Questões - Autovalores e Problema da Corda Vibrante - 2023-1

7.1. Ache os autovalores e autofunções da equação y'' + λy = 0 para cada uma das seguintes condições de contorno: (b) y(0) = 0, y(2π) = 0; (d) y(0) = 0, y(L) = 0 (aqui, L > 0); (e) y(-L) = 0, y(L) = 0 (aqui, L > 0); 7.2. Resolva o problema da corda vibrante do texto quando o formato inicial y(x, 0) = f(x) é igual a cada uma das seguintes funções: (a) f(x) = \left\{\begin{array}{ll}2cx/\pi, & 0 \leq x \leq \pi/2, \\2c(\pi - x)/\pi, & \pi/2 < x \leq \pi;\end{array}\right. (b) f(x) = \left\{\begin{array}{ll}x, & 0 \leq x \leq \pi/4, \\ \pi/4, & \pi/4 < x \leq 3\pi/4, \\ \pi - x, & 3\pi/4 < x \leq \pi.\end{array}\right. Em cada caso, esboce o formato inicial da corda. 8.2. Se a barra fina discutida no texto, em vez de ter as temperaturas de suas extremidades mantidas iguais a 0 [condição (I)], tiver suas extremidades isoladas (digamos, em x = 0 e x = π) então quais serão as novas condições de contorno? Se a distribuição inicial de temperatura for w(x, 0) = f(x), mostre que a solução será w(x, t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n e^{-n^2a^2t} \cos nx, \quad \text{onde} \quad a_n = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} f(x) \cos nx \, dx \quad (n = 0, 1, 2, \ldots). Quando f(x) é constante, que nos diz o senso comum sobre a solução? Isto é compatível com a fórmula acima? y(x) = c_2 \sen (\sqrt{\lambda} \, x) \gamma (a) \neq 0 c_2 \sen (\sqrt{\lambda} \, \pi L) = 0 \sqrt{\lambda} \, 2\pi = n \pi \sqrt{\lambda} = n \lambda = \frac{n^2}{4} logo: y(x) = \sen \left( \frac{\sqrt{\lambda_n} \, x} \right); \lambda = \frac{n^2}{4} d)\; y(0) = 0; y(L) = 0; L > 0, je \; sabemos\; que r = \frac{\pm \sqrt{\Delta}}{2} \pm \sqrt{-\lambda} O 1^o\; caso \, para \; \Delta = 0, continuo \; resultando \, em r = 0.\, A \; solucao: y(x) = (c_1 + c_2 \; x)e^{rx} y(x) = c_1 + c_2 \; x\ \text{\bm{Condições \; de \;contorno: }} y(0) = 0 c_1 = 0 y(L) = 0 c_2L= 0 c_2=0: \text{\bm{solução trivial}} 2^o \; caso: \Delta > 0; r = \pm \sqrt{-\lambda} y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} y(x) = c_1 e^{-\sqrt{-\lambda} x} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda} x}\text{Condições \; de \;contorno:} y(0) = 0 c_1 + c_2 = 0 c_1 = -c_2 y(L) = 0 c_1 e^{-\sqrt{-\lambda} L} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda} L} = 0,\que \;só \, é \, válido \, para \, o \, valor h > 0,\resultando \, em \, \text{solução \, \bm{trivial}}. 3^o \; caso: \Delta < 0; \, r_1 = i \left( \sqrt {\lambda} \right) \quad r_2 = - i \left( \sqrt {\lambda} \right)\ y(x) = c_1 \cos (\sqrt{\lambda} x) + c_2 \sen (\sqrt{\lambda} x)\text{Condições \; de \;contorno:} y(0) = 0 c_1 \cos(0) + c_2 \sen (0)=0 c_1 \neq 0 y(x) = c_2 \sen (\sqrt{\lambda x}) y(L) = 0 c_2 \sen (\sqrt{\lambda L}) = 0 \frac {\sqrt{\lambda}}{L} = \frac{\pi}{\pi} \lambda = \left( \frac{\pi}{L} \right) ^2 y(x) = \sen (\sqrt{\lambda_n} x), \lambda_n = \left( \frac {n\pi}{L} \right) ^2 e)\;y(-L)=0;y(L)=0;L>0. r = \pm \sqrt{-\lambda} 1^o\; caso: \Delta =0;\gamma = 0;\y(x) = (c_1 + c_2 x)e^{rx}\y(x) = c_1 + c_2 x\text{Condições \; de \;contorno:} y(-h)= c_1+c_2 L = 0 ; c_1= -c_2 h y(h)= c_1+ c_2 L = 0. c_2 L + c_2 L = 0\c_2 L= 0 c_2= 0\c_1= +c_2L= 0; \text{Solução trivial.