Flambagem: Estabilidade de Estruturas e Colunas

Flambagem Professora MSc Ariane Cardoso Disciplina Resistência dos Materiais II UNIVERSIDADE DE PERNAMBUCO ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO Departamento de Engenharia Civil Recife 2022 arianecardosoeng RESMAT2 Flambagem UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Nosso interesse estará voltado agora para a estabilidade da estrutura isto é para sua capacidade de suportar determinado carregamento sem sofrer uma mudança abrupta em sua configuração Nossa discussão estará relacionada principalmente com colunas isto é elementos prismáticos verticais suportando forças axiais A flambagem é uma instabilidade estrutural que acontece em estruturas que são muito esbeltas muito longas principalmente colunas Então dependendo da distribuição de área do momento de inércia da carga axial aplicada de compressão a estrutura pode sofrer esta instabilidade e nós precisamos entender e prever quais são as cargas que levam a estrutura a flambar para se evitar arianecardosoeng RESMAT2 Flambagem UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Elementos estruturais compridos e esbeltos sujeitos a uma força de compressão axial são denominados colunas e a deflexão lateral que ocorre é denominada flambagem Mudança do ponto de equilíbrio de estável para instável arianecardosoeng RESMAT2 Flambagem UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI A forma com que a estrutura sofre esta instabilidade deflexãoflambagem altera conforme se altera Geometria Carga aplicada Condição de contorno Extremidades Articuladas presa por pinos Extremidades engastadas Extremidades engastada e presa por pinos Extremidades engastada e outra livre ESTUDO DE EULER arianecardosoeng RESMAT2 Flambagem UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Quando se tem uma barra articulada nas extremidades submetida a uma força axial P que aumenta continuamente em um dado momento a barra perderá sua estabilidade lateral e assumirá a configuração ilustrada Se P Pcr A estrutura fica instável e pode ocorrer colapso Devese então prever qual a carga máxima de compressão que pode ser aplicada em uma estrutura para que não ocorra este efeito Esta carga é chamada de carga crítica Pcr Fenômeno FLAMBAGEM arianecardosoeng RESMAT2 Flambagem UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI A equação da linha elástica é descrita por EI 𝐝²𝛎 𝐝𝐱² M P 𝛎 arianecardosoeng RESMAT2 Fórmula de Euler para colunas biarticuladas UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI EI 𝐝²𝛎 𝐝𝐱² M P y Como a coluna pode ser considerada uma barra colocada em uma posição vertical e submetida a uma força axial chamase de x a distância da extremidade A da coluna até um dado ponto Q de sua linha elástica e por y a deflexão desse ponto Consequentemente o eixo x será vertical e orientado para baixo e o eixo y horizontal e orientado para a direita Considerando o equilíbrio do corpo livre AQ concluise que o momento fletor em Q é M Py Substituindo esse valor de M na Equação arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Essa é uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes Reescrevendo a equação temse 𝐝2𝐲 𝐝𝐱² P 𝐲 𝐄𝐈 0 Definindo p² 𝐏 𝐄𝐈 temos d2y dx² p² 𝑦 0 Fórmula de Euler para colunas biarticuladas EI d2𝑦 dx² M d2𝑦 dx² M EI arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI A solução geral da Equação é dada por Lembrando as condições de contorno que devem ser satisfeitas nas extremidade A e B da coluna primeiro faz se x 0 e y 0 na Equação A e constatase que B 0 𝒚 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒑𝒙 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒑𝒙 Eq A A sen pL 0 Substituindo em seguida x L e y 0 e o valor de B encontrado obtémse Essa equação é satisfeita se A 0 ou se sen pL 0 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Essa equação é satisfeita se A 0 ou se sen pL 0 Se a primeira dessas condições é satisfeita a Equação A se reduz a y 0 𝒚 