Análise de Tensão e Deformação em Estruturas

Tensão x Deformação Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2022 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformações Um aspecto importante da análise e projeto de estruturas relacionase com as deformações produzidas pelas cargas aplicadas a uma estrutura A análise das deformações é importante para se evitar deformações excessivas que possam impedir a estrutura de atender à finalidade para a qual ela foi destinada e essa análise também pode nos ajudar na determinação das tensões Sem dúvida nem sempre é possível determinar as forças nos componentes de uma estrutura aplicandose somente os princípios da estática isto porque a estática é baseada na hipótese de estruturas rígidas e indeformáveis Considerando as estruturas de engenharia deformáveis e analisando as deformações em seus vários componentes poderemos calcular as forças estaticamente indeterminadas isto é indeterminadas dentro do âmbito da estática BEER et al 2011 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial Considerase uma barra BC de comprimento L e com seção transversal uniforme de área A que está suspensa em B Fig a Se aplicarmos uma força P à extremidade C a barra se alonga Fig b gerando uma deformação δ delta BEER et al 2011 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial BEER et al 2011 Construindo um gráfico com os valores da intensidade P da força em função da deformação δ delta obtemos determinado diagrama forçadeformação Embora esse diagrama contenha informações úteis para a análise da barra em consideração ele não pode ser utilizado diretamente para prever a deformação de uma barra do mesmo material mas com dimensões diferentes UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial BEER et al 2011 Foi observado que se uma deformação δ é produzida em uma barra BC por uma força P é necessária uma força 2P para provocar a mesma deformação em uma barra BC de mesmo comprimento L mas com uma área de seção transversal igual a 2A Notase que em ambos os casos o valor da tensão é o mesmo 𝛔 𝑷 𝐀 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial BEER et al 2011 Em contrapartida uma força P aplicada a uma barra BC com a mesma seção transversal de área A mas com comprimento 2L provoca uma deformação duas vezes maior 2δ do que a deformação δ que ela produz na barra BC UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial BEER et al 2011 Mas em ambos os casos a relação entre a deformação e o comprimento da barra é a mesma ela é igual a δ L Desta forma definese deformação específica normal em uma barra sob carregamento axial como a deformação por unidade de comprimento da barra Designando a deformação específica normal por Ɛ epsilon temos 𝛿 𝐿 Ɛ UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Deformação específica normal sob carregamento axial BEER et al 2011 No caso de um elemento com seção transversal de área A variável a tensão normal σ PA também varia ao longo do elemento e é necessário definir a deformação específica em determinado ponto Q considerando um pequeno elemento de comprimento não deformado x UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Construindo o gráfico da tensão σ PA em função da deformação específica 𝜺 𝜹𝑳 obtémse uma curva característica das propriedades do material que não depende das dimensões do corpo de prova utilizado Essa curva é chamada de diagrama tensãodeformação Para obter o diagrama tensãodeformação de um material geralmente se executa um ensaio de tração em um corpo de prova do material Por meio desse diagrama podese determinar algumas propriedades importantes do material como seu módulo de elasticidade e se o material é dúctil ou frágil UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Como é feito A área da seção transversal da parte central cilíndrica do corpo de prova é determinada com precisão e são feitas duas marcas de referência naquela parte a uma distância L0 uma da outra A distância L0 é conhecida como comprimento de referência do corpo de prova O corpo de prova é então colocado em uma máquina de teste utilizada para aplicar uma carga centrada P À medida que a carga P aumenta a distância L entre as duas marcas de referência também aumenta A distância L é medida com um extensômetro e o alongamento δ L L0 é registrado para cada valor de P L0 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Para cada par de leituras P e δ é calculada a tensão σ dividindose P pela área original A0 da seção transversal do corpo de prova e a deformação específica Ɛ é obtida dividindose