} 5^o\; caso: \Delta > 0; r = \pm \sqrt{-\lambda} y(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2x} = c_1 e^{-\sqrt{-\lambda} x} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda} x} y(-h)= c_1 e^{-\sqrt{-\lambda} L} + c_2 e^{-\sqrt{-\lambda} L} = 0 \text{Esse \; valor \, válido \, para \,c}_1,\text {c}_2 = 0 3° caso: Δ < 0: r1,2 = i√λ ̅ ; r2 = -i√λ ̅ y(x) = c1 cos(√2λ ̅ x) + c2 sen(√2λ ̅ x) Das condições de contorno: y(-L) = 0; y(L) = 0 c1 cos(-L√λ ̅ ) + c2 sen(-L√λ ̅ ) = 0 c1 cos(L√λ ̅ ) + c2 sen(L√λ ̅ ) = 0 c1 cos(L√λ ̅ ) - c2 sen(L√λ ̅ ) = 0 = c1 cos(L√λ ̅ ) + c2 sen(L√λ ̅ ) = 0 c1 cos(L√λ ̅ ) = c2 sen(L√λ ̅ ) L√λ ̅ = π/4 . n λ = (nπ/4L)² y(x) = cos(L√λ ̅ n) + sen(L√λ ̅ n) ; λn = (nπ/4L)² 7.2 Resolva o problema da corda vibrante do tambor quando no formato inicial y(x, 0) os iguais a cada uma das seguintes funções: a) f(x) = { 2cx/π ; 0 ≤ x < π/2, 2c (π - x) / π ; π/2 ≤ x ≤ π. A solução é da forma y(x, t) = ∑_(n=1)^∞bn ven(n x) cos (nαt) , Venonde b_n = 2/π ∫_0^π f(x) sen(n x) dx b_n = 2/π ∫_0^π ∫π/2 2c(x/π) sen(n x) dx + 2/π ∫π/2^π 2c (π-x)/π sen(nx) dx b_n = 4/π² c ∫_0^π/2 x sen(n x) dx + 4/π² c ∫_π/2^π sen(nx) dx - 4c/π² ∫_π/2^π x sen(nx) dx. b_n = 4c/π² [2 sen(nπ/2) - n π cos(nπ/2) ] + 2/πn² [ - 4c/π² (cos(nπ) + cos(nπ/2) b_n = {0 ; n ímpar ; -4c/πn² ; n par Logo, y(x, t) = 4c/π ∑_(n=1)^∞ (-1)ⁿ + 2/n² ven(2n x) cos(2n α t) 7.2 b) f(x) = { x ; 0 ≤ x ≤ π/4 π/4 ; π/4 ≤ x ≤ 3π/4 π - x ; 3π/4 ≤ x ≤ π Realizando o ḿıesmo quo no exemplo anterior, b_n = 2/π ∫_0^π/4 x sen(nx) dx + 2/pi ∫_π/4^3π/4 sen(nx) dx + 2/π ∫π/4^3π/4 sen(nx) dx - 2/π ∫_3π/4^π x sen(nx) dx b_n = 2/π [4 sen(mπ/4) - nπ cos(πn/4)] 1/4n² - 2/n [cos(3nπ/4) + cos(piπ/4)] 2/π4 [cos((nπ/4) + cos(nπ/2)] b_n = √2/πn² - √2/2n + 1/n w(x,t) = \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \left[\sen\left(\frac{n \pi}{4}\right)+\sen\left(\frac{3n\pi}{4}\right)\right]\sen(nx) \cos(nt) 9.2) Resolver o problema de Dirichlet no círculo unitário quando o valor de fronteira f(θ) é definido por b) f(θ) = 0 para -π < θ < π. W(1,θ) = f(θ) W(r,θ) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[a_{n} \cos(nθ)+b_{n} \sen(nθ)\right] r^{n} a_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \theta \cos(nθ) dθ = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos(nθ) dθ = 0 b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \theta \sen(nθ) dθ = \frac{2}{n} ; a_0 = \int_{-\pi}^{\pi} θ dθ = 0 c) f(θ) = \left{ 0, \text{voe} -π ≤ θ < 0, \sen θ, \text{voe} 0 ≤ θ ≤ π \right} a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sen θ dθ = \frac{2}{\pi} a_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sen θ \cos(nθ) dθ = \frac{1}{\pi} \left[\frac{\cos(n)+1}{n^2 - 1}\right] = \frac{2}{\pi(n^2-1)} b_{n} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sen θ \sen(nθ) dθ = -\frac{1}{n^2 - 1} \sen(n\pi) = 0 w(r,θ) = \frac{1}{\pi} - \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} r^{2n} \cos(2nθ) \cdot \frac{1}{4n^2-1} + \frac{r}{2} \sen θ