Slide - Autovalores e Autovetores 2021 2

Autovalores e Autovetores Seção 5.1 - Autovalores e Autovetores Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Definição. Se A é uma matriz nxn, então um vetor não nulo x Є Rn é chamado autovetor de A se A·x é um múltiplo escalar de x, ou seja, se A·x = λ·x para algum escalar λ. Neste caso, o escalar λ é chamado autovalor de A e dizemos que x é o autovetor associado a λ. Autovalores e Autovetores Exemplo (em R2). O vetor é um autovetor de correspondendo ao autovalor λ = 3, pois Ou seja, para , A·x = 3·x. Por outro lado, o vetor não é um autovetor de A, pois x = 1 2 A = 3 0 8 -1 A·x = 3 0 · 1 = 3 = 3 · 1 = 3·x 8 -1 2 6 2 x = 1 2 v = 3 4 A·v = 3 0 · 3 = 9 ≠ k·v 8 -1 4 20 Não é um múltiplo de v ! Sabemos que os autovalores λ de A e os autovetores x associados satisfazem: A·x = λ·x . (1) Como a matriz identidade I de tamanho nxn é neutra na multiplicação de matrizes, então podemos escrever a equação (1) como A·x = λ·I·x Como encontrar Autovalores de uma matriz nxn nx1 escalar nx1 nxn nx1 nx1 Sabemos que os autovalores λ de A e os autovetores x associados satisfazem: A·x = λ·x . (1) Como a matriz identidade I de tamanho nxn é neutra na multiplicação de matrizes, então podemos escrever a equação (1) como A·x = λ·I·x λ·I·x = A·x λ·I·x - A·x = 0 (λ·I - A)·x = 0 Como encontrar Autovalores de uma matriz nxn nx1 nx1 nx1 Sabemos que os autovalores λ de A e os autovetores x associados satisfazem: A·x = λ·x . (1) Como a matriz identidade I de tamanho nxn é neutra na multiplicação de matrizes, então podemos escrever a equação (1) como A·x = λ·I·x λ·I·x = A·x λ·I·x - A·x = 0 (λ·I - A)·x = 0 (2) Ou seja, os autovetores x da matriz A associados aos autovalores λ, são os vetores que são soluções não nulas do sistema linear homogêneo (2), cuja matriz do sistema é (λ·I - A). Como encontrar Autovalores de uma matriz (λ·I - A)·x = 0 (2) Ou seja, os autovetores x da matriz A associados aos autovalores λ, são os vetores que são soluções não nulas do sistema linear homogêneo (2), cuja matriz do sistema é (λ·I - A). Mas, para garantir que o sistema homogêneo (2) tenha solução não nula, é necessário que det(λ·I - A) = 0 (3) (3) determina uma equação na variável λ, chamada equação característica de A. Os escalares λ que satisfazem essa equação são os autovalores de A. Quando desenvolvido, o determinante det(λ·I-A) é um polinômio p(λ) = det(λ·I-A) = λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0. O polinômio p(λ) é chamado polinômio característico de A. Equação característica de A: det(λ·I - A) = 0 que é o mesmo que p(λ) = det(λ·I-A) = λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0 = 0, sendo p(λ) o polinômio característico de A. Pelo Teorema Fundamental da Álgebra, segue que a equação característica λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0 = 0 tem, no máximo, n soluções reais distintas (e exatamente n soluções complexas). Ou seja, a matriz A que é de tamanho nxn tem, no máximo, n autovalores reais distintos (e exatamente n autovalores complexos). 9 Seguir os passos: Passo 1. Calcular a matriz (λ·I-A). Passo 2. Calcular det(λ·I-A), que vai resultar no polinômio característico de A: p(λ) = det(λ·I-A) = λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0 Passo 3. Resolver a equação característica de A, cujas soluções são os autovalores λ‘s de A: λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0 = 0 Resumindo: Procedimento para encontrar os autovalores de uma matriz Exemplo. Encontre os autovalores de Solução. Temos que encontrar as soluções da equação característica det(λ·I-A) = 0. Para isso, vamos seguir os 3 passos. Passo 1. Calcular a matriz (λ·I-A): A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 λ·I-A = λ · 1 0 0 - 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 4 -17 8 = λ 0 0 - 0 1 0 = λ -1 0 0 λ 0 0 0 1 0 λ -1 0 0 λ 4 -17 8 -4 17 λ-8 λ·I-A Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 2. Calcular det(λ·I-A), que vai resultar no polinômio característico de A: = [λ·λ·(λ-8) + (-1)·(-1)·(-4) + 