P3 - Álgebra Linear 2019 1

UNESP - Universidade Estadual Paulista J´ulio Mesquita Filho ICT - Instituto de Ciˆencia e Tecnologia Professora: L´ıliam Medeiros Curso: Engenharia Ambiental Nome: Data: / /2019 Nota: 3a Prova de ´Algebra Linear (10 pontos) 1) (1 ponto) Seja C =   0 2 4 3 1 −1 −3 0 2  . Seja A o conjunto de todas as matrizes A quadradas com coeficientes reais e de ordem 3 que satisfazem AC = CA. Determine se A ´e ou n˜ao subespa¸co de M33. 2) (4 pontos) Sejam p1(x) = 2x3 − x2 + 3, p2(x) = x2 + 1, p3(x) = −x3 + 2x2 + x e p4(x) = 3x3 − x2 + x + 5. Sendo S = {p1, p2, p3, p4}, responda as perguntas a seguir, justificando as respostas: (a) O conjunto S ´e linearmente dependente ou linearmente independente? (b) Qual ´e a dimens˜ao do espa¸co gerado por S? (c) Encontre uma base para ger(S). (d) S gera P3? S ´e uma base para P3? 3) (2 pontos) Sejam v1 = (−3, 4, 2), v2 = (0, 1, 2), v3 = (2, 1, 1) e v = (3, 5, 1). v ∈ ger{v1, v2, v3}? Caso a resposta seja afirmativa, expresse v como uma combina¸c˜ao linear de v1, v2 e v3. 4) Seja A =   −1 −2 −2 1 2 1 −1 −1 0  . (a) (1 ponto) Encontre a equa¸c˜ao caracter´ıstica de A. (b) (2 pontos) Encontre os autovalores de A, os autovetores associados e as bases dos seus auto-espa¸cos. Obs: TODAS as quest˜oes feitas nesta prova devem ser devidamente EXPLICADAS. 1