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Engenharia de Controle e Automação ·
Equações Diferenciais
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Exemplo A função f(x) = x, com x ∈ [0, 1] pode ser expandida em funções de Bessel do seguinte modo: f(x) = ∑_{n=1}^{∞} C_n * J_0(λ_n * x) com C_n = \frac{2}{[J_1(λ_n )]^2} \int_0^1 x * f(x) * J_0 (λ_n * x) dx / \int_0^1 x * [J_k(λ_n * x)]^2 dx e sendo λ_n o enésimo zero (positivo) da função J_k(x), que é a função de Bessel de primeiro tipo de ordem k. Para o caso particular em que k = 0, estão sendo con- sideradas apenas a função de Bessel de primeiro tipo e de ordem zero. Se o somatório for truncado nos cinco primeiros termos da série, é preciso conhecer os cinco primeiros zeros da função J_{0}(x): | n | λ_n | |---|------| | 1 | 2.404826 | | 2 | 5.520078 | | 3 | 8.653728 | | 4 | 11.791534| | 5 | 14.930918| Para cada um dos cinco termos iniciais é preciso deter- minar C_n: | | | |---|------| | 1 | 0.817455 | | 2 | 1.133488 | | 3 | 0.798285 | | 4 | 0.747008 | | 5 | 0.631543 | Por fim, faz-se a soma: f(x) = ∑_{n=1}^{∞} C_n * J_0(λ_n * x) = C_1 * J_0(λ_1 * x) + C_2 * J_0(λ_2 * x) + C_3 * J_0(λ_3 * x) + C_4 * J_0(λ_4 * x)+ C_5 * J_0(λ_5 * x) Utilizando a ferramenta WolframAlpha, os quatro pri- meiros zeros foram encontrados pelo comando roots besselJ(0, x) e o quinto zero através do comando NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, x,14], 8] E para determinar o valor da constante C_n, tomando n = 5 foi usado o comando (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x^2 *(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) A soma dos cinco termos iniciais da série é feita pelo comando 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x) e o gráfico dessa soma no intervalo x ∉[0,1] obtém-se com o comando plot( 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x), x=0 to 1) Pode-se também desenhar ao mesmo tempo os gráficos da soma parcial e da função f(x) com o comando plot( 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x), x, x=0 to 1) sendo gerada esta figura: Questão 1. Seja M o maior algarismo do seu número de matrícula e seja U o último algarismo da matrícula. Considere que k = \begin{cases} 1, & \text{se M é ímpar} \\ 2, & \text{se M é par} \end{cases} e f(x) = \begin{cases} 1 - 2 * x, \text{se U = 0} \cos(π * x), \text{se U = 1} \\ \sin(π * x), \text{se U = 2} \\ 2 * \cos(π * x), \text{se U = 3} \\ x * \sin(π * x), \text{se U = 4} \\ (cos(π * x))^2, \text{se U = 5} \\ 1/(x - 2), \text{se U = 6} \\ 1/(x + 2), \text{se U = 7} \\ e^{-1}, \text{se U = 8} \\ 1 - e^{-x}, \text{se U = 9} \end{cases} Calcule, para a função f(x) correspondente ao seu número de matrícula, a expansão em funções de Bes- sel de ordem k apropriada e desenhe ao mesmo tempo os dois gráficos: f(x) e a expansão truncada aos cinco termos iniciais. A resposta precisar conter uma imagem da tela do com- putador (ou celular) mostrando a ferramenta Wolfra- mAlpha gerando a figura pedida e todo o comando uti- lizado para gerá-la. 06/12/2023, 07:58 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x) Derivative Step-by-step solution Indefinite integral ∫(0.817455 * J_0(2.404826 x) - 1.133488 * J_0(5.520078 x) + 0.798285 * J_0(8.653728 x) - 0.747008 * J_0(11.7915 x) + 0.631543 * J_0(14.930918 x) ) dx = -1.95684 J_0(2.40483 x) + 6.25694 J_0(5.52008 x) - 6.90814 J_0(8.65373 x) + 8.80837 J_0(11.7915 x) - 9.42952 J_0(14.9309 x)+ 1.13349 F_{2, 1; 1.5; 1.5; -2.71628 x} + 0.798285 F_{2, 0.5; 1.5; 1.5; -18.7218 x}- 2/(0.817455 F_{2; 0.5, 1.5; -1.45582 x}) + constant pF_{q(a_1, ..., a_p; b_1, ..., b_q; z) is the generalized hypergeometric function Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Have a question about using WolframAlpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » https://www.wolframalpha.com/input?i=0.817455++besselj%280%2C+2.404826*%29++1.133488++besselj%280%2C+5.... 