamento Quanto menor o valor de Gz mais próximo do desenvolvimento térmico está o escoamento Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 248 2762 Número de Poiseuille O número de Poiseuille é dado pelo produto do fator de atrito seja de Darcy ou de Fanning pelo número de Reynolds Fanning Po C f Re 2736 Darcy Po f Re 2737 Naturalmente as definições acima fornecerão diferentes valores para Po 2763 Número de Euler e número de cavitação O numéro de Euler é uma forma adimensional para a perda de carga Eu p 1 2 Ω u2 2738 E o número de cavitação é um parâmetro adimensional que representa a proximi dade que um escoamento está de cavitar Ca p pv 1 2 Ω u2 2739 Ambos Eu e Ca são definidos em relação a energia cinética calculada com u do escoa mento por unidade de volume Exercícios 271 Discuta as características de um fluido com Pr 1 fornecendo exemplos de tais fluidos Resposta 272 Para resfriar uma placa com circuitos eletrônicos utilizase um ventilador que gera um escoamento uniforme velocidade U1 paralelo a placa Com o escoamento camadas limites térmicas e hidrodinâmicas simétricas se desenvolvem a partir de x 0 em cima e em baixo da placa A velocidade U1 deve ser ajustada de acordo com o valor da potência gerada pela placa Q de forma a evitar que a tem peratura ultrapasse a máximo permitido por projeto Tmax A placa tem dimensões LW espessura desprezível e a potência Q é uniformemente distribuída O esco amento deve ser mantido laminar sobre a placa inteira onde o número de Nusselt local é dado por Nu c Re12 x Pr13 Considerando que as propriedades do fluido são todas conhecidas e não variam com a temperatura pedese a Calcule a variação da temperatura da placa Tsx b Calcule o valor máximo para Q de modo que a temperatura de placa não ultrapasse a máxima de projeto Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 27 Grupos adimensionais em convecção forçada 249 c Obtenha o valor ótimo mínimo para a velocidade U1 em função da potên cia Q que mantenha Tsx Tmax Resposta 273 Calcule o número de Mach para escoamentos de ar com velocidades Ue 10 ms Ue 100 ms Ue 250 ms e Ue 500 ms considerando temperatura ambiente 300 K Repita os cálculos para 230 K valor comum para temperatura na altitude de voo de cruzeiro de aviões comerciais Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos Versão 034 090913 Em convecção forçada o número de Nusselt e o coeficiente de fricção locais e mé dios têm a seguinte dependência funcional1 Nu NuxRexPrtipo de escoamento 281 Nu NuRexPrtipo de escoamento 282 C f C f xRextipo de escoamento 283 C f C f Rextipo de escoamento 284 onde x representa a distância adimensional percorrida pelo escoamento sobre a su perfície sólida Ainda grande parte das correlações são dadas na forma simples Nu c Rem x Prn 285 onde os coeficientes c m e n variam de acordo com o tipo de escoamento Devese lembrar que as propriedades termofísicas devem ser avaliadas à temperatura de filme a menos que esteja explicitado outra alternativa O tipo de escoamento está ligado à geometria do escoamento à natureza laminar ou turbulenta do mesmo entre outros fatores Outro parâmetro que é comumente utilizado é o número de Stanton que relaciona se com o número de Nusselt na seguinte forma St Nu RePr 286 281 Escoamento laminar sobre placa plana Para o escoamento laminar sobre placa plana a solução por similaridade notas de aula número 19 fornecem os seguintes resultados para espessura de camada limite dinâ 1Considerando escoamentos sem aquecimento por dissipação viscosa 250 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 251 mica coeficiente de fricção e número de Nusselt 492x Re12 x 287 C f 0664Re12 x C f 0x 1328Re12 x Nu 0564Re12 x Pr12 Nu0x 1128Re12 x Pr12 para Pr 005 e Pex 100 Nu 0332Re12 x Pr13 Nu0x 0664Re12 x Pr13 para 05 Pr 15 Nu 0339Re12 x Pr13 Nu0x 0678Re12 x Pr13 para Pr 10 Devido à semelhança nas duas ultimas equações muitas fontes sugerem que a forma intermediária seja utilizada para uma faixa comum Nu 0332Re12 x Pr13 Nu0x 0664Re12 x Pr13 para Pr 05 288 Neste ponto vale a pena mencionar que todas as relações apresentadas para o esco amento laminar sobre placa plana escoamento paralelo a placa são da forma Nu PrRe12 x e Nu0x 2PrRe12 x 289 onde é uma função do número de Prandtl 2811 Analogia de ChiltonColburn A analogia de Reynolds C f 2St pode ser utilizada para casos com escoamento laminar sem gradiente de pressão fora da camada limite e com Pr º 1 Todavia verificouse que a analogia pode ser aplicada para uma faixa maior de Prantdl se uma correção for incorporada A relação corrigida chamada de Analogia de Reynolds Modificada ou Analogia de ChiltonColburn tem a se Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 252 guinte forma C f 2StPr23 para 06 Pr 60 2810 valendo para escoamentos laminares onde não há gradiente de pressão fora da camada limite Todavia verificase no escoamento turbulento que as condições são menos influenciadas pelo gradiente de pressão de tal forma que a analogia é aproximadamente válida para casos com dp1dx 6 0 O coeficiente jH é chamado de coeficiente j de Colburn para transferência de calor jH StPr23 2811 de forma que a Analogia de ChiltonColburn é freqüentemente escrita na forma C f 2 jH 2812 Esta analogia permite que o número de Stanton e conseqüentemente o número de Nusselt sejam calculados diretamente a partir do coeficiente de fricção St 1 2 C f Pr23 2813 Nu StPex StPrRex 1 2 C f Pr13 Rex 2814 282 Escoamento turbulento sobre placa plana O critério para qual o escoamento deixa de ser laminar é Rec xc U1 º 5105 2815 Para escoamentos com Reynolds superiores ao valor de transição acima verificouse experimentalmente que o coeficiente de fricção pode ser determinado de C f 00592Re15 x para Rex 107 2816 Onde vale comentar que a mesma correlação pode ser utilizada com até 15 de erro para valores de Reynolds até 108 Utilizando a analogia de ChiltonColburn chegase à uma expressão para o coefici ente Nusselt para o escoamento turbulento Nu StPrRex 00296Re45 x Pr13 para 06 Pr 60 2817 Outra correlação para o escoamento turbulento é utilizada para calcular a variação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 253 da espessura de camada limite turbulenta 037x Re15 x 2818 Devido à maior mistura no escoamento turbulento as espessuras de camada limite assim como os coeficientes de fricção e transferência de calor tornamse maiores 283 Placa plana com aquecimento uniforme Para placa plana com aquecimento uniforme as correlações abaixo podem ser utilizadas para determinar o número de Nusselt local Para o escoamento laminar Nu 0453Re12 x Pr13 para Pr 06 2819 E para o escoamento turbulento Nu 0308Re45 x Pr13 para 06 Pr 60 2820 Lembrando que nestes casos não há similaridade entre as camadas limites dinâmica e térmica Uma correlação para o número de Nusselt que vale para todos os valores de Prandtl foi recomendada por Churchill e Ozoe 17 válida para casos onde o número de Péclet seja maior que 100 Nu 0886Pr12 Re12 x 1 00207Pr2314 válida para Pex 100 2821 De acordo com os autores esta correlação representa os dados apresentados em 17 para 104 Pr 1 com até 1 erro 284 Cilindros circulares e não circulares escoamento cru zado Para calcular o coeficiente de transferência de calor para o escoamento cruzado esco amento perpendicular ao eixo do cilindro em torno de um único cilindro circular ou não podese utilizar a correlação empírica de Hilpert NuD h D k c Rem D Pr13 2822 onde c e m são funções de ReD descritas na tabela 281 As propriedades são avaliadas à temepratura de filme O comprimento D é a distância frontal do cilindro perpendicular Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 254 ao escoamento Para cilindros circulares D é o próprio diâmetro Geometria ReD c m circular 044 0989 0330 circular 440 0911 0385 circular 404000 0683 0466 circular 400040000 0193 0618 circular 40000400000 0027 0805 quadrado paralelo 5103 105 0102 0675 quadrado diagonal 5103 105 0246 0588 hexagono base horizontal 5103 105 0153 0638 hexagono base vertical 5103 195104 0160 0638 hexagono base vertical 195104 105 00385 0782 placa vertical 4103 15104 0228 0731 Tabela 281 Coeficientes da corelação de Hilpert eq 2822 285 Cilindros circulares em escoamento cruzado Para calcular o coeficiente de transferência de calor em para o escoamento cruzado em torno de um único cilindro circular utilizase também a correlação de Zhukauskas dada por NuD c Rem D Prn µ Pr Prs 14 para ReD Pr 02 2823 onde todas as propriedades exceto Prs são avaliadas à T1 As constantes c e m são encontradas na tabela 282 A constante n é igual à 037 para Pr 10 e n 036 para Pr 10 ReD c m 140 075 04 40103 051 05 103 2105 026 06 2105 106 0076 07 Tabela 282 Coeficientes da corelação de Zhukauskas eq 2823 Outra forma de calcular o coeficiente convectivo para o mesmo tipo de escoamento é utilizando a correlação de Churchill Bernstein NuD 03 062Re12 D Pr13 1 04Pr2314 1 µ ReD 282000 5845 para ReD Pr 02 2824 onde todas as propriedades são avaliadas à temperatura de filme Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 255 286 Esfera Para calcular a transferência de calor no escoamento em torno de uma esfera temse a expressão proposta por Whitaker NuD 2 04Re12 D 006Re23 D Pr04 µ µ µs 14 2825 onde todas as propriedades exceto µs são avaliadas à T1 Validade 071 Pr 380 2826 35 ReD 76104 2827 10 µµs 32 2828 Um caso especial deste tipo de escoamento é o transporte em gotas dágua em queda livre Para tais situações podese utilizar a correlação de Ranz e Marshall NuD 2 06Re12 D Pr13 2829 Ambas as expressões no limite com ReD 0 tendem para NuD 2 que corresponde à transferência de calor por condução apenas em um meio infinito Exercícios 281 Compare o valor de Nusselt calculado pela correlação A e B para o valor de Prandtl no limite de aplicação das duas Resposta 282 Calcule o valor de Nusselt utilizando correlações para o escoamento laminar e tur bulento para o valor crítico de Reynolds 5105 comparando os valores obtidos Resposta 283 No texto foi mencionado que as correlações para o escoamento em torno de uma esfera dadas pelas equações 2829 e 2825 tendem para o limite com apenas condução a medida que ReD aproximase de zero Calcule este valor de Nusselt para condução apenas verificando que de fato NuD 2 para ReD 0 Resposta 284 Considere um escoamento uniforme unidirecional com velocidade U1 5ms in cidindo sobre uma superfície plana O fluido é água que incide sobre a superfície à temperatura Tf 300 K enquanto a superfície encontrase à temperatura cons tante Ts 280 K Considere escoamento em regime permanente A superfície tem 1 metro de comprimento e largura de 2 metros Pedese a Avalie se o escoamento é laminar ou turbulento e calcule os valores de Nus selt e h médios em cada região Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 28 Correlações em convecção forçada em escoamentos externos 256 b Calcule o número de Nusselt e o coeficiente de transferência de calor médios para a placa inteira c Calcule a taxa de transferência de calor total entre a superfície e o fluido Resposta 285 Considere o problema de condução transiente por parâmetros concentrados em um corpo de massa m calor específico c e área superficial As O corpo está inici almente à temperatura T0 e troca calor com um fluido à 0ºC em contato com toda a sua área superficial o mesmo estando à temperatura Tf Há geração de calor uniforme no corpo a uma taxa proporcional à sua temperatura dada por g 000 T onde 0 O número de Nusselt médio para a troca de calor entre o fluido e a superfície do corpo é dado pela seguinte correlação NuL a Re12 L Pr13 para Re LU1 onde L é um comprimento característico conhecido e U1 a ve locidade do escoamento a Calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção hL b Calcule uma expressão para a evolução da temperatura do corpo no tempo T t c Indique qual o valor mínimo para a velocidade do escoamento para que uma situação de regime permanente seja atingida Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais Versão 033 230512 291 Introdução De acordo com o estudado no escoamento em camada limite em convecção forçada a dependência do número de Nusselt e coeficiente de fricção é na forma Nu NuxRexPrtipo de escoamento 291 C f C f xRextipo de escoamento 292 De maneira similar na regiões de entrada antes de haver desenvolvimento térmico e dinâmico esperase que a dependência do número de Nusselt e do fator de atrito seja a mesma Já para região com desenvolvimento dinâmico não há mais dependência em x e portanto C f C f Retipo de escoamento 293 f f Retipo de escoamento 294 lembrando acima que existem dois tipos de fatores de atrito Para a região com desen volvimento térmico temse ainda Nu NuRePrtipo de escoamento 295 Naturalmente para escoamentos em dutos e canais o comprimento característico utilizado é o diâmetro da tubulação Para dutos com seção transversal não circular o diâmetro hidráulico definido por Dh 4Ax Px 296 257 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 258 é utilizado de modo que o número de Reynolds Péclet e Nusselt são definidos por Re u Dh Pe u Dh Æ Nu h Dh k 297 Ainda grande parte das correlações são dadas na forma simples Nu c Rem Prn 298 onde os coeficientes c m e n variam de acordo com o tipo de escoamento Para o caso de escoamentos internos em geral as propriedades termofísicas devem ser avaliadas à temperatura de média de mistura O tipo de escoamento está ligado à geometria do escoamento à natureza laminar ou turbulenta do mesmo entre outros fatores 292 Número de Nusselt em outras geometrias A tabela 291 apresenta valores do número de Nusselt1 para dutos de diferentes geo metrias Os valores apresentados são para Nusselt definidos em termos do diâmetro hidráulico da seção de escoamento Tabela 291 Número de Nusselt para o escoamento laminar em diferentes dutos Geometria Razão de Aspecto Nu q00 cte Nu Ts cte circular 4364 366 retangular 1 361 298 retangular 2 412 339 retangular 4 479 396 retangular 8 649 560 placas paralelas 1 8235 754 triângular equilátero 311 249 293 Efeitos de condução axial no fluido As equações abaixo propostas por Michelsen e Villadsen 13 são correlações para de terminar o número de Nusselt no escoamento termicamente desenvolvido em dutos circulares com temperatura uniforme na parede para casos onde a condução axial não é desprezada Nu 4180654 0183460Pe para Pe 15 299 Nu 3656794 4487Pe2 para Pe 5 2910 1Para geometrias que não sejam circulares ou placas paralelas o Nusselt varia ao longo do perímetro da seção de escoamento O valor apresentado é o Nusselt médio neste perímetro Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 259 294 Escoamento turbulento Para escoamento completamente desenvolvido turbulento em dutos circulares uma correlação utilizada por muito tempo é a de Dittus e Boelter Nu 0023Re45 Pr04 para aquecimento 2911 Nu 0023Re45 Pr03 para resfriamento 2912 Apesar da passada popularidade desta correlação os resultados tendem a produzir va lores superestimados em pelo menos 20 para gases e subestimados de 7 a 10 para fluidos com Prandtl altos Portanto não recomendase que esta correlação seja utilizada Para aplicações onde existe influência grande da temperatura nas propriedades ter mofísicas a correlação proposta por Sieder e Tate uma modificação na correlação de Dittus e Boelter é utilizada Nu 0027Re45 Pr13 µ µ µs 014 2913 válida para 016 Pr 16700 e Re 104 Todas as propriedades são avaliadas à tempera tura média do escoamento exceto µs que é avaliada à temperatura da parede A alternativa mais precisa é a fórmula proposta por Gienlinski ver 9 13 em fun ção do fator de atrito de Darcy f Nu Re1000Pr f 2 1127 q f 2Pr231 2914 valendo para 05 Pr 2000 e 2300 Re 5106 O fator de atrito f pode ser calculado do diagrama de Moody 18 exibido na figura 291 A figura mostra que há variação do fator de atrito com a rugosidade do duto ape nas para escoamentos turbulentos Esta observação foi experimentalmente verificada antes de Moody por Nikuradse 19 traduzido posteriormente para o inglês em 20 Uma correlação empírica para o fator de atrito em tubos circulares lisos para uma faixa de Reynolds elevados é dada por f 0046Re15 para 2104 Re 106 2915 295 Comprimentos de entrada turbulenta Para o escoamento turbulento os comprimentos de entrada térmica e dinâmica são tremendamente reduzidos quando comparados aos valores laminares Estes podem ser Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 260 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 2 4 6 8 10 3 10 4 10 5 10 6 10 7 8 10 001 0012 0100 0090 0080 0070 0060 0050 0040 0035 0030 0025 0018 0016 0014 0020 g u d L h f 2 2 ν u d R e pipe friction chart applicable to circular pipes running full Glasgow College of Nautical Studies Faculty of Engineering GCNS runs distance learning courses for the Engineering Council Graduate Diploma website wwwglasgownauticalacuk email engineeringglasgownauticalacuk Figura 291 Diagrama de Moody f Re para determinar o fator de atrito de DarcyMoody estimados para tubos circulares por xe D º xeT D º 10 2916 Devese ressaltar também que não há dependência no número de Reynolds 296 Comprimento de entrada térmica laminar O comprimento de entrada térmica é adimensionalizado com o diâmetro hidráulico do duto e o número de Peclét x eT xeT Dh PeDh Gz1 e 2917 onde Gze é o valor do número de Graetz para o qual o escoamento atinge o desenvolvi mento térmico Para o problema de Graetz escoamento laminar dinamicamente desenvolvido em Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 29 Correlações em convecção forçada no escoamento em dutos e canais 261 dutos circulares Gz1 e 00335 parede com temperatura constante 2918 Gz1 e 00430 parede com fluxo constante 2919 Para o desenvolvimento simultâneo as relações dependem do número de Prandtl 16 Para parede isotérmica Gz1 e 0028 Pr 0 2920 Gz1 e 0037 Pr 07 2921 Gz1 e 0033 Pr 1 2922 enquanto para a parede com fluxo constante Gz1 e 0042 Pr 0 2923 Gz1 e 0053 Pr 07 2924 Gz1 e 0043 Pr 1 2925 onde deve ser observado que os casos com Pr 1 tendem naturalmente ao problema de Graetz onde o escoamento já começa desenvolvido do ponto de vista dinâmico 297 Escoamentos em desenvolvimento térmico A correlação de 17 pode ser utlizada em escoamentos laminares em desenvolvimento térmico em dutos circulares NuD 1 53641Gz55109810 1 µ Gz288 1Pr0020623121Gz5510935 n21n 2926 onde Gz é o número de Graetz modificado dado por Gz ºD2 u 4Æx 2927 Ver a definição anterior do número de Graetz e unificar Exercícios 291 Problema Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 30 Introdução a trocadores de calor Versão 033 090913 301 Classificação Trocadores de calor são dispositivos que tem a finalidade de proporcionar a transferên cia de calor entre duas ou em alguns casos até mais correntes ou seja entre dois fluidos em movimento Trocadores de calor podem ser classificados em diferentes categorias de acordo com diferentes características Entre estas devem ser citadas 1 Quanto à forma da transferência de calor transferência direta ou transferência indireta Recuperadores transferência direta Regeneradores transferência indireta Uma matriz sólida armazena calor e repassa esta energia à outra corrente durante o outro período 2 Quanto ao contato entre os fluidos com mistura contato direto ou sem mistura sem contato 3 Quanto à geometria da construção placas tubulares eou com superfície esten dida aletas Uma combinação de geometrias pode ser utilizado levando a troca dores duplo tubo cascoetubo 4 Quanto ao tipo de matriz apenas para regeneradores matriz fixa ou matriz rota tiva 5 Quanto ao mecanismos de transferência de calor com mudança de fase escoa mento bifásico ou sem mudança de fase escoamento monofásico 6 Quanto aos arranjos de escoamentos Concorrente paralelo Contracorrente paralelo Escoamento cruzado Multipasses pode haver uma classificação de acordo com o número de pas ses 262 30 Introdução a trocadores de calor 263 302 Recuperadores Recuperadores são trocadores de calor sem mistura não há contato entre os fluidos com transferência direta de calor ou seja o calor passa diretamente de uma fluido para outro naturalmente atravessando uma parede que os separa O caso mais simples deste tipo de trocador é o duplotubo ou tuboduplo consistindo basicamente de dois tubos concêntricos onde uma corrente passa no interior de tubo interno e a outra passa no espaço entre os dois tubos 3021 Hipóteses simplificadoras Hipóteses simplificadoras que são comumente utilizadas na análise de trocadores recu perativos são listadas abaixo 1 Regime permanente 2 Escoamento incompressível 3 Escoamento completamente desenvolvido desenvolvimento térmico e dinâmico 4 Coeficientes convectivos constantes 5 Condução axial desprezível tanto no fluido quanto no sólido número de Péclet 100 6 Ausência de aquecimento por atrito viscoso 7 Propriedades termofísicas constantes Além destas hipóteses devese mencionar que na análise de trocadores de calor a temperatura de cada corrente é considerada como sendo a temperatura média de mis tura 3022 Coeficiente global de transferência de calor U Como a transferência de calor é direta ocorrendo de um fluido para outro através de uma parede sólida é comum se utilizar um coeficiente de transferência de calor global que leve em consideração a transferência de calor de uma corrente diretamente para a outra de modo que uma expressão geral baseada na Lei de Resfriamento de Newton possa ser escrita d Q12 U1 T1 T2dAs1 301 onde U1 é o coeficiente global de transferência de calor calculado baseandose no ele mento de área superficial associado à corrente 1 dAs1 Alternativamente podese