Exercícios - Séries de Fourier 2023 1

1.5. Ache a série de Fourier da função f definida por f(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } -\pi \leq x < 0, \\ 1, & \text{se } 0 \leq x \leq \pi/2, \\ 0, & \text{se } \pi/2 < x \leq \pi. \end{cases} 1.5. \frac{1}{4} + \frac{1}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1} \cos(2n-1)x + \sin(2n-1)x + \sin 2(2n-1)x}{2n-1} Qual é a série de Fourier de f? 1.8. Ache a série de Fourier da função f definida por f(x) = \begin{cases} -a, & \text{se } -\pi \leq x < 0, \\ a, & \text{se } 0 \leq x \leq \pi. \end{cases} Considere o caso particular a = \pi/4 e compare com (1.14). 1.8 \frac{4a}{\pi} \left( \sin x + \frac{\sin 3x}{3} + \frac{\sin 5x}{5} + \ldots \right) 2.4. (a) Mostre que a série de Fourier da função periódica f definida por f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0, & \text{se} \ -\pi \leq x < 0, \\ x^2, & \text{se} \ 0 \leq x < \pi, \end{array} \right. é \frac{\pi^2}{6} + 2 \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{\cos nx}{n^2} + \pi \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{\sin nx}{n} - \frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2n-1)x}{(2n-1)^3}. (b) Esboce o gráfico da soma da série acima no intervalo -5\pi \leq x \leq 5\pi. (c) Considerando o comportamento da série nos pontos x = 0 e x = \pi, obtenha as somas 1 - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{12} e 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots = \frac{\pi^2}{6}. (d) No item anterior, deduza a segunda soma da primeira. (Sugestão. Some 2 \sum (1/2n)^2 a ambos os lados.) 1 5 flat Mo TEK ro l O E KE MZ O IT 2 SA F IT I a fif'm on I tan f an I 1 fiascos mtg da I cos nai da sinning E singed E.FI n a n ans O n par bn f 1 feel sin nye da f sininasan Leni lcosfnth 4 life n 2k k 112 why n 2k 1 k o e Sf la q t É am cos that bn sin nut mole que bn o se n 2k he par n 4k k 1,2 bn Ey se n 2k K imper n 4K 2 4 1,2 n 2 ze e 1 1,3 k Ze i n 41 2 l 1,2 bn l 1,2 portanto Stian E E qq.it coskan na t.fi at sincean isa t If I sin can c a St Cat I I IF Icosynyutsincun in iSin 2C2 x 1 8 f la 4 9 IT E ar o a O E d f it IT note que f é imper an o n o e entao bn I flat sin inal da I a sin inside ten cosine Zay cos hit 1 2g l c n n f 4g n impan O n por Sf a q É an costa bn sin na Steel If If singha 4g sina sing sing t se a i steal É singing 2 4 I a feel a 4 o it e a so 22 O E a s it ao f 1 a da I an I a cos na da't't aging I I zaninal day n It M f site I faced It costs an f tosh t sing I ft c n't lo o bn f f a sin na de I I l accosted It I secos inai da It fittest In using I I sings da I f raff In itsy o cosine 1 I fam 2 se n forimpar h 2k 7 K 1 2 Sf Cal I 2 If It cos chat t.fi t sin inat b Como St la converge pl f on de f e continue e pl flatfeet once f é des continuo o grafico de Sf e t A Sino o cos o I c em n o Sf107 fie o I 2 Ijf to ic I i t t t 1 It ft I em a IT Steal Azt I If 2 É Igt to I I 2 Ei Ci 15 25 1 É I It ft ft t I (d) \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} Note que \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \ldots = \frac{1}{2^2 \cdot 1^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 2^2} + \frac{1}{2^2 \cdot 3^2} + \ldots = \frac{1}{4} \left( 1+ \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots \right), isto é, \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{1}{4} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{1}{4} S então, como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n^2} = \frac{\pi^2}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} = \frac{\pi^2}{12} => \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} = \frac{\pi^2}{12} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} + \frac{1}{4} S Como \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n-1)^2} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2n)^2} => S = \left( \frac{\pi^2}{12} + \frac{S}{4} \right) + \frac{S}{4} => \frac{\pi^2}{12} = S - \frac{S}{2} = \frac{S}{2} Portanto, S = \frac{\pi^2}{6} = 1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \ldots