Notas da Aula 1 - Álgebra Linear 2023-1

Álgebra Linear Aula 1 8/3/23 Prof. Marcelo Messias 60 horas junção: Matemática e Estatística (diurno) junção: Matemática e Física (noturno) Conteúdo Programático 1. Espaços e subespaços vetoriais. 2. Base e dimensão de um espaço vetorial. 3. Transformações lineares. 4. Autovalores e autovetores. 5. Espaços vetoriais com produto interno. Forma de Avaliação Duas provas escritas (P1 e P2) Listas de exercícios semanais. Livro texto: Álgebra Linear e Aplicações Calioli, Domingues e Costa Atual Editora Dicas para ir bem no curso: - Prestar atenção às aulas. - Fazer as listas de exercícios semanalmente e entregar no prazo Pré-requisitos (desejáveis): Saber um pouco de matrizes e sistemas lineares. Lembrar um pouco de Geometria Analítica e Vetores. 1. Introdução Existem muitos conjuntos formados por elementos de natureza distinta, mas que têm uma coincidência estrutural com relação a certas operações matemáticas. Vejamos dois exemplos: 1. Conjunto dos vetores da Geometria segmentos orientados operações: - adição - multiplicação por um nº real (escalar) 2. Conjunto das matrizes mxn A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} exemplo: 2x3 A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix} operações: - adição ex: A+B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 7 \\ 1 & 3 & 1 \end{pmatrix} - multiplicação por número real \alpha \alpha A = \begin{pmatrix} \alpha a & \alpha b & \alpha c \\ \alpha d & \alpha e & \alpha f \end{pmatrix} Pode-se mostrar que, nestes dois casos, as operações de adição e multiplicação por escalar (embora distintas) tem quatro propriedades em comum, cada uma: adição de vetores u+v = v+u \text{comutativa} u+(v+w) = (u+v)+w \text{associativa} u+0 = u \exists \text{elem.neutro} u+(-u) = 0 \exists \text{o oposto} adição de matrizes A+B = B+A A+(B+C) = (A+B)+C A+0 = A A+(-A) = 0 multiplicação por escalar (nº real) Vetores \alpha (\beta u) = (\alpha \beta) u \text{associativa} (\alpha + \beta) u = \alpha u + \beta u \text{distributiva} \alpha (u+v) = \alpha u + \alpha v 1u = u \exists \text{elem.neutro} Matrizes \alpha (\beta A) = (\alpha \beta) A (\alpha + \beta) A = \alpha A + \beta A \alpha (A+B) = \alpha A + \alpha B 1A = A Existem muitos outros conjuntos que, embora sejam constituídos por objetos de natureza distinta, apresentam a mesma estrutura com a relação a essas operações de 'adição' e 'multiplicação por escalar' (definidas de acordo com os elementos de cada conjunto). A esses conjuntos, damos o nome de espaços vetoriais sobre \mathbb{R} e seus elementos são chamados de vetores. A Álgebra Linear é o ramo da Matemática que estuda os espaços vetoriais, suas propriedades e as transformações (ou aplicações) entre esses espaços, chamadas de transformações lineares. Além de sua importância matemática, a Álgebra Linear tem aplicações várias áreas das ciências naturais (Física, Biologia, Ecologia, Botânica, Genética, etc...) e tecnologia (computação, economia, tomografia computadorizada, teoria dos grafos, criptografia, etc...). Exemplos: falarei na aula.