Questões - Desigualdade de Besel - 2023-1

5.1 (Desigualdade de Bessel(6)). A desigualdade de Bessel é a afirmação de que se f é integrável em [-π, π] então seus coeficientes de Fourier usuais satisfazem a estimativa \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 \, dx. \hspace{7cm} \text{(5.8)} Demonstre isto seguindo os seguintes passos: (a) para cada n = 1, 2, \ldots, defina S_n(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k \cos kx + b_k \sin kx) e mostre que \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)S_n(x) \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2); (b) multiplicando S_N(x) por si mesmo, isto é, S_N(x)^2 = \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{N} (a_n \cos nx + b_n \sin nx) \right] \left[ \frac{a_0}{2} + \sum_{m=1}^{N} (a_m \cos mx + b_m \sin mx) \right] e considerando todos os produtos que aparecem no lado direito, mostre que \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} S_n(x)^2 \, dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2); (c) escrevendo [f(x) - S_n(x)]^2 = f(x)^2 - 2f(x)S_n(x) + S_n(x)^2, verifique que \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x) - S_n(x)]^2 \, dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} [f(x)]^2 \, dx - \frac{a_0^2}{2} - \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2) e deduza que \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} (a_k^2 + b_k^2) \leq \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 \, dx; (d) conclua a demonstração de (5.8). Um corolário da desigualdade de Bessel é que a série à direita em (5.8) converge e isto implica que a_n \to 0 e b_n \to 0 quando n \to \infty. 5.1. (a) Multiplique a identidade que define S_n(x) por f(x) e em seguida integre no intervalo [-\pi, \pi]: f(x)S_n(x) = \frac{a_0}{2}f(x) + \sum_{k=1}^{n} a_k f(x) \cos kx + b_k f(x) \sin kx, logo \int_{-\pi}^{\pi} f(x)S_n(x) \, dx = \frac{a_0}{2} \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \, dx + \sum_{k=1}^{n} a_k \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos kx \, dx + b_k \int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin kx \, dx = \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{k=1}^{n} a_k^2 + b_k^2 \right). 5.3. Mostre que num espaço com produto interno a norma induzida satisfaz a identidade do paralelogramo: 2||x||^2 + 2||y||^2 = ||x + y||^2 + ||x - y||^2. 5.7. Seja f uma função integrável em [a, b]. Mostre que: (a) \(\left(\int_a^b f(x) \, dx \right)^2 \le (b-a) \int_a^b f(x)^2 \, dx;\) (b) \(\left(\int_a^b x f(x) \, dx \right)^2 \le \frac{b^3-a^3}{3} \int_a^b f(x)^2 \, dx.\) 6.1. Para cada n defina a função \(f_n : [0,1] \to \mathbb{R}\) por \(f_n(x) = \begin{cases} 0, & \text{se } 0 \le x \le \frac{1}{n}, \\ \sqrt{n}, & \text{se } \frac{1}{n} \le x \le \frac{2}{n}, \\ 0, & \text{se } \frac{2}{n} \le x \le 1. \end{cases}\) Seja \(f : [0,1] \to \mathbb{R}\) a função identicamente nula, isto é, \(f(x) = 0\) para todo \(x\). Mostre que: (a) a sequência \((f_n)\) converge pontualmente a \(f\) no intervalo \([0,1]\); (b) a sequência \((f_n)\) não converge em média a \(f\) no intervalo \([0,1]\). 6.5. Aplicando a identidade de Parseval à série de Fourier (3.5), obtenha a soma \[\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}.\] 5 1 a Snial of t É are cos eat br sink it com an I fif ie cos seal da but I fees sinckal da Ao i f Ifc at da k 1,2 FF yentai f Lif les su cal da yof da E au toga do be ftp aidn af Éfaut bus blumbre que h Sen man cos man me me e in Sao ontogonais entre si ish e If sin mise cos Imax da o f mi ma 1 sin mini sin man da f cos Imise cos more da f it mum 0 Mr Im into f fi s in da f fay t Ecancos na bn sin na N of I am cos mat businma da af da t 20g If an cos nat bn sin na da 1 I I amcos nat bn sin na In am cosma bm sin na da cosnd da t sin nada E G ELI a EI o I Em I am am cosy cos ma bnsinnabm sin ma ftp.mhrelagoesaeortogonatidaex an bn Yasin ma am b ma sin n da to pelas relaxes Me ontogondidade af t I I fan it bn it ang t Ecan'tbn c Agora note que f x Soobei f x Zf se SoCal Salas entai IT IT I fca Sweet da I 1 fix da 2 fees so be da T it it IfI snias da t 1 fear da 2 aft Ifan bn's af If l an't bn f lifers da ay En an ibn Z 0 pois fsa Snk z o portauto f floes da a aft E an't bn d Como a designaldade Vale 4 NE N homando Nt too at II an't bn e f feat de desigualdade de Bessel 5 3 lembre que 11542 85 r enter Ilatyht Hayip rat y sexy t sa y se y rains 2 try y rain Ey sy y 262,2 264y 2112112 2119112 5 7 Sega G Cta b IR Cta b undo a classe das fungous continues enter Sf g I feal girl da define um proauto interns Portanto vale a designaldadi de Schwanz Sf g e 11ft 11911 lift Mfs Ifinidar Some g se I continue enter rags f 1 fearday e furan Didnt a I feel d e b a fear da b feme goal a mhm baa da Ifear da sf.gs Mafias doe e f a 41 I finida afire doe I b feat da Obs dado f integrovel mas nai continua eniste f continue e integrated tal que fifgda If'gda tge crabs If difue de f numa quantidade enumerated de pantos portanto as resultados acimo he estendem parc a classe de fancies integra've's een Taib 6 1 la fatal 4 rn se f en e z O Caso contrairio Finado R E to I se R o en d l fn a o f n a lion trial him o o se O a 1 I no a I no Se nano nano In n Zz a En e fatal o foreal o f nano logo lion free o portanto for converge pontualmente pl f b Anew analisartim Ifn fl da Note que Uttoo I Ifnial flail da free da f in da in I if I portanto lim note fu fl dat him n to f d e for converge un media para f o 6 5 provavelmente a retie 3.5 Sejo f la r em CIT T Como f e par L it terms que i bn o the IN ii ao I f n'do E of I 255 iii an I f at cos nai da y 2g cosenits 4 II portanto Sf1a I If C i cos Inn enter pelc identidade de Parseval 1 fine doe f ft n'an 1 É É Isan Ein I 211 4,1g 361 01 16,1 Iit