re escrever a expressão anterior em relação à corrente 2 d Q12 U2 T1 T2dAs2 302 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 264 Reconhecendo que o inverso de U dAs representa uma resistência térmica e perce bendo que a transferência de calor de um fluido para o outro através da parede sólida pode ser representado por um circuito de resistências térmica em série escrevese 1 U1 dAs1 1 U2 dAs2 Rconv1 Rcond Rconv2 303 onde as resistências convectivas acima são dadas por Rconv1 1 h1 dAs1 Rconv2 1 h2 dAs2 304 A resistência na parede por condução depende da geometria desta Se a separação entre as corrente for feita por uma superfície plana temse Rcond k dAs 305 já se a separação for feita por uma parede cilíndrica como no caso de um duplotubo temse Rcond logr2r1 2ºk dx 306 onde foi considerado que r1 r2 Escrevendo r2 r1 onde é a espessura da parede Rcond log1r1 2ºk dx 307 Utilizando a seguinte expansão para a função log logx 1 x x2 2 x3 3 x4 4 x5 5 x6 6 308 podese observar que se ø r1 a resistência por condução é reduzida para Rcond º 2ºr1 k dx 309 o que sugere que a expressão acima pode ser utilizada para paredes finas em relação ao diâmetro da tubulação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 265 3023 Balanço de energia para escoamentos paralelos O balanço de energia para um volume de controle de espessura dx na direção paralela aos escoamentos é dado para a corrente 1 por m1 di1 d Q12 3010 m1 cp1 dT1 U1 T1 T2dAs1 3011 m1 cp1 dT1 dx U1 T1 T2 dAs1 dx 3012 de maneira análoga para a corrente 2 têmse m2 di2 d Q12 3013 m2 cp2 dT2 U2 T1 T2dAs2 3014 m2 cp2 dT2 dx U2 T1 T2 dAs2 dx 3015 Para um trocador de placas paralela ou para trocadores duplotubo com paredes finas ø D podese escrever dAs1 dAs2 dAs 3016 e consequentemente U1 U2 U 3017 Desta forma os balanços de energia para as duas correntes podem ser escritos como m1 cp1 dT1 dx U T1 T2 dAs dx 3018 m2 cp2 dT2 dx U T1 T2 dAs dx 3019 onde naturalmente dAsdx P onde P é o perímetro de transferência de calor entre as correntes De fato como o trocador considerado é cilíndrico não há variação da seção transversal de troca podese escrever dAs dx P As L 3020 onde L é o comprimento do trocador As expressões anteriores são válidas em geral para um trocador de correntes parale las qualquer Todavia é necessário perceber que para um trocador com arranjo contra corrente correntes em sentido oposto a vazão em massa de uma das correntes está no sentido oposto da outra Desta forma para evitar ter que utilizar vazões negativas utilizase a forma anterior para arranjos concorrentes e a forma modificada abaixo para Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 266 arranjos contracorrente m1 cp1 dT1 dx U T1 T2 dAs dx 3021 m2 cp2 dT2 dx U T1 T2 dAs dx 3022 Ou de uma maneira generalizada podese escrever m1 cp1 dT1 dx U T1 T2 dAs dx 3023 m2 cp2 dT2 dx U T1 T2 dAs dx 3024 onde é dado por 1 para concorrente 1 para contracorrente 3025 3024 Condições de contorno As condições de contorno necessárias para o problema de trocadores de calor recupera tivos utilizando a formulação simples aqui exposta são simplesmente as condições de entrada de cada corrente Para trocadores de calor em arranjo concorrente correntes no mesmo sentido as condições de contorno são dadas por T10 T1in 3026 T20 T2in 3027 Já para trocadores de calor em arranjo contracorrente correntes paralelas porém em sentidos opostos as condições de contorno são dadas por T10 T1in 3028 T2L T2in 3029 303 Análise do desempenho de trocadores de calor 3031 Taxas de capacidade térmica Na análise de trocadores de calor é comum definirse taxas de capacidade térmica1 C1 m1 cp1 3030 C2 m2 cp2 3031 1Também chamadas de vazão de capacidade térmica Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 267 de modo que o balanço de energia para as duas correntes possa ser reescrito como C1 dT1 dx U T1 T2 dAs dx 3032 C2 dT2 dx U T1 T2 dAs dx 3033 3032 Efetividade de trocadores de calor A efetividade de um trocador de calor é definida como sendo Q Qmax 3034 onde Qmax é o valor máximo para taxa de transferência de calor independente do tipo de arranjo de correntes Considerando que Q Q12 o valor máximo possível para a transferência de calor é dado por Qmax Cmin T1in T2in 3035 onde Cmin é o menor valor entre C1 e C2 A vazão de capacidade térmica mínima é utiliza pois em casos onde uma corrente possuir uma maior vazão de capacidade térmica a diferença máxima de temperatura T1in T2in só pode ser atingida pela corrente com menor C A vazão de calor real trocada entre as duas correntes é dada por Q12 C1T1in T1out C2T2out T2in 3036 A expressão anterior é também um balanço de energia entre as duas correntes signifi cando que toda energia que deixa uma corrente é passada para a outra Para trocadores trocadores contracorrente este balanço é escrito na forma C1T10T1L C2T20T2L 3037 e para trocadores concorrentes ele é dado por C1T10T1L C2T2LT20 3038 304 Método efetividadeNUT O método efetividadeNUT é um método popular e eficiente para análise de trocadores de calor Ele consiste basicamente em utilizar parâmetros adimensionais com signifi cado físico relevante em trocadores de calor para normalizar as equações governantes e expressar a efetividade de troca térmica em função destes parâmetros Os primeiros Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 268 parâmetros a serem definidos são os números de unidades de transferência ou NTU Nut1 U1As1 C1 Nut2 U2As2 C2 3039 entretanto o número de unidades de transferência para o trocador de calor é tomado como sendo Nut U1As1 Cmin 3040 ou seja como o valor máximo entre Nut1 e Nut2 A razão de taxas de capacidade térmica também chamado de razão de capacidade térmica é definida por C Cmin Cmax 3041 3041 Adimensionalização das equações Introduzindo as variáveis adimensionais ª x L µ T Tmin Tmax Tmin 3042 As equações para as duas correntes são dadas por dµ1 dª Nut1 µ1 µ2 3043 dµ2 dª Nut2 µ1 µ2 3044 Para resolver o sistema acima uma saída é eliminar uma das variáveis dependentes por exemplo µ2 d2µ1 dª2 Nut1 µdµ1 dª dµ2 dª 3045 d2µ1 dª2 Nut1 Nut1 Nut2 µ1 µ2 3046 d2µ1 dª2 Nut1 Nut2 dµ1 dª 3047 para resolver a equação obtida introduzse uma variável nova dµ1 dª 3048 d dª Nut1 Nut2 3049 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 269 resultando na seguinte solução c0 1 exp Nut1 Nut2ª 3050 ou em termos de µ1 µ1 c1 exp Nut1 Nut2ª c2 3051 utilizando a equação a solução para µ2 pode ser calculada µ2 µ1 1 Nut1 dµ1 dª 3052 µ2 c1 µ 1 Nut1 Nut2 Nut1 exp Nut1 Nut2ª c2 3053 µ2 c1 Nut2 Nut1 exp Nut1 Nut2ª c2 3054 3042 Recuperadores com arranjo concorrente Para trocadores concorrente as distribuições de temperatura nas duas correntes são da das fazendo 1 µ1 c1 exp Nut1 Nut2ª c2 3055 µ2 c1 Nut2 Nut1 exp Nut1 Nut2ª c2 3056 Assumindo que a corrente quente é a corrente 1 temse µ10 1 µ20 0 3057 Utilizando as condições acima as seguintes relações para determinar as constantes são obtidas c1 c2 1 3058 c1 Nut2 Nut1 c2 0 3059 Resolvendo o sistema acima para as constantes c1 Nut1 Nut1 Nut2 c2 Nut2 Nut1 Nut2 3060 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 270 e substituindo µ1 Nut1 exp Nut1 Nut2ª Nut2 Nut1 Nut2 3061 µ2 Nut2 h 1 exp Nut1 Nut2ª i Nut1 Nut2 3062 Utilizando a relação Nut1 Nut2 1CNut 3063 podese escrever µ1 Nut1 exp 1CNut ª Nut2 1CNut 3064 µ2 Nut2 h 1 exp 1CNut ª i 1CNut 3065 Calculando as temperaturas nas saídas µ11 Nut1 exp 1CNut Nut2 1CNut 3066 µ21 Nut2 h 1 exp 1CNut i 1CNut 3067 A vazão de calor entre as correntes é calculada por Q12 T C1 µ10µ11 T C2 µ21µ20 3068 Q12 T C1 1µ11 T C2 µ210 3069 substituindo as temperaturas de saída chegase a Q12 T C1 1µ11 T C1 Nut1 1 exp 1CNut 1CNut 3070 Q12 T C2 µ210 T C2 Nut2 1 exp 1CNut 1CNut 3071 Utilizando a relação Nut1 C1 Nut2 C2 Nut Cmin 3072 verificase que de fato as duas expressões anteriores fornecem o mesmo resultado e que Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 271 a efetividade de um recuperador com escoamentos concorrentes é dada por Qmax Cmin T 3073 Q12 T Cmin 1 exp 1CNut 1C 3074 1 exp 1CNut 1C 3075 Para o caso de trocadores de calor balanceados isto é com C 1 a expressão para a efetividade se reduz à 1 2 1 exp 2Nut 3076 Já para o caso de trocadores com C 0 correspondendo a casos onde uma das cor rentes tem a vazão de capacidade térmica infinitamente maior que a outra a seguinte expressão é obtida 1 expNut 3077 3043 Recuperadores com arranjo contracorrente Para trocadores contracorrente as distribuições de temperatura nas duas correntes são dadas fazendo 1 µ1 c1 exp Nut1 Nut2ª c2 3078 µ2 c1 Nut2 Nut1 exp Nut1 Nut2ª c2 3079 Assumindo que a corrente quente é a corrente 1 temse µ10 1 µ21 0 3080 Utilizando as condições acima as seguintes relações para determinar as constantes são obtidas c1 c2 1 3081 c1 Nut2 Nut1 exp Nut1 Nut2 c2 0 3082 Resolvendo o sistema acima para as constantes c1 Nut1 eNut1 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 c2 Nut2 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3083 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 272 e substituindo µ1 Nut1 eNut1 exp Nut1 Nut2ª Nut2 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3084 µ2 Nut2 h eNut1 exp Nut1 Nut2ª eNut2 i Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3085 Calculando as temperaturas nas saídas µ11 eNut2 Nut1 Nut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3086 µ20 Nut2 eNut1 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3087 A vazão de calor entre as correntes é calculada por Q12 T C1 µ10µ11 T C2 µ20µ21 3088 Q12 T C1 1µ11 T C2 µ200 3089 substituindo as temperaturas de saída chegase a Q12 T C1 1µ11 T C1 Nut1 eNut1 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3090 Q12 T C2 µ200 T C2 Nut2 eNut1 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 3091 Observando que eNut1 eNut2 Nut1 eNut1 Nut2 eNut2 eNutmax eNutmin Nutmax eNutmax Nutmin eNutmin eNut eC Nut NuteNut C eC Nut 1 eC1Nut Nut 1C eC1Nut 3092 e utilizando a relação Nut1 C1 Nut2 C2 Nut Cmin 3093 verificase que de fato as duas expressões para a taxa de transferência de calor fornecem o mesmo resultado e que a efetividade de um recuperador com escoamentos contracor rente é dada por Qmax Cmin T 3094 Q12 T Cmin 1 eC1Nut 1C eC1Nut 3095 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 273 1 eC1Nut 1C eC1Nut 3096 Para o caso de trocadores de calor balanceados isto é com C 1 a expressão para a efetividade se reduz à Nut 1 Nut 3097 Já para o caso de trocadores com C 0 a seguinte expressão é obtida 1 expNut 3098 resultando no mesmo resultado obtido para trocadores concorrente De fato quando C 0 a efetividade do trocador independe do arranjo de escoamentos pois a corrente com C 1 não muda de temperatura 305 Método avançado INCLUIR 306 Método LMTD avançado INCLUIR Exercícios 301 Calcule as temperaturas de saída para um recuperador cujas temperaturas de en trada são dadas por 20C e 80C as taxas de capacidade são C1 1 kWC cor rente quente e C2 2 kWC corrente fria e a efetividade é 08 Resposta 302 Calcule a efetividade de um recuperador com um arranjo concorrente em função de Nut e C assumindo que a corrente mais quente é a corrente 2 mostrando que o resultado independe das temperaturas das correntes Resposta 303 Repita o problema anterior para um recuperador com arranjo contracorrente Res posta 304 Mostre como a eq 3097 é obtida a partir da equação 3096 Resposta 305 Considere um trocador de calor tuboduplo dois tubos concêntricos de diâmetros d e D e comprimento L operando com duas correntes de água cp constante em escoamento paralelo concorrente A vazão da corrente quente tubo interno é m e a vazão da corrente fria é 2 m As temperaturas de entrada são Tqe e Tf e Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 274 a Utilizando balanços de energia obtenha o sistema de equações diferenciais e condições de contorno que governem a transferência de calor neste trocador em função das temperaturas Tqx e Tf x b Calcule o número de unidades de transferência para cada corrente e a razão de vazões de capacidade térmicas CminCmax c Dado que o número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico em cada es coamento é conhecido Nuq e Nuf ambos constantes calcule o coeficiente de transferência de calor global U assumindo que as espessuras das tubulações podem ser desprezadas Resposta 306 Considere um recuperador de calor de comprimento L operando em um arranjo contracorrente onde as vazões de capacidade térmica são dadas por C1 e C2 a área de troca é dada por As e o coeficiente global de transferência de calor é dado por U Sabendo que a efetividade deste trocador de calor pode ser determinada da expressão 1 eC1Nut 1C eC1Nut calcule a temperatura de saída de cada corrente em função das temperaturas de entrada assim como a taxa de transferência de calor entre as correntes Q assu mindo que C1 1 kWC C2 2 kWC U 1 kWm2C e As 10 m2 Resposta 307 Considere um trocador de calor construído por dois recuperadores mais simples com arranjos contracorrente e concorrente como mostrado na figura A vazão de capacidade térmica para as duas correntes são iguais sendo dadas por C As áreas e o coeficiente de transferência de calor global de cada recuperador são iguais U e As A corrente 1 passa primeiro no recuperador concorrente A para em seguida passar no recuperador contracorrente B A corrente 2 é dividida em duas com a fração C passando no recuperador A e C1 passando no recuperador B sendo em seguida misturada resultando em uma única saída Sabendo que as efetividades de recuperadores com escoamentos em arranjos concorrente e contra corrente podem ser calculadas respectivamente pelas expressões abaixo 1 exp 1CNut 1C 1 eC1Nut 1C eC1Nut responda aos itens abaixo a Calcule Nut e C para cada recuperador b Calcule as efetividades A e B de cada recuperador em função dos Nuts e Cs e do parâmetro Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 30 Introdução a trocadores de calor 275 c Calcule as temperaturas de saída das correntes 1 e 2 em função de A e B e das temperaturas de entrada d Obtenha uma expressão para efetividade total deste trocador Resposta 308 Considere um recuperador de calor duplotubo onde o coeficiente global de trans ferência de calor entre as correntes é U e o fluido de trabalho nos dois lados é o mesmo A corrente quente escoa no tubo interno entrando à temperatura Tmax enquanto a corrente fria escoa no tubo externo entrando à temperatura Tmin a Partindo das expressões para calcular a efetividade de recuperadores 1 exp 1CNut 1C 1 eC1Nut 1C eC1Nut indique justificando qual das expressões acima é válida para os diferentes arranjos de correntes contracorrente ou concorrente e obtenha os valores de para os valores máximos e mínimos possíveis para C CminCmax b Sabendo que a vazão no tubo externo mmax é infinitamente maior que no tubo interno mmin calcule a temperatura média de mistura nas duas correntes em função de ª xL das temperaturas de entrada das correntes e de Nut U As Cmin onde Cmin m cmin c Calcule o efetividade deste trocador de calor em função do número de uni dades de transferência a partir da distribuição de temperatura calculada anteri ormente Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 31 Convecção natural equações de camada limite Versão 035 090913 311 Introdução Para iniciar o estudo de convecção natural considerase o problema mais simples possí vel o escoamento laminar em regime permanente que se forma sobre uma placa vertical infinita a temperatura uniforme Ts Longe da placa x 1 o fluido encontrase em repouso e à temperatura T1 Com estas condições uma camada limite irá se formar na região próxima a placa A próxima seção discute como as equações de movimento e da energia podem ser simplificadas nesta região resultando em equações de camada limite para uma placa vertical aquecida 312 Equações de transporte Equações para o escoamento plano bidimensional em regime permanente incompres sível considerando propriedades constantes e aquecimento por dissipação viscosa des prezível Ω µ u u x v u y p x µ µ2u x2 2u y2 311 Ω µ u v x v v y p y µ µ2v x2 2v y2 Ω g 312 u x v y 0 313 Ω cp µ u T x v T y k µ2T x2 2T y2 314 A região aquecida onde T1 T Ts é delimitada por 0 x T A região onde há movimento é delimitada por 0 x 1 Como a força motriz no problema de convecção 1Neste caso não existe uma definição de espessura de camada limite dinâmica como há em convecção forçada O comprimento mede o tamanho da região onde há movimento denominada espessura de penetração de velocidade 276 31 Convecção natural equações de camada limite 277 natural é oriunda do gradiente de temperatura sempre haverá uma tendência ao movi mento na região aquecida Portanto é razoável esperar que T ou seja o fluido não tem como estar em repouso na região aquecida Todavia é possível haver movimento fora da região aquecida A uma distância suficientemente grande da parede aquecida onde não há mais mo vimento as equações anteriores são reduzidas ao problema de estática de fluidos 0 p1 x 315 0 p1 y Ω1 g 316 onde Ω1 é o valor da massa específica à temperatura T1 o qual é constante Se houver uma região onde há movimento mas não há gradiente de temperatura as equações que regem o movimento são também simplificações das equações 311314 Ω1 µ u u x v u y p x µ µ2u x2 2u y2 317 Ω1 µ u v x v v y p y µ µ2v x2 2v y2 Ω1 g 318 u x v y 0 319 313 Velocidade e temperatura na camada limite A figura 311 apresenta um gráfico da camada limite térmica que se desenvolve ao longo de uma placa vertical aquecida Em azul é mostrada a distribuição de temperatura em diferentes posições y no escoamento A situação apresentada corresponde a uma placa istotérmica de modo que a diferença de temperatura entre a placa e o fluido longe da placa é sempre constante Desta forma a região aquecida é apenas esticada a medida que o escoamento progride verticalmente A figura 312 apresenta um gráfico da camada limite térmica curva tracejada junta mente com a distribuição de velocidade vertical v que se desenvolve ao longo de uma placa vertical aquecida Em azul é mostrada a distribuição de velocidade v em diferen tes posições y no escoamento Diferente da distribuição de temperatura a distribuição de velocidade não é simplesmente esticada a medida que o fluido ascende sobre a placa vertical Como há sempre uma força de empuxo na região aquecida o fluido é acelerado a medida que sobe de modo que a velocidade v aumenta com y Devese ressaltar que as figuras aqui apresentadas não são meras ilustrações Elas refletem a solução numérica das equações de camada limite derivadas neste capítulo Devese mencionar também que elas foram calculadas para um fluido com Pr 1 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 278 0000 0005 0010 0015 0020 x 00 02 04 06 08 10 y Figura 311 Camada limite térmica tracejado e distribuição de temperatura em dife rentes posições 314 Derivação das equações de camada limite Para derivação das equações de camada limite para convecção natural a hipótese de camada limite esbelta é considerada de modo que ø H e T ø H 3110 onde H é o tamanho vertical da região considerada Como para o problema de con vecção natural T para chegar às equações de camada limite sobre a placa vertical aquecida considerase a região delimitada por 0 x Fazendo uma análise de escalas nesta região podese concluir que operadores de segunda derivada têm as seguintes escalas 2 x2 ª 1 2 2 y2 ª 1 H2 3111 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 279 0000 0005 0010 0015 0020 x 00 02 04 06 08 10 y Figura 312 Camada limite térmica tracejado e perfil de velocidade vertical de modo que com a hipótese de camada esbelta as equações anteriores são reduzidas a Ω µ u u x v u y p x µ 2u x2 3112 Ω µ u v x v v y p y µ 2v x2 Ω g 3113 Ω cp µ u T x v T y k 2T x2 3114 Como deve haver um balanço entre os termos das equações anteriores os compo nentes do gradiente de pressão não podem ser de ordem superior aos demais termos Portanto a escala destes nas direções x e y podem ser determinadas das equações de movimento nestas direções2 f pressão ª f viscosas ª f inércia 3115 p x ª µ 2u x2 ª Ω µ u u x v u y 3116 p y ª µ 2v x2 ª Ω µ u v x v v y 3117 2O termo de força de corpo não foi incluído no balanço acima pois ele é diretamente responsável pelo movimento e os demais termos naturalmente não poderão ter uma escala maior que este Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 280 onde as escalas de u e v são relacionadas pela equação da continuidade u ª v H 3118 Desta forma as escalas para os componentes do gradiente de pressão são p x ª µ v 2 H ª Ω v2 H H 3119 p y ª µ v 2 ª Ω v2 H 3120 Percebendo que a força de pressão é maior na direção y que na direção x verificase que na região considerada a pressão pode ser tomada como dependente de y apenas Isto pode ser feito tomando o diferencial total da função pressão dp p x dx p y dy 3121 dividindo por dy dp dy p x dx dy p y 3122 e analisando as escalas do termo abaixo p x dx dy ª µ v 2 µ H 2 ª Ω v2 H µ H 2 3123 concluise que p x dx dy ª µ H 2 p y 3124 Desta forma dentro da região 0 x a qual engloba a camada limite térmica a pressão pode ser considerada apenas função de y Com isto o gadiente de pressão deve ser igual ao gradiente de pressão na borda desta região dp dy º p1 y 3125 Como o fluido fora da região em movimento está em repouso o gradiente de pressão nesta é dado pelo gradiente estático dp dy º p1 y Ω1 g 3126 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 281 Assim a equação de movimento na direção y é reduzida à forma Ω µ u v x v v y µ 2v x2 Ω Ω1g 3127 e a equação de movimento para a direção x tornase desnecessária porque a pressão não é