0·0·17] – [(-4)·λ·0 + 17·(-1)·λ + (λ-8)·0·(-1)] = [λ2·(λ-8) - 4] – [-17·λ] = λ3 - 8·λ2 - 4 + 17·λ = λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = p(λ) = polinômio característico de A A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 det(λ·I-A) = det λ -1 0 λ -1 0 λ -1 0 λ -4 17 λ-8 -4 17 Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 3. Resolver a equação característica de A, cujas soluções são os autovalores λ‘s de A: λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = 0 Obs. Tem um teorema na Álgebra que afirma que todas as soluções inteiras (se houverem) de uma equação polinomial λn + cn-1·λn-1 + ... + c2·λ2 + c1·λ + c0 = 0 com coeficientes cn-1, cn-2, ... , c2, c1, c0 inteiros, são divisores do termo constante c0. A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 3. Resolver a equação característica de A, cujas soluções são os autovalores λ‘s de A: λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = 0 Os divisores inteiros de c0 = -4 são: -4, 4, -2, 2, -1 e 1. Verificando se algum desses valores é raiz da equação característica: Se λ = -4: (-4)3 - 8·(-4)2 + 17·(-4) – 4 = -64 - 128 - 68 – 4 = - 264 ≠ 0 Logo, λ não pode ser -4. A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 3. Resolver a equação característica de A, cujas soluções são os autovalores λ‘s de A: λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = 0 Os divisores inteiros de c0 = -4 são: -4, 4, -2, 2, -1 e 1. Verificando se algum desses valores é raiz da equação característica: Se λ = 4: 43 - 8·42 + 17·4 – 4 = 64 - 128 + 68 – 4 = 0 Logo, λ = 4 é raiz da equação característica. Podemos testar os outros valores, mas vou aplicar uma divisão polinomial. A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 Exemplo. Encontre os autovalores de Continuação do Passo 3. Como λ = 4 é raiz da equação característica de A: λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = 0 então (λ-4) divide o polinômio característico: λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 λ - 4 -λ3 + 4·λ2 -4·λ2 + 17·λ - 4 +4·λ2 - 16·λ λ – 4 λ + 4 0 A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = (λ-4)·(λ2-4·λ+1) + 0 λ2 - 4·λ + 1 Exemplo. Encontre os autovalores de Continuação do Passo 3. Logo, λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = (λ-4)·(λ2-4·λ+1). Para descobrir as outras raízes da equação característica de A λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 = 0 , basta buscarmos as raízes de λ2-4·λ+1 = 0. Aplicando a fórmula de Bhaskara, descobrimos que as raízes de λ2-4·λ+1 = 0 são: 2 + 3 e 2 - 3 Como o polinômio característico p(λ) = λ3 - 8·λ2 + 17·λ – 4 tem grau 3, então ele tem no máximo 3 raízes reais, que já encontramos. Logo, os autovalores de A são λ1 = 4 , λ2 = 2+ 3 e λ3 = 2 - 3 . A = 0 1 0 0 0 1 4 -17 8 Obs. Apesar da matriz quadrada A ter coeficientes reais, pode acontecer de seus autovalores serem complexos. Exemplo. Encontre os autovalores de Solução. Temos que encontrar as soluções da equação característica det(λ·I-A) = 0. Passo 1. Calcular a matriz (λ·I-A): A = -2 -1 5 2 λ·I-A = λ · 1 0 - -2 -1 0 1 5 2 = λ 0 - -2 -1 = λ+2 1 0 λ 5 2 -5 λ-2 λ·I-A Obs. Apesar da matriz quadrada A ter coeficientes reais, pode acontecer de seus autovalores serem complexos. Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 2. Calcular det(λ·I-A), que vai resultar no polinômio característico de A: Ou seja, o polinômio característico de A é: p(λ) = λ2 + 1 Logo, a equação característica de A é: λ2 + 1 = 0 A = -2 -1 5 2 det(λ·I-A) = det λ+2 1 = (λ+2)(λ-2) – (-5) = λ2 - 4 + 5 = λ2 + 1 -5 λ-2 Obs. Apesar da matriz quadrada A ter coeficientes reais, pode acontecer de seus autovalores serem complexos. Exemplo. Encontre os autovalores de Passo 3. Resolver a equação característica de A, cujas soluções são os autovalores λ‘s de A: λ2 + 1 = 0 λ2 = -1 Essa equação não tem solução real, mas tem soluções complexas (os autovalores de A): λ1 = i e λ2 = -i , lembrando que i = −1 . Assim, A é uma matriz real com autovalores complexos. A = -2 -1 5 2