Estudo da Camada Limite em Dinâmica de Fluidos

Técnicas adotas para seu estudo soluções numéricas CFD experimentação análise dimensional teoria da camadalimite Soluções numéricas hoje um campo interessante de pesquisa e está relacionado a dinâmica dos fluidos computacional CFD do inglês computational fluid dynamics Porém a mais comum é ainda a experimentação Exemplo de aplicação o viscosímetro de Hoppler onde se tem a esfera deslocandose em meio a um fluido o que caracteriza o que se denomina de ESCOAMENTO EXTERNO Excluindose a aplicação anterior que é uma aplicação ligada a engenharia química temse outras inúmeras aplicações em engenharia aerodinâmica hidrodinâmica transporte engenharia eólica engenharia oceânica Escoamentos em torno de corpos imersos costumam ser encontrados nos estudos 13112006 v2 aviões foguetes projetis navios submarinos torpedos motocicletas automóveis caminhões edifícios pontes torres turbinas eólicas bóias quebramares estacas cabos instrumentos ancorados Vamos nos deter na terceira ferramenta que é a teoria da camadalimite formulada pela primeira vez por Ludwig Prandtl em 1904 Aula de complemento de mecflu estudo da camada limite 152006 v3 v0 O que se objetiva com o estudo proposto E o que vem a ser camadalimite Figura 1 Quando entre o fluido e o corpo existe um movimento relativo objetivase analisar a interação existente entre eles interação que resulta em uma força resultante agindo no corpo e que se pretende calcular Adotandose um sistema de referência fixo à superfície sólida Portanto para o observador o corpo sempre estará em repouso e o fluido em movimento No caso da figura 1 o caminhão estará parado e o ar em movimento com uma velocidade igual e em sentido contrário à do caminhão Outro fato importante a se notar é que o fluido será sempre divido em duas regiões uma em que o movimento dele é perturbado pela presença do objeto sólido e outro que o fluido escoa como se o objeto não estivesse presente Figura extraída do livro Mecânica dos Fluidos 4ª edição de Frank M White e editado pela Mc GrawHill Camadalimite é o lugar geométrico que separa a região do fluido perturbada pela presença do corpo sólido da região que não sofre nenhuma influência da sua presença Ao passar pelo corpo o fluido provocará nele o aparecimento de uma força resultante Figura extraída do livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti e editado pela PEARSON A força resultante pode ser decomposta em Fsforça de sustentação Fa força de arrasto Conceitos fundamentais Em cada ponto a ação de um fluido numa superfície sólida podese decompor numa ação normal pressão e numa ação tangencial tensão de cisalhamento Figura extraída do livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti e editado pela PEARSON Para facilitar o estudo considerase separadamente o efeito normal das pressões do efeito tangencial das tensões de cisalhamento Inicialmente considerase a não existência das forças tangenciais Na primeira situação considerando o fluido em repouso terseia como força resultante da diferença de cota o empuxo o qual é sempre vertical com sentido ascendente e com módulo igual ao produto do peso específico do fluido pelo volume deslocado do mesmo Numa segunda situação considerando um fluido ideal verificase que a distribuição das pressões não é uniforme sobre o corpo o que propicia o surgimento de uma força resultante não nula A diferença de pressão de um ponto a outro é causada pela diferença de velocidades do fluido 2 2 0 0 2 v p p ρ g v v p p 2 2 4 2 0 0 4 γ γ A distribuição não uniforme de pressão resulta na expressão coeficiente adequado para resulta uma força correta C área de referência na maioria das vezes projetada na perpendicular à direção de v 0 A força fluidodinâmica na direção desejada F onde v A C F ρ 2 2 0 Na prática é muito difícil separar a parcela da força de arrasto devido às pressões dinâmicas denominada de força de arrasto de forma ou de pressão daquela provocada pelas tensões de cisalhamento Entretanto é bastante instrutivo estudálas separadamente Com essa finalidade será apresentado o estudo de uma placa plana fina paralela ao escoamento de forma que não aconteça nenhum efeito devido às pressões Seja uma placa plana de espessura muito pequena introduzida paralelamente a um escoamento uniforme e em regime permanente de um fluido Vamos analisar apenas um dos lados da placa O que vem a ser v0 Como se determina as velocidades na seção perpendicular a placa O que existe de comum nos pontos A B e C Verificase que os pontos A B e C pertencem a uma linha que será o lugar geométrico dos pontos a partir dos quais a velocidade passa a ter valor constante v0 O fluido fica dividido por essa linha em duas regiões distintas A região entre a placa e a linha construída chamase CAMADA LIMITE enquanto que a região