Exercícios - Equações Diferenciais Parciais 2022-2

3.4. Considere a função constante f(x) = π/4 sobre o intervalo 0 ≤ x ≤ π. (a) Mostre que série de senos de f é π/4 = sen x + sen 3x/3 + sen 5x/5 + ⋯ (0 < x < π). (b) Que soma é obtida pondo-se x = π/2 na expansão acima? (c) Qual é a série de cossenos de f? RESPOSTA DA QUESTAO 3.4 (b e c) 3.4. (b) 1 - 1/3 + 1/5 - ⋯ = π/4 (c) π/4 4.2. Ache a expansão de Fourier da função f(x) = |x| (-2 ≤ x ≤ 2). (Introduza a variável t e use o Exemplo 3.4.) RESPOSTA DA QUESTAO 4.2 4.2. 1 - \frac{8}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} \cos(2n-1)\frac{\pi x}{2} 4.8. Considere os polinômios de Bernoulli, definidos na Eq. (4.6). Mostre o seguinte: (a) B_n(x) é um polinômio de grau n e B_n(x) = \binom{n}{0} B_0 x^n + \binom{n}{1} B_1 x^{n-1} + \binom{n}{2} B_2 x^{n-2} + \cdots + \binom{n}{n-1} B_{n-1} x + \binom{n}{n} B_n; (b) B_n(0) = B_n para todo n \geq 0 e B_n(1) = B_n para todo n \geq 2; (c) B'_{n+1}(x) = (n+1)B_n(x), logo B_{n+1}(x) = B_{n+1} + (n+1) \int^x_0 B_n(t) \, dt e, para n \geq 1, \int^1_0 B_n(x) \, dx = 0; (d) os primeiros quatro polinômios de Bernoulli são B_0(x) = 1, B_1(x) = x - \frac{1}{2}, B_2(x) = x^2 - x + \frac{1}{6}, B_3(x) = x^3 - \frac{3}{2}x^2 + \frac{1}{2}x, B_4(x) = x^4 - 2x^3 + x^2 - \frac{1}{30}. 3 4 la f a Ig O E R E IT L H no serie de seines an o e bn z foes sen nay de bn z seminar da iz fosse I l cogtn In l C is y o n pan I n impar entao Sf a II bn sen na sense t sente t Senga Como f é continua em 10 t segue que I Senat smfh Senja t Or as it b sea I I If at senator a I seu anti E É seu E n't If I Sen 2 cos 4 sennit cos s I C it É Eng t i t t t E c a serie em cossenos satisfy bn o Ao E f flat da an E L fuel cos nite da ao ft da 41 I an I 1 I cosine da I sense I In Sen H Sexo o o o Stores of IF an cosines I 42 f la bet 1 252 2 L 2 f e por a expansas e em cossenos bn to an I fiascos nite da ao z fans da ao a da E 2 an In cos nay da ten asen nz Isen nz da swings o Ya cos nz net cosknit cost I 11 In ti 1 f o n par 2,2 i n impar entao steal as IF an cos nay steal 1 I II E cos Ent 46 1a It É th Ein t progto acanay IF E BE EI th o E E Bn la Etype Bu an Ej na Bean u na 1 Be sent 1 B an t a bn b Bn lol h Bn 1 Bn Bn pais o vinico terms independente de a e y Bn 8 Bn n Bn na 2 no h'm do PDF c Bnt let Ej ng Bu anti h Bni tael É Effigy anti e be an É I man htt É Iggy Burn Cnn Bn a Brian H dt Built Bansal Brit Co Britt Cnn Bn A It Bnt Ca Bnt na Butt at Ca Se n 27 ht 722 e Bnt 1 Bn Eutao Lomandose I een x Brit l Bf Bf nti Bn t dt I Bn t at o le Bo Cal g Bo Bo l s Bilal Beat B Boat B a 1 E Belal boat Bin HE f 2 22 22 a I Babel You t Be a't 1,22 A t 3 23 3222the Balm M L Wan't M a 4 Be 141,1 4 4 I 24 223 22 31 8 Se n e impar 1 e passive mostron que Br e o Prova t Einen e TEI IEEE t.EE segue que EI Bayt É Baeten Bn 1 x 1 n Bn lat N o Bn4 C 1 n Bn o f i Bo se ne impon Bn i Se n é par, B_n(1) = (-1)^n B_n(0) = B_n como 1 = 1 portanto B_n(1) = B_n \forall n \geq 2.