o alongamento δ pela distância original L0 entre as duas marcas de referência Ɛ δ 𝐿0 σ P 𝐴0 Desta forma o diagrama tensãodeformação é obtido colocandose Ɛ como abscissa eixo x e σ como ordenada eixo y UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Os diagramas tensãodeformação dos materiais variam muito e ensaios de tração diferentes executados com o mesmo material podem produzir resultados diferentes dependendo da temperatura do corpo de prova e da velocidade de aplicação da carga No entanto é possível distinguir algumas características comuns entre os diagramas tensãodeformação de vários grupos de materiais e assim dividir os materiais em duas categorias principais com base nessas características materiais dúcteis e materiais frágeis Dúctil Frágil UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Materiais Dúcteis Os materiais dúcteis como o aço estrutural e as ligas de muitos outros metais são caracterizados por sua capacidade de escoar na temperatura ambiente À medida que o corpo de prova é submetido a uma carga crescente seu comprimento aumenta linearmente proporcional ao carregamento a uma taxa muito baixa inicialmente Região Elástica No entanto após alcançar um valor crítico de tensão de escoamento σE o corpo de prova sofre uma grande deformação com aumento relativamente pequeno da carga aplicada Essa deformação é provocada por deslizamento do material ao longo de superfícies oblíquas e é devido portanto primeiro às tensões de cisalhamento UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Materiais Dúcteis A tensão σE na qual o escoamento é iniciado é chamada de resistência ao escoamento do material a tensão σL correspondente à carga máxima aplicada ao corpo de prova é conhecida como limite de resistência e a tensão σR correspondente à ruptura é chamada de resistência à ruptura UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação BEER et al 2011 Materiais Frágeis Materiais frágeis que incluem ferro fundido vidro e pedra são caracterizados pelo fato de que a ruptura ocorre sem nenhuma mudança prévia notável na taxa de alongamento Para os materiais frágeis não há diferença entre o limite de resistência e a resistência à ruptura e também a deformação no instante da ruptura é muito menor para materiais frágeis que para materiais dúcteis arianecardosoeng RESMAT2 Tensão x Deformação Fonte BEER et al 2011 Materiais Frágeis O concreto é um exemplo de material frágil com propriedades diferentes na tração e na compressão No lado da tração do diagrama observase primeiro uma região elásticolinear na qual a deformação é proporcional à tensão Depois de ter alcançado o ponto de escoamento a deformação aumenta mais rápido do que a tensão até ocorrer a ruptura Na compressão a região elásticolinear é significativamente maior e não ocorre a ruptura quando a tensão alcança seu valor máximo Em vez disso a tensão diminui em intensidade enquanto a deformação continua aumentando até ocorrer a ruptura arianecardosoeng RESMAT2 Tensões e deformações específicas verdadeiras Vimos que a tensão representada nos diagramas foi obtida dividindose a força P pela área A0 da seção transversal do corpo de prova Porém esta área foi medida antes de ocorrer qualquer deformação Como a área da seção transversal do corpo de prova diminui à medida que P aumenta o gráfico da tensão indicada em nossos diagramas não representa a tensão verdadeira no corpo de prova UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 arianecardosoeng RESMAT2 Tensões e deformações específicas verdadeiras UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 A diferença entre a tensão de engenharias σ P A0 já calculada e a tensão verdadeira σ P A obtida dividindose P pela área A da seção transversal do corpo de prova deformado tornase visível em materiais dúcteis após o início do escoamento arianecardosoeng RESMAT2 Lei de Hooke e módulo de elasticidade UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Em geral as estruturas são projetadas de modo a sofrerem pequenas deformações que não ultrapassem os valores do diagrama tensão x deformação correspondente ao trecho reto pois ali o regime é elástico e a tensão σ é diretamente proporcional à deformação específica Ɛ Então podemos σ E Ɛ Onde σ Tensão Normal E Módulo de Elasticidade ou módulo de Young Ɛ Deformação Específica arianecardosoeng RESMAT2 Comportamento elástico e plástico de um material UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Se as deformações específicas provocadas em um corpo de prova pela aplicação de determinada força desaparecem quando