acima dela chamase FLUIDO LIVRE Figura extraída do livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti e editado pela PEARSON Da figura anterior podese observar que o diagrama de velocidade varia com x ou seja o gradiente de velocidade varia com x e em conseqüência a tensão de cisalhamento varia com x Cálculo da força de arrasto de superfície τ dA as F A dificuldade de se recorre a expressão anterior está na determinação da tensão em função de x principalmente pela fato de depender do gradiente de velocidade o qual também varia com x Pelo exposto recorrese a constantes determinadas experimentalmente Considerando uma placa plana retangular ou seja de largura b e comprimento l e apenas um de seus lados Na determinação do coeficiente de arrasto de superfície considerase três casos camada limite laminar camada limite turbulenta existe a passagem da camada limite laminar para o turbulento Cas v A Fas 2 0 2 1 ρ Se a camada limite for laminar compriment o da placa L v L eL R eL R as C ν 0 1328 A passagem do laminar para o turbulento ocorre no comprimento denominado de xcrítico e este geralmente é muito pequeno e aí temse a passagem do laminar para o turbulento Figura extraída do livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti e editado pela PEARSON Supondo que todos os diagramas fossem do tipo da camada turbulenta desde o bordo de ataque 5 074 0 eL R Cas No entanto a expressão anterior deve ser corrigida pelo fato de se considerar o escoamento laminar até o xcrítico fRecr k ReL k eL R as C 5 074 0 8700 3300 1700 1050 k 3x106 106 5x105 3x105 Recr O valor do Recri será função da rugosidade da placa da troca de calor entre ela e o fluido das turbulências ao longe e de outros fatores que possam facilitar ou dificultar a passagem da camada limite laminar para a turbulenta Para números de Reynolds superiores a 107 Schlichting verificou que o valor do Cas é melhor representado pela expressão ReL k ReL log Cas 2 58 0 455 1a Questão Uma placa plana retangular de 1m de largura e 2m de comprimento imersa em água é arrastada horizontalmente com velocidade constante de 15 ms Calculara a força necessária supondo os três casos seguintes a a camada limite mantémse laminar desde o bordo de ataque até o bordo de fuga b a camada limite é turbulenta desde o bordo de ataque c o número de Reynolds crítico é 5x105 3 m 1000 kg s e m ρ ν 2 15 10 6 Cálculo da espessura da camada limite O cálculo desta espessura depende do perfil de velocidade considerado No caso do escoamento laminar 5 Exata Blasius 480 584 464 548 346 Distribuição de velocidade Rex x a δ f fy v v η δ 0 η η f 2 2 η η η f 3 2 1 2 3 η η η f 4 2 2 η η η η f sen f π η η 2 No caso do escoamento turbulento e considerando o perfil de velocidade com potência 17 17 16 0 x Re x δ 2a Questão Ar escoa sobre uma placa plana de 40 cm de comprimento Sabendose que a velocidade ao longe v0 é igual a 06 ms pedese a o número de Reynolds na borda de fuga especificando o tipo de escoamento observado b a espessura da camada limite na borda de fuga c a força de arrasto sabendo que a placa é retangular e que tem uma largura de 1m Dado νar 2x105 m²s e o ar nas CNPT Considere Recrit 5105 Solução N as F m kg ar Cas c cm m 04 5 b uma camada limite laminar de é menor que o Recrítico trata se Como ReL a 0 0023 1 0 4 2 0 62 1 29 1 21 10 2 2 1 3 1 29 273 287 9 8 10330 1 21 10 2 2 104 1 328 1 183 183 10 2 2 104 1 1 2 104 12000 10 5 2 0 6 4 0 ρ δ δ 3a Questão Se para a questão anterior considerando o mesmo Reynolds crítico ao invés do escoamento do ar ocorresse o escoamento dágua com uma viscosidade igual a 96x107 m²s água a 22 ºC calcule a o número de Reynolds na borda de fuga especificando o tipo de escoamento observado b a espessura da camadalimite na borda de fuga c a força de arrasto considerando que a massa específica da água é 998 kgm³ Solução N as F Cas c cm m 04 5 b uma camada limite laminar de é menor que o Recrítico trata se Como ReL a 0 382 1 0 4 2 0 62 998 0 002656 2 1 0 002656 5 105 2 328 1 0 4 0 004 5 105 2 2 5 105 250000 6 10 7 9 0 6 4 0 δ δ 4a Questão exercício 95 do livro Mecânica dos Fluidos escrito por Franco Brunetti e editado pela PEARSON Prentice Hall Num viscosímetro de esfera uma esfera de aço de massa específica igual a 7800 kgm³ e diâmetro de 1 mm afunda num líquido de massa específica igual a 800 kgm³ com uma velocidade limite de 2 cms Calcular a viscosidade cinemática do fluido para as seguintes situações 1 sem considerar a influência das paredes do tubo que contém o fluido 2Considerando a influência da parede do tubo o qual tem um diâmetro de 16 mm Resolução sem influência das paredes do tubo Resolução com influência das paredes do tubo s ou St cm s m m s N v Dt De f e De g 2 216 2 216 10 4 800 173 0 2 173 0 2 10 2 16 1 2 0144 1 18 800 7800 10 3 2 10 2 0144 1 18 2 ρ µ ν µ µ ρ ρ µ