mais uma incógnita bastam três equações para determinar u v e T O último termo desta equação é novidade em relação ao conteúdo visto em convecção forçada Este termo corresponde a força de empuxo sendo o responsável pelo movimento na convecção natural Na equação de movimento e da energia aparece a massa específica Ω Todavia a variação de Ω devido à uma variação de temperatura é muito mais sentida no termo de empuxo do que nos demais termos Considerando que as variações de Ω sejam despre zíveis em todos os termos exceto no de empuxo as equações são simplificadas Ω1 µ u v x v v y µ 2v x2 Ω Ω1g 3128 Ω1 cp µ u T x v T y k 2T x2 3129 Esta simpificação é denominada a Hipótese de Boussinesq Escrevendo a massa específica como função da temperatura3 utilizando a Série de Taylor Ω ΩT T1 Ω T ØØØØ T T1 T T1 2Ω T 2 ØØØØ T T1 T T12 2 3Ω T 3 ØØØØ T T1 T T13 3 3130 Reconhecendo que Ω1 ΩT T1 e desprezando os termos de ordem 2 e superior Ω Ω1 º Ω T ØØØØ T T1 T T1 3131 Introduzindo o coeficiente de expansão térmica Ø 1 Ω µ Ω T p 3132 obtémse Ω Ω1 º ΩØT T1 T T1 Ω1 Ø1 T T1 3133 Substituindo na equação de movimento Ω1 µ u v x v v y µ2v x2 Ω1 Ø1 g T T1 3134 3A hipótese de escoamento incompressível permite isso pois não há variação de Ω com a pressão Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 282 Dividindo a equação anterior assim como a equação da energia por Ω1 obtêmse u v x v v y 1 2v x2 Ø1 g T T1 3135 u T x v T y Æ1 2T x2 3136 onde Æ1 kΩ1 cp e 1 µΩ1 Para simplificar a notação Æ1 1 e Ø1 são escritos simplesmente como Æ e Ø respectivamente fazendo com que as equações de camada limite em convecção natural sejam dadas por u v x v v y 2v x2 Øg T T1 3137 u x v y 0 3138 u T x v T y Æ 2T x2 3139 315 Forma adimensional Para adimensionalizar as equações de camada limte em convecção natural as seguintes variáveis adimensionais são definidas u u v0 v v v0 x x H y y H T T T1 Ts T1 3140 substituindoas nas equações de camada limite e simplificando obtêmse u v x v v y v0 H 2v x2 Øg H T v2 0 T 3141 u x v y 0 3142 u T x v T y Æ H v0 2T x2 3143 Em convecção forçada a velocidade característica v0 seria conhecida e os números de Reynolds e Péclet naturalmente apareceriam nas equações com ReH v0 H PeH v0 H Æ 3144 Todavia em convecção natural a velocidade v0 não é conhecida Desta forma um valor caracterísitco para a velocidade deve ser escolhido Como um dos objetivos da adimensionalização é a simplificação do problema uma escolha natural é v2 0 Øg H T 3145 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 283 Deste modo as equações são simplificadas para u v x v v y µ 2 g ØT H3 12 2v x2 T 3146 u T x v T y µ Æ2 g ØT H3 12 2T x2 3147 Nos termos entre parênteses aparecem o número de Boussinesq4 e o número de Grashoff 5 BoH g ØH3 T Æ2 GrH g ØH3 T 2 3148 E assim as equações de momentum e energia adimensionais são escritas na forma u v x v v y Gr12 H 2v x2 T 3149 u T x v T y Bo12 H 2T x2 3150 O que mostra uma relação entre os números de Boussinesq e Grashoff em convecção natural com Péclet e Reynolds em convecção forçada Bo12 H PeH Gr12 H ReH 3151 Exercícios 311 Considerando que o número de Nusselt local para o escoamento sobre uma placa plana vertical aquecida é dado por Nu f PrRa14 y onde f é uma função conhe cida de Prandtl Pr calcule a taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido sabendo que a a placa tem altura H e largura W e que o escoamento permanece laminar para y H Indique a temperatura onde as propriedades do fluido in cluindo Pr devem ser avaliadas Resposta 312 Partindo das equações de transporte para o escoamento plano bidimensional incompressível permanente de um fluido newtoniano Ω µ u u x v u y p x µ µ2u x2 2u y2 Ω µ u v x v v y p y µ µ2v x2 2v y2 Ω g u x v y 0 Ω cp µ u T x v T y k µ2T x2 2T y2 µ 4em homenagem ao físico e matemático francês Joseph Valentin Boussinesq 5em homenagem ao engenheiro alemão Franz Grashof Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 284 a Obtenha as equações de camada limite para convecção natural b Discuta o significado da hipótese de Boussinesq Resposta 313 O mecanismo de convecção natural sobre uma placa plana vertical aquecida pode ser regido pelas seguintes equações u v x v v y g ØT T1 2v x2 u x v y 0 u T x v T y Æ2T x2 onde Ø é o coeficiente de expansão térmica Pedese a Discuta o significado de cada uma das equações acima fornecendo uma in terpretação para cada termo Há geração de energia por dissipação viscosa O regime é permanente ou transiente b Indique diferenças entre a convecção natural sobre a placa vertical e o que ocorre em convecção forçada no escoamento sobre uma placa plana c Compare os parâmetros adimensionais Gr RaPr g ØTs T1L32 e Bo RaPr em convecção natural com os parâmetros Re e Pe em convecção forçada d Obtenha a forma adimensional para as equações apresentadas Resposta 314 Considere a camada limite que se forma adjacente a uma placa plana aquecida temperatura Ts imersa verticalmente em um reservatório infinito com fluido em repouso a temperatura inferior a placa T1 Na região aquecida podese afirmar que V ou F não há forças de empuxo há forças de inércia e viscosas o coeficiente de transferência de calor por convecção é constante o coeficiente de transferência de calor por convecção é infinito no início da placa e diminui gradativamente na direção do escoamento Já na região com T T1 podese afirmar que V ou F não há forças de empuxo sempre há forças de inércia e viscosas Justifique todas as respostas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 31 Convecção natural equações de camada limite 285 315 Considere o problema de convecção natural em regime permanente ao redor de uma placa vertical de comprimento W e altura H A placa remove calor do fluido a uma taxa uniformente distribuída sobre a mesma fluxo q00 Todas as proprieda des do fluido são conhecidas o qual é mantido em repouso longe da placa onde sua temperatura é T1 a Esboçe as distribuições de temperatura e velocidade vertical no escoamento em diferentes posições ilustrando a evolução de v e T com a posição vertical Mostre figuras para os casos com Pr 1 Pr ø 1 e Pr 1 b Sabendo que a temperatura na placa pode ser calculada por Tsy T1 q00 k y Ra y15 onde Ra y g Ø q00 y4 Æk calcule o número de Nusselt local e médio nas superfícies da placa assim como a taxa de transferência de calor entre a placa duas superfícies e o fluido Resposta 316 Considere o problema de convecção natural entre duas placas paralelas verticais isotérmicas separadas por uma distância L ambas à temperatura Ts Fora da re gião termicamente afetada a temperatura do fluido é T1 onde Ts T1 Todas as propriedades do fluido são conhecidas Após atingir uma altura H as duas cama das limites se encontram e a partir de uma altura suficientemente maior que H o regime do escoamento assume uma forma dinamicamente desenvolvida onde não há mais componente de velocidade horizontal u 0 e a diferença de tempe ratura no termo de empuxo pode ser aproximada por T T1 Ts T1 a qual é constante a Utilizando análise de escalas obtenha a escala para a altura H em que as camadas limites térmicas se encontram b Simplifique a equação de movimento vertical para a região dinamicamente desenvolvida c Obtenha a solução para o perfil de velocidade vx na região desenvolvida esboçando o resultado d Calcule a vazão em massa na região desenvolvida Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas Versão 033 140513 321 Escalas na camada limite térmica Sabese que as equações de camada limite em convecção natural são dadas por u v x v v y 2v x2 Øg T T1 u x v y 0 u T x v T y Æ 2T x2 Onde a placa está aquecida a temperatura Ts e longe desta o fluido encontrase pa rado com temperatura T1 As condições de contorno para este problema são escritas por v u 0 em x 0 321 v 0 em x 1 322 T Ts em x 0 323 T T1 em x 1 324 Na região aquecida região onde há gradientes de temperatura e conseqüentemente transferência de calor delimitada por 0 x T e 0 y H as escalas de algumas grandezas são naturalmente determinadas x ª T y ª H dx ª T dy ª H 325 dT ª Ts T1 T 326 Baseado nas escalas acima podese determinar uma relação entre as escalas de u e v 286 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 287 da equação da continuidade u ª v T H 327 Desta forma os termos da equação da energia têm as seguintes escalas u T x ª v T H T T 328 v T y ª v T H 329 Æ 2T x2 ª Æ T 2 T 3210 e assim podese mostrar que a escala para o componente de velocidade v é dada por v ª Æ H 2 T 3211 Utilizando a escala de v chegase ao seguinte balanço partindo da equação de movi mento f inércia ª f viscosas ª f empuxo 3212 u v x v v y ª 2v x2 ª Øg T T1 3213 v2 H ª v 2 T ª Øg T 3214 1 H ÆH 2 T 2 ª 1 2 T ÆH 2 T ª Øg T 3215 Æ2 H 4 T ª ÆH 4 T ª Øg T 3216 Æ2 H 4 T 1 Øg T ª ÆH 4 T 1 Øg T ª 1 3217 H4 4 T Æ2 Øg T H3 ª H4 4 T Æ Øg T H3 ª 1 3218 H4 4 T Æ Øg T H3 Æ ª H4 4 T Æ Øg T H3 ª 1 3219 Introduzindo o número de Rayleigh baseado no comprimento H RaH g ØT H3 Æ 3220 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 288 o balanço de forças é reduzido a f inércia ª f viscosas ª f empuxo 3221 H4 4 T Ra1 H Pr1 ª H4 4 T Ra1 H ª 1 3222 O resultado acima mostra que para fluidos com Prandtl muito grande as forças vis cosas terão maio importância que as forças de inércia enquanto em fluidos com Prandtl muito pequeno o inverso ocorre As forças de empuxo estarão sempre presentes na região aquecida pois elas são as responsáveis pelo movimento em sí Baseado no resultado anterior podese concluir que a espessura de camada limite térmica é dada por T H ª Ra14 H para Pr 1 3223 T H ª Pr14 Ra14 H para Pr ø 1 3224 O produto RayleighPrandtl resulta no número de Boussinesq BoH g ØT H3 Æ2 RaH Pr 3225 O número de Nusselt local para a placa vertical é definido por Nu h y k y T xx0 Ts T1 3226 cujo a escala é dada por Nu ª H T T T H T 3227 Utilizado as escalas dos comprimentos de camada limite chegase a conclusão que Nu ª Ra14 H para Pr 1 3228 Nu ª Pr14 Ra14 H Bo14 H para Pr ø 1 3229 e que a escala para a velocidade v na região aquecida é dada por v ª Æ H Ra12 H para Pr 1 3230 v ª Æ H Bo12 H para Pr ø 1 3231 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 289 322 Análise para Pr 1 Para Pr 1 o fluido difunde momentum melhor que energia de forma que haverá uma região em movimento maior que a região aquecida A espessura desta região é deno minada espessura de penetração de velocidade correspondendo a região do fluido onde há movimento Na região não aquecida mas com movimento ou seja T x existe um balanço de forças de inércia e atrito Nesta região a energia cinética do fluido é dissipada pelas forças viscosas As escalas desta região são dadas por x ª y ª H 3232 E a escala de v é a mesma da região aquecida pois o máximo de velocidade ocorre na interface entre as duas regiões ou seja em x º T f inércia ª f viscosas 3233 u v x v v y ª 2v x2 3234 v2 H ª v 2 3235 2 ª H v 3236 substituindo a escala para a velocidade 2 ª H2 Æ Ra12 H 3237 H ª Pr12 Ra14 H 3238 Comparando este resultado com a espessura de camada limite térmica verificase que T ª Pr12 3239 que como a análise é para Pr 1 mostra que de fato a espessura de penetração de velocidade é maior que a espessura de camada limite térmica T 3240 323 Análise para Pr ø 1 Em fluidos com baixos Prantdl a capacidade de difusão térmica é muito maior que a de difusão de momentum Isto pode levar ao raciocínio que a região aquecida seria maior do que a região onde há velocidade ou movimento Todavia devese lembrar que sempre haverá força de empuxo na região onde há gradientes térmicos 0 x T e Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 290 consequentemente movimento Portanto em fluidos com Pr ø 1 a região em movimento tem o mesmo tamanho que a região aquecida não havendo movimento para x T Como foi visto antes nesta região o balanço de forças dominante é f inércia ª f empuxo 3241 Para este caso não podese afirmar que o máximo de velocidade v ocorre na borda da camada limite térmica x T Sabese entretanto que este máximo deve ocorrer den tro da região aquecida Como a velocidade na parede deve ser nula devido à condição de nãodeslizamento as forças viscosas tem relevância na região adjacente à parede só lida Desta forma em uma região esbelta próxima à parede há um balanço de forças na forma f viscosas ª f empuxo 3242 Esta região tem tamanho v ou seja 0 x v e o valor máximo da velocidade v ocor rerá em x º v Desta maneira a escala de v nas duas regiões é a mesma igual ao seu valor máximo Nesta região próxima à parede as escalas de x e y são x ª v y ª H 3243 Fazendo uma análise de escalas na equação de movimento para esta região obtém se f viscosas ª f empuxo 3244 2v x2 ª Øg T T1 3245 v 2v ª Øg T 3246 2 v ª v g ØT 3247 substituindo a escala de v 2 v ª g ØT Æ H Bo12 H 3248 2 v ª g ØT Æ H µ g ØT H3 Æ2 12 3249 2 v H2 ª g ØT Æ H3 µ g ØT H3 Æ2 12 µ 2 g ØT H3 12 3250 Introduzindo o número de Grashoff baseado no comprimento H GrH g ØT H3 2 RaH Pr 3251 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 291 chegase a conclusão que em fluidos com Prandtl pequeno o máximo de velocidade ocorre a um distância da parede cuja escala é dada por v H ª Gr14 H 3252 Comparando as escalas v e T v T ª Bo14 H Gr14 H µ RaH Pr RaHPr 14 Pr12 3253 O que mostra segundo a análise feita que v de fato é menor que T pois Pr ø 1 Exercícios 321 Considere a camada limite que se forma sobre uma parede vertical aquecida tem peratura Ts uniforme em um reservatório de fluido estacionário Longe da parede não há movimento e a temperatura é T1 constante a Utilizando análise de escalas estime a espessura de camada limite térmica T e o número de Nusselt para fluidos com Pr 1 e para fluidos com Pr ø 1 b Esboce os perfis de velocidade v e de temperatura T para os dois limites de Prandtl considerados Indique nos dois esboços a espessura onde ocorre o máximo de velocidade vmax assim como a espessura de penetração de velocidade v no reservatório Resposta 322 Considere a camada limite que se forma sobre uma parede vertical aquecida fluxo de calor q00 s uniforme em um reservatório de fluido estacionário Longe da parede não há movimento e a temperatura é T1 constante a Utilizando análise de escalas obtenha as escalas da diferença de tempera tura T Ts T1 da espessura de camada limite térmica T e do número de Nusselt para fluidos com Pr 1 e para fluidos com Pr ø 1 Expresse as res postas em função do número de Prandtl Pr Æ e do número de Rayleigh modificado Ra H g ØH4 q00 s Æk onde H é a altura da placa b Esboce os perfis de velocidade v e de temperatura T para os dois limites de Prandtl considerados Indique nos dois esboços a espessura onde ocorre o máximo de velocidade vmax assim como a espessura de penetração de velocidade v no reservatório Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 32 Convecção natural em placa plana vertical análise de escalas 292 323 Considere o problema de camada limite em uma superfície vertical com altura H e largura W com W H A superfície remove calor do fluido a uma taxa uniforme Q0 q00 H W Considere que em uma região longe da placa o fluido está em repouso à temperatura T1 Desenvolva expressões para a espessura de camada limite térmica T e o número de Nusselt assim como para as espessuras região que há movimento e v espessura da camada onde ocorre a velocidade máxima Analise separadamente os casos em que Pr 1 e Pr ø 1 e expresse os resultados em função do número de Rayleigh modificado Ra H g Ø q00 H4Æk Faça um esboço do perfil de temperatura e de velocidade vertical para os dois casos analisados nas posições y 0 e y H2 indicando as espessuras calculadas Resposta 324 Considere o problema de duas superfícies verticais paralelas isotérmicas à tempe ratura Ts As superfícies tem altura H largura W com W H e estão separadas de uma distância L É sabido que a temperatura do ambiente é T1 com T1 Ts Considerando que há apenas convecção natural e que a escala do espaçamento entre as placas é maior que H RaH Pr14 onde RaH g ØT1TsH3Æ desen volva uma expressão para a escala da vazão em massa entre as placas sabendo que Pr ø 1 Expresse o resultado em função de RaH e dos demais parâmetros ne cessários Faça um esboço do perfil de temperatura e de velocidade vertical entre as duas placas nas posições y 0 e y H2 Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 34 Convecção natural laminar em placa vertical solução por similaridade avançado Versão 033 090913 341 Equações de camada limite As equações de camada limite no escoamento laminar em uma placa vertical aquecida são dadas por u v x v v y 2v x2 Øg T T1 341 u x v y 0 342 u T x v T y Æ 2T x2 343 342 Transformação de similaridade Definese a variável de similaridade baseada na análise de escalas ª xT x y Ra14 y 344 Para a transformação desejase escrever a velocidade vertical como uma função de e naturalmente Prandtl Novamente utilizando o resultado da análise de escalas para a escala de v v Æ y Ra12 y 345 onde é uma função arbitrária de Para que este resultado seja obtido a função corrente deve ser escrita na forma ÆRa14 y f 346 294 34 Convecção natural laminar solução por similaridade 295 onde f é uma função arbitrária de relacionada à função por f 0 347 Desta forma as velocidades u e v são dadas por u y Æ dRa14 y dy f Ra14 y f 0d dy ÆRa14 y 4 y2 3 y f x Ra14 y f 0 348 v x ÆRa14 y f 0 d dx ÆRa14 y f 0 Ra14 y y Æ y Ra12 y f 0 349 Definese a temperatura na forma adimensional escrevendoa como uma função de µ µ T T1 Ts T1 3410 Utilizando as definições acima calculamse u e as derivadas espaciais de u v e µ substituindo nas equações de camada limite resultando após simplificação em 3 4 f µ0 µ00 3411 1 2 f 02 3 4 f f 00 Pr µ f 000 3412 Onde devese observar que para Pr 1 os termos de inércia podem ser despreza dos e o balanço de forças é reduzido à fricção ª empuxo Condições de contorno em x 0 ou 0 u 0 f 0 0 3413 v 0 f 00 0 3414 T Ts µ0 1 3415 Condições de contorno em x 1 ou 1 v 0 f 01 0 3416 T T1 µ1 0 3417 lembrando que as últimas condições também ocorrem em y 0 O número de Nusselt local em função de µ é dado por Nu h y k y T xx0 Ts T1 y µµ x x0 y µ µ0 x 0 µ00Ra14 y 3418 onde µ00 é função de Prandtl apenas de acordo com as equações de camada limite transformadas e as condições de contorno Observando o resultado acima notase que Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 34 Convecção natural laminar solução por similaridade 296 este está de acordo com o obtido pela análise de escalas A solução do sistema é feita numericamente e com os resultados podese ob servar o campo de temperatura e de velocidade assim como se calcular o número de Nusselt As figuras a seguir apresentam a solução para Æ 105 e Ø 103 com T 100C Na figura 341 é visto o campo de temperatura na forma de um gradiente de cores desde o mais quente vermelho até o mais frio azul Figura 341 Campo de temperatura no escoamento laminar gerado por uma placa ver tical isotérmica o vermelho representa µ 1 e o azul representa µ 0 Já na figura 342 o mesmo campo de temperatura é sobreposto com as linhas de corrente e com os vetores velocidade A solução das equações para µ e f dependem do numero de Prandtl Nos limites com Prandl muito grande ou muito pequeno destacamse dois resultados µ00 0503 para Pr 1 3419 µ00 06Pr14 para Pr 0 3420 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 34 Convecção natural laminar solução por similaridade 297 Figura 342 Campo de temperatura linhas de corrente e vetores velocidade no escoa mento laminar gerado por uma placa vertical isotérmica Com isto temse Nu 0503Ra14 y para Pr 1 3421 Nu 06Ray Pr14 para Pr 0 3422 Calculando o valor de Nusselt médio para um região arbitrária obtémse Nu0y h0y y k 4 3 Nu 3423 resultando em Nu0y 0671Ra14 y para Pr 1 3424 Nu0y 08Ray Pr14 para Pr 0 3425 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 34 Convecção natural laminar solução por similaridade 298 Exercícios 341 Considere a camada limite que se forma sobre uma parede vertical aquecida tem peratura Ts uniforme em um reservatório de fluido estacionário Longe da pa rede não há movimento e a temperatura é T1 constante Utilizando a variável de similaridade xyRa14 y obtenha o número de Nusselt local Nu h yk em termos da temperatura adimensional µ T T1Ts T1 e do número de Rayleigh local Ray g ØTs T1 y3Æ Verifique que os resultados estão de acordo com o obtido por a análise de escalas Resposta 342 Sabese que a transformação utilizando a variável de similaridade xyRa14 y reduz as equações de camada limite sobre uma parede plana vertical aquecida dadas no problema anterior para o seguinte sistema de equações diferenciais ordinárias 3 4 f µ0 µ00 1 2 f 0 2 3 4 f f 0 Pr f 00 µ onde a temperatura adimensional e a função corrente são dadas por µ T T1Ts T1 e ÆRa14 y f respectivamente a Discuta em que variáveis eou parâmetros adimensionais as soluções f e µ dependerão b Mostre que as condições de contorno para as equações diferenciais ordinárias são f 0 0 f 00 0 µ0 1 na parede plana e f 01 0 µ1 0 longe da parede c Obtenha o número de Nusselt local Nu h yk em termos da temperatura adimensional µ T T1Ts T1 e do número de Rayleigh local Ray g ØTs T1 y3Æ discutindo em que variáveis dependerá Nu d Calcule a taxa de transferência de calor da parede para o fluido utilizando o resultado calculado no item anterior assumindo que esta tem altura H e largura perpendicular ao escoamento W Indique a temperatura em que as propriedades devem ser avaliadas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 35 Correlações em convecção natural externa Versão 034 090913 351 Camada limite sobre placa vertical isotérmica 3511 Transição para turbulência A transição para a turbulência