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒑𝒙 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒑𝒙 Eq A y 0 sen px 0 cos px y 0 Logo a coluna estará reta arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Para que a segunda condição seja satisfeita devese ter pL n𝛑 Lembrando que foi definido p² 𝐏 𝐄𝐈 P 𝐧2 𝛑2 𝐄𝐈 𝐋² A expressão obtida é conhecida como fórmula de Euler em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 Eq B Substituindo p e resolvendo para P obtemos O menor dos valores de P definido pela Equação acima é aquele correspondente a n 1 Temos portanto arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Substituindo essa expressão para P na Equação p² 𝐏 𝐄𝐈 e o valor obtido para p na Equação A e lembrando que B 0 podese escrever a equação da linha elástica depois que a coluna flambou y A sen 𝛑𝒙 𝐋 Se P Pcr a condição sen pL 0 não pode ser satisfeita e a solução dada pela Equação acima não existe p² 𝐏 𝐄𝐈 𝒚 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝒑𝒙 𝑩 𝒄𝒐𝒔 𝒑𝒙 Eq A Devemos ter então A 0 e a única configuração possível para a coluna é a reta Assim para P Pcr a configuração reta da coluna é estável arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Carga de flambagem Pcr 𝛑𝟐𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐋² Como visto a carga de flambagem é dada pela seguinte expressão denominada Fórmula de Euler Onde E Módulo de elasticidade do material Imín Momento de inércia mínimo da seção transversal e L Comprimento da barra A flambagem deve ocorrer em torno do eixo da barra com a menor inércia arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Atenção Até momento a análise do comportamento de uma coluna se baseou na suposição de uma força centrada perfeitamente alinhada Na prática raramente isso acontece O efeito da excentricidade do carregamento é levado em consideração A fórmula de Euler foi deduzida para uma barra articulada nas exterminadas contudo pode ser utilizada para outras condições de vínculos desde que se aplique o conceito de comprimento de flambagem 𝑳𝒇 𝑳𝒇 K L Onde K Coeficiente que depende da condição de extremidade ou vinculação da barra Outras condições de contorno arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Outras condições de contorno Portanto outras expressões para carga crítica podem ser obtidas em função de diferentes condições de contorno Uma expressão geral para estes casos em função do comprimento efetivo Lf é descrita por Pcr 𝛑𝟐 𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝑳𝒇² Onde E Módulo de elasticidade do material Imín Momento de inércia mínimo da seção transversal e 𝐿𝑓 Comprimento de flambagem ou comprimento equivalente arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Extensão da fórmula de Euler para colunas com outras condições de extremidade Fonte Beer et al 2011 K2 K1 K07 K05 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Extensão da fórmula de Euler para colunas com outras condições de extremidade Pcr 𝐄𝐈𝛑² 𝒍𝒆𝒇² Renomeando o comprimento efetivo Lf para lef resumese arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Em projetos de colunas ou elementos estruturais diversos é comum se descrever o momento de inércia de área em função do raio de giração r I Ar² Substituindo na Equação B temse Pcr 𝐄 𝐀 𝐫2 𝛑² 𝐋² O valor da tensão correspondente à força crítica é chamado de tensão crítica e é representado por 𝜎cr σcr 𝐏𝐜𝐫 𝐀 𝐄 𝐀 𝐫𝟐 𝛑² 𝐀𝐋² Tensão crítica arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Tensão crítica σcr 𝐏𝐜𝐫 𝐀 𝐄 𝐀 𝐫𝟐 𝛑² 𝐀𝐋² Onde σcr tensão normal crítica na iminência da flambagem Lr índice de esbeltez 𝛌 e representa uma medida prática de flexibilidade no elemento estrutural Eq C arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Hipérbole de Euler Fonte Beer et al 2011 A expressão anterior só é válida na fase elástica isto é para tensão na região de proporcionalidade da Lei de Hooke Desta forma temse σcr 𝐄 𝛑² 𝛌² σ𝑬 Flambagem elástica σcr 𝐄 𝛑² 𝛌² σ𝑬 Flambagem plástica