Exercício - Equações Diferenciais Parciais 2021 2

2.4. (a) Mostre que a série de Fourier da função periódica f definida por \( f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \text{se } -\pi \leq x < 0, \\ x^2, & \text{se } 0 \leq x < \pi \end{array} \right. \) é \[ \frac{\pi^2}{6} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2} + \pi \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin nx}{n} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin{(2n-1)x}}{(2n-1)^3}. \] (b) Esboce o gráfico da soma da série acima no intervalo \(-5\pi \leq x \leq 5\pi\). (c) Considerando o comportamento da série nos pontos \(x = 0\) e \(x = \pi\), obtenha as somas \[ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{12} \] e \[ 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}. \] (d) No item anterior, deduza a segunda soma da primeira. (Sugestão. Some \(2 \sum (1/2n)^2\) a ambos os lados.)