06/12/2023, 07:58 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*… https://www.wolframalpha.com/input?i=0.817455+*+besselj%280%2C+2.404826*x%29+-+1.133488+*+besselj%280%2C+5.… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Input interpretation Plots Alternate form Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besse NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 11:39 (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) - Wolfra… https://www.wolframalpha.com/input?i=%28int+x%5E2+*+besselj%280%2C++14.930918*x%29+dx%2C+x%3D0+to+1%29… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Related Queries: calories burned while s… BesselJ zeros d^n/dx^n Jn(x) polar plot r = besselj(2,… d^n/dx^n besselK(n,x) Have a question about using Wolfram|Alpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Input interpretation Result Computation result Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to NATURAL LANGUAGE MATH INPUT Enlarge Data Customize Plain Text UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 11:39 (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) - Wolfra… https://www.wolframalpha.com/input?i=%28int+x%5E2+*+besselj%280%2C++14.930918*x%29+dx%2C+x%3D0+to+1%29… 2/2 Pro Mobile Apps Products Business API & Developer Solutions LLM Solutions Resources & Tools About Contact Connect ©2023 Wolfram Alpha LLC Terms Privacy wolfram.com Wolfram Language Mathematica Wolfram Demonstrations Wolfram for Education MathWorld 06/12/2023, 07:56 NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=NumberForm%5BFindRoot%5BBesselJ%5B0%2C+x%5D+%3D%3D+0%2C+%7Bx%2C1… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Related Queries: Bessel function calcula… d^n/dx^n besselI(n,x) Bessel functions BesselJ(1000,1000) to… integral representation… Have a question about using Wolfram|Alpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Input Result Pro Mobile Apps Products Business API & Developer Solutions LLM Solutions Resources & Tools About Contact Connect ©2023 Wolfram Alpha LLC Terms Privacy Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 07:56 NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=NumberForm%5BFindRoot%5BBesselJ%5B0%2C+x%5D+%3D%3D+0%2C+%7Bx%2C1… 2/2 wolfram.com Wolfram Language Mathematica Wolfram Demonstrations Wolfram for Education MathWorld 06/12/2023, 07:55 roots besselj(0,x)} - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=roots+besselj%280%2Cx%29%7D 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Input interpretation Result Root plot Numerical solutions More digits Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now roots besselj(0,x)} NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 07:55 roots besselj(0,x)} - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=roots+besselj%280%2Cx%29%7D 2/2 Related Queries: example integrals Bes… continued fraction iden… curvature of BesselJ(2,… Bessel functions integral representation… Have a question about using Wolfram|Alpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Number line Pro Mobile Apps Products Business API & Developer Solutions LLM Solutions Resources & Tools About Contact Connect ©2023 Wolfram Alpha LLC Terms Privacy wolfram.com Wolfram Language Mathematica Wolfram Demonstrations Wolfram for Education MathWorld
