Slide - Testando o Espaço Gerado 2022 2

Testando o Espaço Gerado Seção 4.2 - Subespaços Álgebra linear com aplicações. Howard Anton e Chris Horres. 10ª ed., Porto Alegre: Editora Bookman, 2012. Exemplo. Determine se v1 = (1,1,2), v2 = (1,0,1) e v3 = (2,1,3) geram o espaço vetorial R3. Solução. Para que v1, v2 e v3 gerem R3, é necessário que todo vetor w = (a,b,c) de R3 seja uma combinação linear de v1, v2 e v3. Ou seja, é necessário que para todo w = (a,b,c) Є R3, existam escalares k1, k2 e k3 tais que w = k1·v1 + k2·v2 + k3·v3 (a,b,c) = k1·(1,1,2) + k2·(1,0,1) + k3·(2,1,3) (a,b,c) = (k1, k1, 2k1) + (k2, 0, k2) + (2k3,k3,3k3) (a,b,c) = (k1+k2+2k3, k1+k3, 2k1+k2+3k3) que corresponde ao sistema linear: k1 + k2 + 2k3 = a k1 + k3 = b 2k1 + k2 + 3k3 = c Ou seja, para que v1, v2 e v3 gerem R3, é necessário que independente do vetor w = (a,b,c) Є R3, o sistema linear k1 + k2 + 2k3 = a k1 + k3 = b 2k1 + k2 + 3k3 = c sempre tenha solução, independente dos valores de a, b e c. Observe que para este exemplo, A é quadrada, e lembrando que toda matriz quadrada tem um determinante que diz: 1 1 2 k1 a 1 0 1 ∙ k2 = b 2 1 3 k3 c forma matricial do sistema A O sistema linear A·k = B tem solução única O sistema linear A·k = B tem infinitas soluções ou não tem solução det(A) ≠ 0 det(A) = 0 k B = · v1 v2 v3 Ou seja, para que v1, v2 e v3 gerem R3, é necessário que independente do vetor w = (a,b,c) Є R3, o sistema linear k1 + k2 + 2k3 = a k1 + k3 = b 2k1 + k2 + 3k3 = c sempre tenha solução, independente dos valores de a, b e c. Observe que para este exemplo, A é quadrada, e lembrando que toda matriz quadrada tem um determinante que diz: 1 1 2 k1 a 1 0 1 ∙ k2 = b 2 1 3 k3 c forma matricial do sistema A Ou seja, se det(A) ≠ 0 temos a garantia de que o sistema linear A·k = B tem sempre solução, independente dos valores de B !!! det(A) ≠ 0 O sistema linear A·k = B tem solução única B = · k Ou seja, para que v1, v2 e v3 gerem R3, é necessário que independente do vetor w = (a,b,c) Є R3, o sistema linear k1 + k2 + 2k3 = a k1 + k3 = b 2k1 + k2 + 3k3 = c sempre tenha solução, independente dos valores de a, b e c. Calculando o determinante de A, podemos ver que det(A) = 0, o que significa que dependendo dos valores de a, b e c, pode ser que o sistema tenha solução (no caso, infinitas soluções) ou pode ser que o sistema não tenha solução. Logo, os vetores v1, v2 e v3 não geram R3. 1 1 2 k1 a 1 0 1 ∙ k2 = b 2 1 3 k3 c forma matricial do sistema A B = · k Obs. Observe que no exemplo anterior, para verificar que os 3 vetores v1, v2 e v3 geravam ou não o espaço vetorial R3 começamos construindo uma combinação linear e chegamos num sistema linear. Como a matriz do sistema foi quadrada, pudemos fazer uso da ferramenta “determinante” para nos responder quanto ao número de soluções do sistema independente dos valores de a, b e c (que são as componentes do vetor genérico w), e responder à pergunta do exercício. No caso da matriz do sistema não ser quadrada, não podemos usar a ferramenta “determinante” e neste caso: nos resta resolver o sistema linear aplicando operações elementares para a matriz aumentada chegar na forma escalonada ou escalonada reduzida por linhas e verificar se há garantia do sistema linear tem sempre solução, independente dos valores de w.