P2 B - Álgebra Linear 2015 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista Jilio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciéncia e Tecnologia Professora: Liliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: ____-------------- Data: __/__/2015 Nota: _____--__- 2° Prova de Algebra Linear (10 pontos) 4 4 0 -2 1 0 0 0 3 2 0 1 . 0 21 5 0 2 0 0 -4 50 7 1) SeiamA=) 7 1 9 a fP=la 14 aor] 0 106] J 2 14 3 2 1 4 3 2-1 0 2 3 8 2 6 30 0 0 —l 2 10 -1 4 02 0 O 2 P=) 1 9 8 2/8 =}o0-1 0 f S°=] 34° 5 O 10 10 00 0 -2 —2 (a) (1 ponto) Calcule o determinante de A por expansao em cofatores. (b) (1 ponto) Calcule o determinante de A por redugao por linhas. (c) (1 ponto) Calcule os determinantes das matrizes B e C, D e E?. (c) (1 ponto) Calcule os determinantes das matrizes 2A e (A? A). (d) (0,5 ponto) A matriz A é invertivel? Justifique. (e) (0,5 ponto) A matriz AB é invertivel? Justifique. (f) (0,5 ponto) O que vocé pode dizer quanto ao nimero de solugées do sistema linear A? x = b? Caso o sistema tenha solucao, vocé pode determinar uma expressao para representar a(s) solugao(des) do sistema A’ x = b? (g) (0,5 ponto) O que vocé pode dizer quanto ao nimero de solugées do sistema linear ho- mogéneo A’x = 0? 2) Uma matriz quadrada A é anti-simétrica se A? = —A. _—7 (a) (0,5 ponto) Se A for anti-simétrica invertivel, A~1 também sera anti-simétrica? _— 7 (b) (1 ponto) Se A e B forem matrizes anti-simétricas de mesmo tamanho, prove que as matrizes A’, A+ B, A— Be kA também serao anti-simétricas, para qualquer escalar k. —2 1 —5 3) (1 ponto) Seja A = 3 —4 2 |. Construa uma matriz simétrica e uma matriz anti- “7 0 -1 3 simétrica a partir de A. 1 ~ . 4) (1,5 ponto) Seja N 0 conjunto de todas as matrizes 2 X 2 da forma i bh | com a adigao matricial e a multiplicacao matricial por escalar. Determine quais dos axiomas de espaco vetorial falham. Obs: TODAS as questoes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1