no escoamento em uma placa vertical isotérmica é dada pelo número de Grashoff e não o número de Rayleigh como dito em várias fontes com o valor crítico de transição sendo Grc g ØT y3 c 2 º 109 351 para 103 Pr 103 3512 Correlações Para o escoamento laminar Gr 109 em um placa vertical isotérmica a correlação de Churchill e Chu pode ser utilizada Nu0y 068 067Ra14 y 10492Pr91649 352 Quando há transição para turbulência outra correlação de Churchill e Chu que serve para o escoamento laminar e turbulento deve ser utilizada Nu0y 0825 0387Ra16 y 10492Pr916827 2 353 válida para 101 RaH 1012 Neste ponto devese lembrar que as soluções limites para Prandtl muito grande ou muito pequeno obtidas por similaridade podem ser utlizadas de acordo com o valor 299 35 Correlações em convecção natural externa 300 de Prandtl Valores locais para o número de Nusselt são obtidos de Nu 0503Ra14 y para Pr 1 Nu 06Ray Pr14 para Pr 0 ou em termos do Nusselt médio Nu0y 0671Ra14 y para Pr 1 Nu0y 08Ray Pr14 para Pr 0 352 Placa horizontal Para placas horizontais isotérmicas podese utilizar as correlações aqui apresentadas para o Nusselt médio Em superfícies aquecidas voltadas para baixo ou superfícies resfriadas voltada para cima temse NuL 027Ra14 L para 105 RaL 1010 354 Já em uma superfície aquecida voltada para cima ou uma superfície resfriada voltada para baixo NuL 054Ra14 L para 104 RaL 107 355 NuL 015Ra13 L para 107 RaL 109 356 Em ambos os casos o comprimento característico L deve ser calculado da razão entre a área e o perímetro da superfície aquecida L As Ps 357 353 Outras geometrias 3531 Cilindro horizontal Em cilindros horizontais isotérmicos o número de Nusselt médio baseado no diâmetro pode ser calculado por NuD 06 0387Ra16 D 10559Pr916827 358 para 105 RaD 1012 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 35 Correlações em convecção natural externa 301 3532 Esfera Em esferas isotérmicas o número de Nusselt médio baseado no diâmetro pode ser calculado por NuD 2 0589Ra14 D 10469Pr91649 359 para Pr 07 e RaD 1011 3533 Cilindro vertical Para cilindros verticais dependendo da razão de aspecto entre o diâmetro e a altura as relações para placas verticais podem ser utilizadas Para DH Ra14 H as fórmulas de parede vertical podem ser utilizadas Caso contrário a curvatura é importante e temse a seguinte relação válida para o escoamento laminar NuH 4 3 7RaH Pr 52021Pr 14 4272 315PrH 3564 63PrD 3510 Exercícios 351 Dado que o número de Nusselt para uma superfície plana isotérmica vertical à temperatura Ts trocando calor com um fluido à temperatura T1 é dado por Nu f PrRay 14 calcule a taxa de transferência de calor entre a placa e o fluido sabendo que a superfície tem altura H e largura W Assuma propriedades cons tantes e indique a que temperatura estas devem ser avaliadas Faça um esboço da variação do fluxo de calor com a altura y Resposta 352 Dado que o número de Nusselt para uma superfície plana vertical a com fluxo de calor uniforme q00 s trocando calor com um fluido a temperatura T1 é dada por Nu f PrRa y 15 calcule variação da temperatura da superfície Ts com a posição y assumindo propriedades constantes Faça um esboço da variação da temperatura Ts com a altura y Resposta 353 Considere a convecção livre em uma superfície horizontal finita à temperatura Ts imersa em um fluido à temperatura T1 Podese afirmar que V ou F O número de Nusselt é maior quando Ts T1 O número de Nusselt pode variar com a temperatura O número de Nusselt pode variar com a temperatura mas independe de outros parâmetros O número de Nusselt depende do valor do número de Rayleigh Justifique todas as respostas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 35 Correlações em convecção natural externa 302 354 Sabendo que a correlação para calcular o número de Nusselt local para um esco amento em uma superfície vertical isotérmica é dada em termos do número de Rayleigh Ray g ØT y3Æ por Nu h y k c1 Ra14 y µ 1 1Pr1 14 a Utilize a relação acima para calcular a taxa de transferência de calor entre uma placa vertical duas superfícies à temperatura Ts imersa em um fluido à temperatura T1 com Ts T1 A placa tem altura H e comprimento W b Utilizando análise de escalas obtenha a escalas para o número de Nusselt para os limites de Pr 1 e Pr ø 1 verificando que o resultado está de acordo com a correlação proposta acima c Obtenha a escala para a vazão volumétrica no topo da placa y H para os dois limites de Prandtl considerados acima Resposta 355 Considere uma aleta de pino seção transversal circular de diâmetro D e compri mento L Calor é fornecido nas duas extremidades da mesma a taxas conhecidas dadas por Q0 em x 0 e QL em x L Sabendo que a superfície curva troca calor por convecção natural com o fluido à temperatura T1 onde o número de Nusselt médio pode ser calculado pela seguinte correlação NuD h D k 06 0387Ra16 D 10559Pr916827 a Calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção b Calcule a distribuição de temperatura na aleta c Calcule a taxa de transferência de calor entre a aleta e o fluido d Esboçe o perfil de temperatura na aleta Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Parte IV Notas de Aula 37 Introdução à transferência de calor por radiação Versão 037 080113 371 Introdução Como não há a necessidade de um meio para a propagação da radiação problemas que envolvem trocas radiativas podem ficar muito mais complicados que problemas de condução e convecção Em condução ou convecção em uma cavidade com um fluido em movimento ou parado na ausência de radiação como mostrado na figura 371 o fluxo de calor normal a superfície da cavidade em um elemento de área dA1 é facilmente calculado pela Lei de Fourier q00 n k rT ˆn 371 e equações diferenciais seriam necessárias para a determinação do campo de tempera tura nesta cavidade INCLUIR Figura 371 Cavidade Considere agora a presença de radiação térmica na mesma cavidade onde a área superficial interna a esta é A e volume interno é V Considere que o material dentro desta cavidade participa do processo radiativo como um gás quente uma suspensão de partículas quentes ou vidro Considerando que q00 A é o fluxo de calor por radiação que sai da superfície da cavidade e chega em um elemento de área dA1 e que q000 V é a taxa de transferência de calor volumétrica por radiação que deixa o material no volume 305 37 Introdução à transferência de calor por radiação 306 da cavidade e chega na mesma área dA1 a energia total que chega em dA1 é dada por q00 n dA1 Z A q00 A dA Z V q000 V dV 372 Como podese observar os balanços de energia por radiação tornamse bem mais com plexos que em condução e convecção comumente levando a equações regentes integro diferenciais Outro problema é que as taxas de transferência de calor por radiação requerem também a integração em uma variável espectral como o comprimento de onda uma vez que propriedades radiativas dependem deste Isto é verdade para propriedades de superfícies como para propriedades volumétricas eg gases radiantes ou vidro Além destes problemas existe a dificuldade de se determinar com precisão valores para propriedades radiativas 372 Ângulos sólidos e integrais hemisféricas Um ângulo plano é definido com a razão entre o seu arco e o raio como mostrado na figura 372 dÆ dl r 373 de maneira análoga um ângulo sólido é definido como a razão da área normal à direção Figura 372 Ângulo plano considerada e o quadrado do raio d dAn r 2 374 como pode ser visto na figura 373 O ângulo sólido infinitesimal d pode ser escrito em termos de coordenadas esféri cas d sendµd 375 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 307 Figura 373 Ângulo sólido e desta forma a integral de uma função arbitrária em torno de um hemisfério é dada por Z H f d Zº2 0 Z2º 0 f sendµ d 376 Lembrando que os ângulos e µ são respectivamente denominados zênite e azimute1 Substituindo f pela função identidade a integral fornece o valor do ângulo sólido para o hemisfério inteiro Z H d Zº2 0 Z2º 0 sendµ d 2º 377 A unidade de ângulo sólido é esterradiano2 cuja a abreviação é sr A integral da função cos fornece metade deste valor Z H cosd Zº2 0 Z2º 0 cossendµ d º 378 373 Relação entre fluxos de calor radiativos O fluxo de calor por radiação associado incidente ou emanante a um elemento de su perfície de área dAs q00 chamado de fluxo total hemisférico pode ser escrito em termos do fluxo de calor espectral hemisférico q00 q00 Z1 0 q00 d W m2 379a De maneira alternativa o mesmo fluxo pode ser escrito em termos do fluxo de calor total direcional q00 q00 Z H q00 d W m2 379b 1ou ângulos zenital e azimutal 2Algumas fontes também usam o termo esferorradiano Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 308 Os fluxos de calor espectral hemisférico e total direcional são respectivamente escritos na seguinte forma q00 Z H q00 d W m2µm 379c q00 Z1 0 q00 d W m2sr 379d onde o q00 é o fluxo de calor espectral3 direcional É interessante observar as unidades dos fluxos de calor acima definidos pois elas facilitam o entendimento da subdivisão destes Por exemplo o fluxo espectral direcional é dado por unidade de µm ou seja comprimento de onda e por unidade de sr ou seja por direção representando a energia associada a um comprimento de onda que passa por uma dada direção no espaçó 374 Intensidade de radiação 3741 Efeito da projeção Por mais que a radiação que emana de uma fonte seja independente da direção a quan tidade de radiação desta fonte que chega em um receptor depende da posição deste Por exemplo observe a figura 374 Para um receptor alinhado com a fonte com a normal na mesma direção que a normal da fonte área dA1 a radiação interceptada por unidade de direção será a mesma que deixa a fonte naquela direção Todavia um receptor alinhado Figura 374 Efeito da projeção à um ângulo com a direção da normal à fonte receberá menos radiação por unidade de direção pois nesta direção a área da fonte aparente é menor que dAs A medida que o ângulo aumenta ocorrerá uma diminuição da radiação percebida pela área dA2 em 3Devese ressaltar também que alguns autores utilizam o termo monocromático ao invés de espectral para especificar a energia radiativa por unidade de comprimento de onda Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 309 função da projeção de dAs nesta direção que vale dAs cos O mesmo raciocínio pode ser feito se invertermos quem é a fonte e quem é o receptor de modo que mesmo que a radiação que deixa dA2 seja independente da direção menos radiação chega em dAs à medida que o ângulo é aumentado devido à projeção de dA2 sobre dAs A fim de eliminar o efeito da projeção e trabalhar com um propriedade que dependa apenas da superfície e não da posição de uma de referência ao seu redor a quantidade intensidade de radiação é introduzida Desta forma a intensidade de radiação é uma quantidade definida para auxiliar cálculos de trocas radiativas Para a radiação que deixa uma superfície a intensidade radiação é definida como sendo a taxa de energia emanante por unidade de área projetada na direção considerada e por unidade de ân gulo sólido na mesma direção considerada A intensidade de radiação ainda pode ser definida por unidade de comprimento de onda I recebendo o nome de intensidade es pectral Quando todos os comprimentos de onda são considerados a intensidade é dita total e o símbolo I é utilizado 3742 Fluxos de calor em função da intensidade de radiação O fluxo de calor espectral direcional é escrito em termos da intensidade de radiação espec tral I q00 I cos W m2µmsr 3710 desta forma o fluxo q00 é constituído pela energia que passa pela área dAs e que passa por uma dada direção determinada pelos ângulos esféricos e µ O cosseno tem leva em consideração a projeção de dAs na direção considerada visto que a quantidade de energia transferida varia com a altura dada pelo ângulo zenital Contabilizando a intensidade de radiação em todos os comprimentos de onda obtém se a intensidade total I Z1 0 I d W m2sr 3711 e desta forma o fluxo de calor total direcional pode ser escrito em termos da intensidade I q00 I cos 3712 A taxa de transferência de calor que chegando ou saindo atravessa a área dAs é então dada por d Q q00 dAs W 3713 A figura 375 apresenta uma ilustração do espectro eletromagnético de radiação Devese observar nesta figura que a radiação visível compõe uma parcela ínfima do espectro de radiação Do espectro eletromagnético completo de radiação a faixa de Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 310 Figura 375 Espectro eletromagnético de radiação comprimentos de onda que contribuem de fato para troca de calor radiativas engloba as faixas ultravioleta visível e infravermelha Desta forma a transferência de calor por radiação só terá contribuições destas regiões do espectro eletromagnético 375 Emissão irradiação e radiosidade 3751 Emissão A emissão4 é a quantidade que mede a radiação emitida pelas moléculas ou átomos um material Todo material com temperatura absoluta acima de 0 K emite radiação térmica A emissão espectral é dada por E q00 ØØemitido Z H q00 ØØØemitido d Z H Ie cosd 3714a onde Ie é a intensidade de radiação emitida Substituindo d E Zº2 0 Z2º 0 Ie cossendµ d 3714b Neste ponto vale ressaltar que a emissão será sempre hemisférica de modo que não é necessário utilizar o termo emissão hemisférica Quando for necessário trabalhar com a radiação emitida por unidade de direção normalmente utilizamse aintensidade de radiação emitida 4As terminologias potência emissiva poder de emissão ou poder emissivo também são adotadas em outras fontes todavia devese lembrar que esta grandeza referese a um fluxo de calor por radiação Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 311 A emissão total é o resultado da totalização de E para todos os comprimentos de onda E q00ØØemitido Z1 0 q00 ØØemitido d 3715a substituindo a equação 3714a chegase a E Z1 0 E d 3715b A emissão também pode ser escrita em termos da intensidade de radiação totalizada para todos os comprimentos de onda E Z H Ie cosd Zº2 0 Z2º 0 Ie cossendµ d 3715c Emissores difusos Um emissor difuso emite radiação igualmente em todas as direções Para superfícies que se comportem desta forma temse5 Ieµ Ie 3716 e as expressões 3714b e 3715c são simplificadas E ºIe 3717a E ºIe 3717b onde Ie é calculada utilizando a equação 3711 fornecendo Ie Z1 0 Ie d 3718 É importante lembrar que apesar de um emissor difuso emitir igual em todas as direções devido ao efeito da projeção ao calcular a energia emitida por um emissor difuso que é emitida em uma dada direção observase que quando mais afastado da normal da superfície menos energia deixa a superfície 3752 Irradiação A irradiação é a radiação que incide sobre uma superfície Da mesma maneira que a emissão a irradiação é sempre hemisférica não sendo necessário utilizar este termo no 5lembrando que há também dependência na temperatura Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 312 seu nome A irradiação espectral é definida como G Z H Ii cosd Zº2 0 Z2º 0 Ii cossendµ d 3719 e a irradiação total é dada por G Z1 0 G d 3720 De maneira alternativa a irradiação total também pode ser calculada utilizando a in tensidade total incidente G Z H Ii cosd 3721 Radiação incidente difusa Para os casos de radiação incidente difusa temse6 Iiµ Ii 3722 e as seguintes simplificações podem ser feitas G ºIi 3723a G ºIi 3723b 3753 Radiosidade A radiosidade é a energia total por radiação que deixa uma superfície Esta é dada pela soma das parcelas emitida e refletida Novamente da mesma maneira que a emissão e a irradiação a radiosidade é sempre hemisférica A radiosidade espectral é definida por J Zº2 0 Z2º 0 Ier cossendµ d 3724 e a radiosidade total é dada por J Z1 0 J d 3725 6lembrando que há também dependência na temperatura Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 313 Como a radiosidade é a soma das parcelas refletidas e emitidas podese escrever Ier Ie Ir 3726a Ier Ie Ir 3726b J E Gref 3726c J E Gref 3726d Radiação emitida e refletida difusa Se a radiação emitida e refletida for difusa podese escrever7 Ier µ Ier 3727 resultando nas seguintes simplificações J ºIer 3728a J ºIer 3728b 3754 Energia refletida absorvida e transmitida A energia incidente sobre uma superfície pode ser absorvida refletida eou transmitida no caso de meios semitransparentes e transparentes Naturalmente a soma destas três parcelas resulta no total incidente Esta decomposição em termos de intensidades8 espectrais é escrita na seguinte forma Ii Iiref Iiabs Iitra 3729a Em termos das intensidades totais obtémse Ii Iiref Iiabs Iitra 3729b Já em termos da irradiação espectral a energia incidente é decomposta em G Gabs Gref Gtra 3729c e em termos da irradiação total temse G Gabs Gref Gtra 3729d Para os casos de superfícies opacas a parcela transmitida é nula Nestes casos Iitra Iitra Gtra Gtra 0 7lembrando que há também dependência na temperatura 8lembrando que intensidades são sempre direcionais Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 314 376 Emissão de Corpo Negro O termo Corpo Negro9 é usado para descrever superfícies que tenham propriedades es peciais Estas propriedades estão descritas na definição de um Corpo Negro 1 Um Corpo Negro absorve toda a radiação incidente independente do compri mento de onda e da direção µ 2 Para dados e T nenhuma superfície pode emitir mais energia que um corpo negro 3 Apesar da radiação emitida por um Corpo Negro depender de e T ela inde pende da direção Ou seja um Corpo Negro é um emissor difuso A melhor aproximação para um Corpo Negro é uma cavidade cuja superfície interna está a temperatura uniforme pois esta tem absorção completa emissão difusa emanante de uma dada abertura na cavidade e irradiação difusa em superfícies interiores 3761 Independência direcional da intensidade de Corpo Negro Da forma que a intensidade de radiação foi definida por unidade de área projetada é possível mostrar que a intensidade de radiação emitida por um Corpo Negro é indepen dente da direção Desta forma o fluxo de calor emitido por um Corpo Negro depende da temperatura da superfície do comprimento de onda e do cosseno do ângulo zenital q00 ecn IcnT cos 3730 Esta equação é conhecida como a Lei do Cosseno de Lambert e superfícies que seguem esta relação são chamadas de superfícies difusas ou superfícies da lei do cosseno Um Corpo Negro é portanto uma superfície difusa 3762 Distribuição de Planck Intensidade de radiação emitida por um Corpo Negro é descrita segundo a distribuição de Planck10 Icn IcnT 2h c2 0 5 exp h c0 k T 1 3731 onde devese observar que na intensidade de radiação de Corpo Negro não é necessário utilizar o subscrito e visto que está intensidade está sempre relacionada a emissões As constantes envolvidas são Constante de Planck h 662561034 Js 9Para o qual será utilizado a abreviação CN ou cn 10em homenagem ao físico alemão Max Planck Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 315 01 05 10 50 100 500 1000 l HmmL 1 100 104 106 108 Elcn HWêmm m2L 800 K 1500 K 3000 K 5800 K Figura 376 Distribuição de radiação emissão espectral para um Corpo Negro Constante de Boltzmann11 k 13801023 JK Velocidade da luz no vácuo c0 2998108 ms Como o Corpo Negro é um emissor difuso podese escrever Ecn ºIcn C1 5 exp C2 T 1 3732 onde C1 e C2 são denominadas constantes de radiação C1 2ºh c2 0 º 3742108 Wµm4m2 3733a C2 h c0 k º 1439104 µmK 3733b A figura 376 mostra a variação de Ecn com o comprimento de onda para diferentes temperaturas Como podese observar o máximo da emissão de Corpo Negro também varia com a temperatura Este valor pode ser determinado diferenciando a equação 3732 O resultado é a Lei de Deslocamento de Wein max T C3 º 2898 3734 A distribuição de Planck mostra que uma superfície só emite radiação no espectro visível para temperaturas maiores que 800 Kelvin aproximadamente A temperatura do sol é aproximadamente 5800 Kelvin Nesta temperatura grande parte da radiação 11em homenagem ao físico austríaco Ludwig Boltzmann Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 316 encontrase no espectro visível 3763 Emissão através de ângulos sólidos finitos A relação 3732 é calculada para um ângulo sólido que compreende um hemisfério inteiro Se for necessário obter a radiação emitida que passa por um ângulo sólido finito menor que 2º sr basta realizar a integral utilizando limites diferentes produzindo Ecn ØØØ 2 1 ØØØ µ2 µ1 Icn Zµ2 µ1 Z2 1 cos senddµ Icn sin22sin21 2 µ2 µ1 3735 3764 Emissão espectral de Corpo Negro aproximações avançado INCLUIR PARA PÓSGRADUAÇÃO 3765 Lei de StefanBoltzmann O poder emissivo total de Corpo Negro é obtido integrando a equação 3732 em todo o espectro de comprimento de onda Ecn Z1 0 Ecn d 3736 O resultado obtido é a Lei de StefanBoltzmann Ecn æT 4 3737 com æ 5670108 Wm2K4 onde æ é conhecida como a constante de StefanBoltzmann ou simplesmente como a constante de Stefan12 Como a emissão de um Corpo Negro é difusa a intensidade de radiação de um Corpo Negro totalizada para todos comprimentos de onda é dada por Icn Ecn º 3738 onde naturalmente Icn Z1 0 Icn d 3739 3766 Emissão em banda e fração de radiação Para o cálculo da radiação emitida em uma banda do espectro total utilizase a fun ção F F0 F0T R 0 Ecn d R1 0 Ecn d R 0 Ecn d æT 4 º æT 4 Z 0 Icn d 3740a 12em homenagem ao físico matemático e poeta austríaco Joseph Stefan Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 317 representando a fração de energia emitida para uma dada banda em relação ao espectro total Rearrumando a equação anterior F0 1 æT 4 Z 0 C1 5 exp C2 T 1 d 3740b e introduzindo a variável T chegase a F0 1 æ ZT 0 C1 T 5 exp C2 T 1 dT C1 æ ZT 0 d 5 exp C2 1 3740c Portanto