a força é removida dizemos que o material tem um comportamento elástico O maior valor da tensão para o qual o material comporta se elasticamente é chamado de limite elástico do material No entanto se for atingido o ponto de escoamento quando a força é removida a tensão e a deformação específica diminuem de forma linear porém o material não volta ao seu estado inicial então indica que ocorreram deformações permanentes ou plásticas arianecardosoeng RESMAT2 Deformações de elementos sob carregamento axial UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Considerando a barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal uniforme de área A submetida a uma força axial centrada P Se a tensão axial resultante σ P A não ultrapassar o limite de proporcionalidade do material podemos aplicar a lei de Hooke e escrever σ E Ɛ Sabese que σ PA PA E Ɛ Ɛ 𝑃 𝐴𝐸 Ɛ δ 𝐿 δ 𝐿 𝑃 𝐴𝐸 δ 𝑷𝑳 𝑨𝑬 arianecardosoeng RESMAT2 Deformações de elementos sob carregamento axial UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 δ 𝑷𝑳 𝑨𝑬 Esta equação só pode ser aplicada se a barra for homogênea módulo de elasticidade constante tiver seção transversal uniforme de área constante e a carga for aplicada na extremidade da barra Se a barra estiver carregada em outros pontos ou se ela consistir em diversas partes com várias seções transversais e possivelmente de diferentes materiais é preciso dividila em partes componentes que satisfaçam individualmente às condições necessárias para a aplicação da Fórmula Designando por Pi a força interna Li o comprimento Ai a área da seção transversal e Ei o módulo de elasticidade correspondentes à parte i expressamos a deformação da barra inteira como arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI BEER et al 2011 Visto que no caso de barras com seção transversal variável a deformação específica Ɛ depende da posição do ponto Q em que é calculada e é definida como Ɛ dδ 𝑑𝑥 dδ Ɛ dx σ Ɛ E Sabese que Ɛ σ 𝐸 σ P 𝐴 Então Ɛ 𝑃 𝐴𝐸 dδ 𝑃 𝐴𝐸 dx A deformação total δ da barra é obtida integrandose essa expressão sobre o comprimento L da barra Esta fórmula deverá ser utilizada não só quando a área A da seção transversal for uma função de x mas também quando a força interna P depender de x como é o caso de uma barra suspensa suportando seu próprio peso arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ex 21 Beer et al 2011 Determine a deformação da barra de aço abaixo submetida às forças indicadas Considere E 200 GPa Temos L1 L2 300 mm e L3 400 mm A1 A2 580 mm² e A3 200 mm² arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Impondo a condição de que cada um dos corpos livres está em equilíbrio Fx 0 obtemos P3 150 kN 150 x 10³N P2 150 200 50 kN 50 10³N P1 350 150 200 300 kN 300 x 10³N arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Ex Uma haste de poliestireno de comprimento 300 mm e diâmetro 254mm é submetida a uma carga de tração de 3560N Sabendose que E 31 GPa determine a O alongamento da haste b A tensão normal na haste L 300 mm d 254 mm E 31 Gpa 31 x 109 Pa 31 x 109 Nm² L 300 mm 030 m d 254 mm 00254 m P 3560 N arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a O alongamento da haste L 300 mm d 254 mm E 31 Gpa 31 x 109 Pa 31 x 109 Nm² L 300 mm 030 m d 254 mm 00254 m δ 𝑃𝐿 𝐴𝐸 A 𝜋 𝑑² 4 A 𝜋 00254² 4 00005066 𝑚² δ 3560𝑁 x 030𝑚 00005066𝑚2 x 31 x 109 Nm² δ 68 x 104 m P 3560 N arianecardosoeng RESMAT2 Praticando UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b A tensão normal na haste L 300 mm d 254 mm A 00005066 m² σ P 𝐴 σ 3560 N 00005066 m² σ 70272404 Nm² σ 703 MPa P 3560 N arianecardosoeng RESMAT2 Agora é sua vez de praticar UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI 1 Um arame de aço de 7m de comprimento não deve alongarse mais do que 47mm quando é aplicado uma força de tração de 6kN Sendo E 200GPa determine a O menor diâmetro que pode ser especificado para o arame b A tensão normal 2 Em um arame de alumínio de 4mm de diâmetro ocorreu um alongamento de 25mm quando aplicado uma força de tração de 400N Sabendose que o módulo de elasticidade do arame é 70GPa e que a tensão última para o alumínio é de 110MPa determine a O comprimento do arame b O coeficiente de segurança UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Bons Estudos Fique atento aos avisos no AVA para informações sobre as próximas aulas UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Apresentação Contato Email ascpecpolibr Profª MSc Ariane Cardoso Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Graduanda em Arquitetura e Urbanismo UNINASSAU Professora PoliUPE desde 2020