Slide - Coordenadas em Relação a uma Base e Mudança de Base 2022 2

Coordenadas em Relação a uma Base e Mudança de Base Seção 4.6 - Mudança de Base Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Coordenadas em Relação a uma Base Se B = {v1, v2, ..., vn} é uma base de um espaço vetorial V e se v = c1·v1+ c2·v2+...+ cn·vn é a expressão de v em termos dessa base B, então os escalares c1, c2, ..., cn são chamados coordenadas de v em relação à base B. Denotamos (v)B = (c1, c2, ..., cn) ou [v]B = c1 c2 ⁝ cn e dizemos que (v)B é o vetor de coordenadas de v em relação à base B. 3 Problema da Mudança de Base Se v for um vetor num espaço vetorial V de dimensão finita e se mudarmos a base de V de uma base B para uma nova base BN, qual é a relação entre os vetores de coordenadas [v]B e [v]BN? Ou seja, qual é a relação entre as coordenadas de v na base B e as coordenadas de v na base BN? Seja V um espaço vetorial e suponha que conheçamos duas bases de V: B = {v1, v2, ..., vn} e BN = {u1, u2, ..., un}. Para qualquer vetor w de V, se tivermos o vetor de coordenadas [w]BN (colocado como matriz coluna) na base BN e quisermos recuperar o vetor de coordenadas de w na base B, ou seja, se quisermos recuperar o vetor de coordenadas [w]B, este procedimento é feito através da relação [w]B = P ∙ [w]BN onde P é a matriz cujas colunas são os vetores de coordenadas [u1]B, [u2]B, ..., [un]B . P é chamada matriz de transição de BN para B e para enfatizar, podemos denotar por: PBN→B Ou seja, podemos reescrever: [w]B = PBN→B ∙ [w]BN Mudança de Base 5 Exemplo. (Encontrando matrizes de transição): Considere as bases B = {v1, v2} e BN = {u1, u2} de R2, sendo v1 = i = (1,0), v2 = j = (0,1), u1 = (1,1) e u2 = (2,1). a) Encontre a matriz de transição PBN→B da base BN para a base B. b) Encontre a matriz de transição PB→BN da base B para a base BN. Solução. a) As colunas de PBN→B são os vetores de coordenadas [u1]B e [u2]B. Vamos encontrar essas coordenadas. Como u1 = (1,1) = 1·i + 1·j e u2 = (2,1) = 2·i + 1·j então os vetores de coordenadas de u1 e u2 na base B são: [u1]B = 1 e 1 [u2]B = 2 . 1 6 Logo, a matriz de transição PBN→B da base BN para a base B é b) Para encontrarmos a matriz de transição PB→BN da base B para a base BN , devemos primeiro encontrar os vetores de coordenadas de v1 e v2 na base BN: v1 = c1·u1 + c2·u2 e v2 = k1·u1 + k2·u2 c1·u1 + c2·u2 = v1 e k1·u1 + k2·u2 = v2 PBN→B = 1 2 . 1 1 c1· 1 + c2· 2 = 1 e 1 1 0 k1· 1 + k2· 2 = 0 1 1 1 Ou seja, precisamos resolver dois sistemas lineares de mesma matriz dos coeficientes: As soluções desses sistemas são: c1 + 2c2 = 1 e c1 c2 0 c1· 1 + c2· 2 = 1 e 1 1 0 k1· 1 + k2· 2 = 0 1 1 1 k1 + 2k2 = 0 k1 k2 1 c1 + 2c2 = 1 e c1 + c2 0 k1 + 2k2 = 0 k1 + k2 1 1 2 · c1 = 1 e 1 1 c2 0 1 2 · k1 = 0 1 1 k2 1 c1 = -1 e c2 1 k1 = 2 k2 -1 8 As soluções desses sistemas são: Isso significa que v1 = c1·u1 + c2·u2 e v2 = k1·u1 + k2·u2 v1 = (-1)·u1 + 1·u2 e v2 = 2·u1 + (-1)·u2 Logo, os vetores de coordenadas de v1 e v2 na base BN são: E daí, a matriz de transição PB→BN da base B para a base BN é c1 = -1 e c2 1 k1 = 2 k2 -1 [v1]BN = -1 e 1 [v2]BN = 2 . -1 PB→BN = -1 2 . 1 -1 9 Obs. Neste exemplo calculamos as matrizes de transição das bases BN para B e de B para BN : Observe que essas matrizes são inversas uma da outra, pois: Isso sempre acontece !!! PB→BN = -1 2 . 1 -1 PBN→B = 1 2 e 1 1 PBN→B · PB→BN = 1 2 · -1 2 = 1 0 = I2 1 1 1 -1 0 1 Teorema. Se PBN→B for a matriz de transição de uma base BN para uma base B em espaço vetorial V de dimensão finita, então: PBN→B é invertível e sua inversa (PBN→B)-1 é a matriz de transição da base B para a base BN. Ou seja: (PBN→B)-1 = PB→BN Matrizes de Mudança de Base 11 Exemplo. (Calculando vetores de coordenadas): Considere as bases B = {v1, v2} e BN = {u1, u2} de R2, sendo v1 = i = (1,0), v2 = j = (1,0), u1 = (1,1) e u2 = (2,1). Use a fórmula apropriada para encontrar [w]B, sabendo que o vetor de coordenadas de w na base BN é: Solução. Para encontramos [w]B, precisamos fazer a transição da base BN para a base B. Como já calculamos a matriz de transição PBN→B no exemplo anterior, então: [w]BN = -3 5 [w]B = PBN→B · [w]BN = 1 2 · -3 = 7 1 1 5 2