a função F pode ser escrita em função de uma única variável composta do produto T F0T C1 æ ZT 0 d 5 exp C2 1 3740d Utilizando a definição de F podese escrever o fluxo radiativo emitido em uma de terminada banda 1 2 a uma determinada temperatura T na seguinte forma ET 2 1 F02 T F01 T æT 4 3741 Dados resumidos da fração de radiação F0T são apresentados na tabela 371 O gráfico de F0T pode ser visto na figura 377 Como pode ser observado menos de Tabela 371 Fração de radiação dados resumidos T F0 T F0 0 0000000 6000 0737818 1000 0000321 7000 0808109 2000 0066728 8000 0856288 3000 0273232 9000 0890029 4000 0480877 105 0999905 5000 0633747 1 1000000 10 da radiação emitida por um corpo negro é encontrada na região com valores de T acima de 10000 377 Emissão em um meio diferente do vácuo avançado INCLUIR PARA PÓSGRADUAÇÃO Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 318 5000 10000 15000 20000 25000 30000 T l 02 04 06 08 10 F0l Figura 377 Fração de radiação emitida de 0 a Exercícios 371 Partindo da expressão para a distribuição de radiação de corpo negro de Planck Derive a Lei de Deslocamento de Wein para obter o comprimento de onda onde a emissão é máxima Resposta 372 Calcule o valor exato da temperatura mínima em que um corpo negro começa a emitir radiação no espectro visível Resposta 373 Dado que a intensidade de radiação emitida por um corpo negro à temperatura T é dada por IcnT 2h c2 0 5exph c0k T 1 a Explique a relação entre intensidade de radiação emitida Ie emissão espec tral E e emissão total E b Calcule a emissão espectral de um corpo negro Ecn c Discuta o significado de intensidade de radiação incidente emitida e refle tida e emissão irradiação e radiosidade Resposta 374 A superfície solar tem uma temperatura efetiva de para emissão de Corpo Negro de 5780 K Baseado neste dado responda aos itens abaixo a Calcule o percentual de radiação solar que é emitido no espectro visível de 04 a 07 µm b Calcule os percentuais de radiação solar emitidos nos espectros ultravioleta e infravermelho Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 37 Introdução à transferência de calor por radiação 319 c Calcule o valor máximo da emissão espectral solar d Calcule em que comprimento o máximo anterior ocorre Resposta 375 A fim de illustrar o funcionamento do efeito estufa no aquecimento da terra de maneira simplificada podese considerar que a atmosfera terrestre transmite 75 de radiação com comprimentos de onda entre 035 e 25 µm 15 de radiação entre 25 e 10 µm sendo opaca a outros comprimentos de onda Calcule a fração de radiação solar que a atmosfera transmite Calcule em seguida a fração de radiação emitida pela superfície da terra aproximada por um corpo negro à 15ºC que é transmitida pela atmosfera Compare os resultados Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 38 Propriedades radiativas de superfícies Versão 0310 140513 381 Emissão em uma superfície nãoideal emissividade Emissões de uma superfície real são descritas em função de uma efetividade ou efici ência de emissão comparando a emissão real à máxima emissão possível obtida para um Corpo Negro à mesma temperatura Desta forma a intensidade de radiação emitida espectral para uma superfície real é dada por Ie Icn 381 onde é a emissividade espectral direcional sendo definida baseada na equação anterior µT IeµT IcnT 382 A emissividade total direcional e a emissividade espectral hemisférica são respectivamente definidas como µT IeµT IcnT 383a T ET EcnT 383b Utilizando as equações 3718 3739 e 382 em 383a obtémse R1 0 Ie d R1 0 Icn d R1 0 Icn d R1 0 Icn d 384 onde fica claro que se não depender do comprimento de onda obtémse Combinando agora as equações 3714a 3732 382 e 383b obtémse R H Ie cosd R H Icn cosd R H Icn cosd ºIcn 385 320 38 Propriedades radiativas de superfícies 321 Como Icn é independente da direção 1 º Z H cosd 1 º Zº2 0 Z2º 0 cos sendµ d 386 ficando claro que se não depender da direção obtémse Na maioria dos casos é observado que a dependência direcional está mais associada ao ângulo se for assumido que a dependência em µ é desprezível a expressão anterior pode ser simpli ficada para 2 Zº2 0 cos send 387 A emissividade total hemisférica representa uma média em todas as possíveis direções e comprimentos de onda T ET EcnT 388 Utilizando as equações 3715b 3732 3736 3737 e 383b R1 0 E d R1 0 Ecn d R1 0 Ecn d R1 0 Ecn d º R1 0 Icn d æT 4 389 A mesma propriedade pode ser escrita em termos de utilizando as equações 3715c 3738 e 383a R H Ie cosd R H Icn cosd R H Icn cosd ºIcn 3810 Utilizando o fato de Icn ser independente da direção 1 º Z H cosd 1 º Zº2 0 Z2º 0 cos sendµ d 3811 onde fica claro que se for independente da direção temse 382 Absorção em uma superfície absortividade A maneira pela qual uma superfície absorve a radiação incidente é descrita em termos da propriedade absortividade representada pelo símbolo Æ Utilizando a forma espectral direcional a absortividade é definida como Æ ÆµT IiabsµT IiµT 3812 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 322 A versão total direcional é dada pela razão Æ ÆµT IiabsµT IiµT 3813 enquanto a absortividade espectral hemisférica é definida por Æ ÆT GabsT GT 3814 e finalmente a absortividade total hemisférica é dada por Æ ÆT GabsT GT 3815 A absortividade total direcional pode ser relacionada com a espectral direcional uti lizando as equações 3711 e 3812 Æ Iiabs Ii R1 0 Iiabs d R1 0 Ii d R1 0 Æ Ii d R1 0 Ii d 3816 onde fica claro que se a absortividade espectral direcional não depender do compri mento de onda obtémse Æ Æ A absortividade espectral hemisférica pode ser relacionada com a espectral direcio nal utilizando as equações 3719 e 3812 Æ Gabs G R H Iiabs cosd R H Ii cosd R H Æ Ii cosd R H Ii cosd 3817 Finalmente a absortividade total hemisférica é relacionada com a espectral hemisfé rica utilizando as equações 3720 e 3814 Æ Gabs G R1 0 ÆG d R1 0 G d 3818 e também pode ser relacionada com a forma total direcional utilizando as equações 3721 e 3813 Æ Gabs G R H Æ Ii cosd R H Ii cosd 3819 383 Reflexão em uma superfície refletividade A maneira pela qual uma superfície reflete e transmite a radiação incidente é descrita em termos das propriedade refletividade representada pelo símbolo Ω Diferente das outras propriedades a refletividade pode apresentar um caráter bidirecional pois ela depende do direção da radiação incidente e da direção da radiação refletida Desta forma podem existir oito diferentes formas para a refletividade Por isto para facilitar Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 323 o entendimento será primeiramente apresentado as formas nãodirecionais para estas propriedade ou seja serão vistas primeiro formas hemisféricas 3831 Refletividades hemisféricas A radiação refletida em todas as direções resultante da radiação incidente vinda de to das as direções é chamda de Gref espectral ou de Gref total quando todos os com primentos de onda forem incluídos À razão entre Gref e a irradiação espectral G dáse o nome de refletividade espectral hemisférica1 a qual é então definida por Ω ΩT GrefT GT 3820 onde a dependência funcional da propriedade é indicada pelos parênteses Se todos os comprimentos de onda são contabilizados definese a refletividade total hemisférica Ω ΩT GrefT GT 3821 onde Gref representa a radiação refletida em todas as direções e comprimentos de onda devido a radiação incidente de todas as direções para todos comprimentos de onda Naturalmente as propriedades totais hemisféricas são relacionadas com as espectrais hemisféricas utilizando as equações 3720 e 3820 Ω Gref G R1 0 ΩG d R1 0 G d 3822 3832 Refletividades direcionais avançado Refletividades bidirecionais Antes de definir as refletividades direcionais é introduzida a quantidade dIdiref re presentando a intensidade de radiação refletida em uma dada direção associada a radi ação que incide de uma única direção Esta radiação incidente em uma dada direção pode ser calculada por dG Ii cosd 3823 onde Ii pode depender de µ e T Se toda a radiação incidente nesta direção for refletida em uma única direção r então a quantidade dIdir associada à direção de reflexão é igual a Ii cosd como ilustrado2 na figura 381 Todavia uma quantidade 1a denominação espectral hemisféricahemisférica também pode ser utilizada em função do caráter bi direcional da refletividade 2A figura ilustra apenas os ângulos zenitais e r todavia devese ter em mente que há ângulos azimu tais µ e µr associados as direções indicadas nas figuras Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 324 Figura 381 Quantidades envolvidas na definição da refletividade bidirecional menor que essa pode ser refletida e esta fração é definida como a refletividade espectral bidirecional ou espectral direcionaldirecional Ωr dIdiref Ii cosd 3824 onde corresponde à direção da radiação incidente ângulos e µ enquanto r corres ponde à direção da radiação refletida ângulos r e µr Devese ressaltar que dIdiref dIdirefµr µr T podendo portanto depender tanto da direção de reflexão quanto da de incidência Devido às dependências de dIdiref e Ii a refletividade espectral bi direcional tem a seguinte dependência funcional Ωr Ωr µr µr T 3825 Se as quantidades utilizadas na relação 3824 forem contabilizadas para todos os comprimentos de onda o resultado é a definição da refletividade total bidirecional Ωr dIdiref Ii cosd 3826 onde naturalmente as intensidades em questão são dadas por dIdiref Z1 0 dIdiref d 3827 Ii Z1 0 Ii d 3828 de modo que Ωr tenha a seguinte dependência funcional Ωr Ωr µr µr T 3829 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 325 Finalmente observando as equações e notase que as propriedades Ωr e Ωr são relacionadas pela seguinte fórmula Ωr R1 0 dIdiref d Ii cosd R1 0 Ωr Ii cosdd Ii cosd R1 0 Ωr Ii d Ii 3830 Refletividades direcionaishemisféricas A radiação que incide sobre um elemento de superfície dAs em uma dada direção pode de fato ser refletida em todas as direções como ilustrado na figura 382 Neste Figura 382 Quantidades envolvidas na definição da refletividade direcional hemisférica sentido a quantidade de radiação refletida em todas as direções levando em conside ração o efeito da projeção é chamada de dGref sendo calculada através da seguinte relação dGref Z Hr dIdiref cosr dr 3831 onde Hr corresponde ao hemisfério associado a todas as direções de reflexão e dGref dGrefµT A razão entre a quantidade dGref e o total incidente na direção é chamada de refletividade espectral direcionalhemisférica sendo portanto definida por Ω ΩµT R Hr dIdirefµr µr T cosr dr IiµT cosd 3832 De maneira similar a refletividade total direcionalhemisférica é definida contabilizando se todas os comprimentos de onda Ω ΩµT R Hr dIdirefµr µr T cosr dr IiµT cosd 3833 Finalmente é possível mostrar utilizando as relações anteriores que as refletivida des direcionalhemisféricas podem ser calculadas a partir das refletividades bidirecionais Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 326 através das relações Ω R Hr Ωr Ii cosd cosr dr Ii cosd Z Hr Ωr cosr dr 3834 Ω R Hr Ωr Ii cosd cosr dr Ii cosd Z Hr Ωr cosr dr 3835 sendo dadas portanto pelas integrais das refletividades direcionalhemisféricas em to das as direções de reflexão levando em consideração o efeito da projeção no ângulo r Refletividades hemisféricasdirecionais Considerando agora a radiação incidente de todas as direções que é refletida em apenas uma direção definemse propriedades hemisféricasdirecionais A intensidade de radia ção refletida em uma dada direção r oriunda da radiação incidente em todas possíveis direções é chamda de Iiref como ilustrado na figura 383 e calculada através de Iiref Z H dIdiref 3836 A refletividade espectral hemisféricadirecional é portanto definida pela razão entre Iiref Figura 383 Quantidades envolvidas na definição da refletividade hemisférica direcional e a radiação incidente vinda de todas as direções G representando naturalmente a irradiação espectral Ωr Ωr r µr T R H dIdirefµr µr T R H IiµT cosd 3837 De maneira similar a refletividade total hemisféricadirecional é dada pela seguinte ex Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 327 pressão Ωr Ωr r µr T R H dIdirefµr µr T R H IiµT cosd 3838 Finalmente é podese mostrar utilizando as relações anteriores que as refletividades hemisféricadirecionais podem ser calculadas a partir das refletividades bidirecionais através das relações Ωr R H Ωr Ii cosd R H Ii cosd 3839 Ωr R H Ωr Ii cosd R H Ii cosd 3840 Relações de reciprocidade É possível mostrar que as refletividades bidirecionais possuem sempre as seguintes propriedades devido à reciprocidade Ωr Ωr 3841a Ωr Ωr 3841b e também que para casos onde a radiação incidente é uniforme em todas as direções incidentes que as refletividades hemisféricadirecionais e direcionalhemisféricas são relacionadas pelas seguintes expressões Ω Ωr 3842a Ω Ωr 3842b Relações entre propriedades hemisféricas e bidirecionais Baseandose nas expressões anteriores podese facilmente escrever as refletividades es pectral hemisférica e total hemisférica respectivamente nas seguintes formas Ω R Hr R H dIdiref cosr dr R H Ii cosd 3843 Ω R Hr R H dIdiref cosr dr R H Ii cosd 3844 Com as expressões acima é possível mostrar que as refletividades hemisféricas e bi direcionais podem ser relacionadas através de Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 328 Ω R Hr R H Ωr Ii cosd cosr dr R H Ii cosd 3845 Ω R Hr R H Ωr Ii cosd cosr dr R H Ii cosd 3846 Superfícies difusas Para uma superfície difusa a radiação incidente em uma dada direção produz uma intensidade uniforme em todas as direções r Com isto a refletividade bidirecional é independente de r e µr levando a ΩµT ΩT ºΩr T 3847 Superfícies especulares Superfícies perfeitamente polidas espelhadas obedecem as conhecidas leis de reflexão Para radiação incidente oriunda de uma única direção um refletor especular por definição retorna radiação na mesma magnitude do ângulo que a radiação incidente faz com a normal à superfície e no mesmo plano da radiação incidente e a normal Desta forma r µr µ º 3848 e em outros ângulos a reflexão bidirecional é nula Então Ωr r µr µT espec Ωr r µr µ ºµ Ωr µ 3849 e portanto a refletividade bidirecional é função apenas dos ângulos incidentes Refletividade especular Ωs Ωs Ωr s Iir r µr µ ºT IiµT 3850 384 Transmissão de radiação transmissividade A maneira pela qual uma superfície transmite radiação incidente é descrita em termos da propriedae transmissividade representada pelo símbolo ø De maneira similar ao que acontece com as reflexões a transmissão de radiação depende de ângulos de incidência e ângulos de refração e portanto também terá um caráter bidirecional Além disto há complicações adicionais devido à participação do meio em questão no processo de propagação da radiação pelo meio Como estas questões estão além do escopo deste texto a maior parte dos exemplos apresentados serão para superfícies opacas onde a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 329 transmissividade é zero De qualquer forma apresentase a seguir definições de trans missividades hemisféricas A transmissividade espectral hemisférica é dada por ø øT GtraT GT 3851 e a transmissividade total hemisférica é definida pela relação ø øT GtraT GT 3852 onde Gtra e Gtra representam as parcelas de radiação transmitidas em todas as direções associadas à radiação incidente de todas as direções De maneira similar ao visto para a as propridades anteriores relações entre as dife rentes formas de transmissividade podem ser escritas ø Gtra G R1 0 øG d R1 0 G d 3853 385 Relações entre propriedades Utilizando as relações da Subseção 3754 junto com as definições das propriedades ra diativas obtémse Æ Ω ø 1 3854 Æ Ω ø 1 3855 Æ Ω ø 1 3856 Æ Ω ø 1 3857 onde as transmissividades e a refletividades direcionais acima se referem naturalmente à propriedades direcionaishemisféricas 386 Lei de Kirchoff A taxa de emissão de energia de um elemento de área dA que está à temperatura T em um comprimento de onda e ângulo sólido é dada por Icn cosdddA 3858 Se este mesmo elemento for colocado em uma cavidade negra isotérmica à mesma tem peratura T então a radiação absorvida por este elemento será Æ Icn cosdddA 3859 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 330 Para manter o equilíbrio térmico neste elemento é necessário que a seguinte igualdade seja satisfeita Æ 3860 ou seja a absortividade espectral direcional necessita ser igual a emissividade espectral direcional Esta relação é conhecida como a Lei de Kirchoff 3 tendo sido proposta em 1859 A prova da relação acima foi realizada para casos onde há equilíbrio térmico Desta forma para outras situações a Lei de Kirchoff é uma aproximação Entretanto a va lidade desta aproximação é reforçada por evidências experimentais que mostram que na maioria das aplicações Æ e não são influenciados de maneira significativa pelo campo de radiação ao seu redor Outra observação sobre a Lei de Kirchoff é que a emissividade nunca pode exceder um pois a absortividade não pode ser maior que um por conservação de energia e desta maneira verificase que nenhuma superfície pode emitir mais que um corpo negro A Lei de Kirchoff implica quando válida nas afirmações que um mau refletor é um bom emissor ou que um bom refletor é um mau emissor É por isso que muitos isolantes térmicos contém uma fina camada metálica refletiva pois a superfíce obtida troca pouco calor por radiação Comparando as equações 386 e 3817 1 º Z H cosd 386 Æ R H Æ Ii cosd R H Ii cosd 3817 observase que se apenas uma das condições abaixo for atendida a Lei de Kirchoff vale também para as propriedades espectrais hemisféricas ie Æ 1 A superfície é difusa ou seja e Æ são independentes de direção 2 A radiação incidente é difusa ou seja Ii é independente de direção Se uma das condições acima for encontrada e Lei de Kirchoff for válida para as pro priedades espectrais hemisféricas analisando as equações 389 e 3818 º R1 0 Icn d æT 4 389 Æ R1 0 ÆG d R1 0 G d 3818 observase que se uma de outras duas condições forem satisfeitas então a Lei de Kir choff é válida também para as propriedades totais hemisféricas 3em homenagem ao físico e alemão Gustav Robert Kirchhoff Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 331 1 A radiação incidente é igual a emitida por um Corpo Negro à mesma temperatura T ou seja GT EcnT 2 A superfície é cinzenta4 ou seja e Æ são independentes do comprimento de onda Exercícios 381 Utilizando a lei de Kirchoff sem restrições Æ indique os casos onde as igualdades Æ e Æ são válidas Resposta 382 Considere uma superfície opaca esta recebe calor de uma fonte difusa cuja a absortividade espectral hemisférica para qualquer temperatura é dada por Æ 00 para 1 e 2 Æ 09 para 1 2 a Indique as distribuições para a refletividade e transmissividade espectrais hemis féricas Ω e ø para a mesma superfície b Calcule a absortividade refletividade e transmissividade totais hemisféricas para a mesma superfície em função da irradiação espectral G c Assumindo que a radiação incidente é igual à 80 da emissão de Corpo Negro à temperatura T expresse o resultado anterior em termos da função F0T que mede a fração de emissão de Corpo Negro E encontrada no intervalo 0 Resposta 383 Considere uma superfície plana opaca à temperatura Ts cuja a absortividade es pectral hemisférica é dada por Æ 00 para 1 e 2 Æ 07 para 1 2 Esta superfície troca calor por radiação com um Corpo Negro à temperatura Tcn a Calcule a absortividade total hemisférica para a superfície plana b Calcule a emissividade total hemisférica para a superfície plana Resposta 4Alguns textos utilizam o termo superfície cinza Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 332 384 Considere uma superfície plana cinzenta opaca e difusa com emissividade total hemisférica 08 e temperatura uniforme Ts A superfície troca calor por radi ação com um Corpo Negro à temperatura Tcn Toda radiação emitida pelo Corpo Negro é interceptada pela superfície plana e viceversa Indique qual o valor de absortividade total hemisférica Æ justificando a resposta Resposta 385 Considere a troca térmica entre duas superfície opacas cinzentas e difusas cujas temperaturas uniformemente distribuídas são TA e TB com TA TB As super fícies são planas paralelas e podese assumir que toda energia que deixa uma superfície é interceptada pela outra e viceversa Sabendo que as emissividades totais hemisféricas das superfícies são A e B Obtenha a absortividade total hemis férica para as duas superfícies justificando a resposta Resposta 386 Duas superfícies opacas planas e paralelas possuem temperaturas uniformes TA 1500 K e TB 3000 K As superfícies são suficientemente extensas de tal forma que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e vice versa Considerando que a superfície B é um Corpo Negro e que a refletividade espectral hemisférica da superfície A é dada por Ω 03 para 0 2 µm Ω 10 para 2 µm calcule a absortividade e a emissividade totais hemisféricas para a superfície A e responda justificando se a superfície A é cinzenta Deixe os resultados em função de G se necessário Resposta 387 Duas superfícies difusas planas e paralelas possuem temperaturas uniformes TA 2500 K e TB 2000 K As superfícies são suficientemente extensas de tal forma que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e viceversa A refletividade e transmissividade espectrais hemisféricas de ambas as superfícies são dadas por ø 01 e Ω 03 para 0 2 µm ø 01 e Ω 09 para 2 µm a Calcule as emissividades totais hemisféricas para ambas as superfícies b Calcule as absortividades totais hemisféricas para ambas as superfícies Resposta 