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Exemplo A função f(x) = x, com x ∈ [0, 1] pode ser expandida em funções de Bessel do seguinte modo: f(x) = ∑_{n=1}^{∞} C_n * J_0(λ_n * x) com C_n = \frac{2}{[J_1(λ_n )]^2} \int_0^1 x * f(x) * J_0 (λ_n * x) dx / \int_0^1 x * [J_k(λ_n * x)]^2 dx e sendo λ_n o enésimo zero (positivo) da função J_k(x), que é a função de Bessel de primeiro tipo de ordem k. Para o caso particular em que k = 0, estão sendo con- sideradas apenas a função de Bessel de primeiro tipo e de ordem zero. Se o somatório for truncado nos cinco primeiros termos da série, é preciso conhecer os cinco primeiros zeros da função J_{0}(x): | n | λ_n | |---|------| | 1 | 2.404826 | | 2 | 5.520078 | | 3 | 8.653728 | | 4 | 11.791534| | 5 | 14.930918| Para cada um dos cinco termos iniciais é preciso deter- minar C_n: | | | |---|------| | 1 | 0.817455 | | 2 | 1.133488 | | 3 | 0.798285 | | 4 | 0.747008 | | 5 | 0.631543 | Por fim, faz-se a soma: f(x) = ∑_{n=1}^{∞} C_n * J_0(λ_n * x) = C_1 * J_0(λ_1 * x) + C_2 * J_0(λ_2 * x) + C_3 * J_0(λ_3 * x) + C_4 * J_0(λ_4 * x)+ C_5 * J_0(λ_5 * x) Utilizando a ferramenta WolframAlpha, os quatro pri- meiros zeros foram encontrados pelo comando roots besselJ(0, x) e o quinto zero através do comando NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, x,14], 8] E para determinar o valor da constante C_n, tomando n = 5 foi usado o comando (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x^2 *(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) A soma dos cinco termos iniciais da série é feita pelo comando 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x) e o gráfico dessa soma no intervalo x ∉[0,1] obtém-se com o comando plot( 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x), x=0 to 1) Pode-se também desenhar ao mesmo tempo os gráficos da soma parcial e da função f(x) com o comando plot( 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x), x, x=0 to 1) sendo gerada esta figura: Questão 1. Seja M o maior algarismo do seu número de matrícula e seja U o último algarismo da matrícula. Considere que k = \begin{cases} 1, & \text{se M é ímpar} \\ 2, & \text{se M é par} \end{cases} e f(x) = \begin{cases} 1 - 2 * x, \text{se U = 0} \cos(π * x), \text{se U = 1} \\ \sin(π * x), \text{se U = 2} \\ 2 * \cos(π * x), \text{se U = 3} \\ x * \sin(π * x), \text{se U = 4} \\ (cos(π * x))^2, \text{se U = 5} \\ 1/(x - 2), \text{se U = 6} \\ 1/(x + 2), \text{se U = 7} \\ e^{-1}, \text{se U = 8} \\ 1 - e^{-x}, \text{se U = 9} \end{cases} Calcule, para a função f(x) correspondente ao seu número de matrícula, a expansão em funções de Bes- sel de ordem k apropriada e desenhe ao mesmo tempo os dois gráficos: f(x) e a expansão truncada aos cinco termos iniciais. A resposta precisar conter uma imagem da tela do com- putador (ou celular) mostrando a ferramenta Wolfra- mAlpha gerando a figura pedida e todo o comando uti- lizado para gerá-la. 06/12/2023, 07:58 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*x) - 0.747008 * besselj(0, 11.791534*x) + 0.631543 * besselj(0, 14.930918*x) Derivative Step-by-step solution Indefinite integral ∫(0.817455 * J_0(2.404826 x) - 1.133488 * J_0(5.520078 x) + 0.798285 * J_0(8.653728 x) - 0.747008 * J_0(11.7915 x) + 0.631543 * J_0(14.930918 x) ) dx = -1.95684 J_0(2.40483 x) + 6.25694 J_0(5.52008 x) - 6.90814 J_0(8.65373 x) + 8.80837 J_0(11.7915 x) - 9.42952 J_0(14.9309 x)+ 1.13349 F_{2, 1; 1.5; 1.5; -2.71628 x} + 0.798285 F_{2, 0.5; 1.5; 1.5; -18.7218 x}- 2/(0.817455 F_{2; 0.5, 1.5; -1.45582 x}) + constant pF_{q(a_1, ..., a_p; b_1, ..., b_q; z) is the generalized hypergeometric function Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Have a question about using WolframAlpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » https://www.wolframalpha.com/input?i=0.817455++besselj%280%2C+2.404826*%29++1.133488++besselj%280%2C+5.... 