Notas de Aula - Espaços Vetoriasi N-dimensionais 2022 2

Espa¸cos Vetoriais n-Dimensionais L´ıliam Medeiros 27 de outubro de 2020 Livro-texto: Anton, H. e Rorres, C. “ ´Algebra Linear com Aplica¸c˜oes.” 10a edi¸c˜ao. Porto Alegre: Bookman, 2012. 1 Espa¸cos Vetoriais n-Dimensionais Vamos primeiro lembrar das defini¸c˜oes e propriedades alg´ebricas vistas na Geometria Anal´ıtica e depois vamos generalizar o conceito de espa¸co vetorial n-dimensional. 1 1.1 Espa¸co R2 Seja R2 o espa¸co dos vetores bidimensionais com componentes reais: v ∈ R2 ⇔ v = (x, y), onde x ∈ R, y ∈ R. Na Geometria Anal´ıtica foram definidas duas opera¸c˜oes sobre esses vetores: (1) Soma: Se u e v s˜ao vetores de R2, ent˜ao u = (x1, y1) e v = (x2, y2) e sua soma ´e definida por u + v = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2). (2) Multiplica¸c˜ao por Escalar: Se v ∈ R2 e c ´e um escalar, ent˜ao v = (x1, y1) e a multiplica¸c˜ao escalar de c por v ´e definida por c v = c (x1, y1) = (c x1, c y1). Os vetores de R2 com as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar satisfazem as seguintes propriedades: (1) A soma ´e fechada em R2: Se u e v s˜ao pertencem a R2, ent˜ao u + v tamb´em pertence a R2 (2) A soma ´e comutativa: u + v = v + u (3) A soma ´e associativa: u + (v + w) = (u + v) + w (4) Existˆencia de elemento neutro com rela¸c˜ao `a soma: Existe um vetor 0 em R2, chamado um vetor nulo ou vetor zero de R2, tal que, para cada u em R2, temos 0 + u = u + 0 = u. Esse vetor ´e 0 = (0, 0). (5) Existˆencia de sim´etrico com rela¸c˜ao `a soma: Para cada u em R2, existe um vetor -u em R2, chamado negativo de u (ou inverso aditivo de u), tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. Se u = (x1, y1), ent˜ao -u = (−x1, −y1) (6) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e fechada em R2: Se k ´e um escalar e v ´e um vetor em R2, ent˜ao kv ´e um vetor em R2 (7) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de vetores: k(u + v) = ku + kv (8) A multiplica¸c˜ao de escalar por vetor ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de escalares: (k + m)v = kv + mv (9) Podemos multiplicar primeiro os escalares: k(mu) = (km)u (10) O escalar 1 ´e neutro na multiplica¸c˜ao por escalar: 1u = u 2 1.2 Espa¸co R3 No caso do espa¸co tridimensional R3, temos: v ∈ R3 ⇔ v = (x, y, z), onde x ∈ R, y ∈ R, z ∈ R. Na Geometria Anal´ıtica foram defindas duas opera¸c˜oes sobre esses vetores: (1) Soma: Se u e v s˜ao vetores de R3, ent˜ao u = (x1, y1, z1) e v = (x2, y2, z2) e sua soma ´e definida por u + v = (x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2). (1) Multiplica¸c˜ao por Escalar: Se v ∈ R3 e c ´e um escalar, ent˜ao v = (x1, y1, z1) e a multiplica¸c˜ao escalar de c por v ´e definida por c v = c (x1, y1, z1) = (c x1, c y1, c z1). Os vetores de R3 com as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar satisfazem as seguintes propriedades: (1) A soma ´e fechada em R3: Se u e v s˜ao pertencem a R3, ent˜ao u + v tamb´em pertence a R3 (2) A soma ´e comutativa: u + v = v + u (3) A soma ´e associativa: u + (v + w) = (u + v) + w (4) Existˆencia de elemento neutro com rela¸c˜ao `a soma: Existe um vetor 0 em R3, chamado um vetor nulo ou vetor zero de R3, tal que, para cada u em R3, temos 0 + u = u + 0 = u. Esse vetor ´e 0 = (0, 0, 0). (5) Existˆencia de sim´etrico com rela¸c˜ao `a soma: Para cada u em R3, existe um vetor -u em R3, chamado negativo de u (ou inverso aditivo de u), tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. Se u = (x1, y1, z1), ent˜ao -u = (−x1, −y1, −z1) (6) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e fechada em R3: Se k ´e um escalar e v ´e um vetor em R3, ent˜ao kv ´e um vetor em R3 (7) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de vetores: k(u + v) = ku + kv (8) A multiplica¸c˜ao de escalar por vetor ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de escalares: (k + m)v = kv + mv (9) Podemos multiplicar primeiro os escalares: k(mu) = (km)u (10) O escalar 1 ´e neutro na