388 Considerando que o sol é um Corpo Negro com temperatura superficial de 5800 K calcule o fluxo de calor emitido em todas as direções e comprimentos de onda por um elemento de área infinitesimal da superfície solar Compare este fluxo de calor com o valor real médio quando a incidência é perpendicular à terra que Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 333 incide sobre a atmosfera terrestre G º 14 103 Wm2 Se houver discrepância significativa entre os valores explique a razão para isto Resposta 389 Uma camada de isolamento térmico é formada por duas placas planas e paralelas As duas superfícies são suficientemente extensas de tal forma que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e viceversa As duas superfí cies são opacas e a superior que está à temperatura TA pode ser aproximada por um Corpo Negro Já a superfície inferior que encontrase à temperatura TB possui a absortividade espectral direcional dada por Æ 1 para 0 º 4 Æ 0 para º 4 º 2 a Indique justificando os valores das propriedades espectrais direcionais da su perfície inferior b Calcule os valores das propriedades espectrais hemisféricas da superfície infe rior c Calcule os valores das propriedades totais hemisféricas da superfície inferior Resposta 3810 Uma camada de isolamento térmico é formada por duas placas opacas planas e paralelas As duas superfícies são suficientemente extensas de tal forma que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e viceversa A superfície superior que está à temperatura TA 2000 K pode ser aproximada por um Corpo Negro Já a superfície inferior que encontrase à temperatura TB 3000 K possui as seguintes propriedades espectrais direcionais 10 para 0 º 6 e 0µm 08 para º 6 º 2 e 0 2µm 04 para º 6 º 2 e 2µm a Indique justificando os valores das demais propriedades espectrais direcionais da superfície inferior b Calcule os valores das propriedades emissividade absortividade refletivi dade e transmissividade espectrais hemisféricas da superfície inferior c Calcule os valores das mesmas propriedades totais hemisféricas em função da fração de radiação de corpo negro em banda F0T indicando o valor apropriado dos produtos T Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 38 Propriedades radiativas de superfícies 334 3811 Uma superfície difusa recebe radiação em igual proporção de dois Corpos Ne gros de modo que sua irradiação espectral seja dada por G E A cn EB cn 2 Os Corpos Negros estão a temperaturas TA e TB e a superfície em questão está a temperatura Ts Sabendo que a absortividade espectral direcional da superfície é dada por Æ 08 para 0 4µm Æ 00 para 4µm a Calcule a emissividade total hemisférica e a absortividade total hemisférica expres sando os resultados em termos da função fração de radiação F0T e das temperaturas envolvidas no problema b Calcule o fluxo de calor líquido ganho pela superfície por radiação em fun ção das temperaturas e das propriedades radiativas conhecidas Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Notas de Aula 39 Transferência de calor por radiação entre superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário Versão 037 090913 391 Fator de forma unitário Apesar da definição de fator de forma não ter sido introduzida nesta seção considerase casos onde este será unitário para duas superfícies trocando calor por radiação Isto representa situações onde toda energia que deixa uma das superfícies é interceptada pela outra e viceversa 3911 Troca de calor entre duas superfícies negras Considerando duas superfícies negras isotérmicas lembrando que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra A e B O fluxo de calor líquido ganho pela superfície B é dado em função das emissões totais hemisféricas q00 AB EA EB 391 Da mesma maneira o fluxo de calor líquido ganho pela superfície A é dado por q00 BA EB EA 392 Utilizando a Lei de StefanBoltzmann chegase a q00 AB æT 4 A T 4 B 393a q00 BA æT 4 B T 4 A 393b 335 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 336 3912 Trocas entre duas superfícies difusas opacas e cinzentas Considere duas superfícies isotérmicas opacas e cinzentas A e B O fluxo de calor lí quido ganho pela superfície B é dado em termos da irradiação e da emissão para a superfície B q00 AB ÆB GB EB 394 Da mesma maneira o fluxo líquido ganho pela superfície A é dado por q00 BA ÆA GA EA 395 Como toda a radiação que deixa A é interceptada por B e viceversa temse GB JA GA JB 396 Utilizando a definição de radiosidade JA EA ΩA GA JB EB ΩB GB 397 Substituindo as equações 397 em 396 obtémse o seguinte sistema para calcular as irradiações totais hemisféricas GA e GB GB EA ΩA GA 398a GA EB ΩB GB 398b Resolvendo o sistema anterior para GA e GB obtémse GA EB ΩB EA 1ΩB ΩA GB EA ΩA EB 1ΩA ΩB 399a Introduzindo as emissividades totais hemisféricas GA B æT 4 B ΩB A æT 4 A 1ΩB ΩA GB A æT 4 A ΩA B æT 4 B 1ΩA ΩB 399b e rearrumando GA æ B T 4 B ΩB A T 4 A 1ΩB ΩA GB æ A T 4 A ΩA B T 4 B 1ΩA ΩB 399c Para superfícies opacas Ω 1Æ produzindo GA æ B T 4 B 1ÆBA T 4 A 11ÆB1ÆA GB æ A T 4 A 1ÆAB T 4 B 11ÆA1ÆB 3910a Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 337 e para superfícies difusas e cinzentas Æ GA æ B T 4 B 1BA T 4 A 11B1A GB æ A T 4 A 1AB T 4 B 11A1B 3910b Uma vez que as irradiações estejam determinadas os fluxos líquidos de calor ganhos por cada superfície podem ser calculados q00 AB ÆB GB B æT 4 B 3911a q00 BA ÆA GA A æT 4 A 3911b Exercícios 391 Considere a transferência de calor em regime transiente em um corpo de volume V exposto a radiação solar a qual incide a um fluxo conhecido dado pela irradiação difusa G Sabendo que a absortividade total hemisférica da superfície de área As exposta ao fluxo radiativo é Æ e que a superfície é cinzenta pedese a Mostre que a emissividade total hemisférica da superfície de área As é igual a absortividade total hemisférica b Utilizando um balanço de energia considerando parâmetros concentrados obtenha uma equação diferencial para calcular a temperatura do corpo c Calcule a temperatura do corpo em regime permanente d Calcule a variação da temperatura do corpo com o tempo partindo da condi ção inicial T t 0 T0 considerando que G 0 Resposta 392 Ao meiodia de um dia de verão radiação solar incide em um teto de carro re sultando em uma irradiação total hemisférica de 1200 Wm2 O teto do carro pode ser modelado como uma placa isotérmica opaca que está isolada no lado interno e trocando calor com o ambiente no lado externo A superfície externa pode ser considerada como cinzenta a Considerando que a temperatura do ar externo é 300 K que o coeficiente de transferência de calor por convecção com o ar é 20 Wm2 K e que a refletividade total hemisférica da superfície é 16 calcule a temperatura do teto do carro Ts desprezando a parcela emitida pelo teto do carro b Repita o item anterior considerando a parcela emitida pelo teto porém ape nas indique a equação algébrica que deve ser resolvida para calcular Ts Diga se a temperatura calculada por esta equação será maior ou menor que a cal culada no item anterior Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 338 393 Para o problema 383 dado que a área da superfície plana é As calcule o ganho líquido de calor Q em Watts na superfície plana Resposta 394 Para o problema 384 assumindo que a área da superfície plana é As calcule o ganho líquido de calor Q em Watts da superfície plana Resposta 395 Para o problema 385 pedese a Calcule as irradiações totais GA e GB em função do poder emissivo total das superfícies EA e EB b Calcule o fluxo de calor líquido trocado entre as superfícies em função das propriedades dadas e das temperaturas das superfícies Resposta 396 Para o problema 386 calcule o fluxo de calor por radiação líquido em cada su perfície indicando o sentido do mesmo Apresente o resultado em função de ÆA A e das temperaturas TA e TB Resposta 397 Duas superfícies opacas planas e paralelas possuem temperaturas uniformes TA e TB As superfícies são suficientemente extensas de tal forma que toda a radiação que deixa uma superfície é interceptada pela outra e viceversa a Calcule a irradiação espectral hemisférica sobre cada superfície GA e GB em função da emissão espectral de cada superfície EA e EB e das propri edades espectrais hemisféricas A B ÆA e ÆB b Considerando que as superfícies são difusas e que absortividade espectral he misférica das duas superfícies é dada por Æ 08 para 0 m Æ 01 para m calcule a refletividade transmissividade e emissividade espectrais hemisféricas para as superfícies Podese afirmar que as superfícies além de difusas são cinzentas c Baseandose nos dados acima calcule a emissividade e absortividade totais hemisféricas para cada superfície A B ÆA e ÆB d Calcule a taxa de transferência de calor entre as superfícies Q considerando que a área destas é As Resposta 398 Para o problema 387 pedese Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 339 a Calcule a irradiação espectral sobre cada superfície GA e GB e exprima o resultado em função das emissão espectrais de Corpo Negro EcnTA e EcnTB e das propriedades espectrais Ω e ø b Calcule a absortividade a refletividade e a transmissividade totais hemisféricas para cada superfície c Calcule o fluxo de calor por radiação líquido em cada superfície indicando o sentido do mesmo Apresente o resultado em função das propriedades totais hemisféricas A B ÆA ÆB ΩA e ΩB e das temperaturas TA e TB Resposta 399 Para o problema 389 pedese a Calcule o fluxo de calor que atravessa a camada de isolamento em regime permanente indicando o sentido do mesmo Apresente o resultado em fun ção das propriedades totais hemisféricas B e ÆB e das temperaturas TA e TB b Repita o cálculo anterior assumindo que há um fluido transparente entre as superfícies com propriedades constantes e conhecidas sabendo que o nú mero de Nusselt é uniforme em cada superfície sendo dado por NuA e NuB Calcule também a temperatura do deste fluido Resposta 3910 Considere o problema de condução transiente em um corpo metálico no espaço que inicialmente está à temperatura T0 A refletividade total hemisférica da super fície do corpo pode ser aproximada por 100 e a emissividade total hemisférica é A resistência térmica de condução no corpo é muito pequena comparada à resis tência externa de modo que uma formulação por parâmetros concentrados possa ser utilizada Sabendo que a área superficial do corpo é A e que sua capacidade térmica é m c calcule a A variação da temperatura do corpo com o tempo T t b Uma expressão para determinar o tempo t f em que a temperatura atinja o valor de Tf Resposta 3911 Considere o problema de condução de calor em um cilindro maciço de raio R O cilindro é suficientemente longo e as condições externas são tais que o problema pode ser tratado como unidimensional com a temperatura dependendo da posi ção radial apenas Há geração de energia a uma taxa constante g 000 e a condutivi dade térmica do material do cilindro é conhecida e constante dada por k Sabendo que a superfície exterior do cilindro em r R que é cinzenta e difusa com emissi vidade conhecida troca calor por radiação com um Corpo Negro à temperatura Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 340 Tcn e que toda radiação emitida pelo Corpo Negro é interceptada pela superfície desenvolva uma expressão para a distribuição de temperatura no cilindro T r Resposta 3912 Considere o problema de condução de calor em uma aleta cilíndrica de pino de diâmetro D e comprimento L A condutividade térmica da aleta é k e esta é resfriada por um fluido a temperatura Tf e coeficiente convectivo h Em x 0 a aleta está à mesma temperatura do fluido e em x L a aleta troca calor por radiação com um Corpo Negro à temperatura Tcn Sabendo que a emissividade da superfície que troca calor por radiação difusa e cinzenta é obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura na aleta em função de uma constante de intergração e dos demais parâmetros fornecidos Em seguida obtenha uma equação algébrica para calcular a constante de intregração Finalmente discuta qual seria a distribuição de temperatura na aleta para Tcn Tf Resposta 3913 Considere uma parede plana formada por três camadas com área transversal dada por Ax A primeira e última camadas são de um material sólido opaco de condutividade térmica k e espessura L A superfície mais à esquerda das três ca madas recebe calor à uma taxa conhecida Q0 enquanto a superfície mais à direita troca calor por convecção com um fluido à temperatura Tf e coeficiente convec tivo h Na camada interna da parede há vácuo onde as duas superfícies internas são difusas e cinzentas e possuem emissividade total hemisférica conhecida dada por Calcule as temperatura de todas as superfícies T1 T2 T3 e T4 em função dos dados fornecidos Resposta 3914 Considere uma placa plana fina de espessura à temperatura Ts a temperatura é uniforme A face inferior desta placa está isolada e a superior troca calor por radiação com uma superfície à temperatura TA e convecção com um fluido à tem peratura Tf O coeficiente convectivo é h e ambas as superfícies que trocam calor por radiação são difusas e cinzentas com absortividade conhecida Æ Há geração de energia na placa à uma taxa constante g 000 Sabendo que há regime permanente calcule a temperatura da superfície superior TA em função dos demais dados for necidos Resposta 3915 Considere o escoamento uniforme u U constante de um fluido transparente entre duas placas planas espaçadas por uma distância H As placas trocam ca lor por convecção com o fluido e radiação entre estas onde toda radiação que deixa uma placa é interceptada pela outra e viceversa A superfície superior está à temperatura Ts e a inferior à temperatura Ti e ambas são difusas e cinzen tas e possuem emissividade total hemisférica conhecida Analise o problema na região longe da entrada do duto termicamente desenvolvida e responda às seguintes questões a Calcule o perfil local de temperatura no escoamento T x y Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 341 b Calcule a temperatura média de mistura em função dos dados fornecidos acima c Calcule o número de Nusselt nas duas placas baseados no diâmetro hidráu lico Nui hi Dh k e Nus hs Dh k d Calcule a taxa de transferência de calor por radiação entre as placas indi cando o sentido da mesma e Calcule a taxa de transferência de calor total entre as placas Resposta 3916 Uma esfera maciça de condutividade térmica k e raio R troca calor em regime permanente somente com um Corpo Negro à temperatura Tcn Há geração de calor uniforme na esfera g 000 em Wm3 e a superfície da mesma é difusa e opaca possuindo refletividade espectral hemisférica dada por Ω 05 para 2 Ω 00 para 2 a 15 Calcule as propriedades totais hemisféricas da superfície da esfera Ω Æ ø e expressando os resultados em função da função fração de radiação de Corpo Negro F0T e das temperaturas Ts e Tcn Indique se a superfície é cinzenta b 10 Calcule a temperatura da superfície da esfera Ts em função dos dados fornecidos anteriormente e das propriedades totais hemisféricas c 10 Calcule a temperatura no centro da esfera T0 Resposta 3917 Considere um tubulação opaca de aço condutividade térmica k de diâmetros interno e externo dados por d e D e comprimento L A face interna da tubulação recebe calor na direção radial à uma taxa constante Q0 A face externa troca calor por radiação com um Corpo Negro CN à temperatura Tcn Toda a radiação que deixa a superfície é interceptada pelo CN e a radiação que chega nesta é oriunda apenas do CN Sabendo que a superfície externa não é cinzenta e também não é difusa porém que todas as propriedades radiativas desta são conhecidas responda às questões a Indique as simplificações existentes entre as propriedades radiativas da su perfície absortividade emissividade refletividade nos diferentes níveis es pectrais ou direcionais e totais ou hemisféricos b Calcule a temperatura da superfície externa utilizando um balanço global de energia Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier 39 Radiação em superfícies isotérmicas difusas com fator de forma unitário 342 c Calcule a distribuição de temperatura ao longo da espessura tubulação T r e faça um esboço do mesmo d Derive uma expressão para a resistência térmica de condução através da pa rede cilíndrica da tubulação Resposta Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Apêndices Apêndice A Exercícios Suplementares A1 Condução 1 Considere o problema de condução de calor em uma aleta de pino tendo diâmetro de seção transversal igual a D e comprimento L O material de que a aleta é feita possui condutividade térmica constante igual a k e a sua base está à temperatura Tb A aleta troca calor por conveccão em sua superfície curva com um coeficiente de troca constante igual a h todavia a temperatura do fluido não é constante sendo dada por Tb T1 TbxL onde T1 é uma constante a Fazendo um balanço de energia em regime permanente em um elemento de espessura dx mostre que a equação governante para a transferência de calor nesta aleta é dada por d2T dx2 m2 T Tb T1 Tb x L 0 b Verifique que a variável µ T Tb T1Tb x L transforma a equação anterior em uma forma homogênea c Obtenha a distribuição de temperatura T x para T L T1 esboçando o resultado d Obtenha a distribuição de temperatura T x para T 0L 0 esboçando o re sultado 2 Considere uma esfera maciça homogênea de capacidade térmica m c e diâmetro D que inicialmente está à temperatura T0 A esfera é totalmente imersa em um fluido à temperatura Tf no instante t 0 Após a variação da temperatura desta esfera a qual pode ser tratada por parâmetros concentrados verificase que esta segue a seguinte forma T t Tf T0 Tf exp10t a Utilizando a expressão anterior calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção h 354 A Exercícios Suplementares 355 b Calcule o tempo necessário para que a diferença T t Tf seja reduzida à metade do valor inicial partindo da condição inicial A2 Radiação 1 Considere uma parede plana opaca que troca calor em regime permanente com dois Corpos Negros um a sua esquerda à temperatura TA e outro a sua direita à temperatura TB Toda radiação que deixa os corpos negros é interceptada pe las superfícies da parede A parede é suficientemente fina de modo que não há variação da temperatura ao longo de sua espessura e suficientemente extensa de modo que também não há variação de temperatura nas demais direções ou seja a temperatura da parede é constante Sabendo que a emissividade espectral hemisférica das duas superfícies da parede é dada por 10 para 2 02 para 2 responda aos itens abaixo a Calcule a emissividade e a absortividade totais hemisféricas das duas super fícies A B ÆA e ÆB expressando os resultados em função da função fração de radiação de Corpo Negro F0T e das temperaturas TA TB e da tem peratura da parede Tp b Calcule a temperatura da parede Tp em função das propriedades totais he misféricas e das temperaturas TA e TB c Sabendo que TA 5000 K e TB 500 K compare os valores de ÆA e ÆB assim como os de A e B não precisa calcular valores numéricos basta dizer qual é maior e qual é menor Baseado neste resultado discuta se Tp estará mais próxima de TA ou de TB A3 Convecção Forçada 1 Considere um escoamento uniforme u U constante sobre uma placa plana iso térmica Longe da placa a temperatura do escoamento é T1 Para x 0 a placa está aquecida à temperatura Ts Assumindo que uma aproximação para o per fil de temperatura T c0 c1 e c2 e possa ser utilizada com yT onde T T x responda aos itens a Calcule o valor dos coeficientes c0 c1 e c2 b Obtenha uma expressão para o número de Nusselt local Nu h xk em fun ção da espessura de camada limite térmica T Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier A Exercícios Suplementares 356 c Integre a equação da energia na direção y de 0 a Y onde Y T L e obte nha uma EDO para calcular T x para 0 x L Alternativamente integre a mesma equação de 0 a T x e chegue no mesmo resultado neste caso utilize a regra de Leibiniz d Resolva a EDO obtida e calcule T x 2 Considere o escoamento uniforme u U constante em um duto formado por duas placas planas paralelas separadas por uma distância H O duto está imerso em um segundo fluido à temperatura T1 e as paredes são finas de modo que não há variação de temperatura ao longo das espessuras das mesmas ou seja Ts Tsx Há geração de energia no escoamento à taxa constante g 000 em Wm3 Para esta situação mesmo que T1 seja constante o fluxo de calor q00 h Ts Tm h1 T1 Ts tornase constante para uma região longe da entrada do duto pois o escoamento entra em um regime onde todo o calor gerado nele é perdido para o fluido externo ao duto Analise o problema para x 1 respondendo aos itens abaixo a Calcule Ts em função de Tm T1 do número de Nusselt baseado no diâmetro hidráulico Nu h Dhk e do número de Biot Bi h1 H2k onde k é a condutividade térmica do fluido que escoa entre as placas b Calcule o perfil de temperatura adimensional µ T T1Tm T1 em fun ção de 2 yH do número de Nusselt Nu e do Número de Biot Bi c Obtenha uma expressão para Nu em função de Bi 3 4 Considere o escoamento laminar em um duto formado por duas placas paralelas impermeáveis espaçadas por uma distância H A placa superior tem velocidade U a inferior está parada e não há gradiente de pressão A placa superior está à temperatura Ts e a inferior à temperatura Ti com Ts Ti Sabendo que todas as propriedades termofísicas do fluido são conhecidas responda aos itens abaixo considerando uma região longe da entrada do duto a Calcule o campo de velocidade u e v entre as placas discutindo se o mesmo é dinamicamente desenvolvido b Calcule o campo