Flamb plástica Flamb elástica arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Índice de esbeltez 𝛌 Lf 𝐢 i 𝐥𝐜 𝐀𝐜 Índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração nas direções consideradas de acordo com a NBR 6118 ABNT 2014 Onde Lf Comprimento de flambagem i raio de giração Para seção retangular o índice de esbeltez é dado por 𝛌 𝟑𝟒𝟔Lf 𝐡 Onde h Dimensões do pilar na direção considerada arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Classificação em função do índice de esbeltez CURTO Se 𝛌 35 MÉDIO Se 35 𝛌 90 MEDIANAMENTE ESBETO Se 90 𝛌 140 ESBELTO Se 140 𝛌 200 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Classificação em função do índice de esbeltez 0 𝛌 40 Pilar robusto pouco esbelto 40 𝛌 90 Pilar esbelto 90 𝛌 140 Pilar muito esbelto 140 𝛌 200 Pilar excessivamente esbelto 𝛌 200 NÃO pode ser considerado um pilar Deve ser a maioria Alguns casos Casos raros NÃO PODE arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Carregamento excêntrico e fórmula da secante Observando que a força P aplicada a uma coluna nunca é perfeitamente centrada Chamando de e a excentricidade da força isto é a distância entre a linha de ação de P e o eixo da coluna substituímos a força excêntrica dada por uma força centrada P e um momento MAPe Não importa o tamanho da força P e a excentricidade e o momento MA resultante sempre provocará alguma flexão na coluna arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Carregamento excêntrico e fórmula da secante Podemos expressar a deflexão máxima na forma alternativa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Carregamento excêntrico e fórmula da secante A tensão máxima 𝝈máx ocorre na seção da coluna em que o momento fletor é máximo isto é na seção transversal onde se localiza o ponto médio C e pode ser obtida somandose as tensões normais provocadas respectivamente pela força axial e pelo momento fletor que atuam naquela seção arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Recomendações A flambagem sempre ocorre em torno do eixo com menor momento de inércia de área É ideal que o momento de inércia de área seja alto com preferência para perfis na forma reta quadrada ou com tubular arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal quadrada deve ser feita de madeira Considerando que E 13GPa σadm 12 MPa e usando um coeficiente de segurança de 25 ao calcular a força crítica de Euler para a flambagem determine a dimensão da seção transversal se a coluna deve suportar com segurança uma força de 100 kN Pcr 25 100 kN 250 10³ N E 13 GPa 13 109 Pa L 2m Reescrevendo a Equação B Pcr π2 EI L² I Pcr L² π2 E arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo I Pcr L² π2 E I 250 103N 2m² π2 13 109 Pa Pcr 25 100 kN 250 10³ N E 13 GPa 13 109 Pa L 2m I 7794 106 m4 Para uma seção quadrada de lado a temos I 𝒂𝟒 𝟏𝟐 𝒂𝟒 𝟏𝟐 7794 106 m4 𝒂 𝟗𝟖 𝟑 𝒎𝒎 𝟏𝟎𝟎 𝒎𝒎 arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo Verificase o valor da tensão normal da coluna 𝛔 𝐏 𝐀 σ 100 kN 0100m² σ 10 MPa Como σ é menor do que a tensão admissível uma seção transversal de 100 mm x 100 mm é aceitável 𝛔 𝛔adm σadm 12 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 2 O perfil estrutural A36 W200 X 46 de aço mostrado ilustrado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Qual a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe Dados A 5890 mm² IX 455 106 mm4 Iy 153 106 mm4 σe 250 MPa E 200 GPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 3 O perfil estrutural A36 W200 X 46 de aço mostrado ilustrado deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos Qual a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem ou antes que o aço escoe Dados A 5890 mm² IX 455 106 mm4 Iy 153 106 mm4 σe 250 MPa E 200 GPa 4 m arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 4 Para a coluna com a seção indicada e comprimento de 6 metros determine a A carga crítica considerando que a coluna esteja presa por pinos nas extremidades b Se a coluna estiver engastada em