P2 - Álgebra Linear 2013 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Turma: 20. periodo Nome: _-- Data: __/__/2013 Nota: _____-____ Prova de Algebra Linear (9 pontos) 1) (2 pontos) Seja M33 0 espaco vetorial de todas as matrizes reais de tamanho 3X3 com as operacdes usuais de soma e multiplicacao por escalar de matrizes. (a) Seja W o conjunto de todas as matrizes reais A de tamanho 3X3 tais que tr(A) = 0. Determine se W é subspaco de M33. (b) Determine se 7’: M33 + R definida por T(A) = tr(A) é uma transformacao linear. 2) (1 ponto) Expresse p(x) = 3+ 4x — 10x? como combinacaéo linear de 5 — x + x7, 7 +2? e 227. 3) (1 ponto) Quais dos seguintes conjuntos de vetores em R? sao linearmente independentes e quais deles geram R?? (a) (2, —1,3),(—4, 2, -6); (b) (2,4, —1),(1, 1,2),(3, 1, 4); (c) (3,1,1),(7, —3, 2),(1,3,5),(10, —1, 6). 4) Considere a base B = {v1,v2,v3} de R?, onde v, = (1,—1,1), ve = (2, 1,0) e v3 = (0,1,0). Seja T : R®? — R? 0 operador linear tal que T(v1) = (2, —1,4), T (v2) = (3, 0, 1) € T (v3) = (—1,5, 1). (a) (1 ponto) Encontre uma férmula para T(21, £2, 23). (b) (0,5 ponto) Use a formula para calcular T'(3, 1, 4). (c) (0,5 ponto) Qual é a matriz que representa essa transformacao com relacao a base canénica de R?? 5) (3 pontos) Responda os itens abaixo. (a) Encontre uma base do espaco solugao do sistema homogéneo a — 4% + 343 - aw = 0 221 _ 8X2 + 623 _ 224 = 0 (b) Seja T: R* — R? a transformacao linear determinada por T(x) = Az, onde A é a matriz do sistema linear do item (a). Determine o Niicleo de T e uma base para esse espaco vetorial. (c) Descreva a Imagem de T e determine sua dimensao. Obs: TODAS as questoes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1