Condução de Calor Bidimensional: Teoria e Metodologias de Resolução

1 CONDUÇÃO DE CALOR BIDIMENSIONAL Considerações 1 condução bidimensional 2 sem geração interna de calor q z z k T y y k T x x k T t T cp ρ Problemas em regime estacionário y y k T x x k T 0 Equação de Laplace Exemplo de problema físico e condições de contorno Metodologias de Resolução Analítica Separação de variáveis Gráfica Simulação Diferenças Finitas e Elementos Finitos 01 03 2 O método de Separação de Variáveis Exemplo Condução de calor em uma placa fina ou barra longa com três lados mantidos à temperatura T1 e um lado mantido à temperatura T2 T1 T1 T2 T1 L W Equação diferencial y y k T x x k T 0 Condições de contorno 1 1 T TL y T T 0 y 2 1 T T x W T 0x T Adimensionalização da temperatura 1 2 1 T T T T θ Considerando a condutividade térmica constante Equação diferencial 2 2 2 2 y x 0 θ θ Condições de contorno 0 L y 0 0 y θ θ 1 x W 0 0x θ θ 3 A solução desejada pode ser expressa como um produto de duas funções independentes X x Y y x y θ Substituindo na equação diferencial e dividindo por XY 2 2 2 2 2 dy d Y Y 1 dx d X X 1 λ escolha da constante positiva garante as condições de contorno 0 Y dx d Y 0 X dx d X 2 2 2 2 2 2 λ λ Soluções gerais x C sen x C cos X 2 1 λ λ y 4 y 3 C e C e Y λ λ Aplicação das condições de contorno a 0 C 0 0 y 1 θ b 4 3 4 3 2 C C 0 C x C C sen 0 0x λ θ c 0 L sen 0 e L e C C sen 0 L y y y 2 4 λ λ θ λ λ 321 n L n λ π 4 Portanto π θ π π L n y L y n 2 4 e e L C C sen n x Combinando as constantes π π θ L senh n y L Cnsen n x Para avaliar Cn aplicase a última condição de contorno acoplada a propriedade de ortogonalidade das funções trigonométricas π π θ L senh n W L C sen n x 1 x W n n 1 n senh n W L 1 1 2 C 1 n n π π π π π π θ L senh n y L n senh n W L sen n x 1 1 2 x y 1 n n 1 O método Gráfico Os métodos Numéricos Diferenças Finitas Simples intuitivo restrições com relação à geometria e condições de contorno especialmente isolamento Elementos Finitos Complexo flexibilidade com relação a geometria condições de contorno softwares genéricos 5 Diferenças Finitas Aproximações de derivadas por diferenças finitas x xΔx xΔx θ Derivadas de primeira ordem Diferenças Centradas 2 x x x x x x Δ Δ θ Δ θ θ Forward Difference diferença para frente x x x x x Δ θ Δ θ θ Backward Difference diferença para trás x x x x x Δ Δ θ θ θ Derivadas de segunda ordem 2 x x x x 2 x x x x 2 x x 2 x x Δ Δ θ θ Δ θ Δ Δ θ Δ θ θ 6 Δx Δy i i1 i1 j1 j1 j voltando à equação diferencial 2 2 2 2 y x 0 θ θ 2 j1 i ji j1 i 2 2 x 2 x Δ θ θ θ θ e 2 1 ji ji 1 ji 2 2 y 2 y Δ θ θ θ θ Equação discretizada 0 y 2 x 2 2 1 ji ji 1 ji 2 j1 i ji j1 i Δ θ θ θ Δ θ θ θ Para ΔxΔyh obtemse 0 4 ji 1 ji 1 ji j1 i j1 i θ θ θ θ θ Esta equação é válida para qualquer ponto interno Condições de Contorno discretizase da mesma forma que a equação diferencial utilizando diferenças para frente ou para trás Resultado Sistema de equações lineares o número de equações é igual ao número de pontos de discretização 7 Elementos Finitos EF Integração da equação diferencial Discretização utilizando elementos ao invés de pontos Mudança da geometria associada ao arquivo de dados 8 Ultra High Temperature Heat Exchanger Volumes Finitos VF Integração da equação diferencial Discretização utilizando volumes ao invés de pontos Requerimentos computacionais inferiores em comparação a EF Não é tão flexível para lidar com geometrias complexas quando comparado a EF 9 Perfil de temperatura após 5 segundos Perfil de temperatura após 25 segundos 10 Problemas em regime transiente ρ y y k T x x k T t T cp Soluções analíticas separação de variáveis Soluções numéricas diferenças finitas elementos finitos volumes finitos maior complexidade na formulação e implementação aumento do tempo computacional 11 Considerações Finais Soluções analíticas minimização do erro problemas simplificados benchmark propriedades constantes Soluções numéricas erros associados à discretização problemas complexos propriedades variáveis