suas extremidades ela poderá suportar a carga crítica sem escoamento Justifique a sua resposta c Na hipótese que as extremidades estejam apoiadas por pinos se for aplicada uma carga axial na coluna de 200 kN qual será o fator de segurança em relação a flambagem Dados E 210 GPa σe 290 MPa Dimensões em mm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 4 a A carga crítica considerando que a coluna esteja presa por pinos nas extremidades Dados E 210 GPa σe 290 MPa Cálculo da Inércia Iy 200 12³ 12 2 12 150³ 12 6778800 mm4 Ix 12 200³ 12 2 150 12³ 12 1800 106² 48492800 mm4 Usamos a menor inércia Iy Pcr 𝛑𝟐𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐤𝐋² Dimensões em mm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a A carga crítica considerando que a coluna esteja presa por pinos nas extremidades Dados E 210 GPa σe 290 Mpa Iy 6778800 mm4 L 6 m 6000 mm Cálculo da carga crítica K 1 Pcr 𝛑𝟐𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐤𝐋² Pcr π2 210 103MPa 6778800 mm4 1 6000² Pcr 390273 77N 39027 kN Dimensões em mm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI a A carga crítica considerando que a coluna esteja presa por pinos nas extremidades Dados Pcr 390273 77N Verificar se a tensão crítica é menor do que a tensão de escoamento 𝛔𝐜𝐫 𝐏𝐜𝐫 𝐀 σcr 39027377N 2 12 150 12 200 mm² σcr 6505 MPa σcr σe OK Pcr 𝟑𝟗𝟎27 kN Dimensões em mm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b Se a coluna estiver engastada em suas extremidades ela poderá suportar a carga crítica sem escoamento Justifique a sua resposta Dados E 210 GPa σe 290 Mpa Iy 6778800 mm4 L 6 m 6000 mm Cálculo da carga crítica K 05 Pcr 𝛑𝟐𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐤𝐋² Pcr π2 210 103MPa 6778800 mm4 05 6000² Pcr 156109507 N 15611 kN Dimensões em mm arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI b Se a coluna estiver engastada em suas extremidades ela poderá suportar a carga crítica sem escoamento Justifique a sua resposta Dados Pcr 390273 77N Dimensões em mm Verificar se a tensão crítica é menor do que a tensão de escoamento 𝛔𝐜𝐫 𝐏𝐜𝐫 𝐀 σcr 156109507 N 2 12 150 12 200 mm² σcr 26018 MPa σcr σe Sim Como a tensão crítica é menor do que a tensão de escoamento a estrutura irá atingir a carga critica antes de ecoar arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI c Na hipótese que as extremidades estejam apoiadas por pinos se for aplicada uma carga axial na coluna de 200 kN qual será o fator de segurança em relação a flambagem Dados Pcr 390273 77N Padm 200000 N FS 𝑷𝒄𝒓 𝑷𝒂𝒅𝒎 FS 195 FS 39027377 N 200000 N arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 5 Qual o menor diâmetro para uma barra de 60 cm de comprimento suportar uma carga de 30kN sem flambar considerando que encontrase apoiada sem rolete em ambas as extremidades Considere 𝜎𝑒 260 𝑀𝑃𝑎 E 200 GPa 30000 N π2 200000 π 𝑟4 4 1 600² I 𝛑 𝒓𝟒 𝟒 Pcr 𝛑𝟐𝐄 𝐈𝐦í𝐧 𝐤𝐋² r 913 mm I A r² arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 5 𝛔𝐜𝐫 𝐏𝐜𝐫 𝐀 σcr 30000 π 913² σcr 11441 MPa 𝛔𝐜𝐫 𝛔𝐞 Logo o diâmetro mínimo é 2r 1826 mm Verificar se a tensão crítica é menor do que a tensão de escoamento σe 260 MPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 6 Qual o menor diâmetro para uma barra de 50 cm de comprimento suportar uma carga de 30kN sem flambar considerando que encontrase apoiada sem rolete em ambas as extremidades Considere 𝜎𝑒 260 𝑀𝑃𝑎 E 200 GPa arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Exemplo 7 Qual a carga crítica e a tensão crítica de uma coluna com a seção transversal apresentada com comprimento de 45 m e que encontrase presa por pinos em ambas as extremidades Considere 𝜎𝑒 250 𝑀𝑃𝑎 E 205 GPa 20510³ Nmm² arianecardosoeng RESMAT2 UNIVERSIVDADE DE PERNAMBUCO UPE ESCOLA POLITÉCNICA DE PERNAMBUCO POLI Contato Profª Ariane Cardoso MSc Minicurrículo Engenheira Civil UNICAP 2016 Mestre em Engenharia Civil PECUPE 2019 Especialista em Estruturas de Concreto e Fundações INBECUNIP 2021 Professora PoliUPE desde 2020 Email ascpecpolibr