06/12/2023, 07:58 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besselj(0, 8.653728*… https://www.wolframalpha.com/input?i=0.817455+*+besselj%280%2C+2.404826*x%29+-+1.133488+*+besselj%280%2C+5.… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Input interpretation Plots Alternate form Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now 0.817455 * besselj(0, 2.404826*x) - 1.133488 * besselj(0, 5.520078*x) + 0.798285 * besse NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 11:39 (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) - Wolfra… https://www.wolframalpha.com/input?i=%28int+x%5E2+*+besselj%280%2C++14.930918*x%29+dx%2C+x%3D0+to+1%29… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Related Queries: calories burned while s… BesselJ zeros d^n/dx^n Jn(x) polar plot r = besselj(2,… d^n/dx^n besselK(n,x) Have a question about using Wolfram|Alpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Input interpretation Result Computation result Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to NATURAL LANGUAGE MATH INPUT Enlarge Data Customize Plain Text UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 11:39 (int x^2 * besselj(0, 14.930918*x) dx, x=0 to 1)/(int x*(besselj(0, 14.930918*x))^2 dx, x=0 to 1) - Wolfra… https://www.wolframalpha.com/input?i=%28int+x%5E2+*+besselj%280%2C++14.930918*x%29+dx%2C+x%3D0+to+1%29… 2/2 Pro Mobile Apps Products Business API & Developer Solutions LLM Solutions Resources & Tools About Contact Connect ©2023 Wolfram Alpha LLC Terms Privacy wolfram.com Wolfram Language Mathematica Wolfram Demonstrations Wolfram for Education MathWorld 06/12/2023, 07:56 NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=NumberForm%5BFindRoot%5BBesselJ%5B0%2C+x%5D+%3D%3D+0%2C+%7Bx%2C1… 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Related Queries: Bessel function calcula… d^n/dx^n besselI(n,x) Bessel functions BesselJ(1000,1000) to… integral representation… Have a question about using Wolfram|Alpha? Contact Pro Premium Expert Support » Give us your feedback » Download Page POWERED BY THE WOLFRAM LANGUAGE Input Result Pro Mobile Apps Products Business API & Developer Solutions LLM Solutions Resources & Tools About Contact Connect ©2023 Wolfram Alpha LLC Terms Privacy Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 07:56 NumberForm[FindRoot[BesselJ[0, x] == 0, {x,14}],8] - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=NumberForm%5BFindRoot%5BBesselJ%5B0%2C+x%5D+%3D%3D+0%2C+%7Bx%2C1… 2/2 wolfram.com Wolfram Language Mathematica Wolfram Demonstrations Wolfram for Education MathWorld 06/12/2023, 07:55 roots besselj(0,x)} - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=roots+besselj%280%2Cx%29%7D 1/2 EXTENDED KEYBOARD EXAMPLES UPLOAD RANDOM Input interpretation Result Root plot Numerical solutions More digits Step-by-Step Solutions with Pro Get a step ahead with your homework Go Pro Now roots besselj(0,x)} NATURAL LANGUAGE MATH INPUT UPGRADE TO PRO APPS TOUR Sign in 06/12/2023, 07:55 roots besselj(0,x)} - Wolfram|Alpha https://www.wolframalpha.com/input?i=roots+besselj%280%2Cx%29%7D 2/2 Related Queries: example integrals Bes… continued fraction iden… curvature of BesselJ(2,… Bessel functions integral representation… Have a question about using Wolfram|Alpha? 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