multiplica¸c˜ao por escalar: 1u = u 3 1.3 Aumentando a dimens˜ao: Espa¸co R4 No caso do espa¸co tridimensional R4, temos: v ∈ R4 ⇔ v = (x1, x2, x3, x4), onde x1 ∈ R, x2 ∈ R, x3 ∈ R, x4 ∈ R. Podemos definir as seguintes opera¸c˜oes sobre esses vetores: (1) Soma: Se u e v s˜ao vetores de R4, ent˜ao u = (x1, x2, x3, x4) e v = (y1, y2, y3, y4) e sua soma ´e definida por u + v = (x1, x2, x3, x4) + (y1, y2, y3, y4) = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3, x4 + y4). (1) Multiplica¸c˜ao por Escalar: Se v ∈ R4 e c ´e um escalar, ent˜ao v = (x1, x2, x3, x4) e a multiplica¸c˜ao escalar de c por v ´e definida por c v = c (x1, x2, x3, x4) = (c x1, c x2, c x3, c x4). Da mesma forma como os espa¸cos vetoriais R2 e R3, os vetores de R4 com as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar definidas acima satisfazem as seguintes propriedades: (1) A soma ´e fechada em R4: Se u e v s˜ao pertencem a R4, ent˜ao u + v tamb´em pertence a R4 (2) A soma ´e comutativa: u + v = v + u (3) A soma ´e associativa: u + (v + w) = (u + v) + w (4) Existˆencia de elemento neutro com rela¸c˜ao `a soma: Existe um vetor 0 em R4, chamado um vetor nulo ou vetor zero de R4, tal que, para cada u em R4, temos 0 + u = u + 0 = u. Esse vetor ´e 0 = (0, 0, 0, 0). (5) Existˆencia de sim´etrico com rela¸c˜ao `a soma: Para cada u em R4, existe um vetor -u em R4, chamado negativo de u (ou inverso aditivo de u), tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. Se u = (x1, x2, x3, x4), ent˜ao -u = (−x1, −x2, −x3, −x4). (6) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e fechada em R4: Se k ´e um escalar e v ´e um vetor em R4, ent˜ao kv ´e um vetor em R4 (7) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de vetores: k(u + v) = ku + kv (8) A multiplica¸c˜ao de escalar por vetor ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de escalares: (k + m)v = kv + mv (9) Podemos multiplicar primeiro os escalares: k(mu) = (km)u (10) O escalar 1 ´e neutro na multiplica¸c˜ao por escalar: 1u = u 4 1.4 Generalizando: Espa¸co Rn Generalizando o conceito para um espa¸co n-dimensional, o Rn, sendo n um inteiro n˜ao negativo: x ∈ Rn ⇔ x = (x1, x2, ..., xn), onde xi ∈ R, para i variando de 1 a n. Podemos definir as seguintes opera¸c˜oes sobre esses vetores: (1) Soma: Se x e y s˜ao vetores de Rn, ent˜ao x = (x1, x2, ..., xn) e y = (y1, y2, ..., yn) e sua soma ´e definida por x + y = (x1, x2, ..., xn) + (y1, y2, ..., yn) = (x1 + y1, x2 + y2, ..., xn + yn). (1) Multiplica¸c˜ao por Escalar: Se x ∈ Rn e c ´e um escalar, ent˜ao x = (x1, x2, ..., xn) e a multiplica¸c˜ao escalar de c por x ´e definida por c x = c (x1, x2, ..., xn) = (c x1, c x2, ..., c xn). Da mesma forma como os espa¸cos vetoriais R2 e R3, os vetores de Rn com as opera¸c˜oes de soma e multiplica¸c˜ao por escalar definidas acima satisfazem as seguintes propriedades: (1) A soma ´e fechada em Rn: Se u e v s˜ao pertencem a Rn, ent˜ao u + v tamb´em pertence a Rn (2) A soma ´e comutativa: u + v = v + u (3) A soma ´e associativa: u + (v + w) = (u + v) + w (4) Existˆencia de elemento neutro com rela¸c˜ao `a soma: Existe um vetor 0 em Rn, chamado um vetor nulo ou vetor zero de Rn, tal que, para cada u em Rn, temos 0 + u = u + 0 = u. Esse vetor ´e 0 = (0, 0, ..., 0). (5) Existˆencia de sim´etrico com rela¸c˜ao `a soma: Para cada u em Rn, existe um vetor -u em Rn, chamado negativo de u (ou inverso aditivo de u), tal que u + (-u) = (-u) + u = 0. Se u = (x1, x2, ..., xn), ent˜ao -u = (−x1, −x2, ..., −xn) (6) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e fechada em Rn: Se k ´e um escalar e v ´e um vetor em Rn, ent˜ao kv ´e um vetor em Rn (7) A multiplica¸c˜ao por escalar ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de vetores: k(u + v) = ku + kv (8) A multiplica¸c˜ao de escalar por vetor ´e distributiva com rela¸c˜ao `a soma de escalares: (k + m)v = kv + mv (9) Podemos multiplicar primeiro os escalares: k(mu) = (km)u (10) O escalar 1 ´e neutro na multiplica¸c˜ao por escalar: 1u = u 5