de temperatura T e a média de mistura Tm c Calcule o fluxo de calor nas superfícies superior e inferior q00 s e q00 i indicando o sentido dos mesmos d Calcule o coeficiente de transferência de calor h assim como valores numé ricos para o número de Nusselt Nu h Dhk nas superfícies superior e in ferior Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier A Exercícios Suplementares 357 A4 Convecção Natural 1 Considere o problema de convecção natural em uma superfície vertical aquecida O fluido tem condutividade térmica k e o número de Nusselt para o escoamento laminar e turbulento são dados respectivamente por Nul c Ra14 y com c 0671 10492Pr91649 Nut ct Ra13 y 114109 Pr Ray com ct 013Pr022 1061Pr081042 onde Ray g ØTs T1 y3Æ e todas as demais propriedades do fluido são co nhecidas Responda aos itens abaixo a Utilizando as expressões anteriores calcule os coeficientes de transferência de calor por convecção locais laminar e turbulento hly e hty assim como os médios h l 0y e h t 0y e obtenha expressões para os números de Nusselt médios Nu l 0y e Nu t 0y b Obtenha expressões simplificadas para calcular Nul e Nut para valores de Pr muito grandes e separadamente valores de Pr muito pequenos c Sabendo que em y yc com yc H o número de Grashoff vale Gry RayPr 109 obtenha uma expressão para calcular a taxa de transferência de calor da superfície para o fluido em função dos coeficientes de transferência por con vecção médios Assuma que a superfície tem altura H e largura W A5 Condução e Radiação 1 Considere uma aleta de pino de diâmetro d comprimento L seção transversal circular e condutividade térmica k A superfície da aleta que não está em contato com a base troca calor apenas por radiação com um Corpo Negro à temperatura Tn Toda a radiação que deixa o Corpo Negro é interceptada pela superfície da aleta e viceversa A emissividade total hemisférica da superfície da aleta é e esta é opaca e cinzenta Sabendo que a base da aleta está à temperatura constante Tb responda aos itens abaixo a Calcule o fluxo de calor entre a aleta e o Corpo Negro em função de T e Tn b Derive a equação governante para condução na aleta c Utilizando a aproximação T TnT 2 T 2 n º Tb TnT 2 b T 2 n mostre que a equação de condução na aleta pode ser escrita na forma d2T dx2 m2 T Tn 0 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier A Exercícios Suplementares 358 fornecendo o valor da constante m d Assumindo que a ponta da aleta está à mesma temperatura que o Corpo Ne gro resolva a equação anterior e obtenha uma expressão para a distribuição de temperatura na aleta T x A6 Condução e Convecção 1 Considere uma esfera maciça homogênea de capacidade térmica m c e diâmetro D que inicialmente está à temperatura T0 A esfera é totalmente imersa em um fluido à temperatura Tf no instante t 0 O gradiente de temperatura na esfera pode ser desprezado de modo que um modelo de parâmetros concentrados pode ser utilizado Sabendo que o número de Nusselt médio é dado por NuD h D k Ra14 D onde RaD g ØT Tf D3 Æ e que todas as propriedades do fluido são conhe cidas responda aos itens abaixo a Utilizando a expressão anterior calcule o coeficiente de transferência de calor por convecção h b Mostre que a equação governante para a condução de calor na esfera em termos da variável µ T Tf pode ser escrita na forma dµ dt a µ54 fornecendo o valor da constante a que deve ser positiva c Resolva a equação anterior juntamente com a condição inicial e obtenha a evolução de temperatura T t Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Apêndice B Apêndice C Respostas para exercícios Versão 0310 181113 OBS as respostas em vermelho já foram detectadas com erro C1 Introdução Aula 1 11 Não há resposta certa para este problema A transferência de calor é virtual mente omnipresente em processos industriais biológicos ambientais entre ou tros 12 Calor é o nome dado à energia em trânsito devido a uma diferença de tempera tura O calor é transmitido pela existência de um gradiente de temperatura ou devido a uma mudança de estado físico Há três modos de transmissão condu ção convecção e radiação Por mais que processos de troca de calor sejam analisa das em termodinâmica esta não leva em conta nem o mecanismo de transferência nem métodos de cálculo da taxa de transferência de calor A termodinâmica trata de estados de equilíbrio da matéria onde gradientes de temperatura são normal mente desprezados Embora a termodinâmica possa ser usada para determinar a quantidade de energia requerida na forma de calor para um sistema passar de um estado de equilíbrio para outro ela não pode quantificar a taxa velocidade na qual a transferência de calor ocorre A disciplina de Transmissão de Calor procura fazer aquilo que a termodinâmica é inerentemente incapaz de fazer 13 O mecanismo de difusão térmica ou simplesmente condução de calor consiste na troca de energia entre as partes de um meio contínuo que estando em diferen tes temperaturas transferem energia térmica pela transmissão de energia cinética entre as partículas individuais ou grupo de partículas no nível molecular Para diferentes materiais diferente mecanismos são relevantes Em gases ocorrem co lisões entre as moléculas e em sólidos ocorre a vibração da estrutura reticular Em 360 C Respostas para exercícios 361 líquidos existem uma interação bem maior entre moléculas do que em gases de vido a uma proximidade muito maior das moléculas devido à maiores forças de atração Em materiais metálicos líquidos e sólidos há uma taxa de transferência maior devido ao movimento de elétrons livres No modo de transferência de calor por condução há apenas o mecanismo de difusão térmica Já no modo de transferência de calor por convecção há também um movi mento macroscópico do meio além da escala molecular que pode intensificar a transferência de calor No modo de transferência de calor por radiação não há di fusão apesar da radiação e conduçãoconvecção poderem ocorrer em paralelo A radiação é um fenômeno de natureza eletromagnética Neste modo o calor não necessita de um meio matéria para ser transmitido se propagando melhor no vácuo Qualquer substância com temperatura finita T 0 K emite radiação térmica 14 Convecção e Radiação Para que haja radiação o quesito que deve ser respeitado é o fato de qualquer substância com temperatura acima do zero absoluto emitir radiação térmica Outro modo é a convecção que na verdade pode ser considerada como a condução mais o movimento do meio O fato de ter o movimento está altamente ligado a presença de taxas de deformação ou seja escoamento 15 Não O modo de transmissão de calor por condução está relacionado a meios sem deformações significativas sem escoamento Desta forma pode haver condução puramente em meios em movimento de corpo rígido 16 A condutividade térmica quantifica a habilidade dos materiais de conduzir ca lor Em materiais não metálicos a transferência de calor se dá apenas através das vibrações ou movimento na escala molecular Já materiais metálicos são conside rados os melhores condutores de calor devido a presença de elétrons livres em sua estrutura Essa presença se dá ao fato de que em alguns tipos de átomos especi almente os que compõem os metais a última órbita eletrônica perde um elétron com grande facilidade Estes elétrons são transportados entre átomos e moléculas vizinhas Os elétrons livres além de serem responsáveis pela condução de calor são os mesmos que participam da condução elétrica 17 A condutividade térmica em gases aumenta com a temperatura pois à medida que a temperatura de um gás é aumentada a interação molecular também au menta e isto faz com que o meio consiga transferir energia por difusão com maior intensidade Podese argumentar que aumentandose a temperatura à pressão constante ha verá uma tendência da massa específica do gás diminuir o que poderia gerar um decréscimo na condutividade térmica Todavia observando as tabelas de conduti vidade térmica de gases a diferentes temperaturas e pressão constante observase que em geral um aumento da temperatura gera um aumento na condutividade Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 362 térmica de gases No caso com volume constante um aumento de temperatura gera também um aumento de pressão o que teria um efeito de aumentar ainda mais a condutividade térmica quando comparado ao caso com pressão constante Os líquidos geralmente possuem maior condutividade térmica que os gases mas seu comportamento diante de um aumento de temperatura é diferente Nos gases o aumento de temperatura implica no aumento da condutividade térmica Já nos líquidos a tendência é a condutividade diminuir com a temperatura 18 Observando a Lei de Resfriamento de Newton escrita em uma forma ligeiramente diferente q00 h Ts Tf verificase que para h 1 obtémse Ts Tf resul tando em uma condição de contorno de Dirichlet Por outro lado com h 0 a condição resultante é q00 0 representando uma condição de isolamento térmico Aula 2 21 U U0 Q0 t 22 U U0 expt C2 Condução Aula 3 31 Coordenadas Cartesianas Ω c T t x µ k T x y µ k T y z µ k T z g 000 Coordenadas Polarescilíndricas Ω c T t 1 r r µ rk T r 1 r 2 µ µ k T µ z µ k T z g 000 Coordenadas Polaresesféricas Ω c T t 1 r 2 r µ r 2k T r 1 r 2 sen µ senk T 1 r 2 sen2 µ µ k T µ g 000 32 33 Sim pois fazendo q00 h Ts Tf verificase que para h 1 obtémse Ts Tf Já para valores muito pequenos de h verificase que com h 0 obtémse q00 0 Ou seja para h muito grande aproximase da condição de temperatura prescrita e para h muito pequeno da condição de isolamento térmico Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 363 34 Em materiais isotrópicos como q00 krT onde k é um escalar o vetor fluxo de calor tem a mesma direção do vetor gradiente de temperatura porém com o sen tido invertido pois o calor é transferido de regiões mais quentes para mais frias Para materiais anisotrópicos q00 K rT onde K é um tensor de segunda ordem simétrico e positivo definido desta forma o vetor fluxo de calor não necessaria mente ocorre na mesma direção do gradiente de temperatura 35 Taxa de transferência de calor Q W Fluxo de calor q00 W m2 Divergente do fluxo de calor r q00 W m3 Condutividade térmica k W mK Difusividade térmica Æ m2 s Calor específico c J kgK 36 Sim Quando o contato térmico for imperfeito haverá uma discontinuidade de temperatura na interface e um coeficiente de transferência de calor através do con tato hc é normalmente utilizado juntamente com a Lei de Resfriamento de New ton q00 hcTs Tf Não há diferença no fluxo de calor observado entre as duas superfícies o que podese comprovar fazendo o balanço de energia entre elas 37 A equação da condução é a representação diferencial do balanço de energia em um ponto em um meio contínuo onde há difusão de calor apenas Ωc T t representa a taxa de aumento de energia interna em um ponto por unidade de volume r krT representa a taxa líquida de transferência de calor ou vazão de calor por condução para dentro de um ponto por unidade de volume g 000 representa a taxa de geração de energia térmica por unidade de volume em um ponto 38 r2T 0 O balanço resultante é Q 0 ou seja toda taxa de energia que entra em um ponto é igual a que sai 39 Equação governante Ω c T t k T x x k T y y válida para 0 x L 0 y W e t 0 Condições de contorno em x T 0 yt T0 e T L yt TL válidas para 0 y W e t 0 Condições de contorno em y k T y q00 0 em y 0 e k T y h T Tf em y W válidas para 0 x L e t 0 Condição inicial T x y0 f x y válida para 0 x L e 0 y W 310 a Equação governante 2T x2 2T y2 0 válida para 0 x L e 0 y W Condições de contorno em x q00 0 k T x em x 0 e T x 0 em x L extremidade adiabática ambas válidas para 0 y W Condições de contorno em y T x0 T0 em y 0 e k T y hTw Tf em y W ambas válidas para 0 x L b Se q00 0 for igual a zero a extremidade em x 0 é adiabática Se h for igual a 0 a a extremidade em y W também é adiabática Neste caso como a única superfície não adiabática está a temperatura T0 constante o corpo todo estará à esta temperatura 311 a 2T x2 2T y2 2T z2 g 000 k 0 válida para 0 z H R x R e 0 y p R2 x2 b 1 r r r T r 1 r 2 2T µ2 2T z2 g 000 k 0 válida para 0 z H 0 r R e 0 µ º Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 364 c Direção z q00 0 k T z em z 0 e T z 0 em z H ambas válidas para R x R e 0 y p R2 x2 Nas outras direções k T y hTf T em y 0 e T x p R2 x2z TR em y p R2 x2 ambas válidas para 0 z H e R x R d Direção z q00 0 k T z em z 0 e T z 0 em z H amabas válidas para 0 r R e 0 µ º Direção µ k 1 r T µ hT Tf em µ 0 e k 1 r T µ hT Tf em µ º válidas para 0 z H e 0 r R Direção r T Rµz TR em r R e T 1 em r 0 ambas válidas para 0 z H e 0 µ º 312 Equação governante 1 r 2 r µ r 2 T r 1 r 2 sen µ senT 1 r 2 sen2 2T µ2 0 válida para 0 r R 0 º e 0 µ 2º Condições de contorno direção R T 1 em r 0 válida para 0 µ 2º e 0 º k T r hg T Tg Qrad 2ºR2 em r R válida para 0 º 2 e 0 µ 2º k T r hlT Tl em r R válida para º 2 º e 0 µ 2º Direção Para 0 e º T 1 válidas para 0 r R e 0 µ 2º Direção µ T r0 T r2º e T µ µ0 T µ µ2º válidas para 0 r R e 0 º 313 Equação governante 1 r r µ r T r 1 r 2 2T µ2 2T z2 0 válida para 0 z H 0 r 1 2 D d Dz H e 0 µ 2º Condições de contorno direção z k T z hc Tb T em z 0 válida para 0 r D 2 e 0 µ 2º Em z H k T z 0 válida para 0 r d 2 e 0 µ 2º Superfície curva T rµz TR válida para rz 1 2 D d Dz H 0 µ 2º e 0 z H ou seja na região entre o topo e a base do cone temos a condição de Dirichlet onde conhecemos a temperatura na curvatura do sólido Além destas há a condição de contorno que diz que T 0µz 1 na direção radial válida para 0 µ 2º e 0 z H 314 Equação governante 1 r 2 r µ r 2 T r 1 r 2 sen µ senT 1 r 2 sen2 2T µ2 0 válida para 0 r R 0 º 2 e 0 µ º 2 Condições de contorno superfície curva k T r har T Tar em r R válida para 0 º 2 e 0 µ º 2 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 365 Superfícies verticais kr T µ 4 Q0 ºR2 em µ 0 kr T µ 4 Q0 ºR2 em µ º2 válidas para 0 r R e 0 º 2 Base e 0 kr T hc T Tc em º2 e T 1 em 0 válidas para 0 r R e 0 µ º 2 315 Equação governante 1 r 2 r µ r 2 T r 1 r 2 sen µ senT 1 r 2 sen2 2T µ2 g 000 k 0 válida para Ri r Re 0 º e 0 µ 2º Condição de contorno superfícies interna e externa k T r Qi 4ºR2 em r Ri e k T r h T Tf em r Re válidas para 0 µ 2º e 0 º Direção Para 0 e º T 1 válidas para Ri r Re e 0 µ 2º Direção µ T r0 T r2º e T µ µ0 T µ µ2º válidas para Ri r Re e 0 º Sem geração de energia a equação governante é simplificada para 1 r 2 d dr µ r 2 dT dr 0 onde T T r e a região de maior temperatura é a superfície dada por r Ri 316 Equação governante 1 r r µ r T r 1 r 2 2T µ2 2T z2 0 válida para 0 z L l 0 µ 2º e 0 r z onde z D2 para 0 z L e e z d2 para L z L l Condição de contorno base k T z 4 Q0 ºD2 em z 0 válida para 0 µ 2º e 0 r D2 Topo k T z h T Tf em z l L válida para 0 µ 2º e 0 r d2 Superfície plana em z L k T z h T Tf em z L válida para 0 µ 2º e d2 r D2 Superfícies curvas k T r h T Tf em r z válida para 0 z L l e 0 µ 2º A maior temperatura ocorrerá na no centro da base do sólido de revolução A menor temperatura ocorrerá em uma das arestas em z L e r D2 ou z L l e r d2 dependendo das dimensões d D L e l Em relação ao comprimento total do corpo L l podese afirmar que a medida que este é aumentado menor será a temperatura média da superfície pois haverá mais perda de calor por convecção devido à maior área Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 366 Aula 4 41 a T x g 000x 2k L x TL T0 L x T0 q00 x g 000 µ x L 2 k µTL T0 L b T x q00 L x k g 0002L xx 2k T0 q00 x L x g 000 q00 L c T x hL Tf T0x k hLL g 000xL2k hLLk hLLx 2kk hLL T0 q00 x Ω g 0002kL xLL 2xhL2k hLTf T0 2k L hL æ d T x q00 0 L x k g 000 L2 x2 2k TL q00 x g 000 x q00 0 e Esta situação pode não ter solução em regime permanente pois pode não satis fazer o balanço de energia O que se obtém ao resolvêla é uma relação entre os fluxos de calor e a geração de energia a fim de garantir que o balanço de energia não seja violado q00 L g 000 L q00 0 T x 2 g 000 L x 2x g 000 L q00 0 g 000 x2 2k c1 Qualquer valor de temperatura satisfará a constante c1 Portanto atribuise a c1 um valor de referência Tre f T x Tre f q00 0 x k g 000 x2 2k f T x q00 0 k hL L x hL k g 000 2k L hL L xL x 2hL k Tf q00 x g 000 x q00 0 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 367 g T x h0 L Tf k TL h0 TL Tf x k h0 L g 000 L xh0 L x k L x 2k k h0 L q00 x Ω g 0002k x L L 2xh02k h0 TL Tf 2k L h0 æ h T x Tf q00 L h0 q00 L x k g 000 L h0 x2L x 2k q00 x L x g 000 q00 L i T x h0 k Tf 0 h0 hL L Tf 0 hL k Tf L h0 hL Tf L Tf 0x h0 hLk h0 hL L g 000 k L2k hL Lh0 L 2k hL Lx kh0 hLh0 hL Lx2 2k kh0 hLh0 hL L q00 x Ω g 0002k x hL h02kL xLL 2xhL2k h0 hL Tf L Tf 0 2k hL h0 k L hL æ Para h0 hL h T x g 000k L h xL x 2h k k Tf 0 Tf Lh L Tf 0 Tf L Tf 0x 2k h L q00 x Ω g 0002k h LL 2x2h kTf L Tf 0 22k h L æ 42 INCLUIR 43 INCLUIR 44 INCLUIR 45 INCLUIR 46 INCLUIR 47 INCLUIR 48 INCLUIR 49 INCLUIR 410 INCLUIR 411 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 368 Aula 5 51 Rt L h k A k h 52 A utilização de resistências térmicas é bastante útil em casos de condução de calor unidimensional em regime permanente ou estacionário sem geração interna de energia Sob estas condições em qualquer superfície perpendicular a direção da transferência de calor a taxa de transmissão de calor é sempre a mesma Com isto é possível calcular temperaturas e taxas de transferência de calor de uma maneira rápida sem resolver as equações diferenciais envolvidas 53 R f 1 1 h1 A Rcond L k A R f 2 1 h2 A Dica Qx é igual para os fluidos e a parede Faça Qx T R para cada meio e iguale 54 Faça como exemplo duas paredes com resistências RA e RB T1T2 RA T2T3 RB T1T3 RT Dica A partir daí conseguese a relação RT RA RB 55 Dica Fazer a mesma coisa do item anterior mas colocando como exemplo uma parede onde ocorrem duas resistências em paralelo A partir daí conseguese a relação RT RA RB RB RA 56 Q Tf Tar Rtot de dentro para fora onde Rtot R f RA Rrad RB Rar com RA L kA An RB LkB An e Rrad 1 hrad An R f 1h f An Rar 1har An An é a área normal à direção de transferência de calor 57 a RA log Di 2LA Di 2ºH kA RB 1 2ºH kB log µDi 2LA 22LB Di 2LA 2 RC 1 2ºH h 1 Di2LA 1 Di2LA Q Ti Te RA RB RC b RA LA kA A RB LB kB A RC 1 h f A Rrad 1 hrad A Rtotal RA RB µ 1 2RC 1 Rrad 1 58 a Qr Ti Tf Rtot onde Rtot logreri 2ºL k1 2ºL re h b rcr kh 59 a Ti Eg RA RB TA RB RA TB RB RA b QA Ti TA RA QB Ti TB RB 510 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 369 Aula 6 61 Dica a resposta é dada pelas equações 632 e 634 62 Dica basta substituir na equação e verificar que ambos os lados se igualam 63 convecção k m h coshm Lk m senhm L h h senhm Lk m coshm L adiabática k m tanhm Lh tempera tura do fluido k m cothm Lh aleta infinita k mh 64 convecção k m h Ab Aaleta h h coshm Lk m senhmL h senhm Lk m coshmL i adiabática k m h Ab Aaleta tanhmL aleta longa k m h Ab Aaleta cothmL aleta infinita k m h Ab Aaleta 65 Não A eficiência é dada por Qaleta Qmax Desta maneira para a aleta ter a máxima transferência de calor é necessário que a superfície inteira encontrase à mesma temperatura da base Tb fazendo com que a mesma tenha 100 de eficiência 66 a T 00xm2T xTf 0 com m q 2h k r b T x Tf Tb Tf h coshmLx coshL m i c k m h Ab Aaleta tanhm L k m h tanhm L com Ab ºr 2 e Aaleta ºr 2 2ºr H d L cosh12 m 67 T x Tar Tb Tar senhmL x senhL m Lseg L 1 m senh1 Tmax Tar Tb Tar senhm L 68 Dica para esse caso o melhor é utilizar a forma T x Tf c1 coshmL x c2 senhmL x e utilizar as condições de contorno para encontrar as constantes de integração c1 e c2 69 Dica Para o caso de condução nula na extremidade basta fazer hL 0 e para o caso com temperatura prescrita na extremidade basta pegar o limite com hL 1 obtendo as seguintes soluções T Tf TbTf coshmLx coshm L para extremidade isolada e T Tf TbTf senhmLx senhm L para temperatura prescrita na extremidade 610 T x Tf Tb Tf cosh 2 4 s h k d l 2x 3 5 sech 0 s h k d l 1 A Enquanto n é o número de segmentos de comprimento l em aletas de compri mento L N é o número de aletas de comprimento L N Q0 n ºd2 k q h k d Tb Tf senh hq h k d l i sech q h k d l Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 370 611 a d2T dx2 m2T Tf g 000 k com m2 4h k D T 00 0 k T 0L hL T LTf b T x Tf g 000 k m2 h 1 hL coshm x hL coshm Lk m senhm L i c T x Tf g 000 k m2 1 612 a d2T dx2 m2T Tf 0 com m2 4h k D k T 00 q00 0 T 0L 0 b T x Tf q00 0 coshmLx k m senhm L c T 0 Tf q00 0 k m cothm L T L Tf q00 0 cschm L k m d INCLUIR 613 a d2T dx2 m2T Ta g 000 k com m2 4h k D k T 00 h T 0Ta k T 0H h T HTa b k T 00 h T 0Ta T 0H2 0 c T x Ta g 000 k m2 h 1 h coshm H2x h coshm H2k m senhm H2 i d A temperatura máxima está no centro da aleta x H2 enquanto as tempe raturas mínimas estão localizadas nas extremidades x 0 e x H 614 a d2T dx2 m2T Tf 0 com m2 2hW H k H W k T 00 QbH W T 0L 0 b T x Tf Qb H W k m coshmLx senhm L c T 0 Tf Qb H W k m cothm L T L Tf Qb H W k m cschm L 615 INCLUIR 616 INCLUIR 617 INCLUIR 618 INCLUIR Aula 7 71 Não A análise por parâmetros concentrados consiste em uma hipótese de uma distribuição uniforme de temperatura no contorno o que torna inconsistente a utilização de condição de primeiro tipo pois isto exigiria que todo o domínio es tivesse à mesma temperatura do contorno 72 Ab hc As h m c Ab ºr 2 As ºr 2 2ºr H tc 1 log µTamb Tf Tc Tf 1 log µ40 15 73 a T 0t T t Tf com hΩ c D para parede plana 4hΩ c D para cilindro 6hΩ c D para para esfera b T t Tf T0 Tf expt c h 01kD para parede plana h 04kD para cilindro h 06kD para para esfera Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 371 74 a m c dT dt h L2 T T0hc L2 T TbV i b Tp V i L2 hc Tb h T0 h hc c t90 log9 com h2 h2 cL2 m c 75 a dµ dt µ Ø com 2hR Ω c Ø g 000 Ω c µ T Tf e Ω c kÆ b T