Slide - exemplos Espaços Vetoriais Arbitrários 2022 2

Espaços Vetoriais Arbitrários (Exemplos) Seção 4.1 - Espaços Vetoriais Reais Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. 2 Considere V = {0} com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. ✓ Somando dois elementos de V: 0 + 0 = 0 ✓ Multiplicando um escalar k por um elemento de V: k∙0 = 0 ✓ Os 10 axiomas de espaço vetorial são satisfeitos para V, e por isso (V, +, ∙) é um espaço vetorial. Exemplo: O Espaço Vetorial Nulo 3 Considere V = Rn com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar de Rn. Já vimos que (Rn, +, ∙) é um espaço vetorial porque satisfaz os 10 axiomas de espaços vetoriais. Exemplo: O Espaço Vetorial Rn Considere V como o conjunto de todas as sequências infinitas de números reais, ou seja, se u є V, então u = (u1 , u2 , u3 , ... , un , ...) , de forma que u1 , u2 , u3 , ... , un , ... são números reais. Definimos as operações de soma e multiplicação por escalar por: se u є V e v є V, então u = (u1 , u2 , u3 , ... , un , ...) e v = (v1, v2, v3, ..., vn, ...) e daí a soma de u com v é u + v = (u1 , u2 , u3 , ... , un , ...) + (v1, v2, v3, ..., vn, ...) = (u1+v1 , u2+v2 , u3+v3 , ..., un+vn , ...) e a multiplicação do escalar k por v é k∙v = k∙(v1, v2, v3, ..., vn, ...) = (k∙v1, k∙v2, k∙v3, ..., k∙vn, ...) . (R∞, +, ∙) é um espaço vetorial porque satisfaz os 10 axiomas de espaços vetoriais. Exemplo: O Espaço Vetorial R∞ 5 Seja M22 = o conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de tamanho 2x2, com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Já vimos no estudo das propriedades algébricas de matrizes que os 10 axiomas de espaços vetoriais valem para a soma de matrizes e multiplicação por escalar por matriz. Logo (M22 , + , ∙ ) é um espaço vetorial e daí podemos chamar as matrizes de tamanho 2x2 de “vetores”. Ex. O Espaço Vetorial M22 das matrizes 2x2 6 Seja Mmn = o conjunto de todas as matrizes com coeficientes reais de tamanho mxn , com as operações usuais de soma de matrizes e multiplicação por escalar. Já vimos no estudo das propriedades algébricas de matrizes que os 10 axiomas de espaços vetoriais valem para a soma de matrizes e multiplicação por escalar por matriz. Logo (Mmn , + , ∙ ) é um espaço vetorial e daí podemos chamar as matrizes de tamanho mxn de “vetores”. Ex. O Espaço Vetorial Mmn das matrizes mxn 7 Seja F = o conjunto de todas as funções reais f: RR . Definimos as seguintes operações de soma e multiplicação por escalar de funções: ▪ Soma: se f = f(x) e g = g(x), então a soma de f com g será uma nova função h = f+g definida por h(x) = (f+g)(x) = f(x) + g(x) ▪ Multiplicação por escalar: se f = f(x) e se k é um escalar, então a multiplicação de k por f é uma nova função s = kf definida por s(x) = (kf)(x) = k∙f(x). Por exemplo, se f(x) = -x2+sen(x) e g(x) = 3x2+ex, então a nova função f+g será definida pela seguinte fórmula: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = (-x2+sen(x)) + (3x2+ex) = 2x2+sen(x)+ ex E a nova função 3f será definida pela seguinte fórmula: (3f)(x) = 3∙f(x) = 3∙(-x2+sen(x)) = -3x2 + 3sen(x) Ex. O Espaço Vetorial F das Funções Reais O conjunto F munido das operações de soma e multiplicação por escalar definidos acima é um espaço vetorial, porque satisfaz os 10 axiomas de espaços vetoriais: 1)A soma é fechada em F, pois se f e g são funções de F, então como (f+g)(x) = f(x) + g(x) continua sendo uma função real, e logo (f+g) Є F. 2) A soma é comutativa, pois: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = g(x) + f(x) = (g+f)(x) Para cada x, f(x) e g(x) são números reais A soma de dois números reais é comutativa, logo f(x) + g(x) = g(x) + f(x) 3) A soma é associativa em F, pois se f, g e h são funções de F, então (f+(g+h))(x) = f(x) + (g+h)(x) = f(x) + (g(x) + h(x)) = (f(x) + g(x)) + h(x) = (f+g)(x) + h(x) = ((f+g)+h)(x) Para cada x, f(x), g(x) e h(x) são números reais, e nos reais a soma é associativa 4) Existe elemento neutro da soma em F, que é f(x) = 0, pois para qualquer g Є F, então: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = 0 + g(x) = g(x) e (g+f)(x) = g(x) + f(x) = g(x) + 0 = g(x) 5) Cada elemento de F possui inverso aditivo, pois se f Є F então considere g(x) = -f(x). Então: (f+g)(x) = f(x) + g(x) = f(x) + (-f(x)) = f(x) – f(x) = 0 = elemento neutro da soma Logo, neste conjunto F, o inverso aditivo de f é –f. 6) A multiplicação por escalar é fechada em F, pois se f Є F e se k for um escalar, então para cada x, (kf)(x) = k∙f(x) que é uma função real, e logo a função (kf) Є F. 7) A multiplicação por escalar é distributiva com relação à soma de funções de F, pois se k é um escalar e se f e g são funções de F, então (k(f+g))(x) = k∙((f+g)(x)) = k∙(f(x)+g(x)) = k∙f(x) + k∙g(x) = (kf)(x) + (kg)(x) Para cada x, f(x) e g(x) são números reais, então nos reais é verdadeiro que k∙(f(x)+g(x)) = k∙f(x) + k∙g(x) 8) A multiplicação por escalar por “vetor” é distributiva com relação à soma de escalares, pois se k e m são escalares e se f é uma função de F, então ((k+m)f)(x) = (k+m) ∙ f(x) = k∙f(x) + m∙f(x) = (kf)(x) + (mf)(x) Para cada x, f(x) é um número real, então nos reais essa distributividade é verdadeira. 9) A ordem da multiplicação por escalar com “vetores” de F não importa, pois se k e m são escalares e se f é uma função de F, então: ((k∙m)f)(x) = (k∙m) ∙ f(x) = k∙(m∙f(x)) = m∙(k∙f(x)) 10) O escalar 1 é neutro na multiplicação pelo “vetor” de F, pois se f Є F então: (1∙f)(x) = 1∙f(x) = f(x) . Como F com essas operações de soma e multiplicação por escalar definidas anteriormente satisfez os 10 axiomas de espaços vetoriais, então F é um espaço vetorial, e suas funções podem ser chamadas de vetores. 1 é um número real, e para cada x, f(x) é um número real. E 1 vezes qualquer número real, é o próprio número real. Para cada x, f(x) é um número real. Como k e m também são números reais, então aqui estamos multiplicando 3 números reais entre si, e nos reais não importa a ordem em que os números são multiplicados.