t T0 Tf Ø et Ø Tf c Tp Tf g 000 R 2h h g 000 R 2TmaxTf d avançado 76 a t1 m c As h log Q0 As hT0Tc Q0 b t2 m c As h log2 77 a t1 2000 log75 º 673 s b t1 43104 s º 37 h c t3 4000 log53 º 2043 s d esboço e mais de uma resposta pode ser dada aqui 78 INCLUIR C3 Convecção Aula 13 131 q00 sf x k Nux Ts Tf Qsf k Ts Tf W RL 0 Nux dx 132 1 5 105Ue L 133 Qsf 4c Re12 L Pr13 k Ts Tf W 134 Qsf 4c Re12 L Pr13 k Ts Tf W 135 Ts Tf Q0 W c Re12 L Pr13 k 136 TA TB faria com que o número de Reynolds máximo na primeira metade da placa fosse menor Entretanto podem haver diferentes respostas para esta questão o importante sendo a interpretação 137 Q0L w k c Re12 L Pr13 p 2TA T12 p 2TB T1 Aula 14 141 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 372 Aula 15 151 Coordenadas cartesianas Ω µu t u u x v u y w u z p x µ µ2u x2 2u y2 2u z2 Ω bx Ω µv t u v x v v y w v z p y µ µ2v x2 2v y2 2v z2 Ω by Ω µw t u w x v w y w w z p z µ µ2w x2 2w y2 2w z2 Ω bz Coordenadas polares cilíndricas Ω vr t vr vr r vµ r vr µ vz vr z v2 µ r p r µ 1 r r µ r vr r 1 r 2 2vr µ2 2vr z2 vr r 2 2 r 2 vµ µ Ω br Ω µvµ t vr vµ r vµ r vµ µ vz vµ z vµ vr r 1 r p µ µ 1 r r µ r vµ r 1 r 2 2vµ µ2 2vµ z2 vµ r 2 2 r 2 vr µ Ω bµ Ω µvz t vr vz r vµ r vz µ vz vz z p z µ 1 r r µ r vz r 1 r 2 2vz µ2 2vz z2 Ω bz Coordenadas polares esféricas Falta o sistema esférico assim como as equações da continuidade e da energia em todos os sistemas de coordenadas 152 a Conservação de Momentum Linear Balanço de forças Forças de inércia na direçãox z u t z aceleração local u u x v u y z aceleração advectiva Forças de super f ície na direção x z 1 Ω p x z f orças de pressão µ2u x2 2u y2 z f orças viscosas ou de atr ito u t taxa de variação local de momentum u u x v u y taxa de transferência de momentum por advecção 2u x2 2u y2 taxa de transferência de momentum por difusão Conservação de Massa Continuidade u x v y 0 Conservação de Energia T t u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 µ Ω c T t Taxa de variação local da energia interna Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 373 u T x v T y Taxa de variação advectiva da energia interna taxa de transferência de calor por advecção Æ 2T x2 2T y2 Taxa de transferência de calor por condução µ Ω c Taxa de aquecimento por atrito taxa de aquecimento viscoso b Hipóteses simplificadoras Escoamento incompressível escoamento bidimen sional forças de corpo desprezadas fluido newtoniano geração de energia des prezada Leis aplicadas Lei de Fourier e Lei da Viscosidade de Newton c No caso de óleos a dissipação viscosa representa a difusividade da quantidade de movimento com isso µ não pode ser desprezado Para µ Ω c desprezível T t u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 d u T x v T y Æ µ2T x2 2T y2 e u t u u x 1 Ω p x µ2u x2 T t u T x Æ2T x2 µ Ω c 153 a Forças de inércia na direçãox z u t z aceleração local u u x v u r z aceleração advectiva Forças de super f ície na direção x z 1 Ω p x z f orças de pressão 2u x2 1 r r µ r u r z f orças viscosas ou de atr ito Equação da Continuidade u x 1 r r r v 0 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 374 f orças de inércia na direção radial z v t u v x v v r 1 Ω p r 2v x2 1 r r µ r v r v r 2 z f orças de super f ície na direção radial taxa de var iação de ener gia inter na de uma par tícula em movimento z T t u T x v T r Æ 2T x2 1 r r µ r T r z taxa de trans f erência de calor por condução b Escoamento incompressível fluido newtoniano regime transiente dissipação viscosa desprezada c u T x v T r Æ 2T x2 1 r r µ r T r d u t u u x 1 Ω p x 2u x2 u x 0 T t u T x Æ2T x2 Duto Circular Escoamento interno u ur Regime Permanente 1 µ p x 1 r r µ r u r u T x Æ 2T x2 1 r r µ r T r 154 A superfície é impermeável assim se o escoamento incidir inclinado na super fície a velocidade sofrerá variação de direção e módulo Então para que a ve locidade permaneça constante em módulo direção e sentido é necessário que o escoamento incida paralelamente à placa 155 2 u x 2 u y 2 2 u y v x v x 2 2 v y 2 156 2 u x 2 vr x 2 2 r vr x r r u r 1 r 2 h r r u r i2 2 r 2 h r r vr r i2 157 Ω cp v rT rk rT v rp Falta escrever em coordenadas cilíndricas Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 375 158 Æ 2T x2 1 r r µ r T r 0 Não há a presença do termo advectivo portanto a transferência de calor darse á apenas por condução Todavia isto não quer dizer que não há transferência de calor por convecção por este modo de transferência de calor É possível inclusive obter um h de convecção para este caso que pode ser utilizado para calcular a transferência de calor com a Lei de Resfriamento de Newton 159 Quando o vetor velocidade aponta no sentido do gradiente de temperatura a taxa de variação da energia interna será maior 1510 Ω cp D T D t rk rT µ z O termo é dado por rvrvT rv Comparando as equações acima podese evidenciar que para satisfazer a segunda lei µ 0 e 0 para escoamentos incompressíveis 1511 Contribuição advectiva u T x v T y 2x 1 y2 Contribuição difusiva Æ µ2T x2 2T y2 2Æ Taxa de variação da temperatura T t 2x y2 12Æ INCLUIR REGIÕES 1512 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 376 C4 Convecção Forçada Aula 16 161 u x 1 r r r v 0 u u x v u r 1 Ω dp dx r r µ r u r u T x v T r Æ r r µ r T r 162 As vantagens de se utilizar as simplificações de camada limite são Reduzse o n de incógnitas de 4 para 3 u v e T pois a pressão é conhecida do escoamento externo à camada limite Reduzse o n de equações já que não há necessidade de utilizar a equação de movimento para a direção y A pressão não varia em função de y dentro da camada limite e o valor de p é igual ao da pressão fora da CL y p p1xx p x º dp1x dx dp dx 163 u x v y 0 u u x v u y 2u y2 u T x v T y Æ2T y2 c µu y 2 164 u t u u x v u y 1 Ω dp dx 2u y2 T t u T x v T y Æ2T y2 165 u u x v u y p x Re1 L µ2u x2 2u y2 u v x v v y p y Re1 L µ2v x2 2v y2 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 377 166 INCLUIR Aula 17 171 T L ª Pe12 L Nu ª Pe12 L 172 T ªU 2 cp 173 Não é possível que T pois o aquecimento é gerado em toda a camada limite cinética devido aos gradientes de velocidade Todavia se Pr 1 º T pois o fluido transporta momentum melhor que energia Se Pr 1 é a região aquecida pode se estender para fora da camada cinética ou seja T 174 a T ª U 2 T k b T L ª Pe12 L c Nu ª L T ª Pe12 L 175 a T L ª Re12 L Pr13 b L ª T 2U1 Æ 176 INCLUIR Aula 18 181 INCLUIR 182 INCLUIR 183 INCLUIR Aula 19 191 INCLUIR 192 INCLUIR 193 INCLUIR 194 INCLUIR 195 INCLUIR Aula 20 201 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 378 Aula 22 221 px 0 m ΩU ºD24 222 v 0 e consequentemente ux 0 Com estas condições fica claro que o escoa mento é dinamicamente desenvolvido 223 ur 1 µ dp dx r 2 4 D2 d2 16 log D 2r log D d D2 16 u 2d2 log h d D i d2 D2 1log D d 32log D d 224 INCLUIR 225 INCLUIR Aula 23 231 a 0 1 Ω dp dx 1 r d dr µ r du dr p r 0 u x 0 u T x Æ 2T x2 1 r r µ r T r b Tmx 8 D2 RD2 0 T xrr dr c Tmx Ti 4 q00 x Ω cp u D d INCLUIR e O coeficiente de transferência de calor na região em desenvolvimento será maior A espessura de camada limite é zero no início do escoamento x 0 logo o valor de h é maior Contudo seu valor decresce rapidamente conforme a CL térmica se desenvolve até alcançar um valor fixo na região desenvolvida 232 a Tmx L Te 4 q Ω cp u D L b u U Tm 8 D2 RD2 0 T xrr dr c INCLUIR d Tmx Te 4 q Ω cp u D x e INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 379 233 a Tmx T0 2 q Ω u cp D x b Tsx q h Tmx c µ 1 32 NuDh 4 62 5 com y H2 d NuDh 8235 COMPLETAR 234 µ 1 8 NuDh12 NuDh 12 235 a m cp dTm dx hPx Ts Tm Ax k d2Tm dx2 b d2µ d2 Nu 4 µ 0 µ00 0 µ1 0 c Nu º2 µ º 2 cos p Nu 2 236 a Tsx q h Tmx b Tmx T0 4 q Ω u cp D x c INCLUIR 237 a Ω cp U H dTm dx 2 q00 0 ex k H d2Tm dx2 b Tmx Ti 2 q00 0 1ex H cp ΩU k c Tm1 Ti 2 q00 0 H cp ΩU k d Tmx Ti 2 q00 0 1ex H cp ΩU Tm1 Ti 2 q00 0 H cp ΩU 238 a Ω u cp H dTm dx h T0 Tm q00 H b Tmx h Ti T0 q00 H h i eÆx q00 H h T0 c como TmL h Ti T0 q00 H h i eÆL q00 H h T0 para q00 H 0 L 1 Tm T0 239 µ NuD 4 12 NuD 8 2310 Basta introduzir as variáveis adimensionais na equação da energia e rearrumar ø COMPLETAR 2311 a u H2 12µ dp dx U 2 u 6 H2 12µ dp dx 2 U 1 u 2 u16 u2 b 2µ 2 Nu 4 2462 µ Nu 4 2 23 3 4 2 7 6 c Nu 70 31 2312 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 380 2313 INCLUIR 2314 INCLUIR 2315 INCLUIR 2316 INCLUIR 2317 INCLUIR 2318 INCLUIR Aula 25 251 INCLUIR 252 INCLUIR Aula 26 261 INCLUIR Aula 27 271 Fluidos com Pr 1 têm uma maior capacidade de transportar por difusão quan tidade de movimento do que energia térmica Exemplos clássicos destes fluidos são óleos 272 a Ts Tf Q x LW c k Re12 x Pr13 b Q Tmax Tf k W c Re12 L Pr13 c U1 Q2 Tmax Tf k W L12Pr132 273 M Ue p k R Te Te 300 K Ue 10 ms M 17 Ue 100ms M 17 Ue 250ms M 426 Ue 500ms M 852 Te 230 K Ue 10ms M 195 Ue 100ms M 195 Ue 250ms M 487 Ue 500ms M 973 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 381 Aula 28 281 INCLUIR 282 Laminar Nu 198 Turbulento Nu 905 O valor de Nu é maior no escoamento turbulento 283 Dica resolva o problema de condução permanente em coordenadas esféricas e calcule o Nusselt a partir do campo de temperatura obtido 284 O escoamento é turbulento a partir de x 01 Nu 782103 h 199104 Q q00Ax 796104 285 INCLUIR Aula 29 291 INCLUIR Aula 30 301 T1out 32ºC T2out 44ºC 302 1exp1CNut 1C 303 1eC1Nut 1C eC1Nut 304 Dica basta utilizar a regra de lHôpital para calcular o limite com C 1 305 a µ1 ª Nut1 µ1 µ2 µ2 ª Nut2 µ1 µ2 µ1 TqxTf e TqeTf e µ2 Tf xTf e TqeTf e Nut1 U ºd L m cp Nut2 U ºd L 2 m cp C1 m cp C2 2 m cp Condições de Contorno T10 Tqe µ10 1 T20 Tf e µ20 0 b C 1 2 c U Nuq Nuf k DdNuf Nuq 306 T1out T2in 1T1in T2out C T1in 1C T2in C 12 1e5 1 1 2e5 INCLUIR Q 307 a Rec A C Nut U As C Rec B C 1 Nut U As 1C b A 1exp1Nut 1 B 1eNut 11eNut c T1out T1in T1in T2inA 21A B B1 T2out T2in T1in T2inA 112AB deq A 2A B B 308 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 382 C5 Convecção Natural Aula 31 311 Q 4 3W k f PrRa 1 4 HTs T1 312 A Hipótese de Boussinesq diz que a variação de Ω só é importante nas forças de empuxo em relação aos demais termos u v x v v y 2v x2 Øg T T1 u x v y 0 u T x v T y Æ2T x2 A variação de Ω devido à uma variação de temperatura é muito mais efeito sobre o termo de empuxo do que os demais termos 313 a A primeira equação representa um balanço de forças u v x v v y representa a força de inércia na direção y 2v x2 força viscosa ou de atrito g ØT T1 força de empuxo que é a combinação da força de pressão com a força peso A segunda equação é a da conservação da massas ou equação da continuidade A terceira equação representa um balanço de energia u T x v T y taxa de transferência de calor por advecção Æ 2T x2 taxa de transferência de calor por condução ou difusão de energia Não há geração por dissipação viscosa e o regime é permanente b Em convecção natural sobre uma placa vertical o movimento é gerado pelo gradiente de temperatura e pela força de empuxo Em convecção forçada sobre uma placa plana o movimento é gerado por uma velocidade u Outra diferença está no valor do coeficiente de transferência de calor por convec ção h que é maior na convecção forçada c Bo12 H PeH Gr12 H ReH d u v x v v y T Gr12 H 2v x2 u T x v T y Bo12 H 2T x2 314 F V F V V F INCLUIR JUSTIFICATIVAS Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 383 315 INCLUIR 316 INCLUIR Aula 32 321 para Pr 1 T ª H Ra 1 4 H Nu ª Ra 1 4 H para Pr ø 1 T ª H Bo 1 4 H Nu ª Bo 1 4 H 322 para Pr 1 T ª q00 H Ra 1 5 H k T ª H Ra 1 5 H Nu ª Ra 1 5 H para Pr ø 1 T ª q00 H Ra 1 5 H Pr 1 5 k T ª H Ra 1 5 H Pr 1 5 Nu ª Ra 1 5 H Pr 1 5 323 INCLUIR 324 INCLUIR Aula 33 331 INCLUIR Aula 34 341 INCLUIR 342 INCLUIR Aula 35 351 Q 4 3 f PrRa 1 4 H k Ts T1W 352 Tsy T1 q00 s f PrRa y 1 5 k y 353 F V F V INCLUIR JUSTIFICATIVAS 354 INCLUIR 355 INCLUIR C6 Radiação Aula 37 371 Dica derive a expressão para a distribuição de Planck e iguale a zero para achar o ponto de máxima Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 384 372 Como a emissão de Corpo Negro vai cai para zero de maneira assintótica a res posta dependerá de um valor de energia emitida que deve ser escolhido como um limite mínimo perceptível Em função deste valor calculase numericamente a temperatura 373 a A radiação emitida por um corpo negro em todas as direções para um dado comprimento de onda é dada pela emissão espectral E que é calculada a partir da intensidade de radiação levando em consideração o efeito de projeção totali zando todas as direções A emissão total é o resultado da totalização de E para todos os comprimentos de onda que para um corpo nego resulta em E ºIe æT 4 onde Ie é a intensidade total b Ecn ºIe c Intensidade de Radiação é definida como sendo a taxa de energia emanante por unidade de área projetada na direção considerada e por unidade de ângulo sólido Emissão é a quantidade que mede a radiação emitida por um material Irradiação é a radiação que incide sobre uma superfície Radiosidade é a energia total por radiação que deixa uma superfície dada pela soma das parcelas emitida e refletida 374 a ET æT 4 F022T F011T ET 26209107 b Ultravioleta 2 380nm 1 200nm ET 420251106 Wm2 Infravermelho 2 1400nm 1 780nm ET 189204107 Wm2 c E 829477107 Wµmm2 d máx 483n m 375 INCLUIR Aula 38 381 Para Æ 1 Superfícies Difusas Æ independe da direção OU 2 A radiação incidente é difusa ou seja Ii independe da direção Para Æ uma das condições anteriores devem ser satisfeitas 3 A Superfície é cinzenta ou seja Æ são independentes do comprimento de onda OU Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 385 4 A radiação incidente é igual a emitida por um Corpo Negro à mesma tempe ratura ou seja GT ECNT 382 a Æ 0 ø 0 Ω 10 1 e 2 Æ 09 ø 0 Ω 01 1 2 b Æ 09 G R2 1 Gd Ω 1 09 G R2 1 Gd com G R1 0 Gd c Æ 09F022T F011T Ω 109F022T F011T 383 a Æ 07F022TcnF011Tcn b 07F022TsF011Ts 384 Como a superfície é cinzenta e difusa Æ 08 385 ÆA A e ÆB B 386 Æ 07 ø 0 Ω 03 0 2µm Æ 0 ø 0 Ω 1 2µm Æ 6 Æ 07F06000 051647 07F03000 019126 387 a A 06F05000 0380248 B 06F04000 0288526 b INCLUIR 388 q00 eCN 641611107 Wm2 389 a Æ 1 ø 0 Ω 0 0 º 4 Æ 0 ø 0 Ω 1 º 4 º 2 b Æ 05 ø 0 Ω 05 c Æ 05 ø 0 Ω 05 3810 a Æ ø ø ø ø 0 Ω 1Æ b Æ 085 ø 0 Ω 015 0 2µm Æ 055 ø 0 Ω 045 2µm Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 386 c 085F0260000551F026000 Æ 085F0240000551F024000 ø 0 Ω 1Æ 04503F024000 3811 INCLUIR Aula 39 391 a A superfície é difusa e cinzenta Æ b m c As dT dt ÆG æT 4 c T 4q G æ d dica separar variáveis e integrar 392 a Ts 350K b Ts Tar ÆG h E h A parcela emitida neste caso será menor do que no caso anterior 393 Q æAsÆT 4cnT 4 s Æ 07F022 TcnF011 Tcn 07F022Ts F011Ts 394 Q ÆæAsT 4 CN T 4 s Æ 08 395 a GA EB 1B EA 11B 1A GB EA1AEB 11A1B b q00 AB B GBB æT 4 B q00 BA A GAA æT 4 A onde GA B æT 4 B 1B A æT 4 A 11B 1A GB A æT 4 A1AB æT 4 B 11A1B 396 q00 AB ÆB GBB æT 4 B q00 BA ÆA GAA æT 4 A onde GA æ B T 4 B 1ÆB A T 4 A 11ÆB 1ÆA GB æ A T 4 A1ÆAB T 4 B 11ÆA1ÆB e Æ 07F06000 07F03000 397 a GA EB 1ÆB EA 11ÆA1ÆB GB EA1ÆAEB 11ÆB 1ÆA b Æ 08 ø 0 Ω 02 para 0 m Æ 01 ø 0 Ω 09 para m A superfície não é cinzenta pois Æ e variam com o comprimento de onda c A 08F0mTA01 1F0mTA ÆA 08F0mTB d QAB ÆB GB B æT 4 BAs QBA ÆA GA A æT 4 AAs Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier C Respostas para exercícios 387 398 a GA 1ΩB øBEB cn ΩB 1ΩA øAE A cn 1ΩAΩB GB 1ΩA øAE A cn ΩA 1ΩB øBEB cn 1ΩAΩB b Æ 06 ø 01 e Ω 03 para 0 2µm Æ 0 ø 01 e Ω 09 para 2µ m A 06F05000 B 06F04000 c q00 AB ÆB GB B æT 4 B q00 BA ÆA GA A æT 4 A 399 INCLUIR 3910 INCLUIR 3911 INCLUIR 3912 INCLUIR 3913 INCLUIR 3914 INCLUIR 3915 INCLUIR 3916 INCLUIR 3917 INCLUIR Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Referências Bibliográficas 1 A Bejan e A D Krauss Heat Transfer Handbook John Wiley Sons New York NY 2003 2 F P Incropera e D P De Witt Introduction to Heat Transfer John Wiley Sons New York NY 3rd edition 1996 3 M N Özisik Heat Conduction Wiley Interscience New York 2nd edition 1993 4 G K Batchelor An Introduction to Fluid Dynamics Cambridge University Press New York 1970 5 M N Özisik Transferência de Calor Um Texto Básico Guanabara Koogan Rio de Janeiro RJ 1990 6 G E Myers Analytical Methods in Conduction Heat Transfer AMCHT Publications 2nd edition 1998 7 W E Boyce e R C Di Prima Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems John Wiley Sons New York NY 8th edition 2004 8 Yunus A Çengel e Michael A Boles Thermodynamics an engineering approach WCBMcGrawHill Hightstown NJ 3rd edition 1998 9 A Bejan Convection Heat Transfer John Wiley Sons New York NY 2nd edition 1995 10 H Schlichting Boundary Layer Theory McGrawHill New York NY 7th edition 1979 11 Rutherford Aris Vectors tensors and the basic equations of fluid mechanics Dover Mineola NY 1989 Reprint originally published by PrenticeHall 1962 12 R E Sontag e G J Van Wylen Introduction to thermodynamics classical and statistical John Wiley Sons New York NY 3rd edition 1991 13 W M Kays M E Crawford e B Weigand Convective Heat and Mass Transfer McGrawHill New York NY 4th edition 2004 388 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 389 14 R Y Chen Flow in the entrance region at low reynolds numbers Journal of fluids engineering 95153158 1973 15 R W Hornbeck Laminar flow in the entrance region of a pipe Applied Scientific Research 131224232 1964 16 R K Shah e A L London Laminar flow forced convection in ducts A source book for compact heat exchanger analytical data In T F Irvine Jr e J P Hartnet editors Advances in Heat Transfer Academic Press New York 1978 17 S W Churchill e H Ozoe Correlations for laminar forced convection with uniform heating in flow over a plate and in developing and fully developed flow in a tube Journal of Heat Transfer ASME 9578 1973 18 L F Moody Friction factors for pipe flow Transactions of the ASME 668671677 1944 19 J Nikuradse Strömungsgestze in rauhen rohren VDIForschungsheft 361122 1933 20 J Nikuradse Laws of flow in rough pipes Technical Report 1292 National Advi sory Committee for Aeronautics 1950 21 R Siegel e J R Howell Thermal Radiation Heat Transfer Taylor Francis New York NY 4th edition 2002 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier Índice Remissivo Ângulo azimute 307 sólido 306 zênite 307 Absortividade 321 Analogia de ChiltonColburn 251 de Reynolds 153 Anisotrópico 29 Aproximação clássica de parâmetros concentrados 82 Balanço de energia 15 25 em uma superfície 22 Camada Limite análise de escalas 155 cinética 139 conceito 104 convecção natural 276 derivação das equações 138 dinâmica 139 equações adimensionais 148 Hipótese de Prandtl 141 solução integral 162 solução por similaridade 173 térmica escalas 286 Coeficiente de fricção 108 152 de Transferência de Calor por Con vecção 108 de transferência de calor por con vecção 152 comprimento característico 242 de entrada dinâmica 193 Comprimento de entrada térmica 211 comprimento de entrada dinâmica 194 Condição de contorno 31 condições lineares 33 condições reais 31 de Dirichlet 33 de Neumann 33 de Robin 34 temperatura prescrita 33 Condução balanço de energia 25 em aletas 67 equação geral 30 permanente bidimensional 97 resistências térmicas 54 unidimensional 40 transiente parâmetros concentrados 81 unidimensional 95 Condutividade Térmica 103 Convecção Forçada grupos adimensionais 242 Convecção Natural correlações 299 grupos adimensionais 299 390 ÍNDICE REMISSIVO 391 Corpo Negro 314 Diâmetro hidráulico 194 Distribuição de Planck 314 Emissão 310 em banda 316 Emissividade 320 Emissor difuso 311 Energia 14 Termomecânica 15 variação 15 Equação da energia 130 de Cauchy 119 de HagenPoiseuille 201 de Laplace 147 de NavierStokes 129 Equações de Camada Limite 138 145 de Euler 147 de Transporte 115 128 Escoamento em dutos 191 231 em pistão 134 externo 110 interno 110 permanente 133 unidimensional 134 uniforme 134 escoamento axisimétrico 134 191 208 bidimensional 134 191 208 de HagenPoiseuille 197 desenvolvido 193 dinamicamente 193 194 termicamente 211 215 218 219 222 plano 134 191 208 espessura de camada limite dinâmica 139 espessura de camada limite dinâmica 156 Fator de atrito de Darcy 202 de Fanning 201 fator de atrito 200 fator de forma 344 fluxo de calor espectral direcional 308 espectral hemisférico 307 monocromático 308 total direcional 307 total hemisférico 307 Fourier Lei de veja Lei Fração de radiação 316 Irradiação 311 difusa 312 Isotrópico 29 Lei da Termodinâmica Primeira 17 da Termodinâmica Segunda 22 da Viscosidade de Newton 103 129 de Fourier 29 103 de HagenPoiseuille 201 de Kirchoff 329 de Resfriamento de Newton 31 107 de StefanBoltzmann 316 Zero da Termodinâmica 14 Número de Biot 88 Brinkman 150 244 Cavitação 248 Eckert 150 244 Euler 248 Fourier 35 36 Graetz 212 247 Mach 244 Nusselt 112 Péclet 150 246 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier ÍNDICE REMISSIVO 392 Poiseuille 203 248 Prandtl 150 151 242 Reynolds 150 242 Stanton 112 243 perímetro molhado 194 perda de carga 200 Problema de Graetz 233 Propriedades intensivas e extensivas 20 radiativas 320 Radiação espectro eletromagnético 309 incidente veja Irradiação intensidade 308 introdução 305 Radiosidade 312 difusa 313 Refletividade 322 bidirecional 324 Regime permanente e transiente 17 resistência térmica condução em parede cilíndrica 58 condução em parede esférica 59 condução em parede plana 58 contato 61 convecção 59 radiação 60 separação de variáveis introtução 93 Sistema e Volume de Controle 16 Temperatura média de mistura 206 Tensor de tensões 102 gradiente de velocidade 104 tensor de condutividade térmica 103 identidade 104 Teorema de Gauss divergência 115 Termodinâmica Leis veja Lei Transmissividade 328 velocidade característica 242 do som 244 média 192 Versão